相似三角形模型讲解-一线三等角问题讲义
2024年中考数学二轮复习课件：--“一线三等角”相似模型(1)(30张PPT)
AE
AF 的值；
5
7
课堂小结
课堂小结
同侧异侧都可以
一线三等角模型：∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线
上，且∠1＝∠2＝∠3.那么可证 △ABC∽△CED
无边相等证相似
A
A
有边相等证全等
D
D
90°
90°
90°
60°
60°
B
C
120°
60°
E
B
120°
C
120°
E
布置作业
课后巩固
1.如图，在 △ ABC 中， AB = AC ， AB > BC ．点 D 在边
5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上
运动，点E在AC上运动，∠ADE＝45°.
求证：△ABD∽△DCE；
解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝45°.
∴ ∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B＝135°.
∵ ∠ADE＝45°，
∴ ∠ADB＋∠CDE＝180°－∠ADE＝135°.∴ ∠BAD＝∠CDE.
E 分别在边 BC，AB 上，∠ADE=60°.
图中的相似三角形为 △BED∽△CDA
若 BD=4DC，DE=2.4，则 AD 的长为 3
例题2
2．如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥DE,AE=DE
(1)△ABE 与△ECD 有什么关系？(2)求证:AB+CD=BC
满足“一线三等角”和
对应边相等的两个条件，
BE BD
CD CF
，即
4
∴BE= 3 ．
BE 1
4
3
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
2025年中考数学二轮复习几何模型突破课件：模型3一线三等角模型(含全等和相似)
∴ ＝ ＝ ＝7，
5
∴
5
13
13
DF＝ FE＝ ，∴AD＝DF＝ .
7
7
7
【针对训练】
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的一个动点
(不与点B，C重合)，D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：△ABP∽△PCD；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交 AC于点E.
13
当BF＝1，AE＝ 时，求AD的长.
5
【解题思路】第一步：根据∠DFE＝∠B＝∠C＝60°，识别出“一线三
等角”相似模型；第二步：证明△BDF∽△CFE；第三步：根据相似三角
形的性质得到线段的比，从而求出AD的值.
13
13 7
∴∠B＝∠EGF.
∵∠DEF＝60°，
∴∠BED＋∠GEF＝120°.
∵∠B＝60°，∴∠BED＋∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝∠GEF.
又∵DE＝EF，
∴△BDE≌△GEF(AAS)，
∴BE＝GF＝GC＝2，BD＝GE＝10－2－2＝6，
∴DH＝BD－BH＝6－5＝1.
例2
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D是AB 边上的一个动点，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∠APC＝∠APD＋∠CPD，
∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD.
∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD.
(2)当P为BC的中点时，求CD的长；
解：∵BC＝12，P为BC的中点，
∴BP＝CP＝6.
由(1)得△ABP∽△PCD，
专题 相似三角形一线三等角模型(老师版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
2023年中考数学常见几何模型归纳(全国通用版)：一线三等角模型(从全等到相似)(解析版)
专题05一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转 045 ，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转 4590 ，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE ，1DE ，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析(3)258BFC S【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ，45EAC ACE ，再根据90BDA CEA ，求出45ABD ，45ACE ，即可得出45DAB ABD EAC ACE ，最后根据三角函数得出1AD BD ，1AE CE ，即可求出2DE AD AE ；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF ，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ，AB AC ，∴90452ABC ACB ，∵l BC ∥，∴45DAB ABC ，45EAC ACE ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴904545ABD ，904545ACE ，∴45DAB ABD EAC ACE ，∴sin 12AD BD AB DAB ，sin 1AE CE AC EAC ，∴2DE AD AE ．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE ，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF ，即345AF ，解得：154 AF ，∴155544CF AC AF ，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC = ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC= ，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°- ．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．∵∠EDF =45゜∴∠ADE +∠BDF =180゜−∠EDF =135゜∴∠ADE =∠BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∴△AED ≌△BDF (AAS )答案为：△BDF ；②∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60゜∴∠BDE +∠BED =180゜−∠B =120゜∵∠EDF =60゜∴∠BDE +∠CDF =180゜−∠EDF =120゜∴∠BED =∠CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF∴△BDE ≌△CFD (AAS )故答案为：△CFD ；③∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC =90゜，AB =BC∴∠ABE +∠CBF =180゜−∠ABC =90゜∵AE ⊥l ，CF ⊥l ∴∠AEB =∠CFB =90゜∴∠ABE +∠EAB =90゜∴∠EAB =∠CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC∴△ABE ≌△BCF (AAS )∴AE =BF =1，BE =CF =2∴EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∴∠AOC =90゜，AO =OC∴∠COE +∠AOD =180゜−∠ACO =90゜∵AD ⊥x 轴，CE ⊥x 轴∴∠CEO =∠ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C ．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ ．当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有 、 的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE ；证明见解析；（2）30 ；75 ；（3）可能；30 ，30 或52.5 ，75 ．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC ，∴180DBA BAD BAD CAE ，∴DBA CAE ，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD ，AD CE ，∴DE AE AD BD CE ；（2）在△ABP 中，2230APC B ，∴1150 ，同理可得：230 ；由2 或1CQP ，即230 ，解得30 ，则△ABP ∽△PCQ ；∴当 在许可范围内变化时，30 时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1 或2CQP ，同理可得：75 ．∴当 在许可范围内变化时，75 总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30 ，30 时，则230B ，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75 ，52.5 时，同理可得：115075 ，23052.5 ，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN ＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B 时，求证：AD BC AP BP ．