西南科技大学线性代数期末试题(含答案)

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线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且矩阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末考试试卷+答案

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2013科大

线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）设A 为n 阶矩阵，*||0,≠A A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值__________.解：2||1⎛⎫+ ⎪⎝⎭A λ.设0x ≠，使x x λ=A . 由*||⋅=A A A E 知，***||()x x x x ===A A A A A λλ. 由||0≠A 知≠λ0.**2**2||||,()()()x x x x x ===A A A A A A λλ，*22||[()][()1]x x ==+A A E λ，*2()+A E 有一特征值 2||1+A λ.二、选择题（每小题3分）（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---.（A ）相交于一点；（B ）重合；（C ）平行但不重合；（D ）异面。

解：（A ）正确记 1111{,,}a b c =α 1111(,,)a b c =A 2222{,,}a b c =α 2222(,,)a b c =A 3333{,,}a b c =α 3333(,,)a b c =A因为矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，故123,,ααα线性无关，所以112223,s s =-=-r r αααα线性无关，12//s s r r且23,,A A A 三点不共线，确定一平面π，记 1l 为直线333121212,x a y b z c a a b b c c ---==--- 2l 为直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---，则 1l 为过3A ，且平行12A A 的直线，所以1l π∈， 2l 为过1A ，且平行23A A 的直线，所以2l π∈，因为12//s s r r，12//l l ∴，且同在π上，故相交，所以（A ）正确，当然（B ）、（C ）、（D ）不正确.三、（本题满分5分）求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.解：将l 的标准方程改为一般方程为 1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z --++-=λ 由投影关系1(1)20--+=λλ，解之2=-λ 所以过l 且垂直平面π的方程为 3210x y z --==故0l 的方程为2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩设点(,,)M x y z 为直线上的点111(,,)M x y z 所旋转而成的曲面上的点，则1y y =且= 即 222211x z x z +=+ （1）由1M 在0l 上，故111210x y z -+-= （2） 1113210x y z --+= （3）（2）、（3）联立，将11,x z 由1y 表出有11112211(1)(1)22x y yz y y ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ 代入（1）得： 222214(1)4y y x z +-=+ 所求曲面为2224174210x y z y -++-= 为单叶双曲面. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++= 可以经过正交变换x y P z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξηζ化为椭圆柱面方程2244+=ηζ，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得11111114b b a------=-----λλλλλλ，解之得到3, 1.a b ==对应于特征值10=λ的单位特征向量为T1x =；对应于特征值11=λ的单位特征向量为T2x =；对应于特征值34=λ的单位特征向量为T3x =；因此P ⎛=⎝.十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k x =A 有解向量α，且10k -≠A α. 证明：向量组1,,,k -A A L ααα是线性无关的. 解：设有常数12,,,k L λλλ，使得112,k k -+++=A A L λαλαλα0则有1112(),k k k --+++=A A A L λαλαλα0从而有11.k -=A λα0由于10k -≠A α，所以1.=λ0类似可证得 230,k ====L λλλ因此向量组1,,,k -A A L ααα线性无关.十二、（本题满分5分）已知线性方程组（I ）1111221,222112222,221122,220,0,0.n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为T T T 11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n b b b b b b b b b L L L L . 试写出线性方程组（II ）1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为T T111121,2221222,2(,,,)(,,,)n n y c a a a c a a a =++L L L T 12,2(,,,)n n n n n c a a a +L ，其中12,,,n c c c L 为任意常数.理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知T=AB 0，于是T T ()==BA AB 0，因此可知A 的n 向个向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=，又A 的秩为2n 与（I ）的解空间维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基础解系，于是得到（II ）的上述通解。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

西南科技大学网络教育线性代数题目解答

西南科技大学网络教育线性代数题目解答
西南科技大学网络教育线性代数题目解答一、单项选择题
1.
A.0
B.-5
C.-6
D.7
答案：C
2.计算排列34125的逆序数后,有( )。

A.逆序数是3, 并为奇排列
B.逆序数为4, 并为奇排列
C.逆序数为4, 并为偶排列
D.逆序数为3, 并为偶排列
答案：C
3.
A.
B.
C.
D.
答案：A
4.取( )值时齐次线性方程组有非零解。

