不动点迭代法上机实验报告

中国矿业大学（北京）理学院

数值分析实验报告

实验名称 不动点迭代法求方程的近似根 实验时间 2012.3.20

组长签名

龙纯鹏 班级 信息与计算

科学（1）班

学号

11107200110 成绩

组员签名

11107200101

11107200102

11107200103 11107200119

11107200120

一、实验目的,内容 二、相关背景知识介绍 三、代码

四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会

一、实验目的、内容

实验目的：熟悉掌握不动点迭代方法的思想方法，并熟悉运用MATLAB 编写相关代码求解方程的近似根； 内容：先确定方程x

e x 5

1=

的一个收敛的有根区间[a,b], 然后用不动点迭代法求x

e x 5

1=

在此有根区间的近似根,初值0x 自己确定,要求根精确到510-,并求迭代次数。 二、相关背景知识介绍 （1）算法原理或计算公式 :

不动点：将方程0)(=x f 写成等价的形式)(x x ϕ=.若要求*x 满足*)(x f =0,则小*x =

)(x x ϕ=;反之，若*)(*x x ϕ=，则满足0*)(=x f ，则称*x 为函数*)(x ϕ)的一个不动点。

不动点迭代法：求满足)(x f 的零点就等价于求)(x ϕ的不动点，选择一个初始近似值x0，将其代入x =)(x ϕ的右端，即可求得:

)(01x x ϕ=

)(12x x ϕ=

…….

可以如此反复迭代计算: )(1k k x x ϕ=+),2,1,0( =k

.如图:

)

(x y ϕ=

则x =)(x ϕ称为迭代函数。如果对任何0x 属于[a,b],由)(1k k x x ϕ=+),2,1,0( =k 得到的序列{k x }有极限，则称迭代方程)(1k k x x ϕ=+),2,1,0( =k 收敛，且)(*x x ϕ=为φ(x)的不动点，故称 )(1k k x x ϕ=+),2,1,0( =k 为不动点迭代法。

迭代法的基本思路是一种主次逼近的方法，其基本思想是将隐式方程0)(=x f 归结为一组显式的计算公式 )(1k k x x ϕ=+),2,1,0( =k ，也就是说，迭代过程的实质上是一个逐步显式化的过程。

（2）程序设计思路： 先确定方程x e x 51=

的一个收敛的有根区间[a,b],则x e x 5

1)(=ϕ’ ),()(x x x f ϕ-=设则)(x f 在[a,b]上连续，

由以上条件，若 )()(a a a f ϕ-= 0≤ )()(b b b f ϕ-= 0≤

则方程x

e x 5

1=

的一个收敛的根在区间[a,b]上，迭代过程如下：取初值1=x , *

012x x x x O

)(01x x ϕ= =

051x e 得1151e x = )(12x x ϕ== )5

1(

e ϕ ……………… )(1k k x x ϕ=+),2,1,0( =k . 三、代码（Matlab ）

clear x0=1

e=10^(-5) k=1

x1=sqrt(0.2*e^x0) while (abs(x0-x1)>e) k=k+1 x0=x1

x1=sqrt(0.2*e^x0) end x0

k = 261

x0 = 0.1691 x1 = 0.1690 k = 262

x0 = 0.1690 x1 = 0.1691 四、数值结果

在matlab 运算结果如下表： k 0x

k 0x

k 0x

100 101 102 103 104 105

0.1753 0.1630 0.1750 0.1633 0.1747 0.1636

143 145 154 158 160 178

0.1709 0.1673 0.1676 0.1702 0.1678 0.1689

250 252 253 257 260 266

0.1689 0.1691 0.1690 0.1691 0.1690 0.1691

=*x 0.1691

K=266

五、计算结果的分析 方程x

e x 5

1=

在区间[a,b]的近似根为=*x 0.1691 六、计算中出现的问题，解决方法及体会

1.着重理解不动点迭代法德思想方法，体会其用法，慢慢改进，有着深刻的映像；

2.逐渐熟悉Matlab 的用法，致使解决问题效率上升，掌握学好相关基础知识;

3.对于同样的方程, 迭代函数的构造有关,不同的迭代格式,有不同的结果; 当迭代函数不收敛时,即发散的时候,迭代没有意义。

教 师 评 语

指导教师：

2013 年 3 月 20 日