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB ，45B ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ，若CE CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE或3DE 【分析】（1）证明出DCE AEF 即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ， 142MN x ．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM ，则有 21342x x ，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB，根据5AM ，可得3543GH MH ，进而求出125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC=．设DE y ，则6AE y ，即有164y y ，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ，∴90CED DCE ．∵EF CE ，∴90CED AEF ，∴DCE AEF ，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM ，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM中，5AM ．∴AG GM 的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ，∴ 11422MN BF x ．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM ，由①知AG GM 的最小值为5、即5AM，又∵3GM ，∴2AG ．∴ 21342x x ，解得1x ，即1AF ．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB，由①知AG GM 的最小值为5，即5AM ，又∵3GM ，∴3543GH MH ．∴125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB ，即1293556FB ，解得3FB ．∴1AF AB FB ．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y ，则6AE y ，∴164y y，解得3y或3．∵036，036 ，∴3DE或3DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ，Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ 相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE ，CD kCH ，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ，(2)EK LH ，证明见解析；(3)ET HT ，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ，根据余角性质得到PMR NRQ ，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR ，NRQ PMR ；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC ，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL ，可得到EK LH ；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM ，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN ，得到EM HN ，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT ．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ，∵MP PQ ，NQ PQ ，∴90MPR NQR ，∴90PMR MRP MRP NRQ ，∴PMR NRQ ，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR ，NRQ PMR ，故答案为：PR ，PMR ；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE ，90ACE ，∵EK BK ∴90B EKC ，∴90BAC ACB ACB ECK ，∴BAC ECK ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中， 3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO∵点M （2，1），∴OE 1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3NF OF ，∴NF ＝3，OF ＝33 ，3课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD l ，过点B 作BE l ，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为 4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x 与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45 后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）∴42m nn m解得13mn∴点M的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D在AB的下方时，过D作DE⊥轴于E，交BC于F,同（1）可证得△ADE≌△DPF，∴=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x,3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE ，证明过程见解析；(3)DE BE AD ，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，∵90ACB ，∴90ACD BCE ，∵AD MN ，∴90ACD CAD ，∴BCE ∠∠CA D ，又∵AC BC ，90ADC CEB ，∴() ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE ，DC BE ，∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE ；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CE CD AD BE ；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CD CE BE AD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ；（3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF 与BDE 的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD 故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，E ADC EBC DCA BC AC∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵BED CFD BAC∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC∴△ABE≌△CAF，∴ABE CAFS S∴ACF与BDE的面积之和等于ABE与BDE的面积之和，即为△ABD的面积，∵2CD BD，△ABD与△ACD的高相同则13ABD ABCS S△△=5故ACF与BDE的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC= ，证法见详解，（3）180º- ，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝∴线段BC 与AI 之间的数量关系为【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC ，直线l 过点C ，AM l ，BN l ，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC ，90ACB ，N ，B ，E 三点共线，CN NE ，45E ，1CN ，2BN ．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC ，90ACB ，若1tan 2DCA ，直接写出AE AD 的值为．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD 于点B ，CD BD 于点D ，P 是BD 上一点，AP PC ，AP PC ，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c ________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ，2AB ，4CD ，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB 3AF ，则FG ________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ，∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF ，BDE 与CFD 相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF 沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD .①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE 与CFD 的周长之比.【答案】（1）~ BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF ；②BDE 与CFD 的周长之比为13.【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ，即可证明；（2）①设AE x ，AF y ，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ，即可证明~ BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ，再根据比例关系求出AE AF的值；②同理可证~ BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD，得28810x x y y ，再得到13x y ，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~ BDE CFD ，理由：B C EDF ，在BDE 中，180B BDE BED ，180180BDE BED B ，180BDE EDF CDF ∵，180180BDE CDF EDF ，BED CDF ，B C ∵，~BDE CFD ；（2）①设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A B C ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180B BDE BED ，180120BDE BED B ，180120BDE BED B ∵，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60B C ∵，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD，8BE AB AE x ∵，8CF AC AF y ，6CD BC BD 2886x x y y ， 2868y x y x y x ，105147x y ，57AE AF ；②设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A ABC ACB ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180ABC BDE BED ，180120BDE BED ABC ，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60ABC ACB ∵，120DBE DCF ，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD8BE AB AE x ∵，8CF AF AC y ，10CD BC BD ，28810x x y y ，2(8)10(8)y x y x y x ，13x y .~BDE CFD ∵.BDE 与CFD 的周长之比为13DE x DF y .【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD 交于点 2,1M ，且两直线夹角为 ，且3tan 2，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，3AB ，5BC ，点E 为BC 边上—个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90 ，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若DPC △为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标 2,1∴2OE ，ME ∵3tan 2 ∴32ON OM 解得：12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE BF；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB 延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB 于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（平行） （三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（平行） （不平行）（蝴蝶型）（不平行）A BB（五）一线三直角型:（六）双垂型:相似三角形判定的变化模型实用文案DA, ' ' /B c C■一线三直角的1 .如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0 , BE//CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 ，BC=16，点D 是边BC 上（不与B，C 重合）一动点，/ ADE= ZB= a, DE交AC于点E.下列结论：① AD 2=AE ?AB :② 3.6 W AE V 10 ;③当AD=2 Ji」.时，△ABD ^/DCE ;④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5 .其中正确的结论是________________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3 .已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上，/DEB= /ABC . 求证：(1 ) DB2=DE ?DA ;(2)/ DCE= ZDAC .4 .已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD丄BC于D , CG//AB , BG分别交AD、AC于E、F.求证:5 .如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB 7FC.6 .已知：如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90 °,BC=2 , AC=4 , P 是斜边AB 上的一个动点， PD 丄AB ,交边 AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD= Z A .设A 、P 两点的距离为 x , △BEP 的面积为y .(1 )求证：AE=2PE ;(2 )求y 关于x 的函数解析式, ,BD 、CE 分别是 AC 与AB 边上的高，求证： BC=2DE .8 .如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D 、B 、C 、E 在同一条直线上，且/ DAE=120并写出它的定义域;求厶BEP 的面积.7 .如图，在△ ABC 中，/ A=60(1 )图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9 .（已知：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，/DAE=45 ° .求证:10 .如图，在等边厶ABC中，边长为6, D是BC边上的动点，/ EDF=60（1 ）求证：△ BDEs/CFD ;求BE的长.11 . （1 ）在A ABC中，AB=AC=5 , BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持/ APQ= Z ABC .①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x , CQ=y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5 （如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持/APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）13 .已知梯形ABCD 中，AD //BC,且AD V BC, AD=5 , AB=DC=2 .(1 )如图，P为AD上的一点，满足/ BPC= Z A，求AP的长；(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE= ZA , PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q .①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x , CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长.(不必写解答过程)14 .如图，在梯形ABCD中，AD //BC, AB=CD=BC=6 , AD=3 .点M 为边BC的中点，以M 为顶点作Z EMF= ZB，射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF.(1 )求证：△ MEF s/BEM ;(2 )若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD , 求BE的长.15 .已知在梯形 ABCD 中，AD //BC , AD V BC ,且 BC=6 , AB=DC=4 ，点 E 是 AB 的中点.(1 )如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：△ BEPs/CPD ;(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF= ZC , PF 交直线CD 于点F ，同时 交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=x , DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；16 .