A.
B.
C.
D.
答案：B
5.。

大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

西南科技大学2009年线性代数(B)期末试题A

证: 设有 k1α + k2 Aα + k3 A2α = 0 ，
则 k1 Aα + k 2 A2α + k3 A3α = 0 ，因 A3α = 0 ，故 k1 Aα + k 2 A2α = 0 -----(3 分)
ww w. zh
A2α ≠ 0 ，求证向量组 α , Aα , A2α 是线性无关的。
in
命题共 5 页第 4 页
an ch e
1 x = −(λ − 1)2 (λ + 1) −λ
.c
⎛0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 6.（10 分）设矩阵A = ⎜ 1 1 x ⎟ ，问 x 为何值时，矩阵 A 可对角化？ ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎠
om
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 3 ⎜ ,η 2 + η3 = ⎜ ⎟ η1 = ⎜ 3⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ 求该方程组的通解。解 : 此方程组的导出组的基础解系含有 4−3 =1 个解向量（ 3 分），而 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 1 ξ = 2η1 − (η2 + η3 ) = ⎜ ⎟ 是导出组的一个非零解，故 ξ 就是基础解系（4 分）。所 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 以，方程组的通解为η = kξ + η1 （ k 为任意常数）（3 分）
（3） λ = −
5. （10 分）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知η1 ,η2 ,η3 是它的三个解向量且
命题共 5 页第 3 页
ww w. zh
4 ，方程无解---------------------------(2 分) 5
in
⎛ 1 1 λ⎞ ⎜ ⎟ 解: 设方程组的系数矩阵为 A，则 A = ⎜ −1 λ 1 ⎟ --------(2 分) ⎜ 1 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠

