不动点迭代法
中国矿业大学（北京）理学院
数值分析实验报告
实验名称 不动点迭代法求方程的近似根 实验时间 201年3月20日
组长签名
龙纯鹏 班级 信息与计算
科学（1）班
学号
11107200110 成绩
组员签名
11107200101
11107200102
11107200103 11107200119
11107200120
一、实验目的，内容 二、相关背景知识介绍 三、代码
四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会 一、实验目的，内容
5、先确定方程x e x 51=
的一个收敛的有根区间[a,b], 然后用不动点迭代法求x
e x 5
1=在此有根区间的近似根,初值0x 自己确定,要求根精确到510-,并求迭代次数. ，掌握二分法，会编写相关代码。
二、相关背景知识介绍
（1）算法原理或计算公式
二分法的基本思路是通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程
的近似根数列{}n x 。ε<-≤-+1*2
k k a
b x x
（2）程序设计思路 二分法原理：
不妨设方程0)(=x f 在隔根区间],[b a 上.0)(,0)(>
2
b a +,计算)(x f 在中点的函数值)2(b a f +，若0)2(=+b
a f ，则2
b
a x +=
*就是方程的根； 否则,若0)2(<+b a f ,由于)(x f 在]2,[b a a +内不变号，所以隔根区间变为],2
[b b
a +.同理，若0)2(>+
b a f , 隔根区间变为]2
,[b a a +.将新区间记为[]11,b a .
(2)将[]11,b
a重复上述步骤(1).得到一系列隔根区间：
[][][]????????k k b b a b ,a ,,a 11
并有),(,0)(f )(f *k k k k b a x b a ∈<*，且后一区间的长度都是前一区间长度的一半，所以[]k k b ,a 的长度为)(,2
∞→-=
-k a
b a b k k k ，区间[]k k b ,a 的长度趋向于零，即这些区间最终收缩于一点*x ，
显然*x 就是方程0)(=x f 的根。
三、代码（Matlab ） clear x0=1
e=10^(-5) k=1
x1=sqrt(0.2*e^x0)
while (abs(x0-x1)>e) k=k+1 x0=x1
x1=sqrt(0.2*e^x0) end x0
x0 = 0.1753 x1 = 0.1630 k = 100
x0 = 0.1630 x1 = 0.1750 k = 101
x0 = 0.1750 x1 = 0.1633 k = 102
x0 = 0.1633 x1 = 0.1747 k = 103 x0 =
0.1747 x1 = 0.1636 k = 104
x0 = 0.1636 x1 = 0.1744 k = 105 x0 = 0.1744 x1 = 0.1639 k = 106
x0 = 0.1639 x1 = 0.1741
k = 107
x0 = 0.1741 x1 = 0.1642 k = 108
x0 = 0.1642 x1 = 0.1738 k = 109
x0 = 0.1738 x1 = 0.1644 k = 110
x0 = 0.1644 x1 = 0.1735 k = 111
x0 = 0.1735 x1 = 0.1647 k = 112
x0 = 0.1647 x1 = 0.1733 k = 113
x1 =
0.1653
k =
118
x0 =
0.1653
x1 =
0.1727
k =
119
x0 =
0.1727 x1 =
0.1655 k =
120
x0 =
0.1655 x1 =
0.1725 k =
121
x0 =
0.1725 x1 =
0.1657 k =
122
x0 =
x1 =
0.1666 k =
134
x0 =
0.1666 x1 =
0.1714 k =
135
x0 =
0.1714 x1 =
0.1668 k =
136
x0 =
0.1668 x1 =
0.1712 k =
137
x0 =
0.1712 x1 =
0.1669 k =
138
x0 =
0.1669 x1 =
0.1711 k =
139
x0 =
0.1711
x1 =
0.1670 k =
140
x0 =
0.1670 x1 =
0.1710 k =
141
x0 =
0.1710 x1 =
0.1671 k =
142
x0 =
0.1671
x1 =
0.1709 k =
143
x0 =
0.1709 x1 =
0.1672 k =
144
x0 =
0.1672 x1 =
0.1708 k =
145
x0 =
0.1708
x1 =
0.1673 k =
146
x0 =
0.1673 x1 =
0.1707 k =
147
x0 =
0.1707 x1 =
0.1674 k =
148
x0 =
0.1674 x1 =
x1 =
0.1676
k =
154
x0 =
0.1676
x1 =
k =
158
x0 =
0.1678
x1 =
0.1702
k =
159
x0 =
0.1702
x1 = 0.1679
k =160
x0 = 0.1691 x1 = 0.1689 k = 250
x0 = 0.1689 x1 = 0.1691
k = 251
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 252
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 253
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 254
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 255
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 256
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 257
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 258
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 259
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 260
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 261
x0 = 0.1691
x1 = 0.1690
k = 262
x0 = 0.1690
x1 = 0.1691
四、数值结果
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 0.50000.75000.62500.68750.65630.64060.64840.64450.6426
k 10 11 12 13 14 15 16 17
x 0.6416 0.6411 0.6414 0.6412 0.6412 0.6412 0.6412 0.6412
f =
-5.4870e-006
k =
17
五、计算结果的分析
这个方程运用二分法求得四位有效数字的解为x=0.6414。
图一
六、计算中出现的问题，解决方法及体会
1.刚开始设计程序，出现死循环，无法得出结果，要经过不断调试。
2.不熟悉Matlab的用法，导致解决问题效率下降，要学好相关基础知识。
3.由图一可以看出二分在区间很大时，收敛接近根的速度很快，而当区间较小时，靠近要求精度根速度变得相当缓慢，计算量也很大，对满足高精度的要求比较困难。我们想象此法可以和别的后半段接近根较快的方法结合，先求出适用于别的方法的初值，应当会优化算法。
教
师
评
语指导教师：
2013 年 3 月 12 日
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。
【良心出品】不动点迭代法matlab程序