如图所示，已知边长为 3的等边△ ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作等边△ EFG ，直线EG , FG 交直线AC 于点M , N ,(1 )写出图中与△ BEF 相似的三角形; (2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE=x , MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量17 .如图所示，已知矩形 ABCD 中，CD=2 , AD=3，点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点P作PE 丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x , AE=y ,(1) 写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2) 如果△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍，求CE 的长；(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.x 的取值范围;的面积.18 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AB=5，-丁讦二上，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点,4丄DE 交射线AC 于点F . (1 )求AC 和BC 的长； (2)当EF//BC 时，求BE 的长；19 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AC=BC , D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 C 不重合)，DF 丄DE , DF 与射线BC 相交于点F .(1 )如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE=DF ; (2) 如果 AD : DB=m ，求 DE : DF 的值；(3) 如果 AC=BC=6 , AD : DB=1 : 2，设 AE=x , BF=y , ① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；② 以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时x 的值；若不可能，请说明理由.DF(3)连接EF ,当厶DEF 和△ABC 相似时，求 BE 的长.20 .如图，在△ ABC中，/ C=90 °,AC=6 , X^b-~，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/4DEF=90 °,EF交射线BC于点F.设BE=x , ABED的面积为y(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△ BED相似，求△ BED的面积.421 .如图，在梯形ABCD 中，AB //CD, AB=2 , AD=4 , tanC=「，/ADC= ZDAB=90 °,P 是腰BC 上一个动点(不含点B、C),作PQ丄AP交CD于点Q.(图1)(1 )求BC的长与梯形ABCD的面积；(2 )当PQ=DQ 时，求BP的长；(图2)•••ZCDE=90 °■//B= a且,•• Z AD=90a=AB=10 ,/-cosB=AB 4LJ." '■,25—.故④正确.••AE=AC - CE=10 - x ,「36 <AE v 10 .故②正确.③作AG丄BC于G,4••AB=AC=10 , Z ADE= Z B= a, COS a=—,5••BC=16 ,「.AG=6 ,••AD=2 | J... H,ADG=2 ,「.CD=8 ,：AB=CD , •△ABD 与△DCE 全等；故③正确;④当Z AED=90。
培优专题25相似三角形的一线三等角模型-解析版
A．-9
B．-12
C．-15
D．-18
【答案】A
【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出 OA 与 OB 的比，设出点 B 的坐标，再根据相似三角形的
性质，求出点 A 的坐标，可得 ab 的值，进而求出 m 的值．
【详解】解：过 A、B 分别作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足为 M、N，
3a 3b ∴B（-a，b），A（ 3 ， 3 ），
3 ∵点 A 在反比例函数 y＝ x 上，
33 ab
则 3 × 3 =3， ∴ab=9，
m ∵点 B 在反比例函数 y＝ x 上， ∴-a×b=m=-9， 故选 A.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出 反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键． 3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形 ABCD 边长为 4，边 B过点 A，则矩形 EDFG 的面积是（ ）
2. 当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题
3. 由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4. “K 型图”常和“A 字图”或“8 字图”类的平行相似结合在一起求长度
“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂 线。 如图：
∵四边形 EDFG 为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
AD DF
4 DF
∴ DE DC ，即 DE 4 ，
16
∴DF＝ DE ，
《相似三角形之一线三等角》教学课件
《相似三角形之一线三等角》教学ppt课件2023-10-26CATALOGUE目录•引言•相似三角形基本概念•一线三等角定理及其应用•课堂活动与练习•总结与回顾01引言•相似三角形是初中数学的重要内容，而一线三等角是相似三角形的一种重要类型。
通过学习本课，学生能够深入理解相似三角形的性质和判定方法，提高数学思维和解决问题的能力。
课程背景课程目标学会如何利用一线三等角判定两个三角形相似；掌握一线三等角的定义和性质；培养学生的自主学习和合作学习能力。
通过案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；教学策略利用PPT课件引导学生逐步深入学习；采用讲解、示范、小组讨论等多种教学方法，帮助学生掌握知识；通过案例分析，让学生了解一线三等角的应用；组织课堂练习和小组讨论，加深学生对知识的理解和应用。
02相似三角形基本概念如果两个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
定义如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么$\bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup DEF$。
数学符号表示相似三角形的定义相似三角形的性质对应角相等相似三角形对应角相等，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\angle A =\angle E$，$\angle B = \angle F$，$\angle C = \angle D$。
对应边成比例相似三角形对应边成比例，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$。
定义法根据相似三角形的定义进行判断，即判断两个三角形三边对应成比例。
平行线法通过平行线构造相似三角形，即利用平行线的性质，将两个三角形放在平行线上，通过移动使得对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
一线三等角模型ppt课件
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
一线三等角相似模型
在物理学中，可以利用一线三等角 相似模型来研究物理现象和规律， 如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证 明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的 方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后， 通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和 推理技巧，以及能够灵活运用已知条 件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析 法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及 灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后 推导出矛盾，从而证明结论成立的方 法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据 已知条件和反证法的原理，推导出与 已知条件相矛盾的结论；最后，根据 矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线 段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛 的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例 的多边形。