线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大

线性代数期末试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）设12243311t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________.解：3-.若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾，故有||0=A . 122||0811(8)77117(3)077t t t -==-=-⋅+⋅=+-A 行，所以 3t =-.二、选择题（每小题3分）（4）设111122232333,,a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，则三条直线1110a x b y c ++=2220a x b y c ++= （其中220,1,2,3i i a b i +≠=）3330a x b y c ++=交于一点的充要条件是（A ）123,,ααα线性相关；（B ）123,,ααα线性无关；（C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα；（D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确.11221233(,)a b a b a b ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A αα，111222123333(,,)a b c a b c a b c -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关，12,αα线性无关，故选（D ）.仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对.当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对.七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）（1）设B 是秩为2的54⨯的矩阵，T T12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.解：因秩()2r =B ，故解空间的维数为422-=. 又 12,αα线性无关，故12,αα是解空间的基. 取 T11(1,1,2,3)==βα，2122111(,)(,)=-αββαβββT T 1(1,1,4,1)(1,1,2,3)3=---T 4210(,,,2)333=--，故T T 122,3),2,1,5,3)==--εε 即是所求的一个标准正交基.（2）已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量.（i ）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值；（ii ）问A 是否相似于对角阵？说明理由. 解：（i ）由2121()5310.121a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=---= ⎪⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭I A ξλλλλ即 2120,530,120,a b -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪---=⎩λλλ解得 3,0,1a b =-==-λ.（ii ）由3212212533,||533(1),102102---⎛⎫⎪=--=-+-=+ ⎪ ⎪--+⎝⎭A I A λλλλλ 知1=-λ是A 的三重特征值.但秩312()5232101r r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭I A ，从而1=-λ对应的线性无关特征向量只有一个，故A 不能相似于对角阵.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .解（1）因||0≠A 及||||0=-≠B A ，故B 可逆.（2）记ij E 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 行对换后所得到的初等矩阵，则ij =B E A . 因而 11111()ij ij ij ij -----====ABA E A AA E E E .线性代数期末试卷（二）试卷（二）一、填空题（每小题3分）（5）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t =-==-ααα的秩为2，则t =__________. 解： 3 .13212111211045204522000422t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭行ααα121104520030t -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭行由向量组123,,ααα秩为2，知3t =.三、（6）（本题满分5分）已知111011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2-=A AB I ，其中I 是三阶单位矩阵，求矩阵B .解：由2()-=-=A AB A A B I ，及||10=-≠A ，知1--=A B A ，即 1-=-B A A ，又 1112011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .从而 111112021011011000001001000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .四、（本题满分8分）λ取可值时，方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪=-=-⎩λλ无解，有唯一解或有无究多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.解法1 原方程组的系数行列式2211154(1)(54),455-∆=-=--=-+-λλλλλλ 故当1≠λ，且45≠-λ时，方程组有唯一解. 当1=λ原方程组为12312312321,2,455 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：211103331112111245510999---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111201110000-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].当45=-λ时，原方程组的同解方程组为 12312312310455,45510,4551,x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：1045510455455104551045510009----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，由此可知当45=-λ时，原方程组无解.解法2 对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：2112111122103455165506--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭λλλλλλ211210354009-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ.于是，当45=-λ时，原方程组无解，当1≠λ且45≠-λ时，原方程组有唯一解，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].线性代数期末试卷（三）一、填空题（每小题3分）（4）若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是__________.二次型的矩阵为210112012t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1阶顺序主子式为1, 2阶顺序主子式为2110,311=>阶顺序主子式为21021111022201122tt tt =2202t -=>，故220t ->，即t <<二、选择题（每小题3分）（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A ）122331,,++-αααααα （B ）1223123,,2++++ααααααα （C ）1223212,2,3+++αααααα（D ）123123123,2322,355++-++-ααααααααα解：（C ）正确对于（A ）向量组：考虑线性式112223331()()()k k k ++++-=αααααα0即 112233123(,,)k k k ⎛⎫ ⎪++-= ⎪ ⎪⎝⎭αααααα0112323101()110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ααα0因为123,,ααα线性无关，所以123101110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0.因为101110011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故上式有非零解，故（A ）向量组线性相关，故（A ）不正确. 因此向量组是否线性无关由对应的矩阵是否可逆而定，对于（B ）有1223123(,,2)++++=ααααααα123101(,,)112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααα，因为101112011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故（B ）向量组线性相关. 对于（C ）有122321(2,2,3)+++=αααααα 123101(,,)220033⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ααα，对于（D ）有123123123(,2322,355)++-++-=ααααααααα 123123(,,)1351225⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ααα. 因为（D ）中矩阵1231351225⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，而（C ）中矩阵101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是可逆阵，故（C ）正确. （4）设,A B 为同阶可逆矩阵，则（A ）=AB BA ；（B ）存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ；（C ）存在可逆矩阵C ，使T=C AC B ；（D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使=PAQ B . 解：（D ）正确因为,A B 是同阶可逆矩阵，不妨设阶数为n ，于是它们都与n 阶单位阵E 等价，故A 与B 等价. （A ）说的是,A B 可交换；（B ）说的是,A B 相似（C ）说的是,A B 合同显然,A B 同阶且可逆不能保证上述三种结论成立. （D ）说的恰是,A B 等价，故选（D ）.九、（本题满分6分）设A 为n 除非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 T *T 0,,||b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭IA P Q AA ααα 其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。

线性代数期末考试题及答案

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

线性代数a期末考试题及答案

线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。

答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。

答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。

答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。

答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。

答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。

答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。

线性代数期末考试试卷+答案

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

西南科技大学线性代数题目网络教育

西南科技大学网络教育线性代数题目解答一、单项选择题1.A.0B.-5C.-6D.7答案：C2.计算排列34125的逆序数后,有( )。

A.逆序数是3, 并为奇排列B.逆序数为4, 并为奇排列C.逆序数为4, 并为偶排列D.逆序数为3, 并为偶排列答案：C3.A.B.C.D.答案：A4.取( )值时齐次线性方程组有非零解。

A.B.C.D.答案：B5.。

A.B.C.D.答案：D6.从给出的线性方程组的增广矩阵可以看出此方程组有几个方程,几个未知数?A.3个方程,3个未知数B.4个方程,4个未知数C.4个方程,3个未知数D.3个方程,4个未知数答案：D7.A.B.C.D.答案：B8.已知向量组计算出这组向量的秩是( )A.1B.2C.3D.4答案：C9.A.B.C.D.答案：D10.A.B.C.D.答案：A11.矩阵的特征值为( ) A.B.C.D.答案：A12.A.1B.-1C.2D.-2答案：B二、判断题13.每一列元素之和为零的n阶行列式D的值等于 0 .答案：正确14.答案：错误15.A为任一方阵,则,均为对称阵。

