传热学第三章
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传热学-第三章
截断误差
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
传热学 第三章 辐射换热
q = E − AEb
A
(1-A)Eb
w/m2
当温度相等时， 当温度相等时，两表面处于 热平衡状态， 热平衡状态，q=0，于是得到 ， E=AEb
第三章 辐射换热 热辐射的基本概念
五、基尔霍夫定律
上式可以写成： 上式可以写成：
E = Eb A
推广到任何物体得到： E1 = E2 = E3 L = E = E 推广到任何物体得到： b A1 A2 A3 A 上式就是基尔霍夫定律的数学表达式。 上式就是基尔霍夫定律的数学表达式。它可以表述 在热平衡条件下， 为：在热平衡条件下，任何物体的辐射力与吸收率的 比值，恒等于同温度下黑体的辐射力。 比值，恒等于同温度下黑体的辐射力。
第三章 辐射换热
热辐射是热传递的三种基本方式之一， 热辐射是热传递的三种基本方式之一，它是 由电磁波来传递能量的现象， 由电磁波来传递能量的现象，与导热和对流有着 本质的区别。辐射换热是互不接触的物体之间通 本质的区别。 过相互辐射进行热交换的过程。 过相互辐射进行热交换的过程。
第三章 辐射换热
第三章 辐射换热 热辐射的基本概念
四、黑度
物体的黑度表示该物体辐射力接近绝对黑体辐射力 的程度。 的程度。
E ε= Eb
第三章 辐射换热 热辐射的基本概念
五、基尔霍夫定律
如图设有两个表面，一个是黑体，一个是灰体。 如图设有两个表面，一个是黑体，一个是灰体。 两个表面互相平行，距离很近， 两个表面互相平行，距离很近，于是从一块板上发射 的辐射能全部落到另一块板上。若板1为黑体表面 为黑体表面， 的辐射能全部落到另一块板上。若板 为黑体表面， 其辐射力、吸收率、和表面温度分别为E 其辐射力、吸收率、和表面温度分别为 b,Ab和 T1， 为灰体表面， 板2为灰体表面，其辐射力、吸收率、和表面温度分 为灰体表面 其辐射力、吸收率、 别为E,A和 T2。 别为 和 。
传热学-第三章
2021/5/9
cV d hA d
求通解ln hA c General Solution cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
Initial condition
0
t t t0 t
exp
hA
cV
7
※
时间常数
c
cV
hA
e c
0
time constant
2021/5/9
2021/5/9
※ t x 4 a
热边界层 t
※
t
x 2 22
•
1 a
x2 16a
惰性时间 t x2
31
2021/5/9
（冰冻三尺 非一日之寒）
设大地温度为10ºC，后受到冷空气侵袭地表温度降 为-15ºC并维持不变。确定这种条件下地下1m 处温度
降为0ºC时所需时间？设土壤的物性为 a 1.38107 m2 / s
t
t0
2
end
26
2021/5/9
（1）建立物理模型 ( Physical Model ) （2）建立数学模型( Mathematical Model ) （3）求通解( General Solution ) （4）建立定解条件( initial and boundary condition) （5）求特解( Special Solution ) （6）求解换热量( Flowrate of heat）
1.瞬间换热量 transient heat transfer rate
hA(t
t )
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
2. 0~ 内传给流体的总热量：
传热学课件第三章稳态导热
重点与难点
重点： 平壁、圆筒壁的一维稳态导热 难点： 肋片的导热
内容精粹
§1 通过平壁的导热
§2 通过圆筒壁 的导热
§3 通过球壁的导热
§4 接触热阻
§5 通过肋片的导热
第一节
通过平壁的导热
一、第一类边界条件下的平壁导热
当平壁的两表面分别维持均匀恒定 的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。
1. 单层平壁的稳态导热
圆球型导热仪示意图
在导热过程达到稳态后，通过被测材料层的
热流量Ф 就等于电加热功率P，忽略球壳的导热
热阻，被测材料层的内、外径即为内球壳外径d1 和外球壳内径d2，内外两侧的温度分别等于内、 外球壁的平均壁温tw1、tw2
。则所测材料在tw1～
tw2温度范围内的平均热导率为：
（d 2 d1） m 2d1d（ 2 t w1 t w 2）
2. 多层平壁的稳态导热
多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别维 持均匀恒定的温度时，其导热也是一维稳态导热。 以三层平壁为例，假设 （1）各层厚度分别为1、2、3， 各层材料的导热系数分别为1、2、 3 , 且分别为常数； （2）各层之间接触紧密, 相互 接触的表面具有相同的温度； （3）平壁两侧外表面分别保持 均匀恒定的温度tw1、tw4。 显然，通过此三层平壁的导热为 稳态导热, 各层的热流量相同。
tw1 tw 4 l Rl1 Rl2 Rl3 tw1 tw 4 d3 1 d2 1 1 d4 ln ln ln 21 d1 22 d 2 23 d3
对于 n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热 , 单位 长度的热流量为
l
tw1 tw n 1
三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻 之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得 tw1 tw 4 tw1 tw 4 3 1 2 R1 R 2 R 3 A1 A2 A3
传热学-第三章
常数 ( cV / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电 偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 (微细热电偶、薄膜热电阻)
