(完整版)函数的奇偶性知识点及习题

函数的奇偶性

一、关于函数的奇偶性的定义

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函

)(x f x )()(x f x f =-数就称偶函数；

)(x f 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么

)(x f x )()(x f x f -=-函数就称奇函数；

)(x f 二、函数的奇偶性的几个性质

1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

x 3、可逆性：是偶函数；奇函数；

)()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f 4、等价性：

)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=()()

1=-⇔

x f x f ；；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ()()

1-=-⇔

x f x f 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；

y 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：

奇±奇＝奇（函数） 偶±偶＝偶（函数）

奇×奇＝偶（函数） 偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）

8、多项式函数的奇偶性

110()n n n n P x a x a x a --=+++ 多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.()P x ⇔()P x 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

()P x ⇔()P x 9、复合函数的奇偶性

[])(x g f y =若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由

[])(),(),(x g f x g x f 的奇偶性得到的奇偶性的规律是:

)(),(u f y x g u ==[])(x g f y =函数

奇偶性

)(x g u =奇函数奇函数偶函数偶函数)

(u f y =奇函数

偶函数奇函数偶函数[])(x g f y =奇函数

偶函数

偶函数

偶函数

即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数.

)(x g u =)(u f y =[])(x g f y =三、函数的奇偶性的判断

函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、

()f x -()f x -相等，判断步骤如下：

)(x f 1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能

2、数量关系哪个成立；)()(x f x f ±=-判断分段函数的奇偶性

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X

的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，

然后判断

与

的关系，首先要特别注意X 与—X 的范围，然后将它们代入

相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函

数的定义进行比较。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定

命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这

一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没

有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如，，可以看出函数与都是定义

()((1,1))f x x x =∈-()((2,2))g x x x =∈-()f x ()g x 域上的函数，它们的差只在区间上有定义且，而在此区间上函(1,1)-()()0f x g x -=数既是奇函数又是偶函数。

()()f x g x -命题3：是任意函数，那么与都是偶函数。()f x |()|f x (||)f x 此命题错误。一方面，对于函数不能保证

(),(()0),

|()|(),(()0),

f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨

-<⎩或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保

()()f x f x -=()()f x f x -=-()f x 证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数

是偶函数。

(||)f x 命题4：如果函数满足：，那么函数是奇函数或偶函数。

()f x ()()f x f x =-()f x 此命题错误。如函数从图像上看，的图像既不关2

,(2,),

(),(21,),

x x n n N f x x x n n N =∈⎧=⎨

=+∈⎩()f x 于原点对称，也不关于轴对称，故此函数非奇非偶。

y 命题5：设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，

F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．