量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
⎩⎨
⎧∞<<<<=其余区域
,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E y
x n n 222π =
)(2
22
2b n a n y
x +
,2,1, ,sin
sin
2==
y x y x n n n n b
y
n a
x
n ab
y
x
ππψ
若b a =，则 )(22
22
22y x n n n n ma
E y
x +=π a
y n a x n a y x n
n y
x
ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
⎩
⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为
)(222
2
222
22c
n b n a
n m n n n E z y
x
z
y x +
+=π ,
,3,2,1,, ,
sin sin sin 8
==
z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z
y x πππψ
当c b a ==时，
)(2222222z y x n n n ma
n n n E z y x ++=π a
y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin
sin sin 22
3
⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)
11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
⎩⎨
⎧><∞<<=a
x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子
)61(12)x -(x ,22222π
n a a x -==
讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n πψsin 2)(=
. 2
sin 2022
a xdx a n x a dx x x a a
n
分部⎰⎰==πψ （1）
4
)(2
2
2
2
2
2a dx x x x x x n
a
-=-=-⎰ψ
4
)2cos 1(212202a dx a x n x a a --⋅=⎰π
)6
1(12222π
n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a
dx ，故
2
a
a dx x x a
=⋅
=⎰ ， （3） 3
20
2
2
a a dx x x a
=⋅=⎰
，
4
3)(2
22
2
2
a a x x x x -=-=- （4）
当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
⎩⎨⎧<∞<=2
,2
,0),(a x a x y x V
处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为 a
x
a πψcos 21=
, （参P57，
（12））
2cos
22cos 12cos
112121121
)(2
11
cos 221)(2
2223
222222
)()(2
2
22pa
p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e
a
dx e e e
a
dx a
x a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a
a p a i p a i a x
i a x i a
a ipx
a
a ipx
-=
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+
+-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=
+⋅=⋅
=
∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-------⎰
⎰
⎰ππππππππππππφππππππππ
动量的几率分布()
2cos 4)()(2
2
2
222
3
2
pa p a a p p -=
=π
πϕρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中
⎪⎩
⎪
⎨⎧><<-<∞=a
x a x V x V ,00,
x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。

求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a x 0 ,0)()(22
"2
12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）
其中 ()'2
2
022
22, k E k V E μμ=
+= （3） 方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
ψψ （4）
根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx
De x a x k F x ψψ （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-= （7）
即 ()E E
V E V a tg +--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+002
2 μ （7’） 若令 ηξ==a a k k ,' （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202
( 9)(10)
2 ctg V a ηξξμξη=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ （10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。

对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。

（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。

当2π≥r ，即
2220
πμ≥a V
，亦即 82220 πμ≥a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。

这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()ψψ E V m dx d -=∴22
2
当±∞→x 时，0→ψ，故有
()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧-=<<=<<+-=<=-
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,
,2,
0,
sin 2,0,
21πδδψ 由
dx
d ψ
ln 在0=x 、a x =处的连续条件，得
()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k =
δ （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。

因而 ()2
2sin mV k ka ±
=+δ （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，
1
1
12sin mV k n -+=πδ (4)
由(3)，得 21
2sin mV k n ka --=+πδ (5)
结合(4),(5)，得 1
112122sin 2sin mV k n mV k n ka -----=ππ
或 2
1
1
1
2sin 2sin mV k mV k n ka ----=π （6）
,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n
n 22
2 = （7）
当12V V ≠时，仅当
1
2
1
2
sin 2
2V V mV a --≥
π
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥
-1212s i n 22V V m V a π
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。

相应的波函数为:
()()()()()⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
-=>-<<+-=<=--- E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n
n n n n x k n
n n n 22221
111
2, , 21,
0 , sin 2, 0, 22δψ 其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

解：势阱为 ⎩⎨
⎧><-=.
0,0,
0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。

故
()
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,220112
1
1
==+=+=-ψψ 由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。

由)0()0('
2'1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。

从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。

反射系数 ()()
2
212
21222
k k k k A B r R +-=== 将21,k k 代入运算，可得
()
⎩⎨
⎧<<->>=++=
00
2204
20,41,16V E V E V E E V E
E V
V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。

式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[
]
)(21)(12)(121)()(21
)(21)(222
21
1x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++
++-=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ψψψα
ψψψαψ
并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
2
2x H e A x n x n n αψα-= （1）
其中，归一化常数 ωαπαm ,!
2=⋅⋅=
n A n
n （2）
)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n αααα （3）
[]
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
⋅⋅+⋅
+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅=
⋅=∴+-+-+---+----+---)(21
)(21)(2
1!
121
)(2
!
121
)
(!
221)(!
21
)(2)(21)(221
)()(1
112
112112
12
112
22
22222
22
22
2222
2x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x n
n x n
n n x n n x n n x n n ψψααπαα
απα
α
απαα
απαα
αααααα
αψααα
α
α
αα
()()()()[]
)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21
)(21)(2222
22112
x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++++-=⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++=∴ψψψαψψψψαψψαψ
0)(21
)(21)(11**
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅==+-+∞
∞-+∞∞-⎰⎰dx x n x n x dx x x n n n
n n
ψψαψψψ
()()22121122121)(122121)()(21)(2222*
22*
n n n n n E n n m dx
x n m x dx
x x m x V =⎪⎭⎫
⎝⎛+=+⋅⋅=+⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰+∞
∞
-ωα
ωψα
ωψψωψ
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。

