变分基础学习知识原理与变分法
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
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变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分入门
L( x(t ), αδx) = αL( x(t ), δx)
α →0
lim
r ( x (t ), αδx )
α
= lim
r ( x (t ), αδx ) δx = 0 α →0 αδx
所以
∂ J ( x + αδx ) − J ( x ) J ( x + αδx ) α = 0 = lim α →0 ∂α α = lim
若 Fx &x & = 0 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 c 的直线族
&) 情 x = kt + c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 x = c1t + c2 中，于是，在 F = F ( x
况下，极值曲线必然是直线族。
&) & ，即 F = F ( x, x （iv） F 只依赖于 x 和 x
函数集合 C [ x 0 , x1 ] 上的一个泛函，此时我们可以写成
1
J = J ( y ( x))
我们称如下形式的泛函为最简泛函
& (t )) dt J ( x (t )) = ∫ F (t , x (t ), x
t0
tf
（3）
& (t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x (t)及导数 x 1.1.2 泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
αБайду номын сангаас→0
L( x,αδx ) + r ( x, αδx )
α
= L ( x , δx ) = δJ ( x )
1.2 泛函极值的相关结论 1.2.1 泛函极值的变分表示 利用变分的表达式（4） ，可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示：若 J ( x (t )) 在 x0 (t ) 达到极值（极大或极小） ，则
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
变分法的应用
变分法的应用在物理、工程、数学等领域中，变分法是一种非常重要的工具。
变分法可以被用来解决各种数学问题，如微积分、偏微分方程、力学问题和最优化问题等等。
本文将介绍变分法的定义、基本原理、应用以及其在实践中的意义。
一、什么是变分法？变分法是一种数学方法，它通过不断调整函数的形式来寻找一个极值问题的解。
变分法可以用来解决一系列的优化问题，如最优控制问题和最小能量问题等等。
在它最简单的形式中，变分法是一个求解“泛函”的问题：“找到一个函数使得某个固定泛函取得最小值”。
例如，我们想要找到长度为 L 的钢条上的最小弯曲量。
这个问题可以表示成一个泛函：J(y) = ∫[0,L] (y''(x))^2 dx,其中y表示弯曲的函数。
这个泛函是一个带有一个未知函数y的函数J。
我们的任务是找到一个函数y，使得J(y)的值最小。
二、变分法的基本原理变分法的基本原理可以归结为“求解一系列微积分变分问题”。
根据变分法的基本原理，我们可以从微积分和函数分析的角度来理解它。
变分法的原理是基于函数的连续性和光滑性的，即给定一个函数的任意两个点之间的连续性和可微性。
在求解变分问题时，我们首先需要找到一个函数，这个函数满足一些预定的条件。
然后，我们可以对这个函数进行微小的变化，来看看这个函数如何改变。
最后，我们可以通过对这个函数进行积分来得到一个新的函数值。
然后我们可以对这个函数进行微小的变化，得到y(x) → y(x) + εφ(x) (其中，ε很小，φ是一个任意函数)。
在这个情况下，我们可以用函数y(x)的一个小变化y(x) + εφ(x)来重新计算泛函J的值。
这个新的泛函的值可以表示为J(y + εφ) = ∫[0,L] F(x,y,y',y'') φ(x)dx,其中F(x,y,y',y'')为J(y)的一类一阶偏导数，我们需要将其解释为x和y的函数。
然后，通过对泛函J(y+εφ)中的项进行扩展，我们得到：J(y+εφ) = J(y) + ε∫[0,L] (F_yφ + F_{y'}φ' + F_{y''}φ'') dx。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
函数的变分法与变分原理
函数的变分法与变分原理1. 函数的变分法函数的变分法是研究函数在微小变化时的变化率的方法。
它在数学分析、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
函数的变分法的基本思想是，对于一个给定的函数y=f(x)，如果我们对自变量x 进行一个微小的变化δx，那么函数值y也将发生一个微小的变化δy。
这个微小的变化δy可以表示为：δy=f(x+δx)−f(x)函数的变分δy与自变量的变分δx的比值称为函数的变分导数，记为y′：y′=δy δx函数的变分导数表示函数在自变量发生微小变化时，函数值的变化率。
2. 变分原理变分原理是函数的变分法的一种特殊形式，它适用于某些特殊的函数，例如，泛函。
泛函是一个将函数映射到实数的函数。
泛函通常用J[y]表示，其中y是函数的自变量。
变分原理的基本思想是，对于一个给定的泛函J[y]，如果我们对函数y进行一个微小的变化δy，那么泛函的值J[y]也将发生一个微小的变化δJ。
这个微小的变化δJ可以表示为：δJ=J[y+δy]−J[y]如果对于任何微小的变化δy，泛函的值δJ都为零，那么泛函J[y]就称为是极值的。