当 4 Vc 时， 1.83% hA
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
t
2t c x2
2t y 2
2t z2
c
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的 一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中的指数：
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
Biv Fov
Bi v
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov是傅立叶数
hA
e Vc eBiv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
w m2K
m2
w 1
Vc
kg m3
m3
J kgK
J
s
即与 1
的量纲相同，当 Vc
hA
时，则
hA Vc
1
此时
e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温度
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电 偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 (微细热电偶、薄膜热电阻)
当 4 Vc 时， 1.83% hA
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
t
2t c x2
2t y 2
2t z2
c
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的 一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中的指数：
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
Biv Fov
Bi v
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov是傅立叶数
hA
e Vc eBiv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
w m2K
m2
w 1
Vc
kg m3
m3
J kgK
J
s
即与 1
的量纲相同，当 Vc
hA
时，则
hA Vc
1
此时
e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温度
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
传热学-第三章 new
第三章 非稳态导热
25
2 半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波
微分方程式
周期性边界条件
t 2t a 2 x
2 AW cos T
(0, ) w
利用分离变量法求解 温度分布的表达式
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
第三章 非稳态导热 14
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt hA(t t ) - Vc d
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0 方程式改写为：
dy] w erfc (u )
常热流边界条件下：
解为：
热流渗透厚度：它是随时间而变化的，它反映在所考虑的时间范围内，界 面上热作用的影响所波及的厚度。
第三章 非稳态导热 21
§3-4 其它形状物体的瞬态导热
无限长圆柱体(查表3-13，3-14，3-15)
m f ( Bi, Fo) 0
第三章 非稳态导热 27
地面参数： 最高温度：30.5 最低温度：-3.5 平均温度：13.5 振幅：17 10m处振幅：0.3 15m处振幅：0.04
28
第三章 非稳态导热
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
⑵温度波的延迟
2 T aT 1 T x 2 a
第三章 非稳态导热 3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学_第3章
2 1
x
Q c
t0 t ( x, ) dV
当物体和周围流体达到热平衡时放出的总热量
Q0 cV
t0 t
(t0 t ) (t t ) dV V t0 t
1 Q c V [t0 t ( x, )]dV V Q0 cV (t0 t )
1
2
物体内初始温度分布消 失，各点的温度变化具有一 定的规律。
2
3－2 一维非稳态导热的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 1. 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：厚度为2，、为常数， 无内热源，初始温度与两侧流体 相同，为 t0。两侧流体温度突然 降低为 t ，并保持不变，平壁表 面与流体间对流换热表面传热系 数h为常数。 tf t 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图。 这是一维非稳态导热问题。
上式的几何意义：在整个非稳 态导热过程中平壁内过余温度 分布曲线在边界处的切线都通 O( / ,0) 点 , 即 O( / Bi,0) ，该点称为第 三类边界条件的定向点。
11