相似三角形的基本模型(一线三等角)讲课稿
模型中的相似三角形（2）2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。
【巩固提高】提示：AB AC 6, BAC120 , , D 是BC 的中点••• BD CD3.3由 BDE sCFD• BE DB,CF27 DC CF41.如图1 , BC EDF BDE s CFD （一线三等角）如图2 , BCADE ABD s DCE （一线三直角）如图3，特别地， 当D 是BC中点时： BDE sDFE s CFDED 平分1. 已知 ABC 中 AB AC 6, BAC 120 ,，D 是BC 的中点， AB 边上有一点E, AC 延长线上有一点F ，使 EDF C.已知BE 4，贝U CF27 4【基本模型BAD 图3CBEF , FD 平分 EFC 。
BD C2.如图，等边ABC中，D是边BC上的一点，且BD:DC 1:3，把ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处•那么A M的值为AN提示：由翻折可得：AM DM , AN DN , MDNBDM s CND ,AM DM C BDM 4 1 5AN DN C CND 4 3 7提示：作NF AD于F，则FN AB 6 •/ MAE s EFN ,AE AMFN EF•/ AE 2AM••• EF訓3，EN3、5设：BD 1,DC 3,则BM DM 4,CN DN 43.在矩形ABCD 中，AB 6, AD 8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AEA2AM，那么EN的长等于 3 54.在矩形ABCD中，AD 15，点E在边DC上，联结AE , △ ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG AD，垂足为点G ,如果DG : AD 1:3，那么DE _3 .. 5 _.提示：作过点 F 作MN // BC，分别交AB、CD 于M、N 。
•/ AD 15, DG : AD 1 : 3• AG MF 10, DG NF 5设DE X ,由翻折可得：AF AD 15, DE EF X••• AMF s FNEAF MF AM 15 10 AM-,即EF EN FN x EN 5EN2x, AM75 75， (X)x, x 3 \ 53 X X 3DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30得到线段DF , 要使点F恰好落在BC上，则AE的长是___________ 3 4 3 _______A EB A' E B提示：构造“一线三等角”A FDE G 30• △ ADE GFDf-• FG AD 6, CF 2 3 , CG1—4.3••• AE DC CG 3 4、35.已知△ ABC , AC BC , C 120 ,边长AC 9，点D在AC上，且AD 6 ,点E是AB上一动点，联结6. 如图，已知AM // BN , A B 90 , AB 4，点D 是射线 AM 上的一个动 点(点D 与点A 不重合)，点E 是线段AB 上的一个动点(点E 与点A 、B 不重合)， 联结DE ，过点E 作DE 的垂线，交射线 BN 于点C ，联结DC •设AE x ,BC y •(1 )当AD 1时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；(2)在(1)的条件下，取线段 DC 的中点F ，联结EF ，若EF 2.5，求AE 的长；(3)如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件 AD DE AB ，那么请探究：△ BCE 的周长是否随着动点 D 、E 的运动而发生变化？请说明理由.解:⑴••• A B DEC 90 •••△ ADE ^△BEC.AD AE_ BE BC2二 y 4x x (0 x 4)(2)过D 作DH BC ，垂足为H•/ F 是线段DC 的中点， DEC 90 , AD 1 • DH 4, CD 5, HC 3 , BC 4• 4x x 24 , AE x 22 2 2又 DE AD x又厶ADE BEC•C △ BCE 4 X** 24 x 16 x 8(3)v AD DE AB 4AD16 x 2 8 C△BCEBE C △ADEADC△BCE 87.如图，已知 ABC中， C 90 ,AC BC 2,0是AB 的中点，将45角的顶点置于点0 ,并绕点0旋转，使角的两边分别交边 AC 、BC 于点D 、E ,连接DE .解：(1 )••• C 90 ,ACBC 2 • AB 2._2, A B 45•/ DOE 45• BOE 135 AODADO• AOD s BEO• ADOD BOEO•/ OA OB 2 ADOD AD AO，即AOOEOD OEA DOE 45 AOD s OED(2) 作 OF AC 于 F , OH DE 于 H ,OG BC 于 G•/ A45 ,OA 、2,OF AC••• AF 1 同理：BG 1 AOD s BEO• ADBOOA BE•/ ADx , OA OB 、2• BE2 xAOD s OED⑴求证 AOD s 0ED ;(2)设AD x ，试用关于x 的式子表示DE 。
一线三等角模型讲课稿
中点型“一线三等角”模型
中点型：
至少有三
对相似三
β
角形
2024/2/25
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1t 2
4
2
2
1t
t
2
4
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式；
方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 45
32
26 1
5
3 45
2024/2/25
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3
3 x3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2024/2/25
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2024/2/25
谢谢大家聆听！！！
18
3 3
样？
改t为an BAO
1 2
，解法是否一
2024/2/25
完整版相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
」、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反 A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（六）双垂型: A（平行）（不平行）△B（平行） （三）母子型（蝴蝶型）相似三角形判定的变化模型一线三直角的2AB=AC ADL BC 于 D, CG// AB BG 分别交 AD AC 于 E 、F .求证：BE=EF? EG2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 BC=16点D 是边BC 上（不与 B, C 重合）一动点，/ ADE=Z B=a, DE 交 AC 于点E .下列结论：①AD 2=AE? A B ② 3.6 W AE V 10;③当 AD=2 i 时，△ ABD^A DCE ④厶DCE 为直角三角形时， BD 为8或12.5 . 其中正确的结论是 _____________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3.已知：如图，△ ABC 中，点 E 在中线 AD 上，/ DEB=/ ABC 求证：(1) DB=DE? D A(2 )Z DCE=/ DACAD// BC,对角线 AG BD 交于点O, BE// CD 交CA 延长线于 E.求证:OC=OA?OE6.已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=2 AC=4 P 是斜边 AB 上的一个动点， PD 丄AB 交边 AC 于点 D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD=/ A.设A P 两点的距离为 x ,A BEP 的面积为 (1)求证：AE=2PE(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域;8.如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D B C E 在同一条直线上，且/ DAE=120 (1) 图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9.(已知：如图，在 Rt △ ABC 中，AB=AC / DAE=45 .求证:BC=2DE10.如图，在等边厶 ABC 中，边长为 6, D 是BC 边上的动点，/ EDF=60 (1) 求证：△ BD 0A CFD②若BP=x CQ=y 求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 正方形ABCD 勺边长为5 (如图)，点P 、Q 分别在直线CB DC 上 (点P 不与点C 点B 重合)，且保持 / APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP 的长(不需要计算过程，请直接写出结果)13 .已知梯形 ABCD 中, AD// BC,且 AD< BC, AD=5, AB=DC=2 (1) 如图，P 为AD 上的一点，满足/ BPC=ZA ,求AP 的长；(2) 如果点P 在AD 边上移动(点 P 与点A D 不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE 交直线BC 于点E ,同时交直 线DC 于点Q.①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设 AP=x CQ=y 求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；求BE 的长.11. (1)在厶ABC 中，AB=AC=5 BC=8点P 、Q 分别在射线 CB AC 上(点P 不与点 C 点B 重合)，且保持 / APQ 2 ABC14.