3. 变分法的应用变分法在数学分析、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3.1 数学分析在数学分析中，变分法可以用来求解微分方程、积分方程和泛函方程等。
例如，欧拉-拉格朗日方程就是变分法的基本方程之一，它可以用来求解微分方程和泛函方程。
3.2 物理学在物理学中，变分法可以用来求解经典力学、电磁学和量子力学等领域中的方程。
例如，哈密顿原理就是变分原理在经典力学中的一个应用，它可以用来求解牛顿第二定律。
3.3 工程学在工程学中，变分法可以用来求解结构力学、流体力学和热力学等领域中的方程。
例如，最小作用量原理就是变分原理在结构力学中的一个应用，它可以用来求解梁和柱的变形问题。
4. 总结函数的变分法与变分原理是数学分析、物理学和工程学等领域的重要工具。
它们可以用来求解微分方程、积分方程和泛函方程等，并可以应用于经典力学、电磁学、量子力学和结构力学等领域。
数学物理中的变分方法
数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。
它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。
变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。
本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。
1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。
我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。
对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。
定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。
通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。
2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。
为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。
变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。
3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。
它适用于只有一个自变量的函数。
假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。
首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。
然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。
通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。
4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。
假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。
类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
数学中的变分法
数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。
一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。
所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。
泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。
1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。
泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。
二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。
欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。
2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。
2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。
这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。
三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。
其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。
例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。
3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。
例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。
四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。
我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。
