2020年高一数学第二学期期末试卷及答案(四)
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）. 1．sincos＝（ ） A ．B ．C ．1D ．2．在等差数列{a n }中，a 3＝24，a 6＝8，则a 9＝（ ） A ．﹣24B ．﹣16C ．﹣8D ．03．在△ABC 中，AB ＝，A ＝45°，B ＝75°，则BC ＝（ ） A ．2B ．2C ．2D ．44．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5＝3，则S 5＝（ ） A ．5B ．7C ．9D ．105．已知tan α＝﹣，且α∈（0，π），则sin （α+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，戊所得为（ ）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱7．在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C ＝5：6：8，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形 8．设a ＝cos29°﹣sin29°，b ＝、c ＝，则有（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin （α+β）＝（ ）密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．B ．C ．D ． 10．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2，则（ ） A ．A ＝BB ．B ＝C C ．C ＝AD ．B +C ＝11．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝1﹣（n ∈N*），则a 2020＝（ ）A ．2B ．C ．﹣D ．﹣312．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物MN 的顶部M 处的仰角分别为∠MAN ＝30°，∠MBN ＝60°，∠MCN ＝45°，且AB ＝BC ＝60m ，则建筑物的高度为（ ）A ．12mB ．12mC ．30mD ．30m二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13．tan15°＝ ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，＝2n +1，则a 1+a 7＝ ．15．已知α为锐角，sin （﹣α）＝，则cos α＝ ．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sinC +c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2+c 2﹣a 2＝8，则△ABC 的面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝﹣6，S △ABC ＝3． （1）求角B 的大小； （2）若c ＝3，求b 的值．18．已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x ﹣2sin x cos x （x ∈R ）． （1）求f （）的值；（2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝25，S 17＝S 9．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求S n 的最大值． 20．已知sin α＝，sin （α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin （α﹣2β）的值； （2）求β的值．密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题21．已知数列{a n }满足a 1＝，且a n +1＝．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若b n ＝a n •a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝，求（﹣1）b +c 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．sincos＝（ ） A ．B ．C ．1D ．【分析】直接利用二倍角公式求出函数的表达式，计算出值即可． 解：因为＝＝．故选：A ．2．在等差数列{a n }中，a 3＝24，a 6＝8，则a 9＝（ ） A ．﹣24B ．﹣16C ．﹣8D ．0【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a 3+a 9＝2a 6，代入数据计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n }中，有a 3+a 9＝2a 6， 又由a 3＝24，a 6＝8，则a 9＝2a 6﹣a 3＝﹣8； 故选：C ． 3．在△ABC 中，AB ＝，A ＝45°，B ＝75°，则BC ＝（ ） A ．2B ．2C ．2D ．4【分析】根据题意可求得C ＝60°，利用正弦定理即可得到B C ．解：因为A ＝45°，B ＝75°，所以C ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可得， 则BC ＝＝＝2，故选：A ．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5＝3，则S 5＝（） A ．5B ．7C ．9D ．10【分析】由等差数列{a n }的性质，及a 1+a 3+a 5＝3，可得3a 3＝3，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出． 解：由等差数列{a n }的性质，及a 1+a 3+a 5＝3， ∴3a 3＝3，密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴a 3＝1， ∴S 5＝＝5a 3＝5．故选：A ．5．已知tan α＝﹣，且α∈（0，π），则sin （α+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由特殊角的三角函数值得到α＝，然后利用两角和与差的公式解答． 解：∵tan α＝﹣，且α∈（0，π），∴α＝，∴sin α＝sin ＝，cos α＝cos ＝﹣．∴sin （α+）＝（sin αcos+cos αsin）＝（×﹣×）＝．故选：B ．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，戊所得为（ ） A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱【分析】本题根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决．解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5．则a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ． a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝5， a 1+a 2＝a 3+a 4+a 5．整理上面两个算式，得：，解得．∴a 5＝a 1+4d ＝+4×（﹣）＝． 故选：B ．7．在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C ＝5：6：8，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题C ．锐角三角形D ．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【分析】根据正弦定理依据题设可求得a ，b 和c 的比例关系，进而令a ＝5，b ＝6，c ＝8，然后利用大角对大边推断出c为最大边，C 为最大角，利用余弦定理求得cos C 的值，进而判断得解．解：∵sin A ：sin B ：sin C ＝5：6：8，∴由正弦定理可知a ：b ：c ＝5：6：8，不妨令a ＝5，b ＝6，c ＝8， ∴cos C ＝＝＝﹣＜0，∵C ∈（0，π），∴C 为钝角，△ABC 是钝角三角形．故选：A ． 8．设a ＝cos29°﹣sin29°，b ＝、c ＝，则有（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a【分析】利用三角恒等变换化a ＝sin31°，b ＝sin29°，c ＝si n32°，再根据函数y ＝sin x 的单调性判断c ＞a ＞b ． 解：a ＝cos29°﹣sin29°＝sin （60°﹣29°）＝sin31°，b ＝＝＝sin29°，c ＝＝sin32°，且y ＝sin x 在x ∈（0°，90°）内单调递增，所以sin32°＞sin31°＞sin29°，即c ＞a ＞b ．故选：C ． 9．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin （α+β）＝（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】先根据条件求出边长，结合余弦定理求出中间角的余弦值，进而求得结论．解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列， 故三边长分别为2，3，4； 设中间边对应的角为A ； 则cos A ＝＝；故sin （α+β）＝sin （π﹣A ）＝sin A ＝＝＝； 故选：D ．10．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2，则（ ） A ．A ＝BB ．B ＝CC ．C ＝AD ．B +C ＝【分析】利用三角函数的恒等变换变形得到cos （B ﹣C ）＝1，从而得到B ＝C ，则答案可求．密封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解：∵由已知可得sin B sin C ＝cos 2＝，即2sin B sin C ＝1+cos A ＝1﹣cos （B +C ）＝1﹣cos B cos C +sin B sin C ，则cos B cos C +sin B sin C ＝1，即cos （B ﹣C ）＝1．∵﹣π＜B ﹣C ＜π，∴B ﹣C ＝0，即B ＝C ．故选：B ．11．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝1﹣（n ∈N*），则a 2020＝（ ） A ．2B ．C ．﹣D ．﹣3【分析】利用数列的递推思想依次求出数列的前5项，从而得到数列{a n }是周期为4的周期数列，由此能求出a 2020． 解：∵数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝1﹣（n ∈N*），∴＝， ＝﹣， ＝﹣3， ＝2，∴数列{a n }是周期为4的周期数列， ∵2020＝505×4，∴a 2020＝a 4＝﹣3．故选：D ．12．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物MN 的顶部M 处的仰角分别为∠MAN ＝30°，∠MBN ＝60°，∠MCN ＝45°，且AB ＝BC ＝60m ，则建筑物的高度为（ ）A ．12mB ．12mC ．30mD ．30m【分析】用MN 表示出AN ，BN ，CN ，利用余弦定理表示出cos ∠ABN ，cos ∠CBN ，根据cos ∠ABN +cos ∠CBN ＝0列方程求出MN ．解：设MN ＝h ，则AN ＝h ，BN ＝，CN ＝h ，在△ABN 中，由余弦定理可得cos ∠ABN ＝，在△BCN 中，由余弦定理可得cos ∠NBC ＝，∵∠ABN +∠NBC ＝π， ∴+＝0，即7200+﹣4h 2＝0，解得：h 2＝2160，∴h ＝12．故选：B ．密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．tan15°＝ 2﹣ ．【分析】把15°变为45°﹣30°，然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简可得tan15°的值．解：tan15°＝tan （45°﹣30°）＝＝＝＝2﹣．故答案为：2﹣．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，＝2n +1，则a 1+a 7＝29 ．【分析】由题意利用数列的前n 项和与第n 项的关系，求得结果．解：数列{a n }的前n 项和为S n ，＝2n +1，故S n ＝2n 2+n ﹣1，∴a 1＝S 1＝2，a 7＝S 7﹣S 6＝（2×72+7﹣1）﹣（2×62+6﹣1）＝27，则a 1+a 7＝2+27＝29， 故答案为：29． 15．已知α为锐角，sin （﹣α）＝，则cos α＝+．【分析】先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可． 解：∵α为锐角， ∴0＜α＜，则﹣＜﹣α＜0，﹣＜﹣α＜， ∵sin （﹣α）＝，∴cos （﹣α）＝＝＝，则cos α＝cos （﹣α）＝cos[（﹣α）﹣]＝cos （﹣α）cos+sin （﹣α）sin＝×+×＝+，故答案为：+16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin C +c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2+c 2﹣a 2＝8，则△ABC 的面积为．【分析】直接利用正弦定理求出A 的值，进一步利用余弦定理求出bc 的值，最后求出三角形的面积．解：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． b sin C +c sin B ＝4a sin B sin C ，利用正弦定理可得sin B sin C +sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ， 由于0＜B ＜π，0＜C ＜π， 所以sin B sin C ≠0， 所以sin A ＝，密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题则A ＝ 由于b 2+c 2﹣a 2＝8， 则：，①当A ＝时，，解得bc ＝，所以．②当A ＝时，，解得bc ＝﹣（不合题意），舍去． 故：． 故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝﹣6，S △ABC ＝3． （1）求角B 的大小； （2）若c ＝3，求b 的值．【分析】（1）由平面向量数量积的运算可得ac •cos B ＝﹣6，由正弦的面积公式可得ac •sin B ＝6，两式作商得tan B ＝﹣1，再结合B 的取值范围即可得解．（2）由（1）知，ac ＝，若c ＝3，则a ＝，再由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac •cos B ，代入数据进行运算即可得解．解：（1）在△ABC 中，因为＝﹣6，所以ac •cos B ＝﹣6，又S △ABC ＝3，所以ac sin B ＝3，即ac •sin B ＝6， 所以tan B ＝﹣1， 因为0＜B ＜π，所以B ＝． （2）由（1）知，ac ＝＝．若c ＝3，则a ＝，由余弦定理知，b 2＝a 2+c 2﹣2ac •cos B ＝9+8﹣2×3××（）＝29，所以b ＝．18．已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x ﹣2sin x cos x （x ∈R ）． （1）求f （）的值；（2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间．【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，然后代入求值即可．（2）结合三角函数的周期公式，以及单调递减区间的性质建立不等式进行求解．密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解：（1）f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x ﹣2sin x cos x ＝cos2x ﹣sin2x ＝2cos （2x +），则f （）＝2cos＝2×（﹣）＝﹣1．