毕渥数Bi对温度分布的影响分析 (a) Bi0: 平壁导热热阻趋于零 ，平壁 内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只 随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表 面的对流换热强度。定向点在无穷远处。 工程上只要 Bi0.1，就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。 (b) Bi: 对流换热热阻趋于零 ，非稳 态导热一开始平壁表面温度就立即变为流 体温度，相当于给定了壁面温度（第一类 边界条件），平壁内部的温度变化完全取 决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表 面上。 当Bi>100时可按此情况处理。 (c) 0<Bi<100，按一般情况处理。
x
Q c
t0 t ( x, ) dV
当物体和周围流体达到热平衡时放出的总热量
Q0 cV
t0 t
(t0 t ) (t t ) dV V t0 t
1 Q c V [t0 t ( x, )]dV V Q0 cV (t0 t )
1
2
物体内初始温度分布消 失，各点的温度变化具有一 定的规律。
2
3－2 一维非稳态导热的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 1. 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：厚度为2，、为常数， 无内热源，初始温度与两侧流体 相同，为 t0。两侧流体温度突然 降低为 t ，并保持不变，平壁表 面与流体间对流换热表面传热系 数h为常数。 tf t 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图。 这是一维非稳态导热问题。
上式的几何意义：在整个非稳 态导热过程中平壁内过余温度 分布曲线在边界处的切线都通 O( / ,0) 点 , 即 O( / Bi,0) ，该点称为第 三类边界条件的定向点。
11
毕渥数Bi对温度分布的影响分析 (a) Bi0: 平壁导热热阻趋于零 ，平壁 内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只 随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表 面的对流换热强度。定向点在无穷远处。 工程上只要 Bi0.1，就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。 (b) Bi: 对流换热热阻趋于零 ，非稳 态导热一开始平壁表面温度就立即变为流 体温度，相当于给定了壁面温度（第一类 边界条件），平壁内部的温度变化完全取 决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表 面上。 当Bi>100时可按此情况处理。 (c) 0<Bi<100，按一般情况处理。
传热学第三章
θ ( x ,τ ) x = f ( Bi, Fo, ) θ0 δ
13
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 14 同样适用于加热过程
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
若Fo≥0.2：
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo β n + sin β n cos β n δ
τ =0
t = t0 τ = 0
τ3
τ2
τ1
t = t0 τ = 0
τ1 > 0
t = t0
τ1 > 0
τ2
τ2 > τ1
τ
2
>τ1
t∞
−δ
Bi→0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判 据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表 面温度的差别≤5%，接近均匀一致 29 —— 可用集总参数法求解
θ ( x,τ ) = θ 0
2 sin β1 x 2 cos(β1 )e −β1 Fo β1 + sin β1 cos β1 δ
Bi和位置 x/δ 的函数
Bi =
hδ λ
2
ln θ = − mτ + K ( Bi,
a δ2
与时间无关；只取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几何尺寸 当平壁及其边界条件给定后，m 为一 个 常数，它与时间 τ 、地点 x/δ 无关 表明：Fo≥0.2时（τ* ≥ 0.2δ2/a） 平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等 正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失 22
x ) δ
两边取对数：
m = β1
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
传热学第三章
第三章 非稳态导热
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
∂t t = f ( x, y , z , τ ) , ≠0 ∂τ
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
四、导温系数（热扩散系数）
∂t ∂ t ρcp =λ 2 ∂τ ∂x
2
λ a = ρc p
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；ρ c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
五、毕渥准则对温度分布的影响 αδ 毕 渥 准 则 — 无 量 纲 数 δ —平板厚度之半 Bi = λ αδ δ / λ 物体内部导热热阻 Bi = = λ 1/α 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / α << δ / λ
Bi→∞
1 / α >> δ / λ
