实变函数复习要点
(完整版)《实变函数》期末复习提要
《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。
第一章 集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。
2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。
实变函数复习要点
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《实变函数论》总复习
可测集与开集、闭集只相差一小测度集； 可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零集得 到． 三、重点 外测度和可测集的定义；可测集的基本性质（定义 2.1.2） ；可测集的极限性质（定理 2.1.5；定理 2.1.6） ．
第三章
可测函数
一、考核知识点 1. 可测函数的定义及其等价定义、 可测函数的性质和可测函 数与简单函数的关系； 2. 叶果洛夫定理； 3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理； 4. 鲁津定理． 二、考核要求 1. 可测函数及其性质 （1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义； （2）综合应用：可测函数的性质． 零集上的任何函数都是可测函数； 简单函数是可测函数； 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数； 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
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《实变函数论》总复习
析)就是建立在勒贝格积分的基础上的． 由于有了具有可列可 加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积 分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要 收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、依测度收敛、积分 平均收敛等．依测度收敛在概率论中就是依概率收敛，且具 有特别重要的地位．积分平均收敛在一般分析学科中也是常 用的重要收敛．傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就 是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念． 《实变函数论》的三大定理 1、Lebesgue 控制收敛定理； 2、Levi 控制收敛定理； 3、Fatuo 引理． 这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了 Lebesgue 积分相对于 Reimann 积分的优越性， 因而这三个定 理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无 愧． 《实变函数论》的三大原理 1. Every measurable set is nearly a finite sum of intervals; 2. every function (of class Lp) is nearly continuous; 3. every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.
实变函数期末总结高中
实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。
一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。
（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。
（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。
2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。
（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。
（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。
（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。
（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。
（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。
二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。
当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。
（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。
（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像具有周期性。
2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。
（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。
平移变换可以改变函数图像的位置。
（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。
实变函数知识点总结免费
实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。
函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。
2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。
它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。
极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。
连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。
3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。
在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。
微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。
4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。
微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。
在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。
5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。
序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。
6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。
在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。
以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。
2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。
二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。
2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是函数在该点的极限值。
2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。
微分可以用来估计函数值的变化。
四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。
常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。
五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。
不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。
2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。
定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。
六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。
实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
（完整版）实变函数论主要知识点