答案：正确16.答案：正确17.答案：错误18.答案：正确19.答案：错误20.答案：错误三、复合题121.证明:,所以第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：D22.第二步( )(4 分)A.B.C.D.答案：A23.第三步( )(4 分)A.B.C.D.答案：C四、复合题2解:,则24.第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：C25.第二步( )(4 分)A.B.C.D.答案：B26.第三步( )(4 分)A.B.C.D.答案：D五、复合题3解:,则27.第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：B28.第二步( )(4 分)A.B.C.D.答案：A29.第三步( )(4 分) A.B.C.D.答案：D六、复合题4解:30.第一步( )(4 分) A.B.C.D.答案：B31.第二步( )(4 分) A.B.C.D.答案：B32.第三步( )(4 分)A.B.C.D.答案：A。

大一线性代数期末考试试卷+答案

大一线性代数期末考试试卷+答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为：（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数期末试卷三套附答案解析

x1
x2 (1 k)x3 k.
k 取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
四证明题(本题 6 分) 设有向量组 α1, α2 , , αn 和 β1, β2 , , βn ，且 β1 α1 α2 , β2 α2 α3 , ,
βn1 αn1 αn , βn αn α1 .若向量组 α1, α2 , , αn 线性无关，问向量组 β1, β2 , , βn 是否一定线性
附录 A-----《线性代数》期末考试试题及解答(三套)
附录 A《线性代数》期末考试试题及解答(三套)
试卷一(2014 秋)
一填空题 (本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1 2 3
1
1. 设 A 2 4 6 ，则 A 2( , , )．
3
6
9
3
2. 设 A 与 B 为同阶方阵，则 ( A B)2 A2 vvvvv
8.
2 k 1
k k2
1 1
,
(k 1)2 ,
无.
1 1 0 9. 6. 10. 1 2 1 .
0 1 1
二单项选择题(每小题 4 分，共 20 分) CBADA
三计算题 (共 44 分)
1.(本小题 9 分) 解由 2AB 3B XX T 知 (2A 3E)B XX T .经计算得
.
a d f
6. 设 A 0 b e ．若 A 的列向量组线性相关，则 a, b, c 应满足关系式
．
0 0 c
7. 设 A 为 m n 矩阵, R( A) r ．已知 Ax (1, 0, 0)T 无解， Ax (0, 1, 0)T 有唯一解，则 m