（2）f （x ）的最小正周期T ＝＝π，令 2k π≤2x +≤2k π+π，k ∈Z ，得k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z ，即f （x ）的单调递减区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝25，S 17＝S 9．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求S n 的最大值．【分析】（1）利用等差数列{a n }的前n 项和公式列方程求出公差d ＝﹣2，由此能求出数列{a n }的通项公式． （2）由a 1＝25，d ＝﹣2，求出S n ＝＝﹣n 2+26n ＝﹣（n ﹣13）2+169，由此能求出数列的前n 项和最大值．解：（1）∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝25，S 17＝S 9． ∴由，解得d ＝﹣2， ∴数列{a n }的通项公式． （2）∵a 1＝25，d ＝﹣2，∴S n ＝＝﹣n 2+26n ＝﹣（n ﹣13）2+169，∴数列的前13项和最大，最大值为S 13＝169． 20．已知sin α＝，sin （α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin （α﹣2β）的值； （2）求β的值．【分析】（1）根据三角函数的同角关系，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）利用两角和差的正弦公式弦求出sin β的值，结合角的范围进行求解． 解：（1）由sin α＝，及α∈（0，）．得cos α＝＝，因为α，β∈（0，），所以α﹣β∈（﹣，），又sin （α﹣β）＝所以cos （α﹣β）＝＝，所以sin2（α﹣β）＝2sin （α﹣β）cos （α﹣β）＝2××＝，cos2（α﹣β）＝1﹣2sin 2（α﹣β）＝1﹣2×（）2＝，所以sin （α﹣2β）＝sin[2（α﹣β）﹣α]＝sin2（α﹣β）cos α﹣cos2（α﹣β）sin α＝×＝﹣．密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）＝×﹣×＝，又β∈（0，），所以β＝．21．已知数列{a n }满足a 1＝，且a n +1＝．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若b n ＝a n •a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】（1）数列{a n }满足a 1＝，且a n +1＝．两边取倒数可得：＝+，即﹣＝，＝2．即可证明．（2）利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出． 解：（1）证明：∵数列{a n }满足a 1＝，且a n +1＝．两边取倒数可得：＝+，即﹣＝，＝2． ∴数列{}是等差数列，公差为，首项为2．（2）由（1）知：＝2+（n ﹣1）×═，∴a n ＝．∴b n ＝a n •a n +1＝＝4， ∴S n ＝4+……+＝4×＝．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝，求（﹣1）b +c 的取值范围．【分析】（1）由已知利用余弦定理得cos A ＝，结合A 为△ABC 的内角，求出A 的值．（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得（﹣1）b +c ＝4sin （B +），然后求出B +的范围，利用正弦函数的性质，求出（﹣1）b +c 的取值范围．解：（1）由b 2+c 2＝a 2+bc ，得＝，由余弦定理，得cos A ＝．又A 为△ABC 的内角，所以A ＝． （2）由正弦定理，得＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以（﹣1）b +c ＝2（）sin B +2sin C密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题＝2（）sin B +2sin （﹣B ）＝2（）sin B +2（cos B +sin B ）＝2sin B +2cos B ＝4sin （B +）， 因为A ＝，所以B ∈（0，），所以B +∈（，），所以sin （B +）∈（，1]， 所以（﹣1）b +c ∈（，4]．人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（ ）中的数应为（ ）. A.916B.1116C.12D.11182. 设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A.ac bc >B.11a b< C.20c a b≥- D.11a b a>-3. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A. 14AB +34AC B.34AB +14AC C.13AB +23AC D.23AB +13AC 4. 设单位向量1cos 3e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则cos 2α的值为（ ）A.79B.12-C.79-D.35. 已知ABC 中，23,22,4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ） A. 有一个解 B. 有两个解C. 不能确定D. 无解6.已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212-a a b的值是 ( ) A.12B.12-C.12或12-D.147. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中22tan tan a B b A =，那么ABC 一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形9. 已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ） A.5665-B.1665-C. 3365D.636510. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85 B.415C.215511. 设G 是ABC 的重心，且()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=，若ABC 外接圆的半径为1，则ABC 的面积为（ ）A. 33B.33C. 34D.91612.当x θ=时，函数()2cos f x sinx x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. -215510B.2515+ C. 10 D.310第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 当1x >时，41x x +-的最小值为______. 14. 在ABC 中，tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根，则tan C =_______．15. 如图，在半径为3的圆上，C 为圆心，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若||||+=-AC CB AC CB ，则AB AC ⋅=_____．16.已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*4()1nnT n N n λ≤∈+恒成立，则λ的最小值是_______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). （1）求顶点D 的坐标；（2）求AC 与BD 所成夹角的余弦值．18. （11分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2,,n n na nb log a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ． 19. （11分）已知向量()cos 3m x x=，(cos ,cos )n x x =且函数()f x m n =⋅.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求函数()f x 在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时的值域； （2）设α是第一象限角，且112610f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求sin()4cos(22)παπα++的值. 20. （12分）首届世界低碳经济大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.（1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？21. （12分）已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-. （1）求A ；（2）从下列条件中：①3a =②3ABCS=中任选一个作为已知条件，求ABC 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22. （14分）函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，都有()g()()αβαββα=+f f ，且(2)2f =，数列{}n a 满足()()2+=∈nn a f n N .（1）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列}{nb 前n 项和为n S ，且(1)nn n n ba +=，问是否存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. A 【解析】 【分析】根据题意得出每个数的分母为2n ，分子为连续的奇数，即可求解.【详解】由题意知，一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…， 可得每个数的分母为2,n n N ∈，分子为连续的奇数，所以（ ）中的数应为916故选：A.【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用. 2. C密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】【分析】根据不等式的性质，直接判断即可. 【详解】对A ，当0c时，不成立，故A 错对B ，若a 为正数，b 为负数，不成立，故B 错对C ，由a b >，所以0a b ->，所以20c a b ≥-成立，故C 正确对D ，当2,1a b ==-时，11a b a>-不成立，故D 错 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，选择题可以使用特殊值法，便于计算，属基础题. 3. C 【解析】 分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-，所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解. 4. A【解析】 由题设可得2218cos 1cos 99αα+=⇒=，则27cos 22cos 19αα=-=，应选答案A ． 5. B 【解析】 【分析】通过比较sin a B 与b 的大小关系，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：23,22,4a b B π===2sin 2362==a B 622<=<b a 所以可知ABC 有两个解故选：B【点睛】本题考查两边及其一边所对应的角判定三角形个数，掌握比较方法以及正弦定理的使用，属基础题. 6. A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a a b --==.本题选择A 选项.7. B 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数． 【详解】设第一天织1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得1111721284715a d a d a d a d +⎧⎨+++++⎩＝＝解得：111a d ==， ，∴第十四日所织尺数为14113113114=+=+⨯=a a d ．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题． 8. D 【解析】 【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =，将等式中的边,a b 消去，化为关于角,A B的等式，整理化简可得角,A B 的关系，进而确定三角形ABC 的形状．【详解】由正弦定理可得：22sin tan sin tan =A B B A ，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-， 当22A B =时，ABC 为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC 为直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查通过正弦定理化简判定三角形形状，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属基础题. 9. D 【解析】 【分析】 计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=. ()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 10. B 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离415AB =故选B点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 11. B 【解析】 【分析】根据G 是三角形ABC 的重心得到0GA GB GC ++=，结合已知条件进行化简，求得sin sin sin A B C ==，由此判断出三角形ABC 是等边三角形，再结合三角形ABC 外接圆半径以及正弦定理，求得三角形ABC 的边长，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC ++=，则GA GB GC =--，代入()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=得，()()sin sin sin sin 0A B GB A C GC -+-=，∵GB GC ⋅不共线，∴sin sin 0A B -=且sin sin 0A C -=， 即sin sin sin A B C ==，∴ABC 是等边三角形，又ABC 外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，22sin 60aR ==︒，则3a =∴2333ABC S ==△.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. A 【解析】 【分析】利用辅助角公式可知函数min ()f x ，然后把x θ=代入结合平方关系可得sin ,cos θθ，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果. 详解】由题可知：()()2cos 5,tan 2ϕϕ=+=+=f x sinx x x所以min ()5=-f x 2cos 5θθ+=-sin密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以225sin sin 2cos 5sin cos 125cos 5θθθθθ⎧=⎪⎧+=-⎪⎪⎨⎨+=⎪⎩⎪=-⎪⎩所以2155sin sin cos cos sin 33310πππθθθ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及平方关系，还考查了两角和的正弦公式，着重考查计算，属基础题.第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为()4111x x -++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】1x >，10x ∴->，由基本不等式得()()444112115111x x x x x x +=-++≥-⋅=---. 