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2·K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 c p = 480 J /(kg ⋅ K ), ρ = 7753kg / m3 , λ = 33W /(m ⋅ K ). 解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
∂t t = f ( x, y , z , τ ) , ≠0 ∂τ
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
四、导温系数（热扩散系数）
∂t ∂ t ρcp =λ 2 ∂τ ∂x
2
λ a = ρc p
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；ρ c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
五、毕渥准则对温度分布的影响 αδ 毕 渥 准 则 — 无 量 纲 数 δ —平板厚度之半 Bi = λ αδ δ / λ 物体内部导热热阻 Bi = = λ 1/α 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / α << δ / λ
Bi→∞
1 / α >> δ / λ
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2·K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 c p = 480 J /(kg ⋅ K ), ρ = 7753kg / m3 , λ = 33W /(m ⋅ K ). 解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
第三章传热学资料
强化手段:
a 无源技术(被动技术) ；b 有源技术(主动式 技术)
无源技术(被动技术)：除了输送传热介质的功 率消耗外，无需附加动力
其主要手段有：①涂层表面在换热表面涂上细小 的多孔层以加以强化沸腾；
②粗糙表面(图3-29)粗糙表面可以促进边界层中 流体的混合；
③扩展表面(图3-30)增加换热面积的作用； ④扰流元件(图3-31a)插入管内以加强流体中的扰
第三章传热学
第三节辐射换热 第四节传热过程与换热器
辐射换热是热量传递的三种方式之一。是由于运 动而以电磁波形式传递的能量。
特点： 1)热辐射与导热和对流换热不同， 它不需要任何中间物体传递热量，可以在 真空中传递。
2)热辐射过程中不仅有能量的转移，而 且还伴随着能量的转换，即发射时由热能 转变为辐射能，吸收时又由辐射能转换为 热能。
肋片管式换热器：适用于管内液体和管外气
体之间的换热
板式换热器：由一组几何结构相同的平行薄平
板叠加所组成，冷热流体间隔地在每个通道中流动， 其特点是拆卸清洗方便，故适用于含有易结垢物的 流体。
板翅式换热器：结构紧凑，单位体积的换热面
积大，但清洗困难，不易检修，适用于清洁无腐蚀 性流体间的换热
顺流和逆流是两种极端情况，在相同的进出口温 度下，逆流的最大，顺流则最小；顺流时，而逆 流时，则可能大于 ，可见，逆流布置时的换热最 强。
所有波长的能量总和。 (W/m2)；
(2)斯蒂芬—玻耳兹曼定律：黑体辐射力与黑体热力学温度的
4次方成正比，因此又称为4次方定律。即 Eb CbT 4
式中：Cb=5.67×10-8W/(m2·K4)，称为黑体辐射 系数；T为绝对温度，K。
为了计算方便，改为
Eb
传热学第3章
Bi→0时，平壁内温度分布趋于均匀一致
可用集总参数法处理
集总参数法的使用条件： 当Bi<0.1时，忽略物体内部导热热阻， 物体温度均匀一致
t f
集总参数法的应用范围：导热系数λ很大，或物体尺寸很小
集总参数法的应用实例：体温计、热电偶测量端
集总参数法的计算方法：
根据物体的热平衡关系：
热流量计算式：
2 sin 2 n 2 0 1 2 exp n Fo n1 n n sin n cos n
无限大平壁非稳态导热问题的另一种计算方法——计算线图法 计算Bi和Fo
计温 算度 步分 骤布
由图3－5计算中心温度
瞬态导热的例子
体温计
淬火
烹饪
周期性导热的例子
建筑外围护结构
第一节 非稳态导热的基本概念
1.瞬态导热： 以采暖房间外墙为例，在某一时刻，墙体某一侧空气 温度突然提高，墙体内部温度分布将随时间呈如下变化。 t
t w1
t w1
tw2
tw2
x
t－x坐标系
t－τ坐标系
q－τ坐标系
q－τ坐标系中：
热流量的计算：
2 sin 2 n 2 c 0 x, dx 2c0 1 2 exp n Fo n1 n n sin n cos n
令
0 2 c0 ——无限长时间后壁面冷却到tf时的最大放热量
研究对象： 厚度为2δ的无限大平壁在第三类边界 条件下突然冷却，由于两侧对称，因 而将坐标轴x的原点放在平壁中心， 并满足绝热边界条件 常物性时导热微分方程组如下： t 2t a 2 , 0,0 x x t 0 t 0 ,0 x t x 0 0, 0 x t x h t x t f , 0 x
传热学第三章辐射传热
传热学第三章辐射传热一、名词解释1．热辐射：由于物体内部微观粒子的热运动状态改变，而将部分内能转换成电磁波的能量发射出去的过程。
2．吸收比：投射到物体表面的热辐射中被物体所吸收的比例。
3．反射比：投射到物体表面的热辐射中被物体表面所反射的比例。
4．穿透比：投射到物体表面的热辐射中穿透物体的比例。
5．黑体：吸收比α= 1的物体。
6．白体：反射比ρ=l的物体(漫射表面)7．透明体：透射比τ= 1的物体8．灰体：光谱吸收比与波长无关的理想物体。
9．黑度：实际物体的辐射力与同温度下黑体辐射力的比值，即物体发射能力接近黑体的程度。
10．辐射力：单位时间内物体的单位辐射面积向外界(半球空间)发射的全部波长的辐射能。
11．漫反射表面：如果不论外界辐射是以一束射线沿某一方向投入还是从整个半球空间均匀投入，物体表面在半球空间范围内各方向上都有均匀的反射辐射度L r，则该表面称为漫反射表面。
12．角系数：从表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数。
13．有效辐射：单位时间内从单位面积离开的总辐射能，即发射辐射和反射辐射之和。
