实变函数复习要点

3

可测函数的收敛性 知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学 习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念 掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明） 一致收敛 处处收敛 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章 集合 集合的运算 子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法 则。会证明两集合相等 单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限 集。 集合的基数 明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系 会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应 能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集 基本概念 掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ， 给定一个集合，会求前述点集 开集、闭集、完备集 理解开集、 闭集、 自密集、 完备集的概念， 能分辨一个集合属于哪一类。 了解 Cantor 集的构造方式， 并要掌握其特性： 完备集； 不可数集； 测度为零； 内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。 知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的 了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场 掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 依测度收敛 必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理 掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理
第五章 Lebesgue 积分 刚刚讲过，知识就不再过一遍了 掌握 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系 会利用 “Lebesgue 积分的性质” 、 “Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系” 计算 Lebesgue 积分 会利用 Lebesgue 控制收敛定理计算“函数列积分的极限”
可测集的构造 掌握可测集与开集、闭集、Gd 型集， Fs 型集的关系：粗略地说，都是差不多
பைடு நூலகம்
第四章 可测函数 简单函数 掌握简单函数的概念
可测函数 可测函数的定义：简单函数列的极限函数。 掌握可测函数的刻画： E[ f ³ a ] 是可测集， "a Î 。以及其他几个等价刻画 掌握并能应用可测函数的性质
第三章 测度 外测度 了解外测度的定义与性质（非负性，单调性，可数次可加性，分离可加性） ，知道
1
任意集合都有外测度 可测集 掌握可测集与测度的定义 （Carathedory conditon） ， 会应用可测集与测度的运算性质 (遗传自外测度的，尤其是自身特有的) 掌握“外测度为零的集合集一定可测” ，并能利用这一特性与集合的相关性质证明 一些集合为可测集 知道开集、闭集、Gd 型集， Fs 型集，Borel 集都是可测集 知道存在不可测集