当且仅当3x =时，等号成立.因此，41x x +-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 14.13【解析】 【分析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.【详解】由题可知：tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根所以37tan tan ,tan tan 22+=-=-A B A B 所以()tan tan tan tan 1tan tan 13+=-+=-=-A B C A B A B故答案为：13【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题. 15. 9 【解析】 【分析】化简||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=，然后将AB 用,CA CB 表示，然后进行计算即可.【详解】由题可知：||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=AB CB CA =-所以()()229⋅=-⋅-=-⋅==AB AC CB CA CA CA CA CB CA故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积，属基础题. 16. 32 【解析】 【分析】依据题意可得2=2n a n ，然后可得n b ，利用裂项相消法可得nT ，最密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题后化简以及函数的单调性可得结果.【详解】由题可知：1212a a ++…21+=+n a n n n ① 当2n ≥时，1212a a ++…()211111-+=-+--n a n n n ② ①-②是可得：12n a n n =，所以()2=22≥n a n n当1n =时，1=2a 符合上式，所以()2=2*∈n a n n N则()()2222121211114411+⎛⎫++===- ⎪ ⎪++⎝⎭n n n n n b a a n n n n 所以()122222*********...1...422331⎛⎫ ⎪=+++=-+-+++- ⎪+⎝⎭n n T b b b n n 所以()()()2221114141⎛⎫+ ⎪=-=⎪++⎝⎭n n n T n n又41λ≤+n n T n ，所以()()22111124411λλ+⇒≥+⨯=≤+++++n n n n n n n n又函数()111f x x =++在()0,∞+单调递减 所以max 13112⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n 所以*4()1n n T n N n λ≤∈+恒成立，则32λ≥故答案为：32【点睛】本题主要考查裂项相消法求和以及数列中恒成立问题，审清题意，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）(2,2)；（2）685.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算AB DC =，可得结果. （2）用坐标表示AC ，BD ，然后根据平面向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB ∴=----=，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-⎧⎨=-⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)． （2）由22(5,3),||5334AC OC OA AC =-==+=22(3,1),||3(1)10BD OD OB BD =-=-=+-=353(1)12AC BD ⋅=⨯+⨯-=685cos ,||||3410AC BD AC BD AC BD ⋅∴<>===⋅⨯【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量夹角公式，重在明白向量坐标的表示方法以及夹角公式的记忆，属基础题. 18. （1）12n n a -=；（2）224133=+-n n T n .【解析】 【分析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）依题意利用等差数列的性质可得22a=，然后利用等比数列通项公式计算即可.（2）由（1）的结论可得12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和，可得结果.【详解】（1）由题意可得()32421a a a +=+，即()2222214a a a +=+，解得：22a =，∴2112a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数21232=+++⋯+n n T b b b b3242152162()()-+++⋯++++⋯=++n n n T b b b b b b b b()024*******(13521）-=+++⋯+++++⋯+-n n T n2214(121)4114233-+-=+=+--n nn n n T n 【点睛】本题主要考查数列分组求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法等，属基础题.19. （1）1[,1]2-；（2）522-.【解析】【分析】（1）用坐标表示向量的数量积以及辅助角公式可得 （1）1()sin(2)62f x x π=++，然后使用整体法以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得3cos 5α=，然后使用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化简求值即可. 【详解】(1)由2()cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=()1311cos 22sin(2)2262π=+=++f x x x x50,22666x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ 1sin(2)[1,]62x π∴+∈-，则()f x 的值域为1[,1]2-（2）π11(),2610f α+=ππ111 sin 2()266210α⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 则π3sin()25α+=即3cos 5α= ，又α为第一象限的角，则4sin 5α22π2sin()cos )42cos(2π2)c 2cos )2co o s s 2sin ααααααααα++==++-则πsin()4cos(2π2)2522cos sin 2αααα==--++【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及正弦型函数的性质，考查三角恒等变形，本题重在考查公式的应用以及计算能力的培养，属中档题.20. （1）从第4年开始获取纯利润；（2）方案②. 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】（1）依据题意可知每年的维护费用满足的是等差数列，然后可得利润2300(81010)y n n =-+，令0y >，简单计算以及判断可得结果.（2）根据（1）的结论可计算方案①所获利润，计算2300(81010)--=n n W n结合基本不等式可得所获利润，然后进行比较可得结果.【详解】（1）设第n 年获取利润为y 万元，n 年共收入租金300n 万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共2(1)1020102n n n n -+⨯=因此利润2300(81010)y n n =-+ 令0y >，解得：327n <<所以从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：纯利润22300(81010)10(15)1440y n n n =-+=--+ 所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元） 方案②：年平均利润2300(81010)810300(10)n n W n n n--==-+810300210120n n≤-⨯= 当且仅当81010n n =，即n =9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元）综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【点睛】本题考查数列模型的应用问题，审清题意，理清思路，细心就算，属中档题. 21.（1）3A π=；（2）选择①，(23,33；选择②，[6,) +∞. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得1cos 2A =，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长23)36π=+l B ，然后根据角度范围可得结果；选②可得bc ，然后结合余弦定理以及不等式可得结果. 【详解】（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈所以3A π=（2）选择①3a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===， 即ABC 周长22sin 2sin 32sin 2sin()33l B C B B π=+=+- 3sin 33B B =23)36B π=+251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题即ABC 周长的取值范围(23,33选择②3ABCS.，得13sin 324ABC S bc A bc ===△，得4bc =.由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即ABC 周长2()12,l a b c b c b c =++=+-+24b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立 2 41246l a b c ∴=++-= 即ABC 周长的取值范围[6,) +∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.22. （1）证明见解析；2n n a n =⋅；（2）存在，4. 【解析】【分析】（1）依据题意计算()()()1122222,++==⋅+⋅n n nn a f f f 然后可得1122n n n a a ++=+，根据递推关系以及等差数列的定义可得结果. （2）根据（1）的结论可得12n nn b +=，然后利用错位相减法可得n S ，最后构造函数，利用函数的单调性可得结果.【详解】（1）()()112,22,=∴==n n a f a f()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅1122n n n a a ++∴=+， 11122n nn na a ++∴-= 2n na ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为112a =，公差为1，,22nn n na n a n ∴∴==⋅.（2）由(1)12n n n n n n b a ++==23111111234(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ 2311111123(1)22222n n n S n n +=⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得121111111133(1)22222222n n n n n S n +++=+++-+⨯+=-332n nn S +∴=-，假设存在正整数m ， 使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，即2160m m +-> 由指数函数与一次函数单调性知：()216m F m m =+- m N +∈为增函数.又因为34(3)231650,(4)241640F F =+-=-<=+-=> 所以当4m ≥时恒有()2160m F m m =+->成立. 故存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立， 所以m 的最小值为4.【点睛】本题考查根据递推关系证明等差数列以及错位相减法求和，还考查了数列恒等式问题，本题关键在于得到1122n n n a a ++=+，考查分析能力以及计算能力，属中档题.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2020高一下学期数学期末考试卷(20200408113101)
10 3n
2
3n 17n 48 2
…… 13 分
∴
17n 3n 2
1n 3
Sn
2 3n2 17n 48
n4
2
……………… 14 分
19. ( 本小题总分值 14 分 )
向量 p (a c, b), q ( a c, b a) 且p q 0 ，其中角 A, B, C 是 ABC 的内角， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边 .
〔 1〕求角 C 的大小；
〔 2〕求 sin A cosB 的取值范围 .
解
：
〔
1
〕
由
pq 0
得
(a c)( a c) b(b a) 0
…………… -2 分
a 2 b2 c 2 a b
…………… 3 分
由
余
弦
a2 b c
cC
o
2ab
12 s
2
定
2
…
理
得
：
…………… -5 分
0C C
3
…-6 分
…………
∵
an an 1 3
对
nN
且
n2
，
有
……… -5 分
∴
an
为
等
差
数
列。
…………… 6分
〔 2 〕由题意， dn an ，即 dn 10 3n 1 n 3
3n 10 n 4
………… 8分
∴当1 n 3 时， Sn
7 10 3n
17n 3n2
n
2
2
……………… 10 分
当 n 4时， Sn 7 4 1 2 5
1
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
（2）将 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，求 的单调递减区间.
21.（12分）已知圆 ，经过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， .
（1）若直线 的斜率为2，求 ；
（2）求 的取值范围.
22.（12分）土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”. 年 月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝， 盘里有 盘是我们澜沧种的！”
综上所述： .
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦函数的周期，考查了正弦函数的最值，考查了正弦函数的零点，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义，求得 ，进而利用诱导公式求出 的值．
【详解】∵ 是角 终边上一点，则
.
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及到诱导公式，属于基础题．
（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短 年，最长不超过 年；③投资年数 与总回报 的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当 时， ，以后 每增加 时， 增加 ；方案二： ；方案三： .请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
开封市五县高一期末联考卷参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
D
C
C
D
C
B
C
B
D
二．填空题
13.12；14.-1；15. ；16.②.
三．解答题
17.解：（1）
(2)
由（1）知
18.（1）
,
(2)设
又 ，且 不共线.
