函数的奇偶性知识点及经典例题

函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念：
①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =）
②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。

也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。

③图像特征
如果一个函数是奇函数⇔这个函数的图象关于坐标原点对称。

如果一个函数是偶函数⇔这个函数的图象关于y 轴对称。

④复合函数的奇偶性：同偶异奇。

⑤对概念的理解：
(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。

(2))(x f 与)(x f -的关系：
当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或1)
()(=-x f x f 时为偶函数； 当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或1)
()(-=-x f x f 时为奇函数。

二、函数的奇偶性与图象间的关系：
①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立；
②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。

三、关于函数奇偶性的几个结论：
①若)(x f 是奇函数且在0=x 处有意义，则(0)0f =
②偶函数± 偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数； 偶函数⨯偶函数=偶函数；奇函数⨯奇函数=偶函数； 偶函数⨯奇函数=奇函数
③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性， 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
（二）、关于函数奇偶性的运用
1．利用奇偶性求函数式或函数值
1．设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()23f x x x =--，试求)(x f 的解析式。

2.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，()f x 得解析式。

3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()f x x =，求(7.5)f 的值
5.已知函数53()4f x ax bx =++，若(2)0f -=，求(2)f 的值。

6．若函数()f x 是偶函数，则=--+)2
11()21(f f 。

7.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()11
f x
g x x +=-，试求()()f x g x 与的表达式。