九年级数学中考攻略(3)函数关系式建立方法
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第3单元 函数 第12讲 反比例函数
25．(2021·黔东南州)如图，若反比例函数 y＝ x 3的图象经过等边三角形 POQ 的顶点 P，则△POQ 的边长为_2_.
26．(2021·毕节)如图，直线 AB 与反比例函数 y＝kx(k＞0，x＞0)的图象交 于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，且 AB＝BC，连接 OA．已知△OAC 的 面积为 12，则 k 的值为_8_.
9．(2021·长沙模拟)如图，A 为反比例函数 y＝kx(其中 x＞0)图象上的一点，
在 x 轴正半轴上有一点 B，OB＝4.连接 OA，AB，且 OA＝AB＝2 10， 过点 B 作 BC⊥OB，交反比例函数 y＝kx(其中 x＞0)的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，则 k＝__1_2_；ADDB＝__32__.
27．(2021·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B，C 在第一象限，顶点 D 的坐标为52，2.反比例函 数 y＝kx(常数 k＞0，x＞0)的图象恰好经过正方形 ABCD 的两个顶点，则 k 的值是__5_或__2_2_.5_____.
(2)若点 C 在 x 轴上，且△BOC 的面积为 3，求点 C 的坐标． 解：(2)过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为点 D． 设 C(a，0)． ∵点 A 与点 B 关于原点对称， ∴B(－1，－2)． ∴BD＝|－2|＝2，OC＝|a|. ∴S△BOC＝21BD·OC＝21×2×|a|＝3. 解得 a＝3 或 a＝－3. ∴点 C 的坐标为(3，0)或(－3，0)．
5．(2021·株洲)点 A(x1，y1)，B(x1＋1，y2)是反比例函数 y＝kx图象上的两 点，满足：当 x1＞0 时，均有 y1＜y2，则 k 的取值范围是__k_＜__0__.
中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)
专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。
中考数学函数关系式的建立技巧讲解
中考数学函数关系式的建立技巧讲解一、考点分析1.图形运动的过程中，求两条线段之间、线段和面积之间、线段和比值之间的函数关系式，是一模、二模和中考数学的热点问题，这些问题归根结底都可以转化为线段之间的函数关系；2.模考中，函数关系式问题常出现在24题第二问和25题第二问或第三问，以25题第二问出现的频率最高，基本90%会考查到；3.模考中建立函数关系式5-9分，虽然分值不高，但往往是高分段学生的分水岭，如果对建立函数关系式不够熟练，那么容易影响甚至决定了最后一问的解答，影响分有时可以达到18-20分之多，不可不察。
二、专题详解（一）由比例线段产生的函数关系问题1.产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是比例关系，二是勾股定理。
2.由比例线段产生的函数关系问题，一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域。
3.关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错。
例题1如图，在四边形ABCD中，已知AB=2，CD=3，P是对角线BD上的一个点，PE∥AB交AD于E，PF∥CD交BC于F.设PE=x，PF=y，求y关于x的函数关系式.例题2如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,4）点B 是x 轴上的一个动点，AB 平分∠OAC,且∠ABC=90°.设点C 的坐标为（x,y ）,求y 关于x 的函数关系式. 例题3BC如图，在矩形ABCD 中，AB=9，BC=15.将点B 翻折到AD 边上的点M 处，折痕与AB 相交于点E,与BC 相交于点F.如果AM=x,BE=y,求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.例题4如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与点A 、D 不重合），45EBM ︒∠=，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点M ；（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）联结EG ，如图2，设A E x =，EG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；A EF例5已知，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，45B BCD ∠=∠=︒，3AD =，9BC =， 点P 是对角线AC 上的一个动点，且APE B ∠=∠，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ；（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（1）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP x =，DE y =，求y 关于x 的函数解 析式，并写出它的定义域；（二）由面积产生的函数关系问题1.图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是一模、二模和中考数学的热点问题之一。
函数关系在初中数学函数应用题中建立的方法
函数关系在初中数学函数应用题中建立的方法函数是初中数学重要的组成部分，它有着广泛的应用，尤其在中考中占有很大比重。
函数在初中阶段包括一次函数，反比例函数和二次函数，初中数学函数应用题一般包含两个过程：建立函数关系、利用函数关系解决实际问题。
下面仅就其中函数关系建立加以阐述。
初中数学函数应用题中建立函数关系的方法主要有以下三种：一、待定系数法适用题型：当根据题意可确定函数类型时，若题意中含有自变量及函数的对应值，或在函数图像中能确定图像上已知坐标的点时，适用待定系数法。
当根据题意或观察图像确定函数类型后，可以将此函数按类型设为含待定系数的一般形式，再把自变量及函数的对应值或者图像上点的横纵坐标作为自变量及函数的对应值带入相应的待定系数的一般形式中，将其转化为只含待定系数方程（组），通过解方程（组）求出待定系数的值，进而得到函数关系。
例1、（2009白银市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？（2）求x、y之间的函数关系式；分析：此题（1）问中，通过观察表格确定其为一次函数。