如图，在梯形ABCD中, AD// BC, AB=CD=BC=,6 AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作/ EMF M B, 射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证：△ ME®A BEM(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD求BE的长.15 .已知在梯形ABCD中, AD// BC AD< BC 且BC=6 AB=DC=4 点E 是AB 的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：△ BEP^A CPD(2) 如果点P在BC边上移动(点P与点B C不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x, DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；16.如图所示，已知边长为3的等边△ ABC点F在边BC上, CF=1,点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边厶EFG直线EG FG交直线AC于点M, N,(1)写出图中与△ BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=x , MN=y求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)若AE=1，试求△ GMN勺面积.丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x AE=y,(1)写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围; (2)如果△ PCD 的面积是△ AEP 面积的4倍，求CE 的长;(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.18. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AB=5,工匸-=，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点, 交射线AC 于点F .(1 )求AC 和BC 的长；(2) 当 EF// BC 时，求 BE 的长；(3) 连接EF ,当厶DEF 和△ ABC 相似时，求 BE 的长.(备用图)19. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AC=BC D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 重合)，DF 丄DE DF 与射线BC 相交于点F .(1) 如图2,如果点 D 是边AB 的中点，求证：DE=DF (2) 如果 AD: DB=m 求DE DF 的值；17.如图所示，已知矩形 ABCD 中, CD=2 AD=3,点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点 P 作PEDF 丄DEA 、C 不(3)如果AC=BC=6 AD DB=1: 2,设AE=x BF=y,①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)如果以线段BC 为直径的圆与以线段 AE 为直径的圆相切，求线段 BE 的长;421. 如图，在梯形 ABCD 中, AB// CD AB=2 AD=4, tanC=^，/ ADC M DAB=90 , P 是腰 BC 上一个动点(不J含点B C ),作PQLAP 交CD 于点Q.(图1) (1 )求BC 的长与梯形 ABCD 勺面积；(2)当PQ=DQ 寸，求BP 的长；(图2)20. 如图，在厶ABC 中，/ C=90° EF 交射线BC 于点F .设BE=x , (1 )求y 关于x 的函数关系式, ,AC=6 •斗_彳,D 是BC 边的中点, △ BED 的面积为y .并写出自变量 x 的取值范围； E 为AB 边上的一个动点, 作/ DEF=90 ,②以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时 x 的值；若不可能，请说明理由.BED 相似，求△ BED 的面积.(2)••• AD 是中线,• CD=BD • C D=AD? DE,又/ ADC N CDE DEC^A DCA :丄 DCE N DAC证明：连接CE 如右图所示，•/ AB=AC AD L BC, • AD 是/ BAC 的角平分线，• BE=CE •••/ EBC=z ECB 又•••/ ABC=Z ACBABC- / EBC 2 ACB-Z ECB1. 解 答：2. 解 答： 证明：••• AD// BC4，又 BE// CD •••丄』，二二丄，即 OC=OA? OEOC OBOB OE OC OE解：①••• AB=ACB=Z C ,又•••/ ADE=Z B.••/ ADE N C ,「.A ADE^A ACD •••4 仝，.•• AE J =AE ? AB,AE AD故①正确，②易证得厶 CDE^A BAD T BC=16 设 BD=y, CE=x •••魁=—,•1° 工，整理得: CD CE 16-y x2即(y - 8) =64 - 10x , • O v x < 6.4 ,•/ AE=AC- CE=10- x , • 3.6 < AE< 10.故②正确. 2y - 16y+64=64 - 10x ,3.解 答： ③作AGL BC 于G •/ AB=AC=10 / ADE 玄 B=a ,COS a_4•/ BC=1Q • AG=6 •/ AD=2 I ，• DG=2 • CD=8 • AB=CD •△ ABD-与^ DCE 全等；故③正确; ④当/ AED=90 时，由①可知：△ ADE^A ACD •/ ADC=Z AED •••/ AED=90 , ADC=90 , 即 AD L BC, •/ AB=AC • BD=CD ADE 玄 B=a 且 COS a = , AB=10, BD=8/ B=a 且 COS a J. AB=10, ••• cosB=二 •• BD 」.故④正确5 BD 5 2当/ CDE=90 时，易厶 CDE^A BAD •••/ CDE=90 , BAD=90 ,故答案为：①②④.B U G C证明：（1）在厶BDE 和A DAB 中•••/ DEB=/ ABC / BDE=/ ADB BDE^A ADBD£__BD • BE J =AD ? DE4.解 答：.CD 二 AD'DE _CD实用文档即/ ABEK ACE又••• CGI AB,：/ ABEh CGF :丄 CGF 2 FCE 又/ FEC=/ CEGCEF^A GEC 二 CE EF=EG CE 即 C^=EF? EG 又 CE=BE ••• BU=EF? EG又 EF 为 AD 的垂直平分线,• AF=FD / DAF=/ ADF, DAC / CAF=/ B+/ BAD•••/ CAF=/ B ,•// AFC 玄 AFC •△ ACF^A BAF,即丄仝,• AF "=CF? BF ,即 F[J=CF? BF.AF B?ripr r>ri i •// EPD=/ A, /PED=/ AER EPD^A EAR •定义域是 0< x v 一-—5得 「二_二= 21寸PEAP 2 (2)由厶 EPD^A EAR6.解 答：PD BC 1AP AC 2• PE=2DE • AE=2PE=4DE 作EHL AB,垂足为点H,•/ AP=x •- PD 二x , •/ PD// HE2又AB=2 ■ , y =—•-上J 亠- 'PD AD 3.(2 _ "；- x)? —x ,即 y=-3^ • HE ：x .3X 2+二' 3x .另解：由厶EPD^A EAR 得DE PD 1 PE• PE=2DE • AE=2PE=4DE • AE --S AAB =—X y x ——X X 2=1 x , • ABx .定义域是 0< x < —'.厂丄• PE 二x? • HE AC ，当厶BEP-与^ ABC 相似时，只有两种情形：/(3)由厶 PEH ^A BAC 得x .32BEP=/ C=90° 或/ EBP=/ C=90°.• △ ADP ^A ABC • A=/ A ,X2 x,2SAABE 2 1…y= - — x2 37.解 答：8.解 答：证明：••• BD CE 分别是AC 与AB 边上的高，•/ BEC 2 BDC• B 、C D E 四点共圆，•/ AED=/ ACB 而/ A=Z A, • △ AED^A ACB •- -丄； BC AR•/ BD 丄AC,且/ A=60°,A Z ABD=30 , AD=迅，• BC=2DE•/△ ABC 是等边三角形•/ ABC=/ ACB 玄 BAC=60 . •/ D+Z DAB=60 , •••/ DAE=120，•/ DAB+Z EAC=60 . •/ D=Z CAE / E=Z DAB •••/ D=Z D,Z E=Z E ,「.A DAE^A DBA^A ACE(2)•••△ DBA^A ACE •- DB: AC=AB CE•/ AB=AC=BC DB=2 CE=6i BC ?=DB? CE=12 •/ BO0, • BC=2,/ £.Z E+Z CAE=60 .9.解证明：(1)在Rt △ ABC 中， 答： •/ AB=AC •/ B=Z C=45.•••/ BAE=/ BAD+Z DAE Z DAE=45，•/ BAE=/ BAD+45 . 而/ ADC Z BAD+Z B=Z BAD+45 , • Z BAE=/ CDA • △ ABE^A DCA(2)由厶 ABE^^ DCA 得翌• BE? CD=AB AC.AB CD2 2 2 2 2 2而 AB=AC BC=AB+AC ,「. BC=2AB . • BC=2BE? CD10.解(1)证明：•••△ ABC 为等边三角形，•/ B=Z C=60°, 答： vZ EDF=60，•/ BED+Z EDB 玄 EDB+Z FDC=120 ,• Z BED Z FDC •△ BD 0A CFD(2)解：由(1 )知厶 BDE^A CFDBE =BD CD =CF(i )当/ BEP=90时，旦县，•••罗》=丄.