奥数第4讲-巧求周长与面积

巧求周长与面积
掌握巧求周长与面积的基本方法；
1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段
AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是
__________厘米。

【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE 的宽。

FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形
ADHE 的长与宽之和。

所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+⨯=厘米。

【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。

甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？
【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、
向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。

由于4 1.56AE =⨯=，
6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，
642EF AE AF =-=-=（厘米）。

【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边
形，已知大平行四边形的周长是244厘米，
那么平行四边形和三角形各有多少个？
【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两
个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，三角形的数量与小平行
四边形的数量相等，也是40个。

[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四边形的周长是236厘米，那
么平行四边形和三角形各有多少个？
[分析] 大平行四边形上、下两边的长为
(23622)2116-⨯÷=厘米，
观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=L ，所以有三角形
19238⨯=个，小平行四边形38139+=个。

【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个
小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的54 1.25÷=倍。

每个小长方形的面积为4595÷=平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽5=，所以宽为2厘米，
长为2.5厘米。

大长方形的周长为(2.542 2.5)229⨯++⨯
=
厘米。

A C
B
F E H B A
[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为
120平方厘米，求原长方形的长与宽。

[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方
形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25
⨯=倍，所以小正方形面积为120(2.2523)16÷⨯+=平方厘米，所以小正方形的边长为4厘
米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312⨯=厘米，宽为4610+=厘米。

【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11
分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比
原正方形减少301平方分米。

原正方形的边长是______分米。

【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11
分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是
301117378+⨯=平方分米，这个长方形的长等于原正方形
的边长，宽为11718+=分米，所以原正方形边长为：
3781821÷=分米。

【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？
【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平
方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相
等，即BC 相等，不妨假设2BC =厘米，可以算得：
8AC =厘米，10CD =厘米。

于是可以算得：
368 4.5GC =÷=厘米，30103BE =÷=厘米，
128 1.5EF =÷=厘米。

于是大长方形的长为
10818+=厘米，宽为4.523 1.511+++=厘米，因
此大长方形的面积为1811198⨯=平方厘米。

【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边
长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平
方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？
【分析】 小正方形的面积为：3030900⨯=平方米。

用增加的面积减去小正方形的面积就得到
增加的两个长方形的面积和，为：99009009000-=平方米。

而增加的两个长方形的
面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500÷=平方米。

长方形的宽为30米，
那么长为：450030150÷=米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形
苗圃的面积为150********⨯=（平方米）。

【例8】 长方形ABCD 的周长是30
厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。

已知
11
B C E F G D A 3020
121636
这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘
米？
【分析】 从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之
和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1
BC 为边能构成大正方形111A BC E （如右图b 所示），其中包含两
个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，
两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。

这样我们容易
求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=（平方厘米）。

长方形ABCD 与长方
形11EDD E 的面积相等。

所以，长方形ABCD 的面积为：
(225145)240-÷=（平方厘米）。

[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形
纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积
是多少平方厘米？
[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为442816-=，所以
4a =,2847b =÷=，原正方形面积为7749⨯=（平方厘米）。

【例9】 如图，正方形ABCD 的边长是5，E ，F 分别是AB 和BC
的中点，求四边形BFGE 的面积。

【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形
面积之和，所以每个小正方形面积是5555⨯÷=，而阴
影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

【例10】C 1A 1A D C B C 1D 1
E 1A 1E B C
D A
E A
作小正三角形，得到一个六角形。

再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两
边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的
图形。

如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。

【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a )，由已知，图中最小的小正三
角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小
正三角形为单位，对图a 进行分割，得到图b 。

从图b 可
以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中
正三角形中包含9个小正三角形。

由此可以求出，一个大
正三角形中包含9981⨯=个小正三角形，在图a 中，除了
一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角
形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：
993912120⨯+⨯+=个，而每个小正三角形的面积为1平
方厘米，所以图a 中图形的面积为120平方厘米。

【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼
成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形。

已知甲、乙、丙、
丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD 的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、
丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。

大正方形的面积等于四
边形ABCD 的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即2032236+÷=平方厘米，
所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、
丁四个长方形周长的总和为64248⨯⨯=厘米。

【例12】 （2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为
1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？
【分析】 如果标号为5的正方形的边长是a ，那么1号比2号大a ，2号比3号大a ，所以1号比
3号大2a ，又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号
比3号大18144-=，即24a =，2a =，标号为5的正方形的面积是224⨯=。

[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，
图b
G F D C 5
244431
2+⨯正方形3的边长22=厘米，所以正方形5的边长22826=-⨯=厘米，周长为
6424⨯=厘米。

[拓展] 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。

下面一个长
方形是由9个小正方形组成的完美长方形。

图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4
厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？
[分析] 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。

设最小的正方形边长为x 厘米，又因为小正方形A 的边长为7厘米，小正方形B 的边长
为4厘米，所以小正方形C 的边长可以表示为7x +（厘米），小正方形D 的边长可以表
示为772x x x ++=+（厘米），小正方形E 的边长可以表示为7411x x -+=-（厘米），小正方形F 的边长可以表示为11415x x -+=-（厘米），小正方形G 的边长可以表示为
15419x x -+=-（厘米）
，小正方形H 的边长可以表示为7714x x ++=+（厘米），观察大长方形可知：小正方形D 、C 、H 的边长之和等于小正方形F 、G 的边长之和，
可以列方程为：(72)(7)(14)(15)(19)x x x x x +++++=-+-，解得1x =。