（2）问中，将其解析式设为，任选两组x、y的对应值带入得到含k，b的方程组，可求得k，b的值，从而得到一次函数解析式。
解：（前两问答案）（1）、点（x，y）在一次函数的图象上二、列二元等式法适用题型：当自变量和函数之间从意义上可以看做并列关系时，适用于列二元等式法。
当自变量和函数之间从意义上有并列关系时，并不能直接找到适合函数的相等关系，此时只能从题意中寻找和自变量、函数都有关的数量，列出包含自变量、函数的二元方程，然后转化为所需要的函数解析式。
例2、（2007河北）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y 部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．分析：此题（2）中，y、x可看做并列关系。
初三数学函数求解技巧总结
初三数学函数求解技巧总结初三数学中，函数是一个重要的概念，它是数学中的一种关系。
在解决函数问题时，我们需要掌握一些技巧。
下面是初三数学函数求解技巧的总结。
一、理解函数的含义在开始学习和解答函数问题之前，我们首先要理解函数的含义。
函数是一个映射关系，它把集合A的元素映射到集合B的元素上，其中集合A叫做定义域，集合B叫做值域。
函数可以用公式、图形、表格等形式来表示。
二、掌握函数的表示方法函数可以通过不同的表达方式来表示，其中常见的有函数公式、函数图像和函数表格。
掌握不同表示方法有助于我们更好地理解函数的性质和特点。
1. 函数公式：函数可以用公式来表示，常见的函数公式有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过函数公式，我们可以计算函数在某个值上的取值，推导函数的性质等。
2. 函数图像：函数图像是函数在平面直角坐标系上的图形表示。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的单调性、奇偶性、零点等性质。
3. 函数表格：函数表格是将函数的输入和输出以表格的形式表示出来，通过观察表格中的数值关系，我们可以了解函数的变化规律。
三、注意函数的特殊性质在求解函数问题时，我们需要注意函数的特殊性质，其中包括：1. 定义域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数范围。
在求解函数问题时，需要对定义域的范围进行分析和判断。
2. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数的两个重要性质。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
函数可以是增函数、减函数、严格增函数、严格减函数等。
通过观察函数的图像或者函数的导数，可以判断函数的单调性。
四、运用函数的性质和定理在解决函数问题时，我们可以运用函数的性质和定理来简化计算或推导结论。
1. 函数的和差积商：函数的和、差、积、商仍然是一个函数。
通过运用函数的和差积商的性质，可以简化函数的计算。
应用几何关系建立函数关系式
三、应用几何关系建立函数关系式典型例题：例1. （2012黑龙江哈尔滨3分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是【】．(A)y=－2x+24(0<x<12) (B)y=－12x＋12(0<x<24)(c)y=2x－24(0<x<12) (D)y=12x－12(0<x<24)例2. （2012黑龙江牡丹江3分）已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是【】．例3. （2012湖南湘潭6分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．例4. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数kyx（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．例5.（2012江苏无锡8分）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？例6. （2012黑龙江大庆6分）将一根长为16 厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围r和2r.成圆，设所得两圆半径分别为1r与2r的关系式，并写出1r的取值范围；（1）求1r的函数关系式，求S的最小值．（2）将两圆的面积和S表示成1x例7. （2012辽宁铁岭3分）如图，□ABCD的AD边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，它们的各边与□ABCD的各边分别平行，且与□ABCD 相似.若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是【】A. B. C. D.例8. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．例9. （2012江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D 三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．（1）求A．B两点的坐标；（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．例10. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。
应用猜想探索建立函数关系式
五、应用猜想探索建立函数关系式典型例题：例1. （2012福建厦门3分）已知两个变量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表所示.x －1 0 1 y－113则y 与x 之间的函数关系式可能是【 】 A ．y ＝x B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝3x例2. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y 1（吨）与月份x （1≤x≤6，且x 取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y 2（吨）与月份x （7≤x≤12，且x 取整数）之间满足二次函数关系式为y 2=ax 2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z 1（元）与月份x 之间满足函数关系式：11z x 2=，该企业自身处理每吨污水的费用：z 2（元）与月份x 之间满足函数关系式：2231z = x x 412-；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W （元）最多，并求出这个最多费用； （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a ﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值． （参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）例3. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系得部分数据如下表： 时间t （秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行驶距离s （米）2.85.27.28.81010.8…（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，求出相应的函数解析式； （3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t 分别为t 1，t 2（t 1＜t 2）时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较11s t 与22s t 的大小，并解释比较结果的实际意义．例4. （2012湖北孝感10分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)：时间t(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量V(毫升) 2 5 8 11 14 17 20(1)在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点；(2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)？(3)按此漏水速度，一小时会漏水千克(精确到0.1千克)．实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？例5. （2012山东潍坊10分）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图)，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度．为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90)，记录相关数据得到下表：旋钮角度(度) 20 50 70 80 90所用燃气量(升) 73 67 83 97 115(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；(2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?(3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量．例6. （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 (2012)届数 1 2 3 …n 表中n的值等于．例7. （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．例8. （2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．例9. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【】A．54 B．110 C．19 D．109练习题：1. （2012山东青岛10分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示．(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润．2.（2012山东济宁6分）问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．解决问题：根据以上步骤，请你解答“问题情境”．3.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .4.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是．5.（2012青海省2分）观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有▲ 个★．6.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．。
人教版九年级数学上册中考《动点问题》
F
E
改 一变类为三角a厘形米？/（秒，按经角的过
(P)
(P)
D (Q)
3大秒小后分，类P、）Q分别到达E、
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， (F) C 综上:当a=2或6或12时,
试求a的值.
△BEF与△APQ相似
开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C
开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、
C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一圆也随之停止
运动.设运动时间为t（秒）. （2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙Q相外切?
20
D
QC
4
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时20，⊙P和⊙Q相外切
A
的等边三角形，质点P从点A沿AB—BD作
匀速运动，质点Q从点D同时出发沿DC— 3a Q
CB—BA作匀速运动.源自3a（12）如果质问点题（P、1Q）运中 B F
的 动质的点速度P、分Q分别是别同4厘时米沿/
原 秒、路5返厘回米，/秒质点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QAP的Q速 是度哪 3a
防风暴指挥中心发现在O处的热带风暴中心正以100 千米/时的速度沿北偏东30°的OC方向运动，风暴中 心周围200千米内要受影响，现知在O处正北方向320 千米有一城市A，你能否帮指挥中心预测一下：A市 受影响吗？若受影响，受影响的时间为多长 ？
A
C
O
中考专题之——
动态问题探究（一）
例１如图，边长为10cm的正方形ABCD,有一点P 从A出发沿A→B→C→D作匀速运动。求△ADP面 积y与点P移动的距离x之间的函数关系式。
应用分段分析建立函数关系式
