2013年中考数学模拟考试题

2013年中考数学模拟考试题
说明：
1．考试用时100 分钟，满分 150 分．
2．答题前，考生务必在答题卷上填写自己的姓名、座位号等.所有答案必须在答题卷上做答． 3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．﹣5的相反数是( )
A ．﹣
B ．﹣5
C ．
D ．5
2. 钓鱼岛自古以来就是中国的固有领土，在“百度”搜索引擎中输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4640000，这个数用科学记数法表示为 ( ) A. 464×104 B ．46.4×106 C ．46.4×106 D ．4.64×106
3. 在50，20，50，30，50，25，35这组数据中，中位数是( )
A ．20
B ．30
C ．35
D ．50 4. 在下图的几何体中，它的左视图是 （ ）
5. 有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≤1
C ．x ＞1
D ．x ≠1
6.将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 第4题图 A
B
C
D
7. 下列计算不正确．．．
的是 ( ) A ．32a a a =⋅ B ．426a a a =÷ C ．632)(x x = D ．2m + 3n=5mn 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC =8，AB =10， OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
9. 分解因式：x 2
－16＝_________________．
10. 从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
11. 如图，AB ∥CD ，CP 交AB 于O ，AO ＝PO ，若∠C ＝50°，则∠A ＝______°.
12. 如下图1是二环三角形， 可得S =∠A 1+∠A 2+ … +∠A 6=360°， 下图2是二环四边形， 可得S =∠A 1+∠A 2+ … +∠A 7=720°， 下图3是二环五边形， 可得S =1080°， ……， 请你根据以上规律直接写出二环二零一三边形中，S =___________°．
13.已知圆锥中，母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 cm 2
（结果保留含π的
形式）。

三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题7分，共35分）
14. 计算：().20133118|3|202
-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⨯
15. 解方程组： ⎩⎨⎧3x ＋y ＝4，
2x －y ＝1.
16. 先化简，后求值：（a+b ）（a -b ）+b （b -2），其中a=2，b=-1.
D
C B
O
A
第11题图
A 17. 解方程：
2x 61+=x+3x 3
x 9--
18. 如图，已知平行四边形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，延长DE AB ，相交于点F ． 求证：CD BF =．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A 的坐标是(2,2),点B 的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向东行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C 点到A 、B 两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,
保留作图痕迹,不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标。

20．如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60
的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30
的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
21、如图，已知点O 为Rt △ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ，与AC 相交于点D ，连接AE ． （1）求证：AE 平分∠CAB ；
（2）探求图中∠1与∠C 的数量关系，并求当AE=EC 时tanC 的值． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
22. 全国各地都在推行新型农村医疗合作制度。

某市也正在推行：村民只要每人每年交10元钱，
就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例返回的返回款。

小
东
与.A(2, 2)
.B(7, 3)
y
O
x
第19题图
加合作医疗
作医疗卫生
类别
8
32
占5%
同学随机调查了他们镇的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图。

请根据以下信息解答问题：
（1）本次调查了多少村民？被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款？ （2）该镇若有10000个村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的
人数增加到9680人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率。

23. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC
AB
=
=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。

根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°= 。

（2）sad90°= 。

（3）如图②，已知sinA 3
5
=
，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值。

24. 如图所示，抛物线2
y ax bx c =++经过原点O ，与x 轴 交于另一点N ,直线1y kx b =+与两坐标轴分别交于
A 、D 两点，与抛物线交于(1,3)
B 、(2,2)
C 两点.
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x 轴上方的部分有一动点(,)P x y ，
A
A
B
C
C
B
图①
图②
求PON △的面积最大值；
（3）若动点P 保持（2）中的运动路线，问是否存在点
P ，使得POA △的面积等于POD △面积的1
9
？若存在，请求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
2013年中考数学模拟考试题参考答案
一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
1. D ;
2. D ;
3. C ;
4. B ;
5. A ;
6. C;
7. D;
8. B . 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
9. (x ＋4)(x －4); 10.
1
3
; 11. 25; 12. 723960; 13. 15π。

三、解答题（本大题5小题，每小题7分，共35分） 14．解：原式=2×3+2-1=7。

（每项分别给1分）
15. 解：⎩
⎨⎧3x ＋y ＝4， ①2x －y ＝1. ②
①＋②，得5x ＝5，x ＝1。

………4分 将x ＝1代入 ①，得3＋y ＝4， y ＝1。

∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.
………7分
16. 解：原式=2222a b b 2b a 2b -+-=-………4分
当
b=-1时，原式
=
2
21224-⨯-=+=（）……7分 17.解：方程的两边同乘以（x+3）（x ﹣3），得
x （x ﹣3）+6=x+3，
整理，得x 2
﹣4x+3=0，………3分 解得x 1=1，x 2=3。