（完整版）实变函数论主要知识点实变函数论主要知识点第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习：①证明()()A B C A B C --=-U ；②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+U ；2、对等与基数的定义及性质；练习：①证明(0,1):?；②证明(0,1)[0,1]:；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习：①(0,1)= ；②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；5、练习：①P =o，P '= ，P = ；②111,,,,2n 'L L = ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ = ，mP = ；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章积分论1、非负简单函数L 积分的定义；练习：①Direchlet 函数在1?上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习：①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积?f 在E 上可测；练习：①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ??=为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
实变函数复习要点
实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。
在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。
再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。
2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。
另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。
了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。
4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。
复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。
还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。
5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。
进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。
6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。
学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。
学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。
掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。
9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。
10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。
实变函数(全)总结
limAn limAn A
n
n
则称集列{An} 收敛，称其共同的极限为集
列 {An} 的极限集，记为：lim An A n
单调增集列极限
若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调增加 ; 若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
从而A1, A2 , A3在f 下的象B1, B2 , B3也两两不交，
Bernstein定理的证明
从而A1, A2 , A3,两两不交, B1, B2 , B3,也两两不交
f
f
而且An ~ Bn (n 1,2,),所以 An ~ Bn
n1
n1
g
另外由Bk ~ Ak 1(k 1, 2,
g
), 可知 Bk ~ Ak 1
{x : lim n
fn (x)
f
(x)}
{x :|
fn (x)
f
(x) |
1 k
}
k 1 N 1n N
lim
n
fn (x)
f
(x)
:
1 k
1, N
1,n
N,有|
fn (x)
f
(x) |
1 k
A {x : ,有x A }
A {x : ,使x A }
例2
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
天津市考研数学复习资料实变函数重要定理总结
天津市考研数学复习资料实变函数重要定理总结实变函数是数学分析中的重要概念，它是研究实数域上的函数的性质与性质变化规律的数学工具。
实变函数理论体系庞大而复杂，其中包含了许多重要定理。
本文将对天津市考研数学复习资料中实变函数的重要定理进行总结，并对每个定理进行简要说明。
1. 有界性定理对于实变函数f(x)而言，如果它在区间[a, b]上连续，则它在该区间上有界。
即存在一个常数M，使得对于该区间上的任意x，总有|f(x)|≤ M。
有界性定理是实变函数理论中的基础定理，可以帮助我们判断实变函数在某个区间上的性质。
2. 增量极限定理对于实变函数f(x)，如果在点x=a处可导，则f(x)在该点的导数f'(a)正是它的增量极限。
即lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗=f'(a)。
增量极限定理是求导运算的基础定理，通过该定理可以求得函数在某点处的斜率或变化率。
3. 矩阵不等式对于实变函数f(x)，如果它在区间[a, b]上连续且存在M>0，使得对于该区间上的任意x，总有|f'(x)|≤ M，则称f(x)在该区间上满足矩阵不等式。
矩阵不等式的存在性可以帮我们判断实变函数在某个区间上的变化趋势。
4.柯西-施瓦茨定理对于实变函数f(x)和g(x)，如果它们在区间[a, b]上连续且可导，则它们的乘积f(x)g(x)在该区间上可导，并且有(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
柯西-施瓦茨定理是实变函数理论中的重要定理，通过该定理我们可以求得两个函数的乘积的导数。
5. 黎曼定理对于实变函数f(x)，如果它在区间[a, b]上连续且可导，则它在该区间上必然满足黎曼定理，即必然满足定积分与原函数的关系。
∫_a^b▒〖f'(x)dx＝f(b)-f(a)〗。
黎曼定理是实变函数理论中的基础定理，可以帮助我们计算函数的定积分。
6. 泰勒定理对于实变函数f(x)，如果它在点x=a处连续且存在n阶导数，则可将f(x)在该点泰勒展开，即f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+(1/n!)(d/dx)^n[f(x)]_(x=a)(x-a)^n。
实变函数的复习资料
一、集合1、证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。
2、证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，nn（inf{xn} limxn）。
nn3、证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。
n n 1n n 1114、证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。
n 1n 1nn5、证明：任何无限集必与其一个真子集对等。
6、证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。
7、证明：有理数全体成一可数集。
8、证明：开区间(0,1)是一不可数集。
9、证明：无理数全体成一不可数集。
二、点集1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。
2、证明： A A A。
3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。
4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。
5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。
6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。
并举例说明开集的任意交不一定是开集。
7、证明开集与闭集的对偶性。
8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。
9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220f 1(G) {x|f(x) G}是开集。
三、测度论n1、若E {(0,0, ,0)} R，求mE。
***2、证明：若A B，则mA mB。
3、若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。
4、若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。
6、证明：凡外测度为零之集皆可测。
7、若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，试写出X上由所生成的代数。