四、应用分段分析建立函数关系式典型例题：例1. （2012广东广州12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？例2. （2012浙江义乌10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．例3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6分钟后，张勤从家出发骑车到相距1200米的药店给奶奶买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发t（0≤t≤32）分钟后师生二人离张勤家的距离分别为S1、S2．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题：（1）李老师步行的速度为；（2）求S2与t之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象；（3）张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？例4. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)例5. （2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD 垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【】A ．B ．C ．D ．例6. （2012四川内江3分）如图，正△ABC 的边长为3cm,动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A B C →→的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x （秒），2y PC =,则y 关于x 的函数的图像大致为【 】A. B. C. D. 例8. （2012山东烟台3分）如图，矩形ABCD 中，P 为CD 中点，点Q 为AB 上的动点（不与A ，B 重合）．过Q 作QM⊥PA 于M ，QN⊥PB 于N ．设AQ 的长度为x ，QM 与QN 的长度和为y ．则能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是【 】A ．B ．C ．D ．例9. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是；②∠CAO=度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．例10. （2012福建漳州14分）如图，在 OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时．．从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．练习题：1. （2012江苏连云港10分）我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？2. （2012江苏南通9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE 表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．3. （2012湖北咸宁10分）某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A 处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；（2）求C，E两点间的路程；（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．4. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交a100元。
知识卡片-根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题列二次函数关系式
能量储备
由实际问题列二次函数关系式的步骤：
(1)审清题意，找出实际问题中的已知量、变量，将文字语言、图形语言转化为数学符号语言；
(2)找出等量关系，找到已知量和变量间的关系，并用等式表示；
(3)列函数关系式，设出表示变量的字母，把等量关系用含字母的代数式表示，并将关系式写成用自变量表示因变量的形式．
通关宝典
★★易混易误点
方法点1：根据实际问题列二次函数关系式忘记思考自变量的取值范围
例题：正方形的边长为3cm，若它的边长增加xcm，则它的面积增加ycm2.试列出y与x之间的关系式．
分析：利用正方形的面积公式分别求出边长为3cm和(3＋x)cm的正方形的面积，即可得y 与x之间的关系式．
解：y＝(3＋x)2－32＝x2＋6x(x≥0)．,
列二次函数关系式的关键是找到题目中的等量关系，本题是利用面积公式列出等式，用含有自变量的代数式表示因变量，要注意自变量的取值范围，因为在本题中x的意义为边长增加量，所以x≥0.
蓄势待发
考前攻略
根据实际问题中的等量关系列二次函数关系式，在中考中出现较多，但很少单独出题，通常出现在解答题的第(1)问中，难度中等．
完胜关卡。
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第三单元 函数 第13讲 二次函数的图象与性质
提升数学核心素 养
1．(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函
数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的
二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的
零点x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋10x－m－2
＝0有A两个不相等的非零实数根x3，x4(x3＜x4)，
则下A列．关0＜系xx31式＜1一定正确B的.xx是13＞(1)
(1)解：乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点(0，0)，(1，0)， 所以y＝x(x－1)， 当x＝1/2时，y＝1/2×(1/2－1)＝－1/4≠－1/2， 所以乙求得的结果不正确．
(2)解：函数图象的对称轴为 x＝x1＋2 x2， 当 x＝x1＋2 x2时，函数有最小值 M， ∴M＝(x1＋2 x2－x1)(x1＋2 x2－x2)＝－（x1－4x2）2. (3)证明：因为 y＝(x－x1)(x－x2)，
延伸训 练
4．(2020·自贡)函数y＝k/x与y＝ax2＋bx＋c的图象
如图所示，则函数Dy＝kx－b的大致图象为()
5．如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线
l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象
沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，
得到一个新图象．若新图象对应C的函数的最大值与
所以 m＝x1x2，n＝(1－x1)(1－x2)，
所以 mn＝x1x2(1－x1)(1－x2)＝(x1－x12)(x2－x22)＝
－（x1－12）2＋14·－（x2－12）2＋14.