所以由平面向量基本定理知：
②直线 是函数 的一条对称轴；
③点 是函数 的一个对称中心；
④函数 的单调递减区间为
其中正确的结论是（填序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）已知角 .求下列各式的值.
(1)求 的值；
(2)先化简 ，再求值．
18.（本小题12分）如图，已知在 中， 是 的中点， 是线段 的靠近点 的三等分点， 和 交于点 ，设 .
14.已知向量 满足 ，则向量 在 方向上的投影为；
15.新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测。某个检测点派出了两名医生，四名护士。把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为；
16.已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 是最小正周期为 的奇函数；
【点睛】此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
4. A
【解析】
【分析】
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）2．已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．3．如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（）A．B．C． D．4．设m∈R，向量=（1，﹣2），=（m，m﹣2），若⊥，则m 等于（）A．B．C．﹣4 D．45．函数y=（sinx+cosx）2（x∈R）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π6．函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．D．7．在△ABC中，D是BC的中点，则等于（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sinx+cosx，那么的值是（）A．B．C．D．9．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（）A．1 B． C． D．210．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．设α是第二象限角，sinα=，则cosα=______．12．若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=______．13．2cos215°﹣1=______．14．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么•的值为______．15．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为______．16．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B（其中），那么这一天6时至14时温差的最大值是______°C；与图中曲线对应的函数解析式是______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知，tanα=﹣2．（1）求的值；（2）求sin2α+cos2α的值．18．设，向量=（cosα，sinα），．（1）证明：向量与垂直；（2）当||=||时，求角α．19．已知函数f（x）=2sin2（+x）+（sin2x﹣cos2x），x∈[，]．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量减法的三角形法则代入坐标得答案．【解答】解：∵=（2，4），=（1，3），∴=．故选：B．2．已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数值的符号．【分析】由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α是第二象限角，又α∈（0，2π），从而得到角α的取值范围．【解答】解：由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α是第二象限角，又α∈（0，2π），故α∈，故选B．3．如果函数y=tan（x+φ）的图象经过点，那么φ可以是（）A．B．C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中函数y=tan（x+φ）的图象经过点，根据正切函数的图象和性质，易构造出一个关于φ的三角方程，解方程即可求出满足条件的φ值．【解答】解：∵y=tan（x+φ）的图象经过点，tan（+φ）=0即+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，解：∵y=tan（x+φ）的图象经过点，tan（+φ）=0即+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，k∈Z，当k=0时，φ=﹣，故选A4．设m∈R，向量=（1，﹣2），=（m，m﹣2），若⊥，则m 等于（）A．B．C．﹣4 D．4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据⊥，然后利用向量数量积为0得到关于m的方程，直接求解即可．【解答】解：=（1，﹣2），=（m，m﹣2），∵⊥，∴，m=4．故选D．5．函数y=（sinx+cosx）2（x∈R）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦．【分析】把函数关系式利用完全平方公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出原函数的周期．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x，∵ω=2，∴T==π．故选C6．函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（）A．x=0 B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据余弦函数的对称轴方程x=kπ确定选项．【解答】解：y=cosx的对称轴方程为x=kπ，当k=0时，x=0．故选A．7．在△ABC中，D是BC的中点，则等于（）A．B．C．D．【考点】向量的三角形法则．【分析】作出三角形的图象，利用平行四边形法则作出，由图象即可选出正确答案【解答】解：如图，作出平行四边形ABEC，D是对角线的交点，故D是BC的中点，且是AE的中点由题意如图==故选D8．已知函数f（x）=sinx+cosx，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】化简f（x）=sinx+cosx=sin（x+），直接代入求值．【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+）∴f（）==故选C．9．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（）A．1 B． C． D．2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【解答】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===1∴=1故选A．10．为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．设α是第二象限角，sinα=，则cosα=﹣．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．12．若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．【解答】解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．13．2cos215°﹣1=．【考点】二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角的余弦公式得出2cos215°﹣1=cos30°，然后运用特殊角的三角函数值求出结果．【解答】解：2cos215°﹣1=cos30°=故答案为：．14．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么•的值为﹣8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用2个向量的数量积公式，2个向量相乘的结果，等于向量的模相乘，再乘以这两个向量夹角的余弦值．【解答】解：．故答案为﹣8．15．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．【分析】根据角α的终边经过点P（1，﹣2），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．16．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B（其中），那么这一天6时至14时温差的最大值是20°C；与图中曲线对应的函数解析式是，x∈[6，14] ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30﹣10=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+∅）+b的半个周期，∴•=14﹣6，解得ω=，由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，这时，y=10sin（φ）+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=，综上，所求的解析式为，x∈[6，14]．故答案为：20；，x∈[6，14]三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知，tanα=﹣2．（1）求的值；（2）求sin2α+cos2α的值．【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．【分析】（1）直接利用两角和的正切公式和特殊角的三角函数值，求出tan（+α）的值．（2）先求出sinα，cosα的值，然后利用二倍角的公式，解出sin2α+cos2α的值即可．【解答】解：（1）．…（2）由，tanα=﹣2，得，，…所以．…18．设，向量=（cosα，sinα），．（1）证明：向量与垂直；（2）当||=||时，求角α．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）计算||，，通过计算，证明向量与垂直；（2）将||=||两边平方，平方可得3（||2﹣||2）+8，从而得到以，然后求角α．【解答】解：（1）证明：由向量=（cosα，sinα），，得||=1，=1，则，所以向量与垂直．…（2）将||=||两边平方，化简得3（||2﹣||2）+8，由||==1，得，即．所以，注意到，得．19．已知函数f（x）=2sin2（+x）+（sin2x﹣cos2x），x∈[，]．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）根据所给的解析式，代入所给的自变量的值，计算出结果，本题也可以先化简再代入数值进行运算．（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．【解答】解：（1）．（2）=．又，∴，当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间是；f（x）的单调递减区间是．（3）由（2）得，∴f（x）的值域是[2，3]．|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，．∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
9. AC
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，设复数 ，则 ，因为 ，所以 ，因此 ，即A正确；
B选项，设复数 ，则 ，
（1）试估计抽查样本中用电量在 的用户数量；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使 的居民缴费在第一档， 的居民缴费在第二档，其余 的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式可得 ，结合范围 ，可得 的值．
【详解】由题意可得 ，
可得 ，可得 ，
由于 ，
可得 ．故选： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．
5. A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量 特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
16.已知三棱锥 内接于半径为5的球， ， ， ，则三棱锥 体积的最大值为________
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(共五套)
2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共五套）2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．232．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2 D．58．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为______．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=______．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=______．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是______．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F 分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为______．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于______；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 1510（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁10√×√√21×√×√720√√√×30√×√×85 √××××√××98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．参考答案与试题解析一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．3．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序运行条件，分别进行判断，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，n=5，不是偶数，则n=3×5+1=16，k=1，第二次运行，n=16，是偶数，则n==8，k=2，第三次运行，n=8，是偶数，则n==4，k=3，第四次运行，n=4，是偶数，则n==2，k=4，第五次运行，n=2，是偶数，则n==1，k=5，此时满足条件n=1，输出k=5．故选：C．5．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．6．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．8．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值【考点】进行简单的合情推理．【分析】先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解答】解：因为集合{，， }相对a0的“正弦方差”，所以W===故选：C．二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为600．【考点】频率分布直方图．【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值，再求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．【解答】解：由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×1000=600．故答案为：600．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=11．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】由题意可得a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去），由此求得S5=的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意的n ∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，∴a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去）．∴S5==11，故答案为11．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是（2，10）．【考点】简单线性规划．【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的范围．【解答】解：画出1＜a＜2，2＜a+b＜4的可行域，如图：目标函数z=5a﹣b在直线2=a+b与直线a=2的交点B（2，0）处，z 值的上界取：10，在直线4=a+b与直线a=1的交点A（1，3）处，目标函数z值的下界取：2，5a﹣b的取值范围是（2，10）．故答案为：（2，10）．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F 分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为+2．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC的性质可得：AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF 的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．【解答】解：由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，DF==2．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：DE==．∴△DEF周长的最小值=+2．故答案为： +2．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于﹣；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是[，+∞）．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等价于t≥=恒成立，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）：f（x）＞k⇔kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥=恒成立，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 1510（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B 地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）过E作EM⊥AB于M，由勾股定理可得MH=6，从而确定出G，H的位置；（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．【解答】解：（I）作出图形如图所示：过E作EM⊥AB于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF=BC=10，∵EM=AA1=8，∴MH==6，∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．（II）设平面α把该长方体分成的两部分体积分别为V1，V2，则V1=S•AD=×（4+10）×8×10=560，V2=V长方体﹣V1=16×8×10﹣560=720．∴==．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理．