解得x 型迈.PB 起药厂V5 4• y=-二x X_X 5+''X …亠.31&3 4 16(ii )当/ EBP=90时，同理可得 x=邑匹,y=J .24•/ BC=6 BD=1,「. CD=B G BD=5, •••翌=丄，解得 BE 壬.5 3 3解解：(1)①•••/ APQ+Z CPQ 2 B+Z BAP, / APQ 2 ABC BAP=Z CQP又••• AB=AC •••/ B=Z C.• △ CPQ^A BAP若点P 在线段CB 的延长线上，如图.•••/ APQ M APB 亡 CPQ/ ABC 玄 APB+Z PAB /APQ M ABC •••/ CPQ MPAB又 T Z ABP=180 -Z ABC Z PCQ=180 -Z ACB Z ABC Z ACB • Z ABP=/ PCQ11. 答:BP AB•/ AB=AC=5 BC=8 BP=6 CP=8- 6=2 , • CQ CP•/ BP=x, BC=8,「. CP=BC- BP=8- x , ，即丁 _ 7 y5②若点P 在线段CB 上，由（1 ）知又••• CQ=y AB=5 •工E _ 1X 5故所求的函数关系式为CQ 2» 12 6 3CQ 飞CQ PC ■/ BP=x CP=BC+BP=8+, AB=5, CQ=y实用文档QCP^ PBA 里/:.实用文档圉①(2)①当点P 在线段BC 上,•••/ APQ=90，•/ APB+Z QPC=90 , •••/ PAB 亡 APB=90，•/ PAB=/ QPC•••/ B=/ C=90°.・.A ABP^A PCQ • AB: PC=BP CQ-J ： 或. | -②当点P 在线段BC 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ即 5: ( 5 - BP ) =BP 1,解得:2DC 的延长线上,••• 5: (BP- 5) =BP: 1，解得: BP=— ③当点P 在线段CB 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ • 5: (BP+5) =BP 1,解得：E _ . DC 的延长线上, A=Z D 13.解 解：(1)v ABCD 是梯形，AD// BC AB=DC 「./ •••/ ABP+/ APB+/ A=180°,Z APB-/ DPC / BPC=180 , / BPC 玄 A 解得：AP=1 或 AP=4.答: •••/ ABPK DPC ABN A DPC. AP 民即. AP 2 CD FD 2 ~5-AP 14. 答: (2)①由(1) •；」即:DQ~PD②当CE=1时，富二22fy~ 5-i•/△ PDQ^A ECQ • CE_CQPD~DQ ，:,解得：AP=2或(舍去).G怙 ■ 4. 『-t * -i;\Fi/i解证明：(1)在梯形ABCD 中,•/ AD// BC, AB=CD 「・/ B=/ C ,•••/ BMF / EMB / EMF / C+/ MFC又•••/ EMF=/ B, •/ EMB / MFC •△ EMB^A MFC •- _L "一EM ~MF ' •/ MC=M , • 一 UL關—和，又丄即匕B’iEi B EM(2)解：若△ BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，则有两种情况:① BM=ME 那么根据厶 ME &A BEM .•.二1="- ,•. £=也，即 EF=MFHE 01 ME EF根据第(1)问中已证厶BM 0A MFC ■ ■, 即 MF=FC •••/ FMC 2 C,HE FC又•••/ B=Z C,.Z FMC M B ,. MF// AB延长BA 和CD 相交于点 G 又点M 是BC 的中点， • MF >^ GBC 的中位线，• MF=GB2!又••• AD// BC,GAD^A GBC • 塑=型=丄4 ,•.塑=1, 即 AG=AB=6GB BC 6 2 AG• GB=12 • MF=EF=6② BM=BE=3 .•点E 是AB 的中点,又厶 MEF^A BEM.•.型=世=1,即MF=ME • EF 是梯形 ABCD 勺中位线，• EF 丄(AD+BC — ( 3+6)戈;Bg ME 2 2 2(3 )T EF ± CD• / BEP=/ FPC •△ BEP^A CPF , • ^^^-4 (2< x v 4)•②当点F 在线段CD 的延长线上时，•••/ FDM Z C=Z B, / BEP=/ FPCK FMD •△ BEP^A DMF DF 3 y.T , • x - 3x+8=0 , △< 0.•此方程无实数根..•尸gF - 3K +4 .2 ____________、,15. 答:• / EFC=90 , △ MEF^A BEM / MFE / MFC / BME=45 ,解一：过点E 作EH! BC,则可得△ EHM 等腰直角三角形， EH=MH 」 故 EH=MH 设 BE=x 贝U BH 丄•-, 4解二：过点M 作MN L DC MC=3由厶 MEF^A MFCt • T ,即 P 旳TCI 5 4NIC 』.M43弓&亏"解 (1)证明：•••在梯形 ABCD 中 , AD// BC, AB=DC=FN FC= i i ： - - 2BE —— 丨.• / B=Z C.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4 •••里=!!?.•••△ BEP^A CPDCP CD(2)解：①•••/ B=Z C=Z EPF• 180 —/ B=180-Z EPF=/ BEP+Z BPE=Z BPE+Z CPFHE 閏.•crP 2 si 6-iSZ1DJIF^43ABEP, … DF BP"3 y 八. △ BEP^A CPF , • EB BPl • 1 2 xCP '"cr£ - 工 4 _ y.、/9•当 £ADMF ^^ABEP，得 2故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点 P 使SADMF =-|SABEP ； 当点F 在线段 CD 上时，同理△ BEP^A DMF• x - 9x+8=0 ,解得X1=1 , X2=8.由于X2=8 不合题意舍去.• x=1 ,即BP=1. 时，BP的长为1.实用文档16.解解：（BE&A AM 0A CFW A GMN 答：证明：（2）在厶BEF 与厶AME 中,•••/ B=Z A=60°,「./ AEM 社 AME=120 ,•/△ BEF^A AME •- BE: AM=BF AE ,同理可证厶 BEF ^A CFN • BE: CF=BF CN即：x ： 1=2： CN •- CN 丄,即: x ： AM=2 （3- x ） , • AM=•••/ GEF=60 ,•••/ AEM # BEF=120BEF=Z AME :, △ BEF ^A AME备用图一备甲图二解：(3) (i )当点E 在线段AB 上，点M N 在线段AC 上时，如图,实用文档(ii )当点E 在线段AB 上，点6在厶ABC 内时，如备用图一，同上可得：AM= 丁 i ；, C N L ,2x•/ AC=AM+CN MN ••• 3= _ /+%+上—yy=— J %*民 一 4 ( o v x < 1 )；2 x2x(iii )当点E 在线段BA 的延长线上时，如备用图二，AM= -------- 二,CN=,2 £ •/ AC=MN+C Z AM • 3=y+Z - ' _ 刃，• y=J 一 彳&张—° ( x > 3);± 2 2x综上所述：y= -£-娄细竺( o v x < 1),或y=^-3,十6豪 -4( x > 1)； 2x 2x(4) (i )当AE=1时，△ GMN 是边长为1等边三角形，S MM =_X 1 X 二=丄；(1 分)::(ii )当 AE=1 时，△ GMN1 有一个角为 30° 的 Rt △, ••• x=4,. y= 「一，一丄,NG=FG FN=4X ；- 1 X ・；=；, 2X4 2 222• s =1X22 2 g17. 答: 解(1)解：T PEI CP,.可得：△ y 3 _ Xx" 2(2)解：当△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍, 则：相似比为2： 1 , •又••• CD=2 AD=3 设 PD=x, AE=y,.・.AF PAEAP^^ PDC ••亠-PD CD• y = — 1 2 卫 ，…y = - r ,0v x v 3;................... .AE AP_1'PD"CD"2，_•/ CD=2 • AP=1, PD=2 • PE= - , PC=2 :■: , • EC= 111. (3 )不存在.作AF 丄PE,交PE 于O, BC 于 F ,连接EFT AF 丄 PE, CP 丄 PE/. AF=CP= , •, PE=：：,-.',(3-7~2 •/△ CDP^A POA=£2 23x —6x+4=0,OA=PA PC (3- x)x =l 2△ =6 — 4 X 4 X 3= — 12 x 无解因此，不存在.实用文档y—， •••设 AC=3k, BC=4k, /• AB=5k=5,「. k=1,「. AC=3 BC=4 BC 4| (2)过点E 作EH! BC,垂足为 H.易得△ EHB^A ACB 设 EH=CF=3k BH=4k, BE=5k ; •/ EF// BC ••/ EFD=/ FDC•••/ FDE 玄 C=90°A ^ EFD^^ FDC ・ —F D=EF? CD,即 9k 2+4=2 (4 -4k )化简，得 9k 2+8k - 4=0（负值舍去），•••二_■丨 ';19.解(1)证明：如图2,连接DC答： •••/ ACB=90 , AC=BC A=Z B=45° ,•••点 D 是 AB 中点，BCD 2 ACD=45 , CD=BD ACD=/ B=45°•/ ED ! DF , CD!AB,•••/ EDC 丄 CDF=90 , / CDF+Z FDB=90 , EDC M FDB•••△ CED^A BFD (ASA ) , • DE=DF(2) 解：如图1,作DP ! AC, DQL BC,垂足分别为点 Q, P.