数学北师大版九年级下册四点共圆

第二讲：四点共圆

一．有关定理或结论

1．共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 2．共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 3．若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆．

4．相交弦逆定理:凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P,PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。 5．割线长定理:凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P.PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

图3 图4 图5

二．证“四点共圆”的基本方法

例1．如图1，⊙1o ，⊙2o ，⊙3o … 都经过点A 和B.点P 是线段AB 延长线上任意一点，且PC ，PD ，PE …分别与⊙1o ，⊙2o ，⊙

3o …相切于点C,D,E,…。求证：C,D,E …在同一个圆上。

例2. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：B 、E 、F 、C 四点共圆．

例3．如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上， ∠DAM ＝∠CBK.求证：C ，D ，K ，M 四点共圆

例4. 如图，E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共圆． A

B C D A B C D P A B

C

D P

C

图3

M

K B

A

C

D

三．四点共圆的应用

1. 用于证明两角相等

例1.如图，梯形ABCD中AB//DC, 且∠CBN 求证：∠CNB = ∠

2.用于证明两条线段相等

例2. 已知: 圆O的弦CF、DE交于点B, PB//EF, 交CD的延长线于点P, PA与圆O切于点A.

求证: PA=PB .

3. 用于证明两直线平行

例3 如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H．求证：EH∥GC．

4.用于证明两直线垂直

5. 用于判定切线

例5 如图5，AB为半圆直径，P为半圆上一点，PC⊥AB于C，以AC为直径的圆交PA于D，以BC为直径的圆交PB于E，求证：DE是这两圆的公切线．

6. 用于证明比例式

例6 AB、CD为⊙O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G，弦PA、PB分别交CD 于E、F．

7. 用于证明平方式

例7:已知: 点P是等边⊿ABC外接圆的劣弧BC上任意一点, AP交BC于点D.

求证: PA2=AC2+PB•PC

.

8. 用于解计算题

例8如图8，△ABC的高AD的延长线交外接圆于H，以AD为直径作圆和AB、AC分别交于E、F点，EF交 AD于 G，若 AG=16cm，AH=25cm，求 AD的长．