奥数第4讲-巧求周长与面积
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巧求周长与面积
掌握巧求周长与面积的基本方法;
1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。
【例1】 (2007年“希望杯”第一试)右图中的阴影部分BCGF 是正方形,线段FH 长18厘米,线段
AC 长24厘米,则长方形ADHE 的周长是
__________厘米。
【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形,其四条边的边长都相等,且等于长方形ADHE 的宽。
FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长,所以等于长方形
ADHE 的长与宽之和。所以长方形ADHE 的周长为:(1824)284+⨯=厘米。
【例2】 如右图所示,在一个正方形内画中、小两个正方形,使三个正方形具有公共顶点,这样大正方形被分割成了正方形区域甲,和L 形区域乙和丙。甲的边长为4厘米,乙的边长是甲的边长的1.5倍,丙的边长是乙的边长的1.5倍,那么丙的周长为多少厘米?EF 长多少厘米?
【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、
向下平移),同样的,丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。由于4 1.56AE =⨯=,
6 1.59AD =⨯=,所以丙的周长为9436⨯=厘米,
642EF AE AF =-=-=(厘米)
。
【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边
形,已知大平行四边形的周长是244厘米,
那么平行四边形和三角形各有多少个?
【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米,观察上边,每6厘米有两
个平行四边形的边,所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个,三角形的数量与小平行
四边形的数量相等,也是40个。
[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形,
已知大平行四边形的周长是236厘米,那
么平行四边形和三角形各有多少个?
[分析] 大平行四边形上、下两边的长为
(23622)2116-⨯÷=厘米,
观察上边,每6厘米有两个平行四边形的边,1166192÷=L ,所以有三角形
19238⨯=个,小平行四边形38139+=个。
【例4】 有9个小长方形,它们的长和宽分别相等,用这9个
小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米,求这个大长方形的周长。
【分析】 从图上可以知道,小长方形的长的4倍等于宽的5倍,所以长是宽的54 1.25÷=倍。
每个小长方形的面积为4595÷=平方厘米,所以1.25⨯宽⨯宽5=,所以宽为2厘米,
长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.542 2.5)229⨯++⨯
=
厘米。
A C
B
F E H B A
[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形,已知原长方形的面积为
120平方厘米,求原长方形的长与宽。
[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍,所以大正方
形的边长是小正方形边长的1.5倍,大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25
⨯=倍,所以小正方形面积为120(2.2523)16÷⨯+=平方厘米,所以小正方形的边长为4厘
米,大正方形的边长为6厘米,原长方形的长为4312⨯=厘米,宽为4610+=厘米。
【例5】 (希望杯培训题)如右图所示,在一个正方形上先截去宽11
分米的长方形,再截去宽7分米的长方形,所得图形的面积比
原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是______分米。
【分析】 把截去的两个长方形拼在一起,如右下图所示,再补上长11
分米、宽7分米的小长方形,所得长方形的面积是
301117378+⨯=平方分米,这个长方形的长等于原正方形
的边长,宽为11718+=分米,所以原正方形边长为:
3781821÷=分米。
【例6】 如图,一个矩形被分成八个小矩形,其中有五个矩形的面积如图中所示(单位:平方厘米),问大矩形的面积是多少平方厘米?
【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出,面积为16平
方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相
等,即BC 相等,不妨假设2BC =厘米,可以算得:
8AC =厘米,10CD =厘米。于是可以算得:
368 4.5GC =÷=厘米,30103BE =÷=厘米,
128 1.5EF =÷=厘米。于是大长方形的长为
10818+=厘米,宽为4.523 1.511+++=厘米,因
此大长方形的面积为1811198⨯=平方厘米。
【例7】 一块正方形的苗圃(如右图实线所示),若将它的边
长各增加30米(如图虚线所示),则面积增加9900平
方米,问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米?
【分析】 小正方形的面积为:3030900⨯=平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到
增加的两个长方形的面积和,为:99009009000-=平方米。而增加的两个长方形的
面积相等,于是其中一个长方形的面积为900024500÷=平方米。长方形的宽为30米,
那么长为:450030150÷=米,这就是原来这块正方形苗圃的边长,原来这块正方形
苗圃的面积为150********⨯=(平方米)。
【例8】 长方形ABCD 的周长是30
厘米,以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知
11
B C E F G D A 3020
121636