【分析】（I）由f（x）=sinxcosx﹣cos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（A）=1，及A∈（0，π）可求A；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可求c【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…所以，∴…（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …解得c=﹣3（舍）或c=8 …所以c=818．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁10√×√√21×√×√720√√√×30√×√×85 √××××√××98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜02．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=______．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为______．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为______．13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是：∀x＞0，2x＞0．故选：A．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由正弦定理求出sinC=，C=60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，已知B=30°，b=50，c=150，由正弦定理可得，∴sinC=，可得：C=60°或120°．当C=60°，∵B=30°，∴A=90°，△ABC是直角三角形．当C=120°，∵B=30°，∴A=30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程知，算法的功能是计算S=1+2+22+...+2n的值，由输出的S是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．【解答】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=1+2+22+ (2)的值，∵输出的S是31，∴S==2n+1﹣1=31，解得n=4；退出循环体的n值为5，∴判断框的条件为n≥5或n＞4．故选：A．5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．【解答】解：连结EG，（1）∵EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB，∵FG∥BC，BC⊥AB，∴AB⊥FG，又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．（2）∵AB⊥平面EFG，∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，∴AG=AE=1，故（2）正确．（3））∵AG=1=，∴F为AC的中点．∵AE=2，AC==2，AF==，∴EF==．∴S△ACE===2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4，故（3）错误；（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，∴Rt△EAG≌Rt△EAM，∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．故选：C7．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据等差数列的定义和性质进行判断，③根据数列项和前n项和的关系，结合等比数列的定义进行判断．④举反例进行判断即可．【解答】解：①若a=b=c，则a2+b2+c2=ab+ac+bc成立，反之若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc），整理得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①正确；②当n=1时，a1=A+B；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2An+B﹣A，显然当n=1时也满足上式，∴a n﹣a n﹣1=2A，∴{a n}是等差数列．反之，若数列{a n}为等差数列，∴S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，令A=，B=a1﹣，则S n=An2+Bn，A，B∈R．综上，“S n=An2+Bn，是“数列{a n}为等差数列”的充要条件．故②正确，③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则当n≥2时，S n=S n﹣1+2，两式作差得S n+1﹣S n=S n+2﹣S n﹣1﹣2，即a n+1=a n，即=，（n≥2），当n=1时，S2=S1+2，即a1+a2=a1+2，即a2=﹣a1+2=2﹣=，则=≠，即{a n}不是等比数列；故③错误，④举反例，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但是≠，则==是P=Q的充分必要条件错误，故④错误．故正确的是①②，故选：B．8．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【考点】计数原理的应用．【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=1．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=，从而可得a2==1，a3===1+a1；从而解得．【解答】解：∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为﹣．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期为4，再根据条件确定跳出循环的i值，从而可得输出的a值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a==﹣2，i=6；…∴a值的周期为4，又跳出循环的i值为11，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D 为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，即可得出．【解答】解：如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，这个三棱锥的表面积S=+++=．故答案为：．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2，当且仅当a=，b=时取等号，∴则+的最小值为5+2，故答案为：5+2，13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE ⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为①②③④．（将所有正确的命题序号填在横线上）【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．【解答】解：①因为{a n}是等方差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n ∈N×，p为常数）成立，得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；②因为a n2﹣a n﹣12=（﹣1）2n﹣（﹣1）2n﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n}是等方差数列；③数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，a k+1，a k+2，…，a2k，…，a3k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…因为a k+12﹣a k2=a k+22﹣a k+12=a k+32﹣a k+22=…=a2k2﹣a k2=p所以（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=a2k2﹣a k2=kp，类似地有a kn2﹣a kn﹣12=a kn﹣12﹣a kn﹣22=…=a kn+32﹣a kn+22=a kn+22﹣a kn+12=a kn+12﹣a kn2=p同上连加可得a kn+12﹣a kn2=kp，所以，数列{a kn}是等方差数列；④{a n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p，且a n﹣a n﹣1=d（d≠0），所以a n+a n﹣1=，联立解得a n=+，所以{a n}为常数列，当d=0时，显然{a n}为常数列，所以该数列为常数列．综上，正确答案的序号为：①②③④故答案为：①②③④三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）p∧q为真，则p，q均为真，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）p为真时：由＞1解得﹣2＜a＜1，q为真时，当a＞0，一定存在ax2+ax﹣1≥0，当a＜0，△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4，故q为真时，实数a的取值范围为a＞0或a≤﹣4，∵p∧q为真，则p，q均为真，∴a的取值范围为（0，1）；（2）关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，若￢p是￢r的必要不充分条件，即r是p的必要不充分条件，即p⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1，。
2020年高一数学第二学期期末试卷及答案(共七套)
2020年高一数学第二学期期末试卷及答案（共七套）2020年高一数学第二学期期末试卷及答案（一）一.选择题1.两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A. 4B.C.D.2.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A. 1B.C.D.3.下列命题正确的是（）A. 两两相交的三条直线可确定一个平面B. 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线4.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D.6.如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A. （﹣3，﹣1）∪（1，3）B. （﹣3，3）C. [﹣1，1]D. [﹣3，﹣1]∪[1，3]7.若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（）A. 4B. 16C. 4或16 D. 2或48.已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A. B. C.D.9.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 710.点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N 的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 811.m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊥l，n⊥l，则m∥nB. α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC. m∥α，n∥α，则m∥nD. α∥γ，β∥γ，则α∥β12.曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题13.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．14.若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．15.若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．16.直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．三.解答题17.已知△ABC三边所在直线方程：l AB：3x﹣2y+6=0，l AC：2x+3y﹣22=0，l BC：3x+4y﹣m=0（m∈R，m≠30）．（1）判断△ABC的形状；（2）当BC边上的高为1时，求m的值．18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．答案解析部分一.<b >选择题</b>1.【答案】D【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d= = = ．故答案为：D【分析】根据两条直线平行的一般式的系数关系可求出m=2，进而得到两条直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式可得结果。
数学答案
高一期末考试数学答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I I 卷（非选择题 共90分）二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.19π 14. 1. 3 15. 55 16.12三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 17.（本小题满分10分）解：（1）1,5m n ==…………………………………………4分 （2）1116212334=215x ++++=甲()()()()()22222211-2116-2121-2123-2134-21298=59.655S ++++==甲()()()()()22222214-2114-2122-2125-2130-2119639.255S ++++===乙22=x x S S >甲乙甲乙，，故甲、乙两名运动员水平相当，但乙比甲更稳定，从而可以推测出乙更优秀.…………………………………………10分18.（本小题满分12分） 解：（1）34…………………………………………………………………………………………6分 （2）132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩……………………………………………………………………………………12分19.（本小题满分12分） 解：（1）由表中数据，计算：1(12345)35x =⨯++++=， 1(1151101009085)1005y =⨯++++=，52155ii x==∑122114205310014201500=8554510ni ii n i i x ynxyb x nx==--⨯⨯-===---∑∑，10083124a y bx =-=+⨯=所以y 与x 之间的回归直线方程为8 124y x =-+；……………………………………8分 （2）8x =时，8812460y =-⨯+=，预测该路段8月份的 “不礼让行人”违章驾驶员人数为60人．……………………12分20.（本小题满分12分）解：（1）=⋅∴⊥n m nm0sin )()sin (sin )(=-+-⋅+∴C c b B A b a 0)())((=-+-+∴c c b b a b aA bc bc a c b cos 2222==-+∴),0(，又21cos π∈=∴A A3π=∴A ………………………………………………………………………………………………6分（2）3,2π==A abcbc bc bcc b A bc c b a =-≥-+=-+=∴2cos 222222)时等号成立2当且仅当(4==≤∴c b bc 343sin 21≤==∴∆bc A bc S ABC 故ABC ∆的面积的最大值为3.………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.0050.03+0.030.015)101a +++⨯=，解得0.02a =.…………………………………………………………………………3分 （2）由频率分布直方图得，评分的平均值为550.05650.2750.3850.3950.1578⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，7875>∴该校学生对线上课程满意．…………………………………………………………7分（3）由题知评分在[)60,70和[)80,90内的频率分别为0.2和0.3， 则抽取的5人中，评分在[)60,70内的为2人，评分在[)80,90的有3人， 评分在[)60,70内的2位学生这A ，B ， 记评分在[)80,90内的3位学生为1，2，3， 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(,)A B ，(,1)A ，(,2)A ，(,3)A ，(,1)B ，(,2)B ，(,3)B ，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共10种，其中，这2人中恰好一人评分在[)60,70内，一人评分在[)80,90内的可能结果为(,1)A ，(,2)A ，(,3)A ，(,1)B ，(,2)B ，(,3)B 共6种，∴这2人中恰好一人评分在[)60,70内，一人评分在[)80,90内的概率为63=105P =． ……………………………………………………………………………………………………………………………………………12分22.（本小题满分12分）解：（1）证明：1+1(2)(2)(1)n n n a n a n n +-+=++（） 112+1n n a an n +∴-=+ +1n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，且122a =，公差为1.………………………………………………2分2(1)1+1+1na n n n ∴=+-⨯= 2(+1)n a n ∴=；………………………………………………………………………………3分①12 -=n n b S令1=n 得11=b ，②1211 -=∴++n n b S由②-①得：11122+++=-=-n n n n n b b b S S21=∴+nn b b {}n b ∴为等比数列，且11,2b q ==…………………………………………5分12-=∴n n b ……………………………………………………6分（2）11)=2n n n c b n +=⋅⋅②22)1(2)2(22212①22)1(2322211132n 132 +--⋅+⋅-+⋅-++⨯+⨯=∴⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=∴n n n n n n n n n T n n T 由①-②得：1132222222-+-⋅-+++++=n n n n n T22)1(1+⋅-=∴+n n n T ………………………………………………8分而2121nn n S b =-=-，1121n n S ++∴=-4222111--=--≤∴--≤+++n T nS m m nS T n n n n n……………………………………………………………………………………9分)(012)()1(42)(令*11N n n f n f n n f n n ∈>-=-+∴--=++()f n ∴递增………………………………………………………………………11分min ()(1)1f n f ∴==-故1-≤m ……………………………………………………………………12分。
2020高一下学期数学期末考试卷(20200408113013)
题
得
分
【二】填空题
181．1解．：
； 12 ．
； 13 ．
；
19 ．解1：4．
； 15 ．
； 16 ．
；ห้องสมุดไป่ตู้
【三】解答题
???17?．?解?：O
20 ．解：
_______________
： 号 _______________学
： 名 _______________姓
： 级 班
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________??????????????????????密??????????????????????O??????????????????????封 O
O
∴cos A C
71 cosAcosC sin Asin C
15
15 11 ----10 分
8 4 8 4 16
18 ．解：〔 1 〕将圆 C 的方程 x2 y2 8 y 12 0 配方得标准方程为
， x2 ( y 4)2 4
那么此圆的圆心为 C 〔 0 , 4 〕，半径为 2. ----2 分
所以圆心
C 到直线 l 的距离 |0
4
2k | =
2 | CA | =
2.