实验四 姓名：木拉丁。尼则木丁班级：信计08-2 学号：20080803405 实验地点：新大机房 实验目的：通过本实验学习利用MATLAB不动点迭代法，抛物线法，斯特芬森迭代法解非线性方程组，及其编程实现，培养编程与上机调试能力。 实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序； ②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言， 算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等； ③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。 迭代法 MATLAB程序： function pwxff(f,x0,x1,x2,d,n) f=inline(f); x(1)=x0; x(2)=x1; x(3)=x2; w1=(f(x(2))-f(x(3)))/(x(2)-x(3)); t1=(f(x(1))-f(x(3)))/(x(1)-x(3)); t2=(f(x(1))-f(x(2)))/(x(1)-x(2)); w2=1/(x(1)-x(2))*(t1-t2); w=w1+w2*(x(3)-x(2));
for k=3:n x(k+1)=x(k)-2*f(x(k))/(w+sqrt(w^2-4*f(x(k))*w2)); if abs(x(k+1)-x(k)) 题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用 Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem. 目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1) 1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14) 不动点理论及其应用 主要内容： 不动点理论一压缩映像原理 不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在中学数学中的应用目录： 一、弓丨言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它 一、引言 取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上, 那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的这个重合点就是一个不动点 函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点 即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点X。使f(X0)X o,则X o就是 一个不动点。 二、压缩映像原理 定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理) 设(X,)是一个完备的距离空间，T是(X,)到其自身的一个压缩映射，则T 在X上存在唯一的不动点 这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射 距离空间又称为度量空间 定义：(距离空间)设X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(x, y) ，满足下面三个条件： (1)。(x,y) 0，而且(x, y) 0，当且仅当x y； (y,x)； (2)。(x,y) (3)。(x,z)(x, y) (y,z)， ( x,y,z X )。 这里叫做X 上的一个距离，以为距离的距离空间X 记作(X, ) 定义：(完备的距离空间) 距离空间( X, ) 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。 定义：(压缩映射)称映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，如果存在0 a 1，使得(Tx,Ty) a (x,y) ( x,y X )成立。 三、在微分方程中的应用 定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题 d y f(x,y), dx y(x o) y o. 假设f(x,y)在矩形区域 R： |x x o | a, | y y°| b 内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I [X。h,X。h]上有且仅有一个解，其中 h min2，寻｝, M (m y a>R| f(x,y)|. (1)。传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明： a.转换成等价的积分方程 x y y o x f(t,y)dt x o b.构造皮卡迭代序列 c.证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解 d.证明解唯一 (2)。压缩映像原理证明 根据上面的理论，先定义X C[x。h, X。h] C(l) 然后，给一个度量(x,y) max|x(t) y(t)| 摘要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence. 目录 中国矿业大学（北京）理学院 数值分析实验报告 实验名称 不动点迭代法求方程的近似根 实验时间 201年3月20日 组长签名 龙纯鹏 班级 信息与计算 科学（1）班 学号 11107200110 成绩 组员签名 11107200101 11107200102 11107200103 11107200119 11107200120 一、实验目的，内容 二、相关背景知识介绍 三、代码 四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会 一、实验目的，内容 5、先确定方程x e x 51= 的一个收敛的有根区间[a,b], 然后用不动点迭代法求x e x 5 1=在此有根区间的近似根,初值0x 自己确定,要求根精确到510-,并求迭代次数. ，掌握二分法，会编写相关代码。 二、相关背景知识介绍 （1）算法原理或计算公式 二分法的基本思路是通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程 的近似根数列{}n x 。ε<-≤-+1*2 k k a b x x （2）程序设计思路 二分法原理： 不妨设方程0)(=x f 在隔根区间],[b a 上.0)(,0)(>+ b a f , 隔根区间变为]2 ,[b a a +.将新区间记为[]11,b a . 不动点定理及其应用综述 摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有 ,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1） 则称T 是压缩映射。 定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2） 则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3） 根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++ 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m m d x x ααα --=- （1.4） 由于1α<，故11n m α--<，得到 01(,)(,)()1m m n d x x d x x n m αα ≤>-（1.5） 所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备， x X ?∈， 不动点定理及其应用 摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理. 关键词不动点;不动点定理;Banach空间 Fixed Point Theorems and Its Applications Abstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved. Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space 不动点定理及其应用 0 引言 在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论 [1-3] .而在非线性泛函中是 研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义. 定义 0.1设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =. 对此定义,有以下理解. 1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x . 2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点. 在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算. 本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳. 1 Banach 不动点定理及其应用 1.1相关概念 首先介绍本文用的一些概念. 定义1.1.1[3] 设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在 0>N ,使得当N n m >,时,()ερ 目录 内容摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 1．引言 (1) 2．不动点定义及定理介绍 (2) 2.1不动点相关定义 (2) 2.2不动点思想 (2) 2.3不动点相关定理 (6) 3．不动点思想在其他学科的应用 (8) 3.1在求数列通项公式中的应用 (8) 3.2在求方程解中的应用 (11) 3.3在求函数解析式中的应用 (12) 4．不动点定理在证明中的应用 (14) 4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14) 4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15) 4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17) 4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17) 4.5 不动点定理在图论中的证明 (14) 参考文献 (18) 致谢 (19) 内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。 关键词：不动点不动点思想不动点定理应用 Abstract： Key words： 1．引言 泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。 不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。 2．不动点相关定义及定理介绍 2.1不动点相关定义 定义1 设X 为非空集合，:T X X ?是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成 立，则称x 为映射T 的一个不动点。 特别地，函数()f x 是定义在D R ì上的函数，如果x D $ 使得()f x x =成立，则称x 为函数()f x 的一个不动点。 定义 2 设(),X r 是距离空间，T 是X 到其自身的映射，且对于任意的 ,x y X ?，不等式()(),,Tx Ty x y r qr ￡都成立，其中q 是满足01q ?的常数。则 称T 是X 上的压缩映射。 2.2不动点思想 首先，对于函数()y f x =的不动点，有两个方面的理解： 1）()y f x =的不动点，是方程()0f x x -=的根。 2）()y f x =的不动点，是函数()y f x =与y x =的交点。 有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的 不动点理论在数列中的应用 四川省宜宾市南溪第一中学校 潘昌明 摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向。 关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式。 Fixed point theory in the sequence of application Abstract : Understand metric space under the fixed point principle, and study its application in recursion sequence, the promotion prospects, mathematical thinking problem new direction launchs entrance. Key words : Fixed point principle;Continuous function; Recursion sequence;The general formula; Inequality. 1预备知识 1.1 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在数)10<<αα（，使得对所有X y x ∈,，成立 ()()y x d Ty Tx d ,,α≤， （()y x d ,表示实数直线R 上任何两点y x ,之间的距离） 则称T 是压缩映射。 压缩映射从几何角度来说，就是点x 和y 经T 映射后，它们的像的距离缩短了，不超过()y x d ,的)10<<αα（倍。 1.2 定理及其证明 定理 1 设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么在X 内必 X x ∈?，使得x Tx =。 证明：设0x 是X 中的任意一点，令01Tx x =，...0212===x T Tx x ， 不动点迭代法求解非线性方程组 摘要：一般非线性方程组可以写成()0F x =的形式，其中:n m F R R →是定义在区域 n D R ?上的向量函数。把方程组()0F x =改写成与之等价的形式：(x G x =)。因此，求 方程组()0F x =的解就转化为求函数的(G x )的不动点。本文首先介绍了多变量函数()F x 的微积分性质，接着介绍了用不动点迭代法求解非线性方程组。 关键词：多变量函数；微积分；不动点 Fixed Point Iteration Method For Solving Nonlinear Equations Abstract ：General nonlinear equations can be written in the form of ()F x θ=, where the vector function :n m F R R →is defined on the region n D R ?. Transform the equations ()0F x = into its equivalent form: (x G x =).Therefore, we can get the solution of ()0F x = by finding the fixed point of (G x ).In this paper, we first introduce some knowledge about multivariable calculus, then introduce the fixed point iteration method for solving nonlinear equations. Key words: multi-variable function; calculus; fixed point 1 引言 一般非线性方程组及其向量表示法:含有n 个方程的n 元非线性方程组的一般形式为 11221212(,...,)0(,...,)0......(,...,)0 n n m n f x x x f x x x f x x x =??=?? ? ?=? （1） 其中，()1,2,...,i f i n =是定义在n D R ?上的n 元实值函数，且i f 中至少有一个是非线性 函数。 