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是指定义在实数集上的函数，其定义域和值域都是实数集。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
本文将从实变函数的定义、性质和应用等方面进行阐述。
实变函数的定义是指定义在实数集上的函数。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
实变函数的自变量和因变量都是实数，而不是其他类型的数值。
实变函数通常用符号表示，比如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
实变函数具有一些特性和性质。
首先是定义域和值域。
实变函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有因变量的取值范围。
其次是奇偶性。
实变函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
再次是单调性。
实变函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
最后是极限和连续性。
实变函数可以有极限和连续性，这是分析实变函数性质的重要工具。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用。
首先是在微积分中的应用。
微积分是研究变化的数学分支，实变函数是微积分研究的基础。
微分学研究实变函数的导数和微分，积分学研究实变函数的积分。
实变函数的微分和积分是求解实际问题中的关键步骤。
其次是在概率论和统计学中的应用。
概率论和统计学是研究随机现象的数学分支，实变函数在概率论和统计学中起到了重要的作用。
实变函数的分布函数、概率密度函数和特征函数等在概率论和统计学中有着广泛的应用。
此外，实变函数还应用于物理学、工程学、经济学等领域。
实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是定义在实数集上的函数，具有一些特性和性质。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
通过对实变函数的研究和应用，我们可以更好地理解和分析数学和自然界中的现象。
实变函数复习提纲
实变函数复习提纲实变函数复习提纲2006-7-14第⼀章集合⼀、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、⼀⼀映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．⼆、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德⼀摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）．三、基本题⽬1、集合对等的判定、求基合的基数例证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、因()x x 2tanπ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴?：()x x 2tanπ=是（－1，1）到R上的⼀⼀对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11π=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，⼜c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。
摩根律的应⽤3 可数数集合的判定第⼆章点集⼀、基本概念：距离、度量空间、n 维欧⽒空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间⼆、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题⽬1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈?，x 的任意邻域)(x U 内有⽆数个⽆理点,∴)(x U E _，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E ⽆内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈?x ，)(x U ?内都有⽆数多个有理点，即有⽆数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.⼜在[0，1]外的任⼀点都不是E 的聚点.∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=?='?=E E E E ，∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为?=0E ，⽽E 是⾮空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，⽽[0，1]中的⽆理点不在E 内，即E E __'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章测度论引⼊：把区间的长度、平⾯图形的⾯积、空间⽴体图形的体积推⼴到点集的度量—测度．⼀、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任⼀点集，对于每⼀列覆盖E 的开区间E I U i i ?∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIµ（µ可以等于+∞，不同的区间列⼀般有不同的µ），所有这⼀切的µ组成⼀个下⽅有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：=∑∞=?∞=1inf1*i i E I I E m i iY注：由定义1知：nR 中的任⼀点集都有外测度（⼀个⾮负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任⼀点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多⾥条件，也简称卡⽒条件.L 可测集的全体记为µ.3可测集类1）零测度集类：2）⼀切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的⼆、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=?m ）；（⾮负性）；（2）设A ?B ，则A m *≤B m *；（单调性）（3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ?E ，B ?[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=?2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是⼀列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是⼀列可测集合，则i i S ∞=?1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递增的可测集合：s s 21…sn…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞==Y 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递减的，可测集合： S 1?S 2?…?Sn…令n n i i S S S ∞→∞==?=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三基本题⽬1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ?，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡⽒条件成⽴，即对nR T ??，有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=∵)()(CE T E T T I Y I =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ?+? （外测度的次可数可加性）①另⼀⽅⾯：∵E E T ?)(I ，∴)(*E T m I ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m I ≥0，∴0≤)(*E T m I ≤0，必有)(*E T m I =0 ⼜：)(CE T T I ? ∴T m *≥)(*CE T m I （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m I +)(*CE T m I ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m I +)(*CE T m I ，此即卡⽒条件成⽴；∴ E 是可测的，∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E 的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}?=,,,,,321m e e e e E Λ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321Λ，ΛΛ,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε?1，作开区间=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321ΛΛεεn i I inii ,,3,2,1,2)2(Λ=≤=εε因E e i i i iI=?∞=∞=11Y Y ，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m Y⼜由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为⼀可数集合，∴Q m *=0. 对于T ?，∵)()(cQ T Q T T I Y I =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m I I +≤ （外测度的次可列可加性）①另⼀⽅⾯，∵Q Q T ?)(I ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m I （单调性），0)(*≥Q T m I ，∴0)(*=Q T m I 。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记