因为 0<x1<x2<1，结合函数 y＝x(1－x)的图象，可得 0<－(x1－12)2＋14≤14，
中考必考—函数专题方法攻略练习(含答案)
中考必考—函数专题方法攻略练习试卷简介:本试卷共一道解答题，检测大家解决压轴题的能力。
学习建议:学习解决中考压轴题问题的解题套路和技巧，并学会灵活运用。
一、解答题(共1道，每道100分)1.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为()，(0，1)，点D是线段BC 上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线交折线OAB于点E.(1)记△ODE的面积为S．求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形．试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.答案：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），∴B（﹣3，1），若直线经过点A（﹣3，0）时，则b=，若直线经过点B（﹣3，1）时，则b=，若直线经过点C（0，1）时，则b=1，①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0），∴S=OE•CO=×2b×1=b；②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（﹣3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，=，DH=1，∴HE=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．解题思路：（1）研究坐标，寻求表达式(2)坐标转化成线段长（3）利用几何特征求解易错点：（1）第（1）求S与b的关系时，容易忽略E在AB上的情况；（2）第（2）问中矩形折叠过去之后，很难找到与面积相关的变长的等式；试题难度：四颗星知识点：函数与方程思想。
2018中考数学知识点：一元二次方程求解方法
2018中考数学知识点：一元二次方程求解方法新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
一元二次方程求解方法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，
2、配方法。
中考数学知识点：二次函数抛物线的性质
中考数学知识点：二次函数抛物线的性质（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的教育资料，如语文资料、数学资料、英语资料、物理资料、化学资料、地理资料、政治资料、历史资料、艺术资料、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides various types of educational materials for everyone, such as language materials, mathematics materials, English materials, physical materials, chemical materials, geographic materials, political materials, historical materials, art materials, other materials, etc. Please pay attention to the data format and writing method!中考数学知识点：二次函数抛物线的性质新一轮中考复习备考周期正式开始，本店铺为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2022中考数学知识点：二次函数抛物线的性质》，仅供参考！二次函数抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
建立函数关系式的方法
建立函数关系式的方法1.根据问题的实际背景和已知条件建立函数关系式很多问题都可以通过实际背景和已知条件来建立函数关系式。
首先，需要分析问题中的各个要素，明确各个要素之间的关系。
根据问题的描述，可以将其中的一些要素作为自变量，另一个要素作为因变量，然后建立它们之间的函数关系式。
举例：假设一个问题是：甲乙两人同时从同一地点出发，甲向东走，乙向北走，甲每小时走7千米，乙每小时走5千米。
问他们在多长时间后，两人离开出发地点的距离为10千米。
根据这个问题，可以设定甲的行走时间为x小时，乙的行走时间为y小时。
由于甲向东走，乙向北走，所以两人的行走路程满足勾股定理，可以建立方程式x^2+y^2=10^2、这样就建立了甲乙两人行走距离的函数关系。
2.根据已知数据点建立函数关系式有时候，问题中已经给出了一些具体的数据点，可以通过这些数据点来建立函数关系式。
首先要观察这些数据点是否满足其中一种规律，如果满足，则可以将自变量和因变量对应起来，然后根据这些对应关系建立函数关系式。
举例：假设问题是：已知正方形的周长和面积的关系式为C=4s，其中C表示周长，s表示边长。
现在给出了一个正方形的面积为16平方米，请问这个正方形的周长是多少？根据已知数据点的关系，可以把面积16对应到边长4，进而建立正方形周长和面积的函数关系式C=4s。
根据这个关系式，可以计算出周长为163.根据已知函数关系式进行变换和组合有时候，问题中已经给出了其中一种函数关系式，可以通过对其进行变换和组合来建立新的函数关系式。
这种方法常见的变换和组合有线性变换、平移变换、反函数、复合函数等。
举例：已知函数y=f(x)表示一些物体的高度随时间的变化关系，现在问题是求该物体的速度随时间的变化关系。
根据物体运动学的定义，速度是位移对时间的导数，所以可以将已知函数关系式y=f(x)对x求导，可以得到速度随时间的变化关系v=f'(x)。
这样就建立了速度和时间的函数关系。
建立函数关系式的方法
建立函数关系式的方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
建立函数关系式的方法
1、待定系数法
先设出函数的表达式，再根据已知条件构造关于表达式中系数的方程（组），求出这些系数的值，进而获得函数关系式．这种建立函数关系式的方法称为待定系数法．
待定系数法通常是在明确（或猜想出）函数类型的情况下运用；
待定系数法多用于借助函数图象上点的坐标（或变量的对应值）来求关系式的问题；
一般地，表达式中有几个待定的系数，就需要几个相关的条件；
对于表达式形式多样的函数，有时需要结合题目中的具体条件选择恰当的形式来表示．
2、直接列式法：像这样，根据问题中的已知条件和数量关系，直接将因变量表示成自变量的代数式形式，从而使函数关系式得以建立的方法称为直接列式法．
直接列式法多用于含有大量文字叙述的实际问题中；
运用好这种方法的关键是，要善于抓住题目中各个数量之间的逻辑关系，并能利用数学运算将其合理的连接起来．
3、等式变形法：有时，自变量和因变量间的函数关系不易直接表示出来，我们可以根据条件先建立包含自变量和因变量的等式，再由这个等式通过变形，导出函数关系式，这种建立函数关系式的方法称为等式变形法．
等式变形法多见于由几何图形中的运动元素建立函数关系的问题中；
等式变形法实际上是一种间接列式的方法，运用这种方法需要我们正确认识函数关系式与多元方程的内在联系，从而在两种数学形式间进行转化．
2。
中考数学专题复习全攻略第三节 反比例函数的图象和性质
第三节 反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函数的概念（1）定义：形如y ＝kx (k ≠0)的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种 基本形式：①y ＝kx ；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k 为常数，且k ≠0) 反比例函数顺口溜：反比函数双曲线，经过 点。
K 正一三负二四，两轴是它渐近线。
K 正左高右边低，一三象限滑下山。
K 负左低右边高，二四象限如爬山。
变式练习：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．的 反比函数双曲线，经过 点。
K 正一三负二四，两轴是它渐近线。
K 正左高右边低，一三象限滑下山。
K 负左低右边高，二四象限如爬山。
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.变式练习1：已知k 1＜0＜k 2，则函数y ＝k 1x －1和y ＝xk2的图象大致是( )【解析】∵k 2＞0，∴反比例函数的图象在第一、三象限，∵k 1＜0，函数y ＝k 1x －1与y 轴的交点为(0，－1)，∴一次函数图象经过二、三、四象限，故选A.变式练习2：反比例函数y ＝2x 的图象在( B ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限变式练习3：已知反比例函数y ＝kx 的图象在每一个象限内y 都随x 的增大而增大，请写出一个符合条件的反比例函数解析式___y ＝－1x (答案不唯一)___．3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x 轴和y 轴，但都不会与x 轴和y 轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．（4）对称性：a 、同一条双曲线的两个分支关于原点成中心对称图； b 、k 互为相反数的两条双曲线关于坐标轴对称。