----8 分
k2 1
2
解得 k 1或 k 7 ，
所求直线 l 的方程为： x y 2 0 或 7x y 14 0 ----10 分
19
．
解
：
〔
Ⅰ
〕
f ( x) a b sin( 2
x) cos x sin x cos x 2 sin( x ) ----2 分
2020年高一数学下学期期末试卷及答案(四)
2020年高一数学下学期期末试卷及答案（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．点（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°3．空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．平行或异面4．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（）A．只有一条 B．无数条C．是平面α内的所有直线 D．不存在5．下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+y﹣1=0 6．直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程不可以用下面哪种形式写出（）A．点斜式B．斜截式C．截距式D．一般式7．如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台8．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．内含9．若直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，则m、n的关系是（）A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=0 10．P是圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上点，则点P到直线3x+4y﹣2=0的最大距离是（）A．2 B．5 C．8 D．911．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，直线l：x﹣y=0，则C关于l 的对称圆C′的方程为（）A．（x+1）2+（y+2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣1）2+（y+2）2=512．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．0二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13．若直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，则实数a的值为．14．已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），则这个三角形的最大边边长是，最小边边长是．15．若球O内切于棱长为2的正方体，则球O的表面积为．16．若圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，则实数m的值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．19．如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM 是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．21．已知直线l在y轴上的截距为﹣2，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．22．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．点（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==．故选：C．2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值．【解答】解：∵直线l的方程为y=x+1，∴斜率为1，又倾斜角α∈[0，π），∴α=45°．故选：B．3．空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间两条直线的位置关系矩形判断．【解答】解：在空间，两条直线的位置关系有：相交、平行和异面；其中两条直线平行或者相交可以确定一个平面，所以空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是平行或者异面；故选：D．4．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（）A．只有一条 B．无数条C．是平面α内的所有直线 D．不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】若直线a与平面α不垂直，有三种情况：直线a∥平面α，直线a⊂平面α，直线a与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a垂直的直线的条数，能够得到结果．【解答】解：若直线a与平面α不垂直，当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．∴若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．故选B．5．下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+y﹣1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】将直线化成斜截式，易得已知直线的斜率k1=﹣2，因此与已知直线垂直的直线斜率k2==．由此对照各个选项，即可得到本题答案．【解答】解：∵直线2x+y+1=0的斜率为k1=﹣2∴与直线2x+y+1=0垂直的直线斜率k2==对照A、B、C、D各项，只有B项的斜率等于故选：B6．直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l 的方程不可以用下面哪种形式写出（）A．点斜式B．斜截式C．截距式D．一般式【考点】直线的斜率．【分析】l∥x轴，可得直线l的方程为y=1．即可判断出结论．【解答】解：∵l∥x轴，则直线l的方程为y=1．则直线l的方程不可以用下面截距式写出．故选：C．7．如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【考点】简单空间图形的三视图．【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项．【解答】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；（2）三视图复原的几何体是四棱锥；（3）三视图复原的几何体是圆锥；（4）三视图复原的几何体是圆台．所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．故选C．8．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2﹣2x﹣6y+1=0分别化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，故圆心坐标分别为（﹣2，﹣1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，∵圆心之间的距离d==5，R+r=5，则两圆的位置关系是相外切．故选：C．．9．若直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，则m、n的关系是（）A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=0 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，所以可知：圆心在直线上．【解答】解：直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，所以可知：圆心在直线上．由圆的一般方程圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，得知：（x﹣2）2+（y+1）2=9，圆心O（2，﹣1），半径r=3；圆心在直线上，即：2m﹣2n﹣4=0⇒m﹣n﹣2=0故选：A10．P是圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上点，则点P到直线3x+4y﹣2=0的最大距离是（）A．2 B．5 C．8 D．9【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出元新到直线的距离，则原上的点P到直线l：3x﹣4y﹣5=0的距离的最大值可求．【解答】解：由（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，可知该圆的圆心为（5，3），半径为3．则圆心到直线l：3x+4y﹣2=0的距离为．所以圆上的点P到直线l：3x+4y﹣2=0的距离的最大值是3+5=8．故选C．11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，直线l：x﹣y=0，则C关于l 的对称圆C′的方程为（）A．（x+1）2+（y+2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣1）2+（y+2）2=5【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出已知圆的圆心和半径，设出对称圆的圆心C′（a，b），由CC′⊥l，且CC′的中点在直线l上，可得×1=﹣1，且﹣=0，解得a、b 的值，即可得到对称圆的方程．【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，故圆心C（1，2），半径等于．设C′（a，b），则有CC′⊥l，且CC′的中点在直线l上．故有×1=﹣1，且﹣=0，解得a=2，b=1．又对称圆和已知的圆半径相同，故对称圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故选B．12．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13．若直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，则实数a的值为﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两条直线平行，斜率相等，即可得出结论．【解答】解：∵直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，∴1=﹣，∴a=﹣2，显然两条直线不重合．故答案为﹣2．14．已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），则这个三角形的最大边边长是，最小边边长是．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】利用两点间的距离公式分别求得三边的长，判断出最大和最小边的长度．【解答】解：|P1P2|==，|P2P3|==，|P1P3|==，∴最大的边长为，最短的边为故答案为：，．15．若球O内切于棱长为2的正方体，则球O的表面积为4π．【考点】球的体积和表面积．【分析】棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，表面积=4πr2=4π．故答案为4π．16．若圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，则实数m的值为﹣3．【考点】圆方程的综合应用．【分析】由圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，知圆心C（2，﹣1），过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，由此能求出实数m．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0，∴（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣m，圆心C（2，﹣1），因为∠ACB=90°，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，∴5﹣m=CB2=4+4，解得m=﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题（共6小题，满分70分）17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【考点】直线的点斜式方程；斜率的计算公式；直线的一般式方程．【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心为（3b，b），则有|3b|=4，求得b的值，可得圆的标准方程．【解答】解：∵圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上，设圆的圆心为（3b，b），则|3b|=4，∴b=±，故要求的圆的方程为（x﹣4）2+=16，或（x+4）2+=16．19．如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM 是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）利用勾股定理计算棱锥的高VM，代入棱锥的体积公式计算；（2）∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，在Rt△VDM中计算sin∠VDM．【解答】解：（1）∵正四棱锥V﹣ABCD中，ABCD是正方形，∴MC=AC=BD=3（cm）．且S正方形ABCD=AC×BD=18（cm2）．Rt△VMC中，VM==4（cm）．∴正四棱锥的体积为V==（cm3）．（2）∵VM⊥平面ABCD，∴∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，∵VD=VC=5，在RT△VDM中，sin∠VDM=．所以直线VD与底面ABCD所成角的正弦值为．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能证明直线EF∥平面CB1D1．（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，从而CC1⊥B1D1，由此能证明B1D1⊥平面CAA1C1，从而能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【解答】（1）证明：连结BD，在△ABD中，E、F分别为棱AD、AB的中点，故EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…又B1D1⊂平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，所以直线EF∥平面CB1D1．…（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，则A1C1⊥B1D1…又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则CC1⊥B1D1，…又A1C1∩CC1=C1，A1C1⊂平面CAA1C1，CC1⊂平面CAA1C1，所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…21．已知直线l在y轴上的截距为﹣2，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设直线l的方程为y=kx﹣2，利用两直线垂直斜率相乘为﹣1来求出另一条直线的斜率即可；（2）由于△OAB是直角三角形，所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx﹣2．直线x﹣2y﹣1=0的斜率为，所以k=﹣2．直线l的方程为y=﹣2x﹣2．（2）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．由于△OAB是直角三角形，所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为；由A（﹣1，0），B（0，﹣2）得C（﹣，﹣1），|AB|=；故，解得D=1，E=2，F=0．圆C的一般方程为：x2+y2+x+2y=0．22．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）因为Q是切点，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2，列出等式即可；（2）点P在直线l：2x+y﹣3=0 上．|PQ|min=|PA|min ，即求点A 到直线l 的距离；【解答】解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2又由已知|PQ|=|PA|，故：（a2+b2）﹣12=（a﹣2）2+（b﹣1）2化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b﹣3=0．（2）由（1）知，点P在直线l：2x+y﹣3=0 上．∴|PQ|min=|PA|min ，即求点A 到直线l 的距离．∴|PQ|min═=第21页（共21页）。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
19.（12分）在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 .
（1）求 外接圆 的标准方程；
（2）过 作直线 交圆 于 ， ，若 ，求直线 的方程.
20.（12分）已知等比数列 的各项都为正数， 为其前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求使得 成立的正整数 的最小值.