4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。
通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。
4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。
变分法基础 老大中
变分法基础老大中引言变分法是一种应用数学中的方法，用于求解函数极值问题。
它通过对函数的一次变化（即变分）来推导出极值条件，从而得到函数的极值。
变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，是一种强大且灵活的工具。
本文将介绍变分法的基础知识和应用。
变分问题的基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分问题的基本概念。
变分问题通常涉及一个函数和一个约束条件，我们的目标是找到满足约束条件的函数，使得某个性能指标最优化。
假设我们有一个函数y(x)，其中x为自变量，y为因变量。
我们希望找到一个函数y(x)，使得满足一定的约束条件，并且某个性能指标最小或最大。
这个问题可以表示为一个函数的极值问题，可以通过变分法来解决。
变分法的基本原理变分法的基本原理是在一个函数的变化上进行优化。
我们假设y(x)是我们想要优化的函数，而y(x)+δy(x)是一个与y(x)相近的函数，其中δy(x)是一个变分。
变分表示函数y(x)的微小变化。
通过对变分进行操作，我们可以得到一个优化问题。
欧拉-拉格朗日方程变分法的重要工具是欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程给出了在满足约束条件的情况下，函数极值点的一种判定方法。
欧拉-拉格朗日方程可以通过对变分法的应用来推导出来。
欧拉-拉格朗日方程的一般形式如下：$$\\frac{{\\partial F}}{{\\partial y}} -\\frac{{\\mathrm{d}}}{{\\mathrm{d}x}}\\left(\\frac{{\\partial F}}{{\\partialy'}}\\right) = 0$$其中，F是一个与y(x)和y’(x)相关的函数，y’表示y关于自变量x的导数。
这个方程可以通过变分法推导出来，并且是变分问题的一个重要结论。
示例：求解最短路径问题我们可以通过一个具体的例子来演示变分法的应用。
假设我们想要求解两点间的最短路径问题。
设我们有一个平面上的点A和点B，我们希望找到连接点A和点B的最短路径。
高考数学冲刺复习变分法考点速记
高考数学冲刺复习变分法考点速记在高考数学的复习中，变分法是一个较为复杂但又重要的考点。
对于即将参加高考的同学们来说，掌握好这个考点，能够在考试中多一份把握，提升成绩。
接下来，让我们一起深入了解变分法的相关知识。
一、变分法的基本概念变分法是研究泛函极值的数学分支。
所谓泛函，就是以函数为自变量的函数。
比如，我们常见的函数是输入一个数，输出一个数；而泛函是输入一个函数，输出一个数。
在变分法中，我们要找到一个函数，使得对应的泛函取得极值。
这个极值可能是最大值，也可能是最小值。
为了更好地理解变分法，我们先来看一个简单的例子。
假设我们要找到一条曲线，使得它连接两个给定的点，并且曲线的长度最短。
这就是一个典型的变分问题。
二、变分法的基本原理变分法的基本原理基于欧拉拉格朗日方程。
这个方程是判断一个泛函是否取得极值的重要工具。
对于一个泛函＼（Jy ＝＼int_{a}＾｛b} F(x, y, y'） dx\），其中＼（y ＝ y(x)＼）是未知函数，＼（y'＼）是＼（y\）对＼（x\）的导数，＼（F(x, y, y'）＼）是给定的函数。
如果＼（y(x)＼）使得＼（Jy\）取得极值，那么＼（y(x)＼）必须满足欧拉拉格朗日方程：＼（＼frac{＼partial F}｛＼partial y} ＼frac{d}｛dx}（＼frac{＼partial F}｛＼partial y'｝）＝ 0\）这个方程的求解往往需要一定的数学技巧和运算。
三、常见的变分问题类型1、最速降线问题这是一个经典的变分问题。
假设一个小球在重力作用下，从一个点无摩擦地滑到另一个点，问小球走过的路径是什么形状才能使下滑时间最短。
2、等周问题在给定周长的情况下，求所围成面积最大的曲线。
四、变分法的解题步骤1、写出泛函表达式首先，根据问题的条件，写出对应的泛函表达式。
2、应用欧拉拉格朗日方程将泛函表达式代入欧拉拉格朗日方程，得到一个关于未知函数的微分方程。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分法是一个数学和物理学中的基本原理，用于解决求极值的问题。
它的基本思想是将要求解的函数表示为一个参数化的函数形式，然后根据极值的必要条件，通过对函数进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，进而求解该方程来确定极值。
具体来说，假设我们要求解一个函数f(x)，其中x是一个变量，而f(x)是一个依赖于x的函数。
我们将f(x)写成x的函数形式：f(x) = F[x(x)]，其中F[x(x)]是一个关于函数x的函数。
现在，
我们希望找到使函数f(x)取得极值的函数x(x)，即要找到满足
条件δf(x) = 0的函数x(x)。
在变分法中，我们引入一个待定函数z(x)作为近似解，称为变
分函数。
我们可以写成x(x) = z(x) + εη(x)，其中ε是一个无穷
小量，η是一个任意函数。
将近似解代入到δf(x) = 0的表达式中，并保留到一阶无穷小量，得到一个关于η(x)的方程。
然后，我们要求满足边界条件的η(x)，以唯一确定满足条件δf(x) = 0
的近似解z(x)。
最后，我们解决这个方程，得到满足条件δf(x) = 0的函数z(x)，即原始问题的近似解。
然后，我们可以通过适当的数值计算或者分析来确定z(x)的特征和性质，从而得到原始问题的极值解
