正余弦定理复习教案

正弦、余弦定理

一. 教学内容： 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点： 1. 重点：

正弦、余弦定理。 2. 难点：

运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

一、正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理 cos ,cos ,cos .

bc A ac B ab C 2

2

;

;a b

注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。（∵sinA>sinB ⇔

22R R

>⇔a>b ⇔A>B ）

二、应用举例

1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；

③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式

（1）1

()2a a S a h h a =

表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc

S ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径；

（3）1

()()2

S r a b c r =++为内切圆半径。

【典型例题】

[例1] 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。

练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。

（1）5=a ，4=b ，︒=120A （2）7=a ，14=b ，︒=150A （3）9=a ，10=b ，︒=60A （4）50=c ，72=b ，︒=135C

正弦定理余弦定理的应用：

例2：在ABC

∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则

2sin cos cos A A B +=（ ）

A ．

12 B ．1

2

C ． -1

D ． 1 练习：在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是

（A ）(0,]6

π

（B ）[,)6

π

π

（C ）(0,]3

π

（D ）[,)3

π

π

利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围

[例3]若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.

C ．一定是钝角三角形.

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

练习：1、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC

cos A 的值等于______，AC 的取值范围为______．

2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2C

sin A －sin2C

(1)判断△ABC 的性状；

(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·

BC 的取值范围． 3、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c

2c

，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 ( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形

利用正余弦定理求三角形面积

〖例4〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25

cos

2A =，3AB AC ⋅=．

（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．

练习：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25

cos

25

A =，3A

B A

C ⋅=．

（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

正余弦定理实际应用问题

〖例5〗（本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距

5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=

c 解此三角形。

解：由余弦定理得：

445cos 62)6(22=︒⋅-+b b ∴ 02322

=+-b b ∴ 13±=

b

又 C b b cos 222)6(2

22⨯-+= ∴

21

cos ±

=C ，︒=∠60C 或︒=∠120C

∴ ︒=∠75B 或︒=∠15B ∴ 13+=b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B

[例4] 已知a 、b 、c 是ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4=a ，

5=b ，35=S ，求c 的长度。

解：

∵ 4=a ，5=b ，

35sin 21

==

C ab S

∴

23

sin =

C ∴ ︒=60C 或︒120

∴ 当︒=60C 时，212

22=-+=ab b a c ∴ 21=c

当︒=120C 时，612

22=++=ab b a c ∴ 61=

c

即4)(2

≤+c a ∴ 2≤+c a 又1>+c a ∴ 21≤+

B

D

C

A