21.（12分）已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 的中垂线与 的准线交于点 ，且 ，求直线 的斜率。
22.（12分）已知椭圆 的离心率为 ， ， 为 的左、右焦点.动点 在直线 上，过 作 两条切线，切点分别为 ， ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
A. B. C.0D.1
8.已知双曲线 的离心率为 ， 为 上的点， 为 的右焦点，且 垂直于 轴.若 ，则 的方程为（）
A. B. C. D.
9.正数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.2
10.过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，线段 的中点 在直线 上， 为坐标原点，则 的面积为（）
7.已知不等式 的解集是 ,则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
8.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()
A.0.4B.0.6C.0.8D.1
9.已知 ， ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
2020年高一年下学期期末考数学科试卷四 学生版
OA
cos
，
OB
sin
，
[0,
] ， OAOB
0 ，若向
2
量 OC
OA OB(, R) ，且 (2
1) 2
cos2
2(2
1)2 sin2
1
，则
OC
的最大值是（
）
4
A． 3 2
B． 3
C. 3
4
5
D． 3 7
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
A． k 10?
B． k 10?
C. k 11?
D． k 11?
9.甲、乙两人各自在 400 米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50 米的概率是
（）
1
A．
8
11
1
B．
C.
36
4
15
D．
64
10.已知函数 f (x) sin(2x ) 的图像关于直线 x 对称，则 可能取值是（ ） 6
13.已知 tan 4 ， tan( ) 3 ，则 tan( )
．
第2页共5页
14.已知样本 7，8，9， x ， y 的平均数是 8，标准差是 2 ，则 xy
．
15.已知 ABC 的三边长 AC 4 ， BC 3， AB 5 ， P 为 AB 边上的任意一点，
则 CP (BC BA) 的最小值为
第5页共5页
．
16.将函数 f (x) 2 sin(2x ) 的图像向左平移 个单位，再向下平移 2 个单位，得到 g(x) 的图像，
6
12
若 g(x1)g(x2 ) 16 ，且 x1 ， x2 [2 , 2 ] ，则 2x1 x2 的最大值为
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
B
C
D
C
D
B
C
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 14 .415.216.8
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17.（1） ，所以 .（5分）
A. B. 或 C. D.不存
10.数列 中， ，且 ，则数列 前2019项和为（）
A. B. C. D.
11.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.
21.（本题满分12分）已知等差数列 的前 项的和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 （n∈N*）且 .设数列 的前 项和为 ，求证： .
22.（本题满分12分）已知 ，函数 ．
（1）若 ，求 பைடு நூலகம்单调递增区间；
（2）若 的最大值是 ，求 的值．
5.A
【解析】
【分析】根据三视图还原原图，并根据锥体体积公式，计算出几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示，
故体积为 .故选：A
【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体体积的求法，属于基础题.
2020-2020学年高一下学期数学期末考试试卷附答案
2020-2020学年高一下学期数学期末考试试卷一、选择题（1）0sin 75的值等于（ ）（A ）624+ （B ）624- （C ）324+ （D ）324- （2）201sin 440-化简为（ ）（A ）0cos 220 （B ）0cos80 （C ）0sin 220 （D ）0sin80（3）化简sin()sin cos()cos x y x x y x +++等于（ ）（A ）cos(2)x y + （B ） cos y （C ）sin(2)x y + （D ）sin y（4）下列函数中是周期为π的奇函数的为（ ）（A ）x y 2sin 21-= （B ）)32sin(3π+=x y （C ）2tan xy =（D ）)2sin(2π+=x y（5）为了得到函数13sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈的图象，只需把函数13sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点（ ）（A ）向左平行移动25π个单位长度 （B ）向右平行移动25π个单位长度 （C ）向左平行移动45π个单位长度 （D ）向右平行移动45π个单位长度（6）已知tan 2α=，tan 3β=，且α、β都是锐角，则α＋β等于（ ） （A ）4π （B ）43π （C ）4π或43π （D ）43π或45π （7）已知a ＝（2，3），b ＝（x ，－6），若a ∥b ，则x 等于（ ） （A ）9 （B ）4 （C ）－4 （D ）－9（8）已知a 、b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ） （A ）a 与b 相等 （B ）如果a 与b 平行，那么a 与b 相等 （C ）a ·b ＝1 （D ）a 2＝b 2（9）在△ABC 中，已知AB u u u r＝（3，0），AC u u u r ＝（3，4），则cos B 的值为（ ）（A ）0 （B ）53（C ）54 （D ）1（10）已知|a |＝3，|b |＝4（且a 与b 不共线），若(a k ＋b )⊥(a k －b )，则k 的值为（ ）（A ）－43 （B ）43 （C ）±43 （D ）±34（11）已知|a |＝3，b ＝（1，2），且a ∥b ，则a 的坐标为（ ）（A ）（355，655）（B ）（－355，－655）（C ）（355，－655） （D ）（355，655）或（－355，－655） （12）已知向量a ＝（1，－2），b ＝13,x ⎛⎫⎪⎝⎭，若a ·b ≥0，则实数x的取值范围为（ ）（A ）2(0,)3 （B ）2(0,]3 （C ）(,0)-∞∪2[,)3+∞（D ）(,0]-∞∪2[,)3+∞ 二、填空题（13）在三角形ABC 中，已知a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且a ＝6，b ＝32，A ＝4π，则角B 的大小为 .（14）已知3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为 .（15）若将向量)1,2(=a 绕原点按逆时针方向旋转4π，得到向量b ，则向量b 的坐标是（16）已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3π，则向量2a －3b 与a ＋5b 的夹角大小为 .三、解答题） （17）已知12cos 13θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.（18）已知函数()sin y A x ωϕ=+，x R ∈（其中A ＞0，ω＞0，||ϕ＜2π)的部分图象如图所示，求这个函数的解析式. （19）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔25000米，速度为3000米/分钟，飞行员先在点A 看到山顶C 的俯角为300，经过8分钟后到达点B ，此时看到山顶C 的俯角为600，则山顶的海拔高度为多少米. （参考数据：2＝1.414，3＝2 226xyO1.732，6＝2.449）.（20）已知|a |＝3，|b |＝2，且3a ＋5b 与4a －3b 垂直求a 与b 的夹角.（21）已知向量a ＝（3cos2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x），且[0,]2x π∈. （Ⅰ）用cos x 表示a ·b 及|a ＋b |； （Ⅱ）求函数f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值.（22）已知向量a 、b 、c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3.（Ⅰ）求向量a ＋b ＋c 的长度； （Ⅱ）求a ＋b ＋c 与a 的夹角.参考答案一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B D D B C D A D D C 二、 填空题 （13）6π（14）725 （15）)223,22( （16）2π三、 解答题 （17）解：∵12cos 13θ=-，且3,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ 5sin 13θ=-， 则 5tan 12θ=， ∴ tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝tan 11tan θθ-+ ＝51125112-+＝－717.（18）解：（Ⅰ）根据题意，可知A ＝22， 且4T＝6－2＝4，所以T ＝16，于是 ω＝28T ππ= 将点（2，22）代入22sin 8y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得 2222sin 28πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 即sin 4πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1， 又||ϕ＜2π，所以ϕ＝4π.从而所求的函数解析式为：22sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈（19）解：如图，过C 作AB 的垂线，垂足为D ， 依题意，AB ＝3000·8＝24000米，由∠BAC ＝300，∠DBC ＝600，则∠BCA ＝300，∴ BC ＝24000米，在直角三角形CBD 中，CD ＝BC ·0sin 60＝24000·0.866＝20784米，故山顶的海拔高度为25000－20784＝4216米. （20）解：∵ 3a ＋5b 与4a －3b 垂直，∴ （3a ＋5b ）·（4a －3b ）＝0， 即 12|a |2＋11a ·b －15|b |2＝0， 由于|a |＝3，|b |＝2，∴ a ·b ＝－4811， 则 cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅＝－811， 故a 与b 的夹角为8arccos 11⎛⎫- ⎪⎝⎭. （21）解：（Ⅰ）a ·b ＝3cos2x cos 2x －3sin 2x sin 2x＝cos2x ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2233cos cos sin sin 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22cos 2x +＝2|cos x |， ∵ [0,]2x π∈，∴ cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x .（Ⅱ）f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2(cos x ＋1)2－3，∵ [0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1.（22）解：（Ⅰ）设向量a 、b 、c 两两所成的角均为θ，则θ＝0或θ＝23π， 又|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3. 则当θ＝0时，a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝2， b ·c ＝|b |·|c |cos θ＝6， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝3，此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14＋22＝36，∴ |a ＋b ＋c |＝6； 当θ＝23π时， a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1， b ·c ＝|b |·|c |cos θ＝－3， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝－32，此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14－11＝3，∴ |a ＋b ＋c |＝3.（Ⅱ）当θ＝0，即|a ＋b ＋c |＝6时，a ＋b ＋c 与a 的夹角显然为0； 当θ＝23π，即|a ＋b ＋c |＝3时，∵ （a ＋b ＋c ）·a ＝－32，且|a ＋b ＋c |·|a |＝3， cos <a ＋b ＋c ，a >＝－32，∴ a ＋b ＋c 与a 的夹角为56π.。
2020高一下学期数学期末考试卷(20200408112936)
6．〔 5 分〕假设不等式 ax 2+bx+2 ＜ 0 的解集为 {x|x ＜﹣，或 x
＞ }，那么 的值为〔
〕
A、
B、
C、﹣
考 一元二次不等式的解法；基本不等式． 点： 专 不等式的解法及应用．
D、﹣
题：
分 根据不等式的解集得到方程 ax2+bx+2=0 的两根为﹣ 与 析：
，利用韦达定理求出﹣ ，将所求式子变形后代入计算
故 k=
〔 x＞ 0〕可分别有 2， 3，4 个解．
故 n 的取值范围为 2，3， 4． 应选 B、
点 正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的 评： 思想方法是解题的关键．
二．填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 .把答案 填在答卷的相应位置． 11 ．〔 5 分〕等差数列 {an}的前三项依次为 a﹣1，2a+1 ， a+4 ，
【一】选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在
每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求
的．
1．〔 5 分〕直线
的倾斜角为〔
〕
A、
B、
C、
D、
考 直线的倾斜角．
点：
专 计算题．
题：
分 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．
析：
解 解：因为直线
的斜率是 ，直线的倾斜角为
答： θ，所以 tan
那么 a=
．
考 等差数列的通项公式． 点： 专 等差数列与等比数列． 题： 分 a﹣1， 2a+1 ， a+4 是等差数列 {an}的前三项，直接利用 析： 等差中项的概念列式计算 a 的值． 解 解：因为 a﹣1，2a+1 ， a+4 是等差数列 {a n}的前三项， 答： 所以有 2〔 2a+1 〕 =〔 a﹣1〕 +〔a﹣4〕，解得： a= ．
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
10.要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（）
A.向左平移 个单位B向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位
11.如图， 是线段 上一点，分别以 为直径作半圆， ， ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）