令12 ...n x x x x ?? ? ?= ? ???，()()()12()...m f x f x F x f x ?? ? ? = ? ? ?? ? ，则方程组可以表示为()F x θ= （2） 其中:n m F R R →是定义在区域n D R ?上的向量函数。若存在* x D ∈，使 前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]． 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、 许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x ，使00()fxx .波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2 设E是Banach空间，X为E中非空紧凸集，XXf :是连续自映射，则f在X中必有不动点. Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx ，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。 1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。 1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理： 1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：（克莱尼） 1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形： 1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即 1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理： 布劳德不动点定理: 由布劳德(Browder,F.E.)提出的带边界条件的集值映射不动点定理.设X是局部凸拓扑线性空间,C为X中非空紧凸集,F:C→2X具非空闭凸值且上半连续.记δ(C)={x∈C|存在X的有限维线性子空间E,使得x属于C∩E在E中的边界}.若F满足下述两 《MATLAB 程序设计实践》课程考核 1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，2009年） “不动点迭代法非线性方程求解” 2、编程解决以下科学计算问题。 7.某工厂2005年度各季度产值（单位：万元）分别为：450.6、395.9、410.2、450.9，试绘制折线图和饼图，并说明图形的实际意义。 8.根据1252 2 22=-+ a y a x 绘制平面曲线，并分析参数a 对其形状的影响。 2.按要求对指定函数进行插值和拟合。 （1）按表 6.4用3次样条方法插值计算090~0范围内整数点的正弦值和 075~0范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值， 并将两种计算结果进行比较。 （2）按表6.5用3次多项式方法插值计算1~100之间整数的平方根。 1、不动点迭代非线性方程求解 解： 算法说明： 在Matlab中编程实现不动点迭代法的函数为StablePoint 功能：用不动点迭代法求函数的一个零点。 调用格式：[root,n]=StablePoint(f,x0,eps)。 其中，f为函数名； x0为初始迭代向量； eps为根的精度； root为求出的函数零点； n为迭代步数。 流程图： 不动点迭代法的MATLAB程序代码： function [root,n]=StablePoint(f,x0,eps) %用不动点迭代法求函数f的一个零点 %初始迭代量：x0 %根的精度：eps %求出的函数零点：root %迭代步数：n if(nargin==2) eps=1.0e-4; end tol=1; root=x0; n=0; while(tol>eps) n=n+1; r1=root; root=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1)+r1; %迭代的核心公式tol=abs(root-r1); end 实例： 20 x +-=的一个根。流程图： 解：在MATLAB命令窗口中输入程序代码： >>[r,n]=StablePoint('1/sqrt(x)+x-2',0.5) 结果输出： 不动点定理及其应用综述 摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。［1］介绍了压缩映射原理证明隐 函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；［2］［3］介绍了应用压 缩映射原理需要注意的问题；［4］介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和 Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用； ［5］讨 论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们 在像空间中的距离缩短为不超过 d （x,y ）的倍（1 ）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在 ， 1，使得对所有 x, y X ，有下式成立 d （Tx,Ty ） d （x, y ） （1.1） 则称T 是压缩映射。 定理1.1 （不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程 Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设X o 是X 种任意一点，构造点列｛X n ｝，使得 则｛X n ｝为柯西点列。实际上, L m d （X 1,x 。） 根据三点不等式，当n m 时， m m 1 n 1 ( L )d(x °,X 1) (1.4) 由于 1，故1 n m 1，得到 X 1 TXoX Tx 1 T 2 x °丄，X n TX n 1 n T X o (1.2) d(X m 1,X m ) d(Tx m ,Tx m 1) d(X m ,X m 1) d(TX m 1,TX m 2) 2 d(X m 1 d(X m ,X n ) d(X m ,X m 1 ) d(X m 1,X m 2) L d(X n 1,X n ) (1.3) m g n m ——d(x °, 为) 重庆文理学院 2011-2012下学期《数值方法》课程论文 题目：非线性方程的不动点迭代方法研究 中国﹒重庆 2012 年 06 月 通过从现实的一个球体的实际问题引出对非线性方程的不动点迭代研究，在理解迭代规则1()k k p g p +=的基础上通过对迭代法和不动点迭代法的基本思想即找()0f x =的同解变形()x g x =，然后运用初值0x 迭代，求出误差范围内的近似解1k x p +≈。运用函数连续性证明不动点的存在性和运用中值定理和均值定理证明不动点唯一性，进而推导出不动点迭代法的推导步骤。然后又用均值定理和数学归纳法证明出收敛性，并在此基础上引出误差边界。再通过对开题提出的球体问题案例的求解，进一步来加深非线性方程对不动点迭代法实证说明，由此联系到不动点迭代法在其他一些领域如物理和工程等的运用。 不动点迭代式（2.2）通常只有线性收敛，有时甚至不收敛，进而在原有的基础上拓展到加速迭代法的收敛性的讨论通常，从而对Steffensen 加速迭代和Aitken （埃特金）加速迭代的讨论。 