2020-2021中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习及答案

2020-2021中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习及答案

一、反比例函数

1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等

于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：

（1）一次函数和反比例函数的解析式；

（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．

【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，

∴b=1，

∴一次函数解析式为：y=x+1，

∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，

∴n=1+1，

∴n=2，

∴点A的坐标是（1，2）．

∵反比例函数的图象过点A（1，2）．

∴k=1×2=2，

∴反比例函数关系式是：y=

（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，

∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2

【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．

2．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数

的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=

（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：

kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，

∴4n=﹣，即nk=﹣1①．

令y=kx+b中x=0，则y=b，

即点C的坐标为（0，b），

∴S△BOC= bn=3，

∴bn=6②．

∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，

∴1=4k+b③．

联立①②③成方程组，即，

解得：，

∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3

【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的

值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．

3．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；

∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函数解析式为y= x+ ．

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，

解得：，或，

∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（1，2），

设直线A′B的解析式为y=mx+n，

则有，解得：，

∴直线A′B的解析式为y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，则y= ，

∴点C的坐标为（0，）

（2）解：观察函数图象，发现：

当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0

【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

4．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）

（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．

【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，

∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；

（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；

（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，

∴OE= OA= ，点D（，2），

∴点B（3，4），

又∵点F在正比例函数y= x图象上，

∴F（，），

∴DF= 、BC=3、EA= ，

∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.

5．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．