14．投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能。
15．定向辐射度：单位时间内，单位可见辐射面积在某一方向p的单位立体角内所发出的总辐射能(发射辐射和反射辐射)，称为在该方向的定向辐射度。
16．漫射表面：如该表面既是漫发射表面，又是漫反射表面，则该表面称为漫射表面。
17．定向辐射力：单位辐射面积在单位时间内向某一方向单位立体角内发射的辐射能。
18．表面辐射热阻：由表面的辐射特性所引起的热阻。
19．遮热板：在两个辐射传热表面之间插入一块或多块薄板以削弱辐射传热。
20．重辐射面：辐射传热系统中表面温度未定而净辐射传热量为零的表面。
二、填空题1．热辐射是由于产生的电磁波辐射。
热辐射波长的单位是，在工业范围内，热辐射的波段主要集中于区段。
(热的原因，μm，红外)2．太阳与地球间的热量传递属于传热方式。
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
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非稳态导热概念
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。
3.1.1 非稳态导热的分类
非稳态导热
周期性 非周期性 t=f(x, y, z, τ)
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化。 非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升高（加 热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物 体温度逐渐趋近于周围介质温度或稳定状态。
(1) 当 Bi 时，意味着表面传热系 数h（Bi=h/），对流换热热阻 趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却
过程的一开始，就立刻降到流体温
度t 。
(2) 当Bi0时，意味着物体的导热系 数很大、导热热阻0（Bi=h/）。 任何时间物体内的温度分布都趋于均 匀一致。
(3) 当0<Bi<时， 情况介于（1）和（2）之间。
3.1.2 特点
t f (x, y, z, )
导热体的热力学能随时间发生变化；导热体要储存或释放能 量。
温度分布存在的两个不同阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
温度分布主要受初始温 度分布控制
正规状况阶段 (正常情况阶段)
温度分布主要取决于边 界条件及物性
导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
2
Bi 准则对温度分布的影响
0 21
3
t t0 0
t t0 0 1 0
2
2 1
t
t t0 1 0 2 1
Bi
0 Bi
Bi 0
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响
3.2 集总参数的简化分析法
1
三个不同阶段 起始阶段 正规状况阶段 稳定阶段
a
c
—热扩散率（导温系数）m2/s
物体内部温度变化主要 受初始温度分布影响
热量已传至物体内部每 一个点，物体内部温度 不再受初始温度影响， 主要取决于边界条件及 物性
导热体内、外达到新的 稳定状态
3.1.3 任务
确定被加热体或被冷却物体内部某点达到预定温度所需经历 的时间； 经过一定时间后物体内部某点的温度； 该期间所供给或放出的热量。
5 60 0.953103
2
1.89103
0
exp BiV FoV exp 1.07103 1.89103
exp 2.02 0.133
即经5min后温度计读数的过余温度为初始过余温度的13.3%。
也就是说，在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度 跃升的86.7%
同样，式中FoV是特征尺度l用V/A表示的傅里叶数。
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物 体各点地温度就越接近周围介质的温度。
无量纲数的简要介绍
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合 起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征， 并且没有量纲。
3.1.4 第三类边界下非稳态导热的定性分析
第三类边界下非稳态导热是最常见的一种情况，根据导热 体材料的性质和表面的换热条件分三种情况。
毕渥数(Bi)
如图所示，存在两个换热环节：
tf
a 流体与物体表面的对流换热环节 h
rh 1 h
b 物体内部的导热 r
毕渥数的定义：
Bi
r rh
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕 渥数又称毕渥准则数。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征 数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中 各个参数的意义。
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件
理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。
在实际应用中，可以适当放宽适用条件：
Bi
h(V
A)
0.1
(V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱
对半径为R 的球
V A
A A
V A
R2 2 R
R 2
V A
4 3
R
3
4 R 2
R 3
第三章 非稳态导热
28
3.2.2 符合集总体的判别条件
t
拟合线1:
t
12.7
79.4
exp
3 0.216
79.4
拟合线2 :
t
11.1
80.0
exp
3 1.252
80.0
23