线性代数期末试卷及解析(4套全)2016科大

·207·线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可化成标准形216f y =，则a =__________. 解：a = 2 .二次型f 的矩阵为222222a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A222||22(4)(2)22a E A a a a a----=---=---+---λλλλλλ 故A 的特征值为4a =+λ及2a =-λ的二重根经正交变换22221122331,6f y y y y ==++=x Py λλλ 所以有12360===λλλ，由此 4620a a +=⎧⎨-=⎩推出 2a =二、选择题（每小题3分）（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（A ）（B ）（C ）（D ）解：（B ）正确.由于线性方程组123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==， ()()23r A r A ==<，所以方程组有解，并且无穷多解.（A ）表示三个平面有唯一的交点，说明线性方程组有唯一解，此时()()3r A r A ==，故（A ）不对.·208· （C ）表示三个平面两两相交，但三个平面无公共点，说明线方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（C ）不对.（D ）表示三个平面中有两个平行平面，与第三个平面相交，但三个平面无公共点，说明线性方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（D ）不对. （B ）中三个平面相交于同一直线，说明方程组有解，且无穷多解，因此必有()()3r A r A =≠，又三平面既不是重合平面，又不是平行平面，故()2r =A ，即（B ）正确.九、（本题满分6分）已知4阶方阵12341234(,,,),,,,=A αααααααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=Ax β的通解.解法1 令1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，则由12123434(,,,)x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ax ααααβ得112233441234x x x x +++=+++αααααααα，将1232=-ααα代入上式，整理后得12213344(23)()(1)x x x x x +-+-++-=ααα0. 由234,,ααα线性无关，知12134230,0,10.x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解此方程组得01320110k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，其中k 为任意常数.解法2 由234,,ααα线性无关和123420=-+αααα，故A 的秩为3，因此=Ax 0的基础解系中只包含一个向量.由 12342-++=αααα0·209·知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为齐次线性方程组=Ax 0的一个解，所以其通解为12,10k k ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数.再由 123412341111(,,,)1111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βααααααααA知1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为非齐次线性方程组=Ax β的一个特解，于是=Ax β的通解为11121110x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数.十、（本题满分8分）设,A B 为同阶方阵，（1）如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立. （3）当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立. 证：（1）若,A B 相似，那么存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故 111|||||λλλ----=-=-=E B E P AP P EP P AP B ，故11|()|||||||λλ--=-=-P E A P P E A P 1||||||||.λλ-=-=-P P E A E A（2）令0100,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，那么2||||λλλ-==-E A E B ，但,A B 不相似. 否则，存在可逆矩阵P ，使 1-==P AP B 0，·210· 从而1-==A PBP 0，矛盾.（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均相似于对角阵.若,A B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,,n λλL ，则有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ， B 也相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ，即存在可逆矩阵,P Q 使111n λλ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP Q BQ O. 于是111()()---=PQ A PQ B .由1-PQ 为可逆矩阵知，A 与B 相似.·211·线性代数期末试卷二一、填空题（每小题3分）（5）矩阵022222222--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是__________.解： 4 .设 022222222--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A232222||2220222222r r +-=--===--λλλI A λλλλλ3222000(4)224c c -====--λλλλλ故非零特征值为4.二、选择题（每小题3分）（5）设向量组123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（A ）12312,,,k +αααββ线性无关（B ）12312,,,k +αααββ线性相关（C ）12312,,,k +αααββ线性无关（D ）12312,,,k +αααββ线性无关解：（A ）正确因为123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，所以1231,,,αααβ线性相关；2β不能由123,,ααα线性表示，所以1232,,,αααβ线性无关.取0k =，说明（B ）、（C ）不对，而仅当0k =时，（D ）才成立，故（D ）不对，现证（A ）正确.易见12k +ββ不能表成123,,ααα的线性组合，如若不然，存在常数123,,l l l 使 12112233k l l l ++++ββααα则 21122331l l l k =++-βαααβ （1）而1β可由123,,ααα线性表示，即存在常数123,,k k k ，使1112233k k k =++βααα （2）（2）代入（1）2111222333()()()l kk l kk l kk =-+-+-βααα·212· 这与2β不能由123,,ααα线性表示矛盾. 可见12312,,,k +αααββ线性无关，当然也可以用线性无关的定义来证明该结论.十一、（本题满分6分）已知,A B 为3阶矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 是3阶单位矩阵. （1）证明：矩阵2-A E 可逆；（2）若120120002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求矩阵A .解（1）由124-=-A B B E 知24--=AB B A 0，从而 (2)(4)8--=A E B E E ，或 1(2)(4)8-⋅-=A E B E E .故2-A E 可逆，且11(2)(4)8--=-A E B E .（2）由（1）知128(4)-=+-A E B E ，而 111104432013(4)1200,880021002--⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭B E 故 020110002⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .十二、（本题满分6分）同试卷（一）九.·213·线性代数期末试卷三一、填空题（每小题3分）（3）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量T (,1,1)a =α，已知A α与α线性相关，则a =__________.解：1a =-.122212123304134a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α由A α与α线性相关，故k =A αα，即2334a ka a k a k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故1a =-二、选择题（每小题3分）（3）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 （A ）当n m >时仅有零解. （B ）当n m >时必有非零解. （C ）当m n >时仅有零解. （D ）当m n >时必有非零解. 解：（D ）正确因为A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，所以AB 是m m ⨯方阵，故x 为1m ⨯列向量线性方程组()=AB x 0可写成()=A B x 0，这说明=Bx 0的解一定是()=AB x 0的解.当m n >时，=Bx 0必有非零解，所以()=AB x 0必有非零解，故（D ）正确，而（C ）错误.当n m >时，取B 为零阵时，x 为任意m 维向量=Bx 0，()=AB x 0故（A ）不正确.当n m >时，取10100,0101011⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 时，2,()==AB E AB x 0仅有零解，故（B ）错误.事实上只要选择,A B 使AB 满秩阵即知（B ）不对. （4）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量是·214· （A ）1-P α. （B ）T P α. （C ）P α. （D ）1T ()-P α. 解：（B ）正确.由已知条件=A αλα因A 是对称阵，故1T T T 1T T T 1()()()---==P AP P A P P A P . 因此有T T 1T T T T ()()()-⋅===P A P P αP AαP λαλP α这说明T P α是1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量，故（B ）正确. 本题的关键是与向量α左乘的矩阵是T P 才能与T 1()-P 消掉，（A ）、（C ）、（D ）不具备此形式. 九、（本题满分8分）设齐次线性方程组1231231230,0,0.n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L其中0,0,2a b n ≠≠≥. 