(完整版)函数的奇偶性知识点及习题

函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函
)(x f x )()(x f x f =-数就称偶函数；
)(x f 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么
)(x f x )()(x f x f -=-函数就称奇函数；
)(x f 二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
x 3、可逆性：是偶函数；奇函数；
)()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f 4、等价性：
)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=()()
1=-⇔
x f x f ；；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ()()
1-=-⇔
x f x f 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
y 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇±奇＝奇（函数） 偶±偶＝偶（函数）
奇×奇＝偶（函数） 偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）
8、多项式函数的奇偶性
110()n n n n P x a x a x a --=+++ 多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.()P x ⇔()P x 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
()P x ⇔()P x 9、复合函数的奇偶性
[])(x g f y =若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由
[])(),(),(x g f x g x f 的奇偶性得到的奇偶性的规律是:
)(),(u f y x g u ==[])(x g f y =函数
奇偶性
)(x g u =奇函数奇函数偶函数偶函数)
(u f y =奇函数
偶函数奇函数偶函数[])(x g f y =奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数.
)(x g u =)(u f y =[])(x g f y =三、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。

判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、
()f x -()f x -相等，判断步骤如下：
)(x f 1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能
2、数量关系哪个成立；)()(x f x f ±=-判断分段函数的奇偶性
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X
的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，
然后判断
与
的关系，首先要特别注意X 与—X 的范围，然后将它们代入
相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函
数的定义进行比较。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定
命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

此命题正确。

如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这
一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。

一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没
有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如，，可以看出函数与都是定义
()((1,1))f x x x =∈-()((2,2))g x x x =∈-()f x ()g x 域上的函数，它们的差只在区间上有定义且，而在此区间上函(1,1)-()()0f x g x -=数既是奇函数又是偶函数。

()()f x g x -命题3：是任意函数，那么与都是偶函数。

()f x |()|f x (||)f x 此命题错误。

一方面，对于函数不能保证
(),(()0),
|()|(),(()0),
f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨
-<⎩或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保
()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x 证它的定义域关于原点对称。

如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数
是偶函数。

(||)f x 命题4：如果函数满足：，那么函数是奇函数或偶函数。

()f x ()()f x f x =-()f x 此命题错误。

如函数从图像上看，的图像既不关2
,(2,),
(),(21,),
x x n n N f x x x n n N =∈⎧=⎨
=+∈⎩()f x 于原点对称，也不关于轴对称，故此函数非奇非偶。

y 命题5：设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，
F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．
此命题正确。

由函数奇偶性易证。

命题6：已知函数是奇函数，且有定义，则。

()f x (0)f ()00f =此命题正确。

由奇函数的定义易证。

命题7：已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所
()f x ()0f x =()0f x =有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。

()f x ()0f x =此命题正确。

方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性
()0f x =()f x x 的定义可知：若，则。

对于定义在实数集上的奇函数来说，必有
0()0f x =0()0f x -=。

故原命题成立。

()00f =五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④
非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征
一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于
y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

y 图象法：如二次函数成为偶函数，必须要使对称轴，2y ax bx c =++02b
x a
=-
=即；若二次函数成为奇函数，必须要使；当时，
0b =2y ax bx c =++0a c ==0b ≠二次函数是非奇非偶函数。

奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。

七、关于函数奇偶性的简单应用
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。

现分别举例说明如下：
1、利用奇偶性求函数值
【例1】已知且，那么 。

8)(35-++=bx ax x x f 10)2(=-f =)2(f 【例2】设f （x ）是定义在R 上的偶函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。

【例3】 是定义在R 上的奇函数,则=___；若有，则)(x f )0(f 3)2(=-f ___；
=)2(f 若；则___；
7)5(=f =-)5(f 【例4】已知函数,若为奇函数，则___；1
21
)(+-=x a x f )(R x ∈)(x f =a 2、利用奇偶性比较大小
【例5】已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。

)(x f ()0,∞-)5(-f )1(f )3(f
【例6】若是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：)(x f （ ）
)1()0()2(.f f f A >>-)0()1()2(.f f f B >>- )2()0()1(.->>f f f C )
0()2()1(.f f f D >->【例7】 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间
[]3,7--上是（ ）
A ．增函数且最小值是5-
B ．增函数且最大值是5
-C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5
-【例8】 ，为偶函数，试比较
的
大小关系。

【例9】 为偶函数，
，若
，求
取
值范围。

3、利用奇偶性求解析式
【例10】已知为偶函数，当时，，当时，求
)(x f 01x ≤≤()1f x x =-10x -≤<的解析式。

)(x f 【例11】若是定义在（-∞，0）（0，+∞）上的奇函数，当x<0时，
)(x f ，求当时，函数的解析式。

)1()(x x x f -=0>x )(x f 【例12】设是定义在R 上的奇函数,且当，试求)(x f 132)(02++-=>x x x f x 时，函数的解析式。

)(x f 4、利用奇偶性讨论函数的单调性
【例15】若是偶函数，讨论函数的单调区间。

3)3()2()(2+-+-=x k x k x f )(x f 5、利用奇偶性求参数的值
【例16】定义在R 上的偶函数在是单调递减，若
)(x f )0,(-∞，则的取值范围是如何？
)123()12(22+-<++a a f a a f a
【例17】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m 的取值范围．6、利用奇偶性证明不等式【例18】求证
)0(2
21≠<-x x
x x 7、函数奇偶性的判定问题
【例19】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）f （x ）=（x －1）·
；x
x
-+11（3）f （x ）=；
2
|2|12
-+-x x （4）f （x ）=⎩⎨
⎧>+<-).
0()1(),
0()1(x x x x x x （5）x
x x f 2)21()(2
+=
【例20】判断下列函数的奇偶性2
211(0)2
()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨
⎪--<⎪⎩【例21】判断函数f (x )＝Error!的奇偶性．
【名师点拨】　分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段
上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．
8、奇偶函数的图象问题
【例22】下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图
象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ） ( )A.1 B.2 C.3 D.4
【提高练习】
1.已知定义域为的偶函数在上为减函数，且有，则满足
R )(x f ),0(+∞0)2(=f 的的集合为_________；0)(<x f x 2.已知函数为R 上的奇函数，若，则
)(x f y =1)2()3(=-f f ____；
=---)3()2(f f
3.已知偶函数在区间上为减函数且有最大值为5，则在区间上)(x f ]4,2[)(x f ]2,4[--为____函数且有最___值为____；若是奇函数在区间上为增函数且有最小)(x f ]4,2[值为5，则在区间上为____函数且有最___值为____。

)(x f ]2,4[--
4.若函数是奇函数，则
()log (a f x x =a =5.已知函数
)127()2()1()(2
+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．)2()1(23(f f f <-<-
B ．
)
2()23()1(f f f <-<-C ．
23()1()2(-<-<f f f D ．)
1()23
()2(-<-<f f f 7.函数是R 上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数
()y f x =(,0]-∞()(2)f a f ≤的取值范围是 （ ）
a A. B. C. D.或2a ≤2a ≥-22a -≤≤2a ≤-2
a ≥8.已知)
1lg()1lg()(x x x f +--=（1）判断函数的奇偶性；（2）判断的单调性并证明。

)(x f 9.若f （x ）=为奇函数，求实数a 的值.
1
22
2+-+⋅x x a a。