经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根。

………6分 ∴原方程的解为x=1。

……7分
18. 证明：如图所示 四边形ABCD 是平行四边形，
DC AB ∴∥，即DC AF ∥．………2分
1F ∴∠=∠，2C ∠=∠． E 为BC 的中点，CE BE ∴=．
DCE FBE ∴△≌△．………6分 CD BF ∴=．………7分
1
2 3
E
D
C
F
B
A
18题图
四、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 解： (1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略；………4分
（2）作出点A 关于x 轴的对称点A /(2,-2), 连接A /B ，与x 轴的交点即为所求的点P.
设A /
B 所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A /
(2,-2), B(7,3)分别代入得：
⎩⎨⎧-=+=+2237b k b k 解得：⎩
⎨⎧-==41b k ·
所以： y=x-4 ………8分 当y=0时，x=4,所以交点P 为（4，0）。

·………9分 20.解：如图，在Rt △ABP 中， AB=24×0.5=12，∠BAP=900－600=300，
AP=
12
30
cos =，
BP= 。

………3分 易求，∠PCB=∠PBC=300，∴
PC= BP= ，
AC=………6分
过点C 作CQ ⊥AM 于点Q ，则
CQ=
∵936>，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。

………9分
.A(2, 2) .B(7, 3)
y
O
x
第19题图
tanC=五、解答题（本大题3小题，每小题12分，共36分） 22. （1）320+80=400（人）；………3分 320×5%=16（人）………6分
（2）参加医疗合作的百分率为
%80%100400
320
=⨯ ………7分 估计该镇参加合作医疗的村民有10000×80%=8000（人）………8分 设年增长率为x,由题意知8000×（1+x ）2
=9680 ………11分
解得x 1=0.1, x 2=-2.1(舍去)即年增长率为10%。

………13分
答：共调查了400人，得到返回款的村民有16人，估计有8000人参加了合作医疗，年
增长率为10%。

………14分
23. （1）
1………3分 （2）2………6分 （3）设AB=5a ，BC=3a ，则AC=4a
如图，在AB 上取
AD=AC=4a ，作DE ⊥AC 于点E 。

………9分 则DE=AD·sinA=4a ·35=125a ，AE= AD·cosA=4a ·45=16
5
a CE =4a －
16
5
a =45a
CD ===12分
∴sadA CD AC =
=………14分 C
B
D
E
24. 解：（1）把点B 、C 的坐标代入1y kx b =+ 1
1
322k b k b =+⎧∴⎨=+⎩ 解方程组得 114k b =-⎧⎨=⎩
∴ 直线的解析式是4y x =-+…………3分
把点O 、B 、C 的坐标代入2y ax bx c =++
03242c a b c a b c =⎧
⎪
∴=++⎨⎪=++⎩
解方程组得 250a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ 抛物线的解析式是225y x x =-+…………5分
（2）225y x x =-+ 配方得 2525
2()48
y x =--+
∴ 顶点坐标是525
(,)48
…………6分
当y = 0时，2250x x -+= 1250,2x x ∴==
∴ 点N （5
2
，0）…………7分 当P 点运动到顶点的位置时，PON ∆的面积最大，最大值是： 11525125
222832
PON p S ON y =⋅⋅=⨯⨯=
…………9分 （3）不存在…………10分 直线4y x =-+与x 轴的交点D （4,0），与y 轴交点A （0,4）
12POA p S AO x =⋅⋅ ，1
2
POD P S OD y =⋅⋅
∴ 111
292
p P AO x OD y ⋅⋅=⋅⋅⋅， ∴
11144292p P x y ⋅⋅=⋅⋅⋅ ∴ 1
9
p P x y =⋅…………12分
∵ 点P 在225y x x =-+上，且位于x 轴的上方，
∴ 2525(0)2P P P p y x x x =-+<< 代入1
9
p P x y =⋅
得到2259P P p x x x -+=，即2
20p p x x +=， ∴ 0p x =或2p x =-，它们与 5
02
p x <<矛盾
∴ 点P 不存在
即在抛物线上不存在点P ，使得POA △的面积等于POD △面积的1
9
…………14分。