试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 解：方程组的系数行列式1||[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-==+--A L LLM M M M L. （1）当a b ≠且(1)a n b ≠-时，方程组仅有零解. （2）当a b =时，对系数矩阵A 作行初等变换，有111100000000a a a a aa a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L K L L M M M M M M M M LL. 原方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L其基础解系为T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-αααL L L L . 方程组的全部解是·215·112211n n c c c --=+++x αααL （121,,,n c c c -L 为任意常数）.（3）当(1)a n b =-时，对系数矩阵A 作行初等变换，有(1)(1)(1)(1)n bb b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=→- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭A L L L M M M M M L100011111101001111110010111111000111111100000nn n n -⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭L L L L L L M M MM M M M M M M L L L 原方程组的同解方程组为121,,.n nn n x x x x x x -=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L 其基础解系为T (1,1,,1)=βL . 方程组的全部解是c =x β(c 为任意常数).十、（本题满分8分）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件22+=A A 0，已知A 的秩()2r =A . （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k +A E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 解法1 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则 ()λ=≠A ααα0 22λ=A αα. 于是22(2)(2)λλ+=+A A αα. 由条件2(2)+=A A α0推知 2(2)λλ+=α0. 又由于≠α0，故有·216· 220λλ+=，解得2,0λλ=-=.因为实对称矩阵A 必可对角化，且()2r =A ，所以2~20-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A Λ. 因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0λλλ==-=.（2）矩阵k +A E 仍为实对称矩阵. 由（1）知，k +A E 的全部特征值为 2,2,k k k -+-+.于是，当2k >时矩阵k +A E 的全部特征值大于零. 因此，矩阵k +A E 为正定矩阵.解法2 （1）同解法1.（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 1-=P AP Λ， 1-=A P ΛP . 于是11k k --+=+A E P ΛP PP 1()k -=+P ΛE P ，所以~k k ++A E ΛE . 而22k k k k -⎛⎫ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭ΛE .k +ΛE 为正定矩阵，只需其顺序主式式均大于0，即k 需满足 2220,(2)0,(2)0k k k k ->->->. 因此，当2k >时，矩阵k +A E 为正定矩阵.·217·线性代数期末试卷四一、填空题（每小题3分）（3）设矩阵211,3223-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A B A A E ，则1-=B __________解：1-=B 10211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭. (2)()=--B A E A E110121212220-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以||2=B*110101222||211-⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭B B B . （4）设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式__________.解：0abc ≠因为123,,ααα线性无关，故123|,,|0≠ααα00200a cb c abc a b=≠. 即0abc ≠.二、选择题（每小题3分）（3）设,A B 为n 阶矩阵，**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎛⎫= ⎪⎝⎭A CB 00，则C 的伴随矩阵*=C （A ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A A B B 00. （B ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B B A A 00. （C ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A B B A 00. （D ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B A A B 00. 解：（D ）正确*||=AA A I·218· *||=BB B I||||||⎛⎫== ⎪⎝⎭A C A B B 00，设*,⎛⎫= ⎪⎝⎭G C G H 00、H 是n 阶方阵 *⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A G AG CCB H BH 000000 2|||||||||||n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭A B I A B I A B I 00 因此有 ||||||||n n =⎧⎨=⎩AG A B I BH A B I 所以应有*||=G B A*||=H A B于是***||||⎛⎫= ⎪⎝⎭B AC A B 00，恰为（D ）故（D ）正确当然此题通过直接计算选择正确答案也是一种行之有效的作法.九、（本题满分8分）设四元齐次线性方程组（I ）为123123230,20.x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩ 由已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 T T 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)a a =-+=-+αα.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解法1 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有2310105312110132--⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A . 得方程组（I ）的同解方程组13423453,32.x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(5,3,1,0),(3,2,0,1).=-=-ββ·219·（2）由题设条件，方程组（II ）的全部解为112212112231212422(2)4(8)x k k x k k k k x a k k k a k x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭αα ① （12,k k 为任意常数）.将上式代入方程组（I ），得112(1)0,(1)(1)0.a k a k a k +=⎧⎨+-+=⎩ ② 要使方程组（I ）与（II ）有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组②有非零解. 因为210(1)1(1)a a a a +=-++-+，所以，当1a ≠-时，方程组（I ）与（II ）无非零公共解. 当1a =-时，方程组②有非零解，且12,k k 为不全为零的任意常数. 此时，由①可得方程组（I ）与（II ）的全部非零公共解为12123421121417x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k 为不全为零的任意常数）.解法2 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有23102310.12113501---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 得方程组（I ）的同解方程组31241223,35.x x x x x x =+⎧⎨=+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(1,0,2,3),(0,1,3,5)==ββ.（2）设方程组（I ）与（II ）的公共解为η，则有数1234,,,k k k k ，使得 11223142k k k k =+=+ηββαα.由此得线性方程组·220· （III ）1342341234123420,20,23(2)40,35(8)0.k k k k k k k k a k k k k k a k -+==⎧⎪--+=⎪⎨--+++=⎪⎪--+++=⎩ 对方程组（III ）的系数矩阵作行初等变换，有10211021011201122324001035180001a a a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭由此可知，当1a ≠-时，方程组（III ）仅有零解，故方程组（I ）与（II ）无非零公共解.当1a =-时，方程组（III ）的同解方程组为1342342,2,k k k k k k =-⎧⎨=-+⎩ 令3142,k c k c ==，得方程组（I ）与（II ）的非零公共解为1221121417c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭η （12,c c 为不全为零的任意常数）.十、（本题满分8分）设实对称矩阵 111111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角形矩阵，并计算行列式||-A E 的值. 解：矩阵A 的特征多项式211||11(1)(2)11aa a a aλλλλλλ----=--=---+--E A . 由此得矩阵A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-. 对于特征值121a λλ==+，可得对应的两个线性无关的特征向量 T T 12(1,1,0),(1,0,1)==αα.·221· 对于特征值32a λ=-，可得对应的特征向量 T 1(1,1,1)=-α.令矩阵1231111(,,)101,10112a a a -+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P αααΛ，则1112a a a -+⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.11||||---=-A E P ΛP PP 1||||||-=⋅-⋅P ΛE P0000003a a a =-2(3).a a =-。