或最优解。
总的来说，变分法通过引入一个待定函数作为近似解，将原问题转化为求解方程的问题。
通过对近似解进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，并通过解决这个方程来确定极值解。
这种方法在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、泛函分析等。
偏微分方程中的变分法与变分原理
偏微分方程中的变分法与变分原理在解决偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的过程中，常常会用到变分法（Calculus of Variations）与变分原理（Variational Principle）。
变分法是一种利用函数的微小变动来求解极值问题的数学工具，而变分原理则是基于最小作用量原理，将物理系统的行为描述为使作用量函数达到极小值的过程。
本文将就偏微分方程中的变分法与变分原理进行介绍。
一、变分法的基本概念及应用变分法是一种将极值问题转化为函数的变分问题的数学方法，其基本思想是考虑函数的微小变动对于整体函数值的影响。
在应用变分法求解偏微分方程时，我们首先构造一个泛函（Functional），即将函数映射到实数的映射关系。
例如，考虑一个二阶偏微分方程：\[F\left(y(x), y'(x), y''(x), x\right) = 0\]其中，y(x)是我们要求解的未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
我们的目标是找到满足该方程的y(x)。
为了应用变分法，我们首先定义一个泛函J，即：\[J\left(y\right) = \int_{a}^{b} L\left(y, y', x\right)dx\]其中，L\left(y, y', x\right)为Lagrange函数，a和b是区间的端点。
我们将寻找一个函数y(x)，使得泛函J取得极值。
根据Euler-Lagrange方程，我们有：\[\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left(\frac{\partialL}{\partial y'}\right) = 0\]这个方程称为变分问题的欧拉-拉格朗日方程，它给出了取极值的函数y(x)必须满足的条件。
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第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===nj ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域D ⊂=⎰n ban f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw lf⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系统势能泛函取最小值。
② 最速降线问题问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。
作法：i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。
B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函：x设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得：gy v mgy mv 2221=⇒= 命ds 为曲线弧长的微分，有：dx gy y gy dsdt gy v dt ds 2'1222+==⇒== 重物从A 点滑到B 点的总时间：T =dx gyy a⎰+022'1泛函驻值提法：在0≤x ≤a 的区间内找一个函数y (x )使其满足端点几何条件并使T 取最小值。
③ 圆周问题问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。
作法：i. 假设所考虑的曲线用参数形式表示： x = x (s ), y = y (s )s 为参数。
取s 1为曲线上的某一定点，则坐标表示x 1=x (s 1),y 1=y (s 1),因曲线是封闭的，必存在一个s 2点使x 2 = x (s 2),y 2 = y (s 2)与点s 1(x 1,y 1)重合。
ii. 该封闭曲线的周长： L =ds dsdy ds dx s s⎰+2122)()(该曲线所围成的面积：R = ⎰⎰Ωdxdyiii. 转换R 的表达式 由Green 公式：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂21)(s s Qdy Pdx dxdy yP x Q Ω取P =-2y ,Q =2x, 则：1=∂∂-∂∂yP x Q ∴⎰⎰-=-=2121))(')('(2121sss sds s yx s xy ydx xdy R泛函驻值的提法：等周问题即是在满足端点条件x (s 1) = x (s 2), y (s 1) = y (s 2)及周长一定L s s dsdy ds dx =+⎰2122)()( 条件下，寻找一个曲线函数⎩⎨⎧)()(s y s x 使泛函R 取驻值。
④ Discussion悬索线问题：已知空间中A ，B 两点及一条长度L >AB 的悬索，单位长的质量为m 。
假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的两端挂在A ，B 两点，求在平衡状态下绳索的形状。
要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。
提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。