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。
m
BiV
hV
A
11.63 0.953103 10.36
1.07 103
0.05
c
cV hA
13110
138 0.953 11 .63
10
3
148 s
F0V
a
V A2
c
V A2
10.36 0.138103 13110
Vc 称
hA
为时间常数，用 c表示。
当
4
Vc
时，
hA
0
1.83%
工程上认为=4 c 时
导热体已达到热平衡状态
19
Vc hA
Time constant
如果导热体的热容量(Vc) 小、换热条件好（hA大），那么 时间常数(Vc/hA)小，导热体的温度变化快。
流体
热电偶接点
解：首先检验是否可用集总参数法。为此计算毕渥数：
Biv
hV
A
h
4 3
R3
4R2
h
R 3
24
0.025 3
33
0.00606
0.0333
可以采用集总参数法。
5
据式
0
t t t0 t
e hVAc
hA cV
24 4 0.0252
d
积分
d
0
hA Vc
d
0
ln
0
hA Vc
瞬态温度：
0
t t t0 t
exp
hA Vc
过余温度比
3
讨论1：时间常数
0
hA Vc
1
时，0
exp(1) 0.368
过余温度比随时间的变化特征
1
h
h
t
tf
h
0
t
x
tf h
0
x
毕渥准则数，
Bi
hl
式中l为特征尺度
无量纲数
Bi
h
1
h
Inner conduction thermal resistance Surface convection thermal resistance
Bi 数对温度分布的影响
置无关，（零维问题）。
方法： 物体被加热或冷却时，若物体几何体积 很小，或导热系数很大，或表面传热系 数很小，那物体内部温度差别很小，把 物体温度、质量和热容量都汇总到一点 的研究方法。
理论分析
根据导热 微分方程
c
t
x
(
xt )
y
(yt ) z(t z第三章 非稳态导热
本章内容
3.1 非稳态导热的基本概念 *# 3.2 集总参数的简化分析法 * 3.3 一维非稳态导热的解析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 #
3.1 非稳态导热的基本概念
实际导热实例 冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况； 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f()
]
Jkg K
[s]
W J
s
1
指数也可改写成
hA cV
h clc
hlc
lc2c
hlc
a lc2
Bi Fo
无量纲数的物理意义
Bi
hl
l 1
h
物体内部导热热阻 ＝
物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间
边界热扰动扩散到l
2
面积上所需的时间
是与物体几何形状
BiV
h(V / λ
A)
0.1M
有关的无量纲常数
对于厚为2δ的平板：M=1，V/A = δ
R
2δ
半径为R的长圆柱：M=1/2，V/A = R/2
半径为R的球：M=1/3，V/A = R/3
R
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
例题 一直径为5cm的钢球，初始温度为450℃，忽然被置于温 度为30℃的空气中。设钢球表面与周围环境间的传热系数为 24W/(m2.K)，试计算钢球冷却到300℃所需的时间。已知钢球 的 c=0.48kJ/(kg.K), h=7753kg/m3, =33W/(m.K)。
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。
3.1.1 非稳态导热的分类
非稳态导热
周期性 非周期性 t=f(x, y, z, τ)
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化。 非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升高（加 热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物 体温度逐渐趋近于周围介质温度或稳定状态。
(1) 当 Bi 时，意味着表面传热系 数h（Bi=h/），对流换热热阻 趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却
过程的一开始，就立刻降到流体温
度t 。
(2) 当Bi0时，意味着物体的导热系 数很大、导热热阻0（Bi=h/）。 任何时间物体内的温度分布都趋于均 匀一致。
(3) 当0<Bi<时， 情况介于（1）和（2）之间。
3.1.2 特点
t f (x, y, z, )
导热体的热力学能随时间发生变化；导热体要储存或释放能 量。
温度分布存在的两个不同阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
温度分布主要受初始温 度分布控制
正规状况阶段 (正常情况阶段)
温度分布主要取决于边 界条件及物性
导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
2
Bi 准则对温度分布的影响
0 21
3
t t0 0
t t0 0 1 0
2
2 1
t
t t0 1 0 2 1
Bi
0 Bi
Bi 0
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响
3.2 集总参数的简化分析法
1
三个不同阶段 起始阶段 正规状况阶段 稳定阶段
a
c
—热扩散率（导温系数）m2/s
物体内部温度变化主要 受初始温度分布影响
热量已传至物体内部每 一个点，物体内部温度 不再受初始温度影响， 主要取决于边界条件及 物性
导热体内、外达到新的 稳定状态
3.1.3 任务
确定被加热体或被冷却物体内部某点达到预定温度所需经历 的时间； 经过一定时间后物体内部某点的温度； 该期间所供给或放出的热量。
5 60 0.953103
2
