《空间两点间的距离公式》课件

2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |=
x +y
2
2
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在空间直角坐标系中，若 已知两个点的坐标，则这两点 之间的距离是惟一确定的，我 们希望有一个求两点间距离的
z
垂线段 的长
d xOy z
y
O y x
z P x
d yOz x d xOz y
在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴 的距离，怎么求？
z d y0 P z0 x0
垂线段 的长
2 0 2 0 2 0
dx
y
y z
2 0 2 0
O x
dy x z
2 0
dz x y
y
y2
P2(x2, y2)
y1
O
计算公式，对此，我们从理论
上进行探究.
P1(x1,y1) Q(x2,y1)
x1
x2
x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
d
c
b
a
d a 2 b2 c 2
一、探究：空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面的距 离，怎么求？
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
作业: P138练习：1，2，3。
二、空间中点坐标公式
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点
Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x1 x2 , x 2 y1 y2 , y 2 z1 z 2 . z 2
名师导引:(1)如何建坐标系?(以长方体的一个顶 点为坐标原点,相邻的三条棱所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴) (2)空间点 P(x1,y1,z1)与点 Q(x2,y2,z2)的中点 M 的 坐标是什么?
z
D` A` C` B` M
O
A x
C
N
B
y
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一、两点间距离公式
平面： |P1P2 |= (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2，
类比
2
猜想
2 2
空间： |P1P2 |= (x1 - x 2 ) +(y1 - y 2 ) +(z1 - z2 ) .
二、空间中点坐标公式 在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点 Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
又∵PA⊥AC, ∴△PAC 为直角三角形, 2 2 2 ∴|PC| =|PA| +|AC| ,即 2 2 2 2 (x-2) +1+(z-1) =x +1+z +4+0+1, 即 2x+z=0,②
x 1, 由①②得 z 2.
∴点 P 的坐标为(-1,0,2).
如图，在正方体ABCDA`B`C`D`中，点P、Q分别在棱长为1的正方 体的对角线BD`和棱CC`上运动，求P、Q两 点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点 的位置. z
((
x1 x2 2
,
y1 y2 2
,
z1 z2 2
))
应用举例：
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)， B (4, 3, -1)，求A、B两点之间的距离.
例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
空间两点间的距离
z
|OA|=|x|
B
|OB|=|y|
|OC|=|z|
O
A
y
C
4
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标 平面上的点A（x，y，0），B（0，y， z），C（x，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
z B
| OA |=
x +y
2
2
2
C
O
y
x
2
A
| OB |=
y + z , | OC |=
x +z
5
2
【例 3】 如图所示,在长方体 ABCD A1B1C1D1
中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点 M 在 A1C1 上, |MC1|=2|A1M|,N 在 D1C 上且为 D1C 中点,求 M、N 两点间的距离.
解:如图所示,分别以 AB,AD,AA1 所在的直线 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知 C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), ∵N 为 CD1 的中点,
4.3.2 空间两点间的距离公式
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中，点A （x，0，0），B（0，y，0），C（0， 0，z），与坐标原点O的距离分别是 什么？
3 ∴N ,3,1 . 2
M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点, ∴M(1,1,2).由两点间距离公式,得
3 2 2 |MN|= 1 3 1 1 2 2
21 = . 2
2
求解距离问题的关键是什么? (解决本类题目的关键是准确确定点的坐标, 正确使用空间两点间的距离公式.若是在具 体的立体几何问题中,则需建立适当的坐标 系,结合具体的图形特征,利用空间两点间的 距离公式求解)
2 2
z
P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N
根据勾股定理
P1P2 = P1H + HP2 = (x 2 - x1 )2 +(y 2 - y 1 )2 +(z2 - z1 )2 ,
2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、 P2（x2，y2，z2） 之间的距离
P1P2 = (x2 - x1 )2 +(y 2 - y 1 )2 +(z2 - z1 )2 .
跟踪训练 3 1:已知点 A(0,1,0)、B(-1,0,-1)、 C(2,1,1),若 点 P(x,0,z)满足 PA⊥AB,PA⊥AC, 试求点 P 的坐标. 解:∵PA⊥AB, ∴△PAB 为直角三角形, 2 2 2 ∴|PB| =|PA| +|AB| ,即 2 2 2 2 (x+1) +(z+1) =x +1+z +1+1+1, 即 x+z=1,①
D`
A`
| PQ |= = (1 - z 1 ) + z + (z 1 - z 2 ) 12 1 ) + 2 2
2 2 1 2
P139.B3例4
C`
B` Q(0,1,z2)
O
P(x,y,z1)
C
(z 1 - z 2 )2 + 2(z 1 -
A
x
B H(x,x,0)
y
练习
4、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a， |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.
1.空间点到原点的距离
z
P( x, y, z)
|BP|=|z|
2 2 |OB|= x + y y
o
C
B
|OP|= x2 + y2 + z2
x A
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？ 如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2） 是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、 P2（x2，y2，z2） 在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M（x1，y1， 0）， N（x2，y2，0）.
x z
P2 P1
O
M1 N1 M M2
H N2 y N
2 2 MN = (x x ) +(y y ) . 在xOy平面上, 2 1 2 1
过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 .
在RtΔP1HP2中，
P1H = MN = (x 2 - x1 ) +(y 2 - y 1 ) ,