从而可得小正
方形C 、D 、E 、F 、G 、H 的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘
米、15厘米。

大长方形的长为：181533+=（厘米），宽为：141832+=（厘米），大长
方形的面积为：33321056⨯=（平方厘米）。

【例13】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小
正方形试验田的面积是多少平方米？
B A H G F E D
C B A
【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图a ），将
大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b ）。

由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410÷=米，即图b 中的长
方形的宽是10米。

又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，
从而长方形的长为：2201022÷=（米）。

由图可知，长方形的长是大正方形与小正方
形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长
为：(2210)26-÷=（米）。

所以小正方形的面积为：6636⨯=（平方米）。

【附1】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条
后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃
条的面积等于多少？
【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图(如图a )，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为5平方米，它的长和宽相差
0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图b )。

图b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，
中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，
即0.5米。

所以中间的小正方形的面积为0.50.50.25⨯=平
方米，那么大正方形的面积为540.2520.25⨯+=平方米。

因为4.5 4.520.25⨯=，所以大正方形的边长等于4.5米。

所
以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽
的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：
(4.50.5)2 2.5+÷=米，
即原正方形的边长为2.5米。

又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5 米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.50.5 1.25⨯=平方米。

【附2】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合
（如右图），已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积
是12，绿色面积是8，那么正方形盒的底面积是多少？
【分析】 黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸
片的大小一样，把黄色纸 片向左移动，在这个移动过程中，黄
色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的
图b 0.50.55
555图a
绿黄红
露出部分与绿色纸片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积为20210÷=，
绿色纸片露出面积也为10。

右下图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的20102÷=倍，
所以黄色部分面积是空白部分面积的2倍。

所以空白部分的面积
为1025÷=，正方形盒的底面积为201010545+++=。

解答此
题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。

【附3】 右图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。

【分析】 如右下图所示，可知阴影部分面积与空白部分面积之差即为小长方形OPMN 的面积，
为326⨯=平方厘米，所以阴影部分面积为(1006)253+÷=平方厘米。

1. 右图中正方形的边长为3厘米，每边被3等分，求图中所有正
方形周长的和。

【分析】 分类进行统计：
边长为2厘米的正方形周长的和是：24(22)32
⨯⨯⨯=(厘米)，
边长为3厘米的正方形周长是：34(11)12
⨯⨯⨯=(厘米)，
图中所有正方形周长的和是：36321280
++=(厘米)。

2.用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如
右图所示。

已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形
的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_____厘米，宽
是______厘米。

【分析】外面大正方形的边长为264466
÷=厘米，里面小正方形的边长为30厘米，从图中可以看出，长方形的宽为(6630)218
-÷=厘米。

-÷=厘米，长方形的长为(6618)224
3.右图的长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形比每
个小正方形面积大5平方厘米，求原长方形的面积。

【分析】大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25
⨯=倍，小正方形面积为÷-=平方厘米，原长方形的面积为
5(2.251)4
⨯++⨯=平方厘米。

43(45)230
4.有大、小两个长方形（右图），对应边的距离均为1厘米，
已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，且小长方
形的长是宽的2倍，求大长方形的面积。

【分析】如图，由于已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘
米，而4个角上的小正方形面积均为1平方厘米，所以划
分出来的四个新长方形的面积之和为16412
-=平方厘
米，这四个新长方形的宽均为1厘米，长则分别为原来的
小长方形的四条边，所以原来的小长方形的长、宽之和为
÷÷=厘米。

由于小长方形的长是宽的2倍，所以长为4厘米，宽为2厘米。

所12126
以大长方形的长为6厘米，宽为4厘米，面积为6424
⨯=平方厘米。

一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。

在上帝带来好光景以前，你们每天都可以来拿一个面包。

”
瞬间，这些饥饿的孩子仿佛一窝蜂一样涌了上来，他们围着篮子推来挤去大声叫嚷着，谁都想拿到最大的面包。

当他们每人都拿到了面包后，竟然没有一个人向这位好心的面包师说声谢谢，回头就走了。

但是有一个叫依娃的小女孩却例外，她既没有同大家一起吵闹，也没有与其他人争抢。

她只是谦让地站在一步以外，等别的孩子都拿到以后，才把剩在篮子里最小的一个面包拿起来。

她并没有急于离去，她向面包师表示了感谢，并亲吻了面包师的手之后才向家走去。

第二天，面包师又把盛面包的篮子放到了孩子们的面前，其他孩子依旧如昨日一样疯抢着，羞怯、可怜的依娃只得到一个比头一天还小一半的面包。

当她回家以后，妈妈切开面包，许多崭新、发亮的银币掉了出来。

妈妈惊奇地叫道：“立即把钱送回去，一定是揉面的时候不小心揉进去的。

赶快去，依娃，赶快去!”
当依娃把妈妈的话告诉面包师的时候，面包师面露慈爱地说：“不，我的
孩子，这没有错。

是我把银币放进小面包里的，我要奖励你。

愿你永远保持
现在这样一颗平和、感恩的心。

回家去吧，告诉你妈妈这些钱是你的了。

”
1、关爱和感恩是精神财富。

2、自私的人不会关爱，也不懂感恩。