线性代数期末习题库及答案.docx

一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、《线性代数》补充练习练习一行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二？ z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解，求2的取值。

兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。

bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题：(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关；(B)任意r个行向量均可构成极大无关组；(C)任意r个行向量均线性无关；(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关；a, p, 6线性相关，贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示；(B) B必不可由a, y, 6线性表示；(C) 6必可由a, B, 丫线性表示；(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示；(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1； a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：( )(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。

2016-2017-1西科研究生矩阵分析期末考试参考答案及评分细则(A)

西南科技大学2016-2017-1学期《线性代数与矩阵分析》研究生期末考试试卷（A 卷）参考答案及评分细则一、单项选择题(每小题5分，共15分) 1、C ；2、B ；3、A 。

二、填空题(每小题5分，共15分)1、()22100010001λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；2、2；3、1000101012⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭。

三、解答题（每小题10分，共70分） 1、解：4max||||311==∑=i ijjaA ；7max ||||31==∑=∞j ij ia A ；1322,1||||()F ij i j A a ===∑5||||22===A A A T A λλ；3})(max{)(==A A λρ。

2、解：（1）因为OA AO =，所以φ≠V ；假设V Y X ∈,，那么Y AY X AX λλ==,，于是)()(Y X Y X AY AX Y X A +=+=+=+λλλ，所以V Y X ∈+；假设R k V X ∈∈,，那么X AX λ=，所以)()()()(kX X k AX k kX A λλ===，所以V kX ∈。