【中考攻略】中考数学 专题15 函数关系式的建立方法探讨
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
”这是《课标》关于模型思想的一段描述。
因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。
一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。
这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。
确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。
这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。
初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，kyx=的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。
而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。
根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
”这是《课标》关于模型思想的一段描述。
因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。
一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。
这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。
确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。
这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。
初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函
数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，k
y
x
的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。
而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a(x －h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)
三类形式。
根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、
x2等待定系数，求出函数解析式。
例1.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．
例2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，
(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
例3.如图，一次函数2
y=x 23
-
+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°．求过B 、C 两点直线的解析式．
例4.如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，
3)，与x 轴交于A 、B 两点． (1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；
(3)点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
二、应用等量关系建立函数关系式：等量关系法，又可称作方程转化法，即根据等量关系列出含有两个未知数的等式（二元方程），然后整理成函数形式。
这种方法适用于“已知了关于变量之间的等量关系（含公式）”类函数建模题。
常用的寻找等量关系的方法有：（1）从常见的数量关系
中找等量关系；（2）从关键句中找等量关系；（3）从题中反映的（或隐蔽的）基本数量关系确定等量关系。
（有关几何问题的等量关系我们在下面介绍） 例5.已知二次函数23
y (t 1)x 2(t 2)x 2
=++++
在x 0=和x 2=时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2）若一次函数y kx 6=+的图象与二次函数的图
象都
经过点A (3m)-，，求m 和k 的值；（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ,C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B ,C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n(n 0)>个单位后得到的图象记为C ，同时将（2）中得到的直线y kx 6=+向上平移n 个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
三、应用几何关系建立函数关系式：即在几何问题中，应用几何中的数量等量关系建立函数关系式。
常用的数量等量关系有面积公式，勾股定理，比例线段（相似三角形的相似比），锐角三角函数，有关圆的公式等。
例6.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，
点P （3a ，a ）是反比例函数k
y x
（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．
例7.如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与
点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC =1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD =x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．
例8.如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)，与y 轴交于点C (0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
(2)若P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作
PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的
最大值和此时点P 的坐标；
(3)若点P 是抛物线第一象限上的一个动点，过点P 作PQ ∥AC 交x 轴于点Q ．当点P 的
坐标为 时，四边形PQAC 是平行四边形；当点P 的坐标为 时，四边形
PQAC 是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．
例9.在平面直角坐标系中，二次函数2
y ax bx 2=++的图象与x 轴交于A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系
中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点
Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使
以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； （5）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
例10.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、
6cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y =ax 2
+bx +c 经过点A 、B ，且18a +c =0． （1）求抛物线的解析式．（2）如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm /s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点
B 开始沿B
C 边以2cm /s 的速度向终点C 移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．。