1.89103
0
exp BiV FoV exp 1.07103 1.89103
exp 2.02 0.133
即经5min后温度计读数的过余温度为初始过余温度的13.3%。
也就是说，在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度 跃升的86.7%
同样，式中FoV是特征尺度l用V/A表示的傅里叶数。
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物 体各点地温度就越接近周围介质的温度。
无量纲数的简要介绍
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合 起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征， 并且没有量纲。
3.1.4 第三类边界下非稳态导热的定性分析
第三类边界下非稳态导热是最常见的一种情况，根据导热 体材料的性质和表面的换热条件分三种情况。
毕渥数(Bi)
如图所示，存在两个换热环节：
tf
a 流体与物体表面的对流换热环节 h
rh 1 h
b 物体内部的导热 r
毕渥数的定义：
Bi
r rh
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕 渥数又称毕渥准则数。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征 数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中 各个参数的意义。
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件
理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。
在实际应用中，可以适当放宽适用条件：
Bi
h(V
A)
0.1
(V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱
对半径为R 的球
V A
A A
V A
R2 2 R
R 2
V A
4 3
R
3
4 R 2
R 3
第三章 非稳态导热
28
3.2.2 符合集总体的判别条件
t
拟合线1:
t
12.7
79.4
exp
3 0.216
79.4
拟合线2 :
t
11.1
80.0
exp
3 1.252
80.0
23
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。
m
BiV
hV
A
11.63 0.953103 10.36
1.07 103
0.05
c
cV hA
13110
138 0.953 11 .63
10
3
148 s
F0V
a
V A2
c
V A2
10.36 0.138103 13110
Vc 称
hA
为时间常数，用 c表示。
当
4
Vc
时，
hA
0
1.83%
工程上认为=4 c 时
导热体已达到热平衡状态
19
Vc hA
Time constant
如果导热体的热容量(Vc) 小、换热条件好（hA大），那么 时间常数(Vc/hA)小，导热体的温度变化快。
流体
热电偶接点
解：首先检验是否可用集总参数法。为此计算毕渥数：
Biv
hV
A
h
4 3
R3
4R2
h
R 3
24
0.025 3
33
0.00606
0.0333
可以采用集总参数法。
5
据式
0
t t t0 t
e hVAc
hA cV
24 4 0.0252
d
积分
d
0
hA Vc
d
0
ln
0
hA Vc
瞬态温度：
0
t t t0 t
exp
hA Vc
过余温度比
3
讨论1：时间常数
0
hA Vc
1
时，0
exp(1) 0.368
过余温度比随时间的变化特征
1
h
h
t
tf
h
0
t
x
tf h
0
x
毕渥准则数，
Bi
hl
式中l为特征尺度
无量纲数
Bi
h
1
h
Inner conduction thermal resistance Surface convection thermal resistance
Bi 数对温度分布的影响
置无关，（零维问题）。
方法： 物体被加热或冷却时，若物体几何体积 很小，或导热系数很大，或表面传热系 数很小，那物体内部温度差别很小，把 物体温度、质量和热容量都汇总到一点 的研究方法。
理论分析
根据导热 微分方程
c
t
x
(
xt )
y
(yt ) z(t z第三章 非稳态导热
本章内容
3.1 非稳态导热的基本概念 *# 3.2 集总参数的简化分析法 * 3.3 一维非稳态导热的解析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 #
3.1 非稳态导热的基本概念
实际导热实例 冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况； 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f()
]
Jkg K
[s]
W J
s
1
指数也可改写成
hA cV
h clc
hlc
lc2c
hlc
a lc2
Bi Fo
无量纲数的物理意义
Bi
hl
l 1
h
物体内部导热热阻 ＝
物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间
边界热扰动扩散到l
2
面积上所需的时间
是与物体几何形状
BiV
h(V / λ
A)
0.1M
有关的无量纲常数
对于厚为2δ的平板：M=1，V/A = δ
R
2δ
半径为R的长圆柱：M=1/2，V/A = R/2
半径为R的球：M=1/3，V/A = R/3
R
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
例题 一直径为5cm的钢球，初始温度为450℃，忽然被置于温 度为30℃的空气中。设钢球表面与周围环境间的传热系数为 24W/(m2.K)，试计算钢球冷却到300℃所需的时间。已知钢球 的 c=0.48kJ/(kg.K), h=7753kg/m3, =33W/(m.K)。