1. 实变函数概念的介绍
实变函数是数学中的一个重要概念，是指定义在实数域上的函数。
关于实变函数的教学应该从概念的介绍开始，让学生理解实变函数的定义和特征。
在逐步引入实变函数的性质和定理时，需要强调理解和记忆实变函数的概念和定义的重要性。
2. 常见实变函数的种类
在实变函数教学中，需要学生掌握常见的实变函数的种类，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
对每种函数的定义、性质、图像及应用进行分析和讲解，以加深学生对实变函数的认识和理解。
3. 实变函数性质的探究
实变函数的性质是实变函数教学中的重点内容。
教师需要引导学生探究实变函数的连续性、可导性、极值、单调性等性质，并深入剖析这些性质的证明过程和应用。
同时，还需要引导学生理解实变函数性质的关系，例如连续性和可导性、极值和单调性等，以增强学生对实变函数性质的综合认识。
实变函数的应用广泛，教师需要引导学生掌握实变函数在科学、工程和经济等领域的应用。
例如，学生可以通过学习实变函数来分析和解决实际问题，如经济学中的成本和收益分析、工程学中的物理问题等。
5. 实变函数的练习和应用题
实变函数的练习和应用题是巩固实变函数知识和提高学生能力的有效方式。
教师需要针对不同的实变函数知识点，设计合适的练习和应用题，让学生通过练习和应用，掌握和提高实变函数的解题能力和应用能力。
总之，实变函数教学需要教师充分了解实变函数的性质、应用及教学方法，引导学生全面掌握实变函数的知识和技能，提高数学素养和应用能力。
实变函数复习题(一)
实变函数复习题(一)实变函数复习题实变函数是数学分析中一门重要的课程，是几乎所有科学学科的一个基础，也是微积分的基础。
在学习实变函数的过程中，我们需要复习一些理论知识和解题技巧。
以下是一些重要的复习题目。
一、理论知识1. 实变函数的定义和性质2. 连续性和一致连续性的定义及其关系3. 极限的定义及其性质4. 导数的定义及其性质5. 高阶导数的定义及其性质6. 麦克劳林公式及其应用7. 极值和最值的定义及其求解方法8. 函数的单调性、凸性和拐点的定义及其求解方法9. 不定积分的定义及其性质10. 定积分的定义及其性质11. 变限积分和重积分的定义及其性质12. 广义积分的定义及其性质二、解题技巧1. 理解定理的证明过程，掌握其具体应用2. 运用极限的定义求解无穷小量、无穷大量等问题3. 对于特殊函数如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数等，需要熟悉其性质和求导规则4. 对于一些常用函数的不定积分，如$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$，$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$，$\int e^{ax}dx$，需要掌握其求解方法5. 对于求解最大值、最小值、拐点等问题，需要作图、求导、判别法等多种方法相结合6. 对于解决变限积分、重积分、广义积分等问题，需要根据相关定理进行计算和判定三、练习题1.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$2.证明函数$f(x)=x^3$在$x=0$处连续，但不一致连续3.证明$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$4.求函数$f(x)=x^5-5x^4+10x^3+10x^2-5x+1$的极值和最值5.求函数$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$的单调性、凸性和拐点6.求$\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$7.求$\iint\limits_D(x^2+y^2)dx dy$，其中$D$是由$x^2+y^2=1$及$x^2+y^2=4$围成的区域8.求$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx$的值9.证明$\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx$收敛当且仅当$\alpha>1$10.证明$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$以上是实变函数复习的一些基本知识、技巧和练习题，通过对这些内容的熟练掌握和灵活运用，可以在以后的学习和科研中起到重要的作用。
实变函数复习要点
实变函数复习要点(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 Nn x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设 ]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
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可测函数的收敛性 知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学 习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念 掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明） 一致收敛 处处收敛 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章 集合 集合的运算 子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法 则。会证明两集合相等 单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限 集。 集合的基数 明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系 会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应 能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集 基本概念 掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ， 给定一个集合，会求前述点集 开集、闭集、完备集 理解开集、 闭集、 自密集、 完备集的概念， 能分辨一个集合属于哪一类。 了解 Cantor 集的构造方式， 并要掌握其特性： 完备集； 不可数集； 测度为零； 内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。 知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的 了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场 掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 依测度收敛 必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理 掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理
第五章 Lebesgue 积分 刚刚讲过，知识就不再过一遍了 掌握 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系 会利用 “Lebesgue 积分的性质” 、 “Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系” 计算 Lebesgue 积分 会利用 Lebesgue 控制收敛定理计算“函数列积分的极限”
可测集的构造 掌握可测集与开集、闭集、Gd 型集， Fs 型集的关系：粗略地说，都是差不多
பைடு நூலகம்
第四章 可测函数 简单函数 掌握简单函数的概念
可测函数 可测函数的定义：简单函数列的极限函数。 掌握可测函数的刻画： E[ f ³ a ] 是可测集， "a Î 。以及其他几个等价刻画 掌握并能应用可测函数的性质
第三章 测度 外测度 了解外测度的定义与性质（非负性，单调性，可数次可加性，分离可加性） ，知道
1
任意集合都有外测度 可测集 掌握可测集与测度的定义 （Carathedory conditon） ， 会应用可测集与测度的运算性质 (遗传自外测度的，尤其是自身特有的) 掌握“外测度为零的集合集一定可测” ，并能利用这一特性与集合的相关性质证明 一些集合为可测集 知道开集、闭集、Gd 型集， Fs 型集，Borel 集都是可测集 知道存在不可测集