A. B. C. D.
12.函数 的图像（）
11. C
【解析】
【分析】
由题，先求出两个白色小半圆的概率，再利用概率之和为1，求得阴影部分的概率即可.
【详解】可得概率为 故选C
【点睛】本题主要考查了几何概型中面积型，会求得面积是解题关键，属于基础题.
12. B
【解析】
【分析】
根据 关于点 对称, 关于直线 对称来解题.
【详解】解：令 ,得 ,
所以对称点为 .
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：120分时间：100分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.函数 的最小正周期为（）
A. B. C. D.2
2.半径为 ，圆心角为 弧长为（）
， ， ， 共10个，A包含的基本事件个数为4个，
利用古典概型概率公式可知 .
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型，属于基础题．
19.（1） ；（2）3.
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系及弦化切的思想求解即可.
【详解】（1） .
（2） .
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，考查了运算能力，属于中档题.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案
又∵ ，
∴ ；
（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， (舍去).
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，其中涉及到三角形的面积公式和等差数列，考查运算求解能力，属于常见的基础题型.
19.（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和.
【详解】因为不等式 对于任意的实数 恒成立，
所以只需 ，
解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，属于基础题型.
15. .
【解析】
【详解】 时， 时， ，可得 ，即 数列 从第二项起为等比数列， 时， ，故答案为 .
【方法点睛】本题主要考查数列通项与前 项和之间的关系以及公式 的应用，属于难题.已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当 时，由 ，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示 ；（4）写出 的完整表达式.
【详解】（1）数列 为等差数列，公差 ，且 ， ，
整理得 ，解得 ， ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 .
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础性题．
20.约为16.43米．
【解析】
【分析】
利用正切值求得 后可得．
【详解】设 ，∵ ，
则 ， ，
9. C
【解析】
【分析】
设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，求出 ， ，再代入直线 中即可得到对称直线的方程.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
【解析】
【分析】
先对分子进行化简，然后再利用复数的除法运算求解即可
【详解】解：因为 ，
所以 复平面内对应的点为 ，位于第一象限
【详解】由条件可知
当 时， ，此时 ，取得最小值，所以A正确；
当 时， ，当 ，即 ，此时函数单调递减，当 ，即 时，函数单调递增，故B不正确；
向左平移 个单位后得到函数 ，函数是偶函数，故C正确；
，解得： ，解得： ，
或 ，解得： , ,
因为 ，所以 或
所以交点的横坐标之和为 ，故D正确.
故选：ACD
A.总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小
B.总样本的平均数大于164
C.总样本的方差大于45
D.总样本的标准差大于7
12.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则下列结论错误的是（）
A.A1D⊥AF
B.三棱锥A﹣BCF外接球的表面积为9π
C.点C到平面AEF的距离为
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．
四、解答题：本愿共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
对于B，由已知可得样本的平均数为 ，所以B正确；
对于C，设23名男生的身高分别为 ，27名女生的身高分别为 ，则
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范文
2020年高一数学第二学期期末试卷及答案(四)
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2020 年高一数学第二学期期末试卷及答案（四）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题 1．若 a，b∈R 且 a＞b，则下列不等式恒成立的是 A．a2＞b2 B． a ? 1 b C．2a＞2b D．lg（a－b）＞0 2．如果 ac＜0 且 bc＜0，那么直线 ax＋by＋c＝0 一定不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知数列{an}为等差数列，且 a2＋a3＋a10＋a11＝48，则 a6＋a7＝ A．21 B．22 C．23 D．24 4．已知 x＞3，则对于函数 f (x) ? x ? 4 ，下列说法正确的是 x?3 A．函数 f（x）有最大值 7 B．函数 f（x）有最小值 7 C．函数 f（x）有最小值 4 D．函数 f（x）有最大值 4 1页
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 a2＝b2＋c2＋bc，则 A ＝ A． 2? 3 B． ?? 6 C． ? 6 D． ? 3 6．已知点（x0，y0）在 x2＋y2＝r2（r＞0）外，则直线 x0x＋y0y＝r2 与圆 x2＋y2 ＝r2 的位置关系为 A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离三种情况均有可能 7．α，β 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是①若α∥β，m ? α，则m∥β；②若m∥α，n ? α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．四棱锥 S－ABCD 的底面 ABCD 是正方形，各侧棱长与底面的边长均相等， M 为 SA 的中点，则直线 BM 与SC 所成的角的余弦值为 2页
3/ 8
A． 1 2 B． 6 3 C． 3 3 D． 2 4 ?2x ? y ≤ 2, 9．已知实数 x，y 满足? ? x ≥ 0, z＝（x＋1）2＋（y＋2）2，则 z 的最小值为??x ? y ≥ 0, A． 3 2 2 B． 9 2 C． 5 D．5 10．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S7＝21，S17＝34，则 S27＝A．27 B．－27 C．0 D．37 11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10 3 ，则此几何体外接球的表面积为 3页
A．8π B．24π C．48π D．64π 12．平面α 内有一以 AB 为直径的圆，PA⊥α，点 C 在圆周上移动（不与 A，B 重合），点 D，E 分别是 A 在 PC，PB 上的射影，则 A．∠ACD 是二面角 A－PC －B 的平面角 B．∠AED 是二面角 A－PB－C 的平面角 C．∠EDA 是二面角 A－PC－B 的平面角 D．∠DAE 是二面角 B－PA－C 的平面角第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题 13．已知等比数列{an}的首项为 32，公比为 ? 1 2 ，则等比数列{an}的前 5 项和为________． 14．若直线 l1：（a＋2）x＋（a－1）y＋8＝0 与直线 l2：（a－3）x＋（a＋2）y－ 4页
5/ 8
7＝0 垂直，那么 a 的值为________． 15．已知三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面△ABC 为等边三角形，AA1⊥平面 ABC， AB＝4，AA1＝6．点E，F 分别是棱 BB1，CC1 上的点，则三棱锥 A－A1EF 的体积为________． 16．甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入 A，B 两种类型的文件的部分文字才能使这两种类型的文件成为成品．已知
A 文件需要甲输入 0.5 小时，乙输入 0.2 小时，
B 文件需要甲输入
0.3 小时，乙输入 0.6 小时．在一个工作日内，甲至多只能输入 6 小时，乙至多只能输入 8 小时．A 文件每份利润 60 元，B 文件每份利润 80 元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________ 元．（说明：文件份数为整数）三、解答题 17．如图所示，三棱锥 V－ABC 中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB ? 2 3 ，VC＝1，线段AB 的中点为 D．（Ⅰ）求证：平面VCD⊥平面 ABC；（Ⅱ）求三棱锥 V－ABC 的体积． 18．已知数列{an}的首项 a1＝1，前 n 项和为 Sn，且满足（n＋1）an＝2Sn（n∈ 5页
N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn＝ancos（πan），求数列{bn）的前 n 项和 Tn． 19．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 acosB＝4，bsinA＝3．（Ⅰ）求 tanB 及边长 a 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积 S＝9，求△ABC 的周长． 20．已知a∈R，解关于 x 的不等式（a－1）x2＋（2a＋3）x＋a＋2＜0． 21．（Ⅰ）已知点 H（x0，y0）在圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中点 C 为圆心，D2＋E2－4F＞0）外，由点 H 向圆 C 引切线，其中一个切点为 M．求证：| HM |? x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ；（Ⅱ）如图，P 是直线 x＝4 上一动点，以 P 为圆心的圆 P 经定点B（1，0），直线 l 是圆 P 在点 B 处的切线，过 A（－1，0）作圆P 的两条切线分别与 l 交于 E， F 两点．求证：|EA|＋|EB|为定值． 22．已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，DD1⊥平面 ABCD， 6页
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AB＝4，AA1＝2，点 E1 在棱 C1D1 上，且 D1E1＝3．（Ⅰ）在棱 CD 上确定一点 E，使得直线EE1∥平面 D1DB，并写出证明过程；（Ⅱ）若动点 F 在正方形 ABCD 内，且 AF＝2。