关键字 不动点迭代； 收敛性； Steffensen 加速迭代； Aitken 加速迭代 1 问题的提出--------------------------------------------------------1 2 算法的思想--------------------------------------------------------1 2.1迭代法的基本思想----------------------------------------------1 2.2 不动点迭代法的基本思想----------------------------------------2 3 算法的推导及步骤--------------------------------------------------2 3.1 算法的推导----------------------------------------------------2 3.2 算法的步骤----------------------------------------------------3 4 算法的分析--------------------------------------------------------4 4.1 收敛性分析----------------------------------------------------4 4.2 误差性分析----------------------------------------------------6 4.3 稳定性分析----------------------------------------------------7 5 算法的实现--------------------------------------------------------7 5.1 案例----------------------------------------------------------7 5.2 求解过程------------------------------------------------------7 5.3 不动点迭代法代码及输出结果------------------------------------8 6 运用举例---------------------------------------------------------10 7 知识拓展---------------------------------------------------------10 7.1 Steffensen加速迭代-------------------------------------------10 7.2 Aitken（埃特金）加速迭代法-------------------------------------11 非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。从具体的空间（如p L 空间或p l 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。可以说成果丰富。迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。 下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展 一 算子 1 T 称为非扩张的，如果 Tx Ty x y -≤- ，,x y C ?∈。 2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得 ,,Tx Ty x y x y C α-≤-?∈ :()T D T E → 3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥ 4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞ ∈∞=， ，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得 2 ,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-?≥ 5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞ ∈∞=∈， ，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得 2 ,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-?≥ 不动点定理及其应用 1 引言 大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述． 2 背景介绍 把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理． 3 基本的定义及定理 定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件： ①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ= ),(x y ρ； ③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素． 则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ． 注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的 ,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ 容易看到①、②、③都满足． 定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在 ,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则 称X 为完备的距离空间． 定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式 ),(),(y x a y x ρρ≤T T （1） 核心程序： function [y] = FixedPointIter(x0,func,tol,MaxIter) % Version: 1.0 written by jbb0523 @2016-08-21 if nargin< 4 MaxIter = 100; end if nargin< 3 tol = 1e-3; end xn = x0; fprintf('Iter 0: %16.14f\n',x0); xnp1 = func(xn); fprintf('Iter 1: %16.14f\n',xnp1); criterion = abs(xnp1-xn); xn = xnp1; Iter = 1; while(criterion>tol) xnp1 = func(xn); criterion = abs(xnp1-xn); xn = xnp1; Iter = Iter + 1; fprintf('Iter %2.0d: %16.14f\n',Iter,xnp1); if Iter>=MaxIter break; end end y = xnp1; end （a） function [y] = E1(x) y= nthroot((2*x+2),3); end FixedPointIter(1,@E1,1e-8,10); 结果： Iter 0: 1.00000000000000 Iter 1: 1.58740105196820 Iter 2: 1.72967529339060 Iter 4: 1.76748506514529 Iter 5: 1.76890738000138 Iter 6: 1.76921036415447 Iter 7: 1.76927489299557 Iter 8: 1.76928863558602 Iter 9: 1.76929156229304 Iter 10: 1.76929218558142 Iter 11: 1.76929231832044 Iter 12: 1.76929234658929 Iter 13: 1.76929235260958 （b） function [y] = E1(x) y=log(7-x); end FixedPointIter(1,@E1,1e-8,20); 结果 Iter 0: 1.00000000000000 Iter 1: 1.79175946922806 Iter 2: 1.65024208870382 Iter 3: 1.67705130965908 Iter 4: 1.67202741490706 Iter 5: 1.67297078778434不动点原理及其应用
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