1.2 变分法（泛函驻值的计算方法）● 关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法① 这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式积分表达。
② 所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数（或偏导数）的积分形式，即： a. ⎰=ba dx x x f x f x f F ));("),('),((1∏b. ⎰⎰=Ω∏dxdy y x y x f y x f y x f F y x ),);,(),,(),,((2c. 泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argument ），x 或y 仅是积分变量，是被积函数的定义域。
（被积函数是复合函数概念的推广）③ 要说清楚一个泛函的极值问题，应注意： a. 应把泛函本身讲清楚（即写出它的形式）； b. 还必须讲明白自变函数的性质，如：- 独立的自变函数的个数（导函数并不独立）； - 每个自变函数定义的区间/区域；- 这些自变函数应满足的条件（如：边界条件及其受约束的条件等）。
c. 除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应的自变函数变化性质发生变化。
如：极小值可能变大；极大值可能变小；非极值的驻值可能成为极值。
●若干背景知识① 泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题，变分法的理论计算就是完成这类工作。
本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。
② 从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便，也更为实用。
特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性（有限元的思想基础）。
③ 经Euler ,Lagrange ,Dirichlet ,Hilbert ,Bernoulli 等数学先驱的卓越工作，完成了①的系统方法。
④ 但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。
在物理、力学中，即先猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。
⑤ 泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以Ritz ,Galerkin ,Treft 著名。
关于变分法的一个预备定理 若f (x )在[a ,b ]上连续，若对任意满足 ϕ(a )= ϕ(b )=0 的连续函数ϕ(x ),都有：⎰=ba dx x x f 0)()(ϕ则 f (x )在[a ,b ]上处处为零。
反证法：设x 0为[a ,b ]中的点，在x 0点f (x 0)≠0，可取f (x 0)>0,∵ f (x )在区间上连续，必存在x 0的一个充分小邻域上f (x )>0, x 0-ε<x<x 0+ε 又∵ ϕ(x )为任意连续函数（满足边界条件），可取ϕ(x )也在该邻域内大于零，而在该邻域外恒等于零。
所以有⎰>badx x x f 0)()(ϕ矛盾！即)(x f 必须为零；同理可证小于零情况。
该定理可推广多元变量的函数问题。
1.2.1 定积分⎰'ba dx y y x F ),,(的驻值（变分）问题目的：通过简单泛函的极值分析，获得建立变分法的基本概念、 计算步骤（把变分解转化成微分方程）问题：在自变量x 的区间[ a ，b ]内决定一个函数y (x )，使它满足边界条件：a x y ==|α ，b x y ==|β 并使泛函：⎰'=badx y y x F V ),,( 取极值。
计算V δ方法1：先用变分观点解释G .H 曲线的增量x● 设想已取得了一条曲线GACH 方程为：y= y (x )●在GACH 附近另取一条曲线GBDH ，令该曲线无限接近GACH ，其方程为：)()()(1x y x y x y δ+=●)(x y δ是一个无穷小量，称为自变函数的变分（若x 不变，即为曲线纵坐标的增量）（注意与函数微分的区别，这里函数的变分仍然是一个函数） ●相应两条曲线，获得两个泛函值：dx y y x F V ba ⎰'=),,(⎰'+'+=∆+badx y y y y x F V V ),,(δδ●基本引理： y y '='δδ)(证： y x y x y y x y x y x y '≡'-'='⇒-=δδδ)()()()()()(11Θ 推广： y y ''=''δδ)(另一条认识y y '='δδ)(的思路：C A →： dx y x y x y A C '+=)()( B A →： A A B y x y x y δ+=)()(1D C →： C C D y x y x y δ+=)()(1D B →： dx y x y x y B D 111)()('+= y y y δ+=1 dx y y dx y y 11;'='=⇔δδ )('⇒y δ＝y y y dxyy '='-'=-δδδ11 ⎰'-'+'+=∆badx y y x F y y y y x F V )},,(),,({δδ因为),,(y y x F '是y y x ',,的连续可导函数（工程上一般如此），故y y 'δδ及很小时，V ∆也很小，即 0,→'y y δδ 0→∆V 取等式两端的一阶无穷小量，即：dx y yFy y F V ba][''∂∂+∂∂=⎰δδδ （可以从Tailor 展开式去理解）●V δ称为泛函V 的一阶变分，简称变分，即泛函的一阶变分是泛函增量中的一阶小量部分（把自变函数的变分y δ作为一阶小量）所以，变分的运算服从无穷小量的运算规则。