•••/ B=Z A , / APD=/ BQD=90 , ADP^A BDQ• DP DQ=AD DB=m•••/ CPD / CQD=90 , / C=90°, •/ QDP=90 , •/ DF 丄 DE, •/ EDF=90 , •/ QDF / PDE•••/ DQF / DPE=90 , DQF^A DPE• DE DF=DP DQ • DE DF=DP DQ=AD DB=m(3) 解：①如备用图1,作EGL AB, FH! AB,垂足分别为点 G H. 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=BC=6 •- AB= ■:,18. 答: E 作EH! BC,垂足为H.易得△ BE=5k(3)过点 设 EH=3k, •••/ HED 丄 HDE=90 / FDC+ZHDE=90EHB^A ACB•••/ EHD 2 C=90°•••△ EHD^A DCF•••/ HED=/FDC • I 方五，当厶DEF 和△ ABC 相似时，有两种情况:1°CD~4,即.解得••-丄,24 K 厲 DE BC 4 综合1°、2 ° , 2° 2，•呼5匸卫 • 即亠CD -3 2 "3 当厶DEF 和△ ABCt 目似时，BE 的长为上或丄 2 g 解得w ，—丄.FD _CD解 解：（1）在 Rt △ ABC 中，/C=90°实用文档20. 答:•/ AD DB=1: 2,：. AD三•：, DB= 「由/ AGE M BHF=90，/ A=Z B=45°可得AG=EG= 一.，BH=FH2 K 2易证△ DG0A FHD ：• DG GE匸」「，GD= —_ .,<2 V2----- 資 ----- V2 2rW2②如备用图2,取CE的中点0,作OM L AB于M.可得CE=6- x, A0=-十二,HD=：'7,0M=]：「_±,.AB相切，贝U —2 _ 2 2若以CE为直径的圆与直线解得.•:当八时，以，•: y=8 -2x,CE为直径的圆与直线AB相切.备冒图1 备用图』解解: (1)T在厶ABC中，/ C=90°, AC=6 t述斗，•：BC=8 AB=10,定义域是•: CD=DB=4过点E作EH! CB于H.则可求得EH丄x.54 x '■ x= x (0 V x <5 5-'或5V x w 10).(2)取AE OGL BC于G 连接OD则x10+y32 '(10+x), GD=C- CG=4-I (10-x)4 2-- T •251 2 2两圆外切，则可得*BC1；AE=OD：.( BC+AE =4OD,2 Q 2+——x ]25•: 0D=2：•( 8+10- x) =4[ (10+x)100若两圆内切，得|-；BC--；AEFOD,解得4实用文档•••( BC — AE ) 2=4OD ,.・.(8 - 10+x )2=4[— ( 10+x )100解得x=-二J (舍去)，所以两圆内切不存在•所以，线段7(3)由题意知/ BEF M 90°,故可以分两种情况. ①当/ BEF 为锐角时，由已知以 B E 、F 为顶点的三角形与△ BED 相似，又知/ EBF=Z DBE / BEF <Z BED 所以/ BEF=Z BDE过点D 作DM L BA 于M 过E 作EH L BC 于H. 根据等角的余角相等，可证得/ MDE N HDE • EM=EH21.解解：(1)作BHLCD ,垂足为H,则四边形 ABHD 为矩形；答： • BH=DA=4 DH=AB=2在 Rt △ BCH 中，上皿二寻• 6冷讣■=$，(1 分)BC 討E H '+CH~5； 又 CD=CH+DH=5 • S 梯形 ABCI ^ (血+CD) AD =14;2(2)连接AQ由 DQ=PQ 可知△ APQ AP=AD=4 作PE! AB 交AB 的延长线于点 E , (1分)在 Rt △ BPE 中，二工_；二上--口一-二,令 BE=3k PE=4k. 则在Rt △ APE 中, AF ^A W+P E ,2224A /21 - &即 4=(2+3k ) + (4k ),解得：2+—x 2]25BE 的长为二丄3又 EM=M — EB — - x ,5由(1)知：EH 士 x ,「亍冗兀②当/ BEF 为钝角时，同理可求得 x - ,• x=2.•16 =3x=8.「. y=§X 8=坐 5 512或 48 55x ,•所以，△ BED 的面积是实用文档•『'i ：■ - ' | ：厂-「- -(3)作PF丄CD交CD于点F,由/ AEF=/ EFD=/ APQ=90 , 可得：△ AEP^A PFQaQF _屮芹H• OF EPPF~AE，化简得：QF二一16 卫二"SO+ISX5 50+15X3010•….定义域为(0v x v 5).。
相似三角形基本模型一线三等角PPT课件
Unit 7 Cultural relicsUnit 7 ultural relis• 重点词汇解析•1 inlude vt 包括；包含1)inluding为介词，后接名词、代词作宾语。
2)inluded为过去分词充当的形容词，无比较级和最高级，其前常用名词或代词。
3)比较inlude，ntaininlude作“包含”解时，其后的宾语只是整体的一部分。
ntain作此意解时，其后的宾语指的是整体的全部。
2 restre vt1）归还t restre stlen prpert 归还赃物2）恢复；复兴t restre la and rder 恢复法律和秩序3）恢复健康；复原restred after ne’s hlida 假期之后健康恢复了3 rebuild v 再建；重建rebuild a huse after the fire火灾后重建房子。
注意：re-前缀，加在动词或名词前。
“重新”。
如：rerite, repen, revisit, reae, reprint, reread4 burn vi, vt burnt 或burned, burning1) 燃烧The huse is burning 房子烧起了。
2) 发光；照亮a light burning 灯光亮着3) 发热；炙热the burning sand 炙热的沙子4) 热衷She is burning t tell u the nes 她急于要告诉你这消息。
Everbd is burning t n the gd nes大家都急于想知道这则好消息。
) 烧伤；烧坏；烧毁He burnt all his papers 他烧毁了（他）所有的。
n 烧伤burns n her hand 手部的烧伤burn up （因热度过高）烧坏; 快速旅行；赶路t burn up the rad 赶路beaut n1) 美，美貌a fler f great beaut 一朵非常美丽的花2) 美人；美的事物ur daughter is quite a beaut 你的女儿很漂亮。
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个性化讲义编号： hy05第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．A C DE B2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：∠=︒GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．ABPD E（第25题图）GMFEHDCADC双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE求：点B 到直线AC 的距离。
C共享型相似三角形1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在Rt△ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．AB C备用图ABC DCAD BEFABCDAB CPQABC备用图ABCD（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．CBADCBAD例4：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ． （1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．CDAP相关练习：1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同FBACD ABCDE时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长．4、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值围。
EDCBAP（第25题 EDCB A （备用图） 备用图例2、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），设y CQ x AP ==,，试求y 关于x 的函数关系，并写出定义域。
【练习1】在直角ABC ∆中，43tan ,5,90===∠B AB C o，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F （1）、求AC 和BC 的长（2）、当BC EF //时，求BE 的长。
（3）、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长。
C BAOF DCBAE BAPF AFABCEFABE【练习2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD=，求DF DE 的值 （3）、当21,6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域【 练习4】]如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.【 练习5】、如图,在梯形ABCD 中，CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ，P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B 、C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1)Q PDC BAQPD CBA(1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积； (2)当DQ PQ =时,求BP 的长；(图2)(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.（图1） （图2）。