证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
222
2
211211212)(21
2)(+-+-+++
+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=n n n n
n n n n n n n n x dx d n n x dx d ψψψαψψψαψ
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH
),(2)(1n 1'
x H n x nH H n n n αααξξ--==
(
)
[]
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+-=⋅+-⋅=+--+-----)(21
)(2)
(2)(21)(2)
(2)()(2)()(1111112122222222x n x n x n x n x n x n x x x H n e x H e x A x dx
d
n n n n n n n n x n x n n ψψαψαψψααψψαααααψαα
()()()()[]
222
2222211212
2221212212)(+-+-+++
+--=
⎪⎭⎪
⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx d ψψψαψψαψψααψ
()021211*
*=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰+-dx n n i dx dx d i p n n n n n ψψαψψψ ()()()()[]
()()2
2121124124211212
2222*
22222
*2222*2
n
n n n n n n n n E n n m m dx n m dx n n n n n m dx dx d m m p T =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅⋅=+⋅=++++--⋅-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰⎰+-ωωψψαψψψαψψψ
3—10）谐振子处于n ψ态下，计算
()
2
1
2
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆x x x ，()
2
1
2
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∆p p p ，?=∆⋅∆p x
解：由题3—6），ωω
ωm n m E m V x x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+====212 ,02
22 由题3—7），ω m n mE T m p p n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+
====212 ,02
()
(
)
()
(
)
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=∆⋅∆⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+=-=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∆⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
-=∆2121212
1
2
1
2
2
2
1
2
2
12
1
2
2
2
1
2n p x m n p
p p p p m n x
x x x x ωω
对于基态，2,0 =∆⋅∆=p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，
x q x m x V εω-=
222
1
)( （1） 求能量本征值和本征函数。

解： x q H x q x m m p H εεω-=-+=
02222
1
2 （2） 0H 的本征函数为 )(2
2
2x H e A n x n n αψα
-=，
本征值 ()
ω ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
=210n E n 现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n ϕ。

式（1）的势能项可以写成 ()[]
202022
1)(x x x m x V --=
ω 其中 20ωεm q x = （3） 如作坐标平移，令 0'x x x -= （4） 由于 ''p dx
d
i dx d i p =-=-=
（5） H 可表成 2
022,22'2
1212x m x m m p H ωω-+= （6）
（6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
⎪⎭
⎫
⎝⎛-20221x m ω，由此可知 ()2
0202
1x m E E n n ω--= （7）
)()()(0'x x x x n n n -==ψψϕ （8）
即
,2,1,0 ,22121212
2
22
22=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n m q n m q m n E n ωεωωεωω （9）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--22
2
22)(ωεαϕωεαm q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 ωαπαm ,!
2=⋅⋅=
n A n
n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
⎪⎩⎪
⎨⎧><∞=.0,2
1,0,
)(2
2x x m x x V ω 求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入0<x 的区域，则对应的S.eq 的本征函数必须在0=x 处为零。

另一方面，在0>x 的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H 和谐振子的H 完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq ）。

振子的具有12+=k n 的奇宇称波函数在0=x 处为零，因而这些波函数是这一问题的解（k n 2=的偶宇称波函数不满足边条件0)0(=ψ）所以
() ,2,1,0 ,232=+=k k E k ω
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()⎩⎨
⎧>--<∞=.
0,,0,
)(x a x r x x V δ ()0,>a r (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: ()ψψδψE a x r dx
d m =---2
2
22 (2) 对于束缚态（0<E ），令
mE 2-=β (3)
则 ()0222
22=-+-ψδψβψa x mr dx d
(4) 积分
⎰
+-ε
ε
a a dx ,+→0ε,得'ψ跃变的条件
)(2)()(2''a mr
a a ψψψ
-
=--+ (5) 在a x ≠处，方程(4)化为
02
22=-ψβψdx
d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=∞=ψψ 因此 ⎩⎨
⎧><≤=-.,
,
0,)(a x Ae a x x sh x x
ββψ (7) 再根据a x =点)(x ψ连续条件及)('
x ψ跃变条件(5)，分别得
)(a Ae a sh a ψββ==- (8)
)(22a mr
a ch Ae a ψββββ
-
=--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a ψ-乘以（9）式，利用（8）式）
2
2coth mra a a a =+βββ (10) 此即确定能级的公式。

下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

当势阱出现第一条能级时，-→0E ，所以+→0a β,
利用 1lim coth lim 00==→→a
th a a a a a ββββββ, （10）式化为
++=+=01coth 22a a a mra βββ
, 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122≥ mra （11） 纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。

当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡x ψ，对0≤x ）。

束缚态存在与否是要受到影响的。

纯δ势阱的特征长度L 2 = 。

条件（11）可改写为 2L a ≥ （12）
即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2L a ≥）。

才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。

显然，当∞→a （即
2L a >>）
，∞→a β时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth →a β，式（10）给出 22 mr =β
即 22
2222
mr m E =-=β （13） 与势阱)()(x r x V δ-=的结论完全相同。

令ηβ=a ， 则式（10）化为
()2
2coth 1 mra =
+ηη （14） 由于()1c o t h 1≥+ηη，所以只当122≥ mr a 时，式（10）或（14）才有解。

解出根η之后，利用 mE a a 2-==βη，即可求出能级
22
22m a
E η -= （15）。