所以V 是nn R⨯的一个线性子空间。

（2）当1≠λ并且2≠λ时，则}{o V=。

没有基，0dim =V 。

当1=λ时，方程组0)(=-X E A 的解为032==X X ，所以一个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001，1dim =V 。

当2=λ时，方程组0)(=-X E A 的解为01=X ，所以一个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100，2dim =V 。

3、解：（1）3R x ∈∀，因为A 为3阶矩阵，所以3R Ax ∈，所以33:R R T →。

3,R y x ∈∀，Ty Tx Ay Ax y x A y x T +=+=+=+)()(； R k R x ∈∀∈∀,3，kTx Ax k kx A kx T ===)()()(。

所以T 是3R 上的线性变换。

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西南科技大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1.若022150131=−−−x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ×=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=−−E A A ，则=−1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1.若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3.向量组m a a a ，，，⋯21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，⋯21线性相关。

（）4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =−1。

（）5.若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1−A 的特征值为λ。

()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1.设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

①n2②12−n ③12+n ④42.n 维向量组s ααα，，，⋯21（3≤s ≤n）线性无关的充要条件是（）。

①s ααα，，，⋯21中任意两个向量都线性无关②s ααα，，，⋯21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα，，，⋯21中任一个向量都不能用其余向量线性表示w ww .z hi na n ch e.co m④s ααα，，，⋯21中不含零向量3.下列命题中正确的是()。

①任意n 个1+n 维向量线性相关②任意n 个1+n 维向量线性无关③任意1+n 个n 维向量线性相关④任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是()。

①若A ，B 均可逆，则B A +可逆②若A ，B 均可逆，则A B 可逆③若B A +可逆，则B A −可逆④若B A +可逆，则A ，B 均可逆5.若4321νννν，，，是线性方程组0=ΧA 的基础解系，则4321νννν+++是0=ΧA 的（）①解向量②基础解系③通解④A 的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)1.计算行列式x a b c dax b c da b x c d a b c x d++++。

解·3)(0000000001)(1111)(x d c b a x xx x d c b d c b a x d x cbd c x b d c bx d cbd c b a x dx cbdc b a xd c x b d c b a x d c b x dc b a x dc bd c b a x d x c b a d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2.设B A AB 2+=，且A ,410011103⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=求B 。

解.A B E A =−)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−−111122112)2(1E A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−=−322234225)2(1A E A B w ww .z hi na n ch e.co m3.设,1000110001100011⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=B ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵Χ满足关系式'(),X C B E −=求Χ。

4.问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211,,221122a a a ααα⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟⎝⎠⎝⎠。

5.λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=++−=++−=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。

①当1≠λ且2−≠λ时，方程组有唯一解；②当2−=λ时方程组无解③当1=λ时，有无穷多组解，通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=Χ10101100221c c 6.设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=αααα求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7.设100010021A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求A 的特征值及对应的特征向量。

五、证明题(7分)若A 是n 阶方阵，且，I AA =Τ，1−=A 证明0=+I A 。

其中I 为单位矩阵。

w ww .z hi na nch e.co m×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.5 2.1≠λ 3.nn s s ××， 4.相关5.EA 3−二、判断正误1.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.w ww .z hi na n ch e.co m3)(000000001)(1111)(x d c b a x xx x d c b d c b a x dx cbd c x b d c bx d c b d c b a x dx cbd c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x cbad c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++2.AB E A =−)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−−111122112)2(1E A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−=−322234225)2(1A E A B 3.()[]()[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−12101210012000112100121001200011234012300120001)(10002100321043211'1''B C E X B C B C B C ，，4.)22()12(812121212121212321−+=−−−−−−=a a aaa a a a ，，当21−=a 或1=a 时，向量组321a a a ，，线性相关。

5.①当1≠λ且2−≠λ时，方程组有唯一解；②当2−=λ时方程组无解w ww .z hi na n ch e.co m③当1=λ时，有无穷多组解，通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=Χ10101100221c c 6.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a ，，，则()34321=a a a a r ，，，，其中321a a a ，，构成极大无关组，321422a a a a ++−=7.)1(120010013=−=−−−−=−λλλλλA E 特征值1321===λλλ，对于λ1＝1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−020*******A E λ，特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题()()′+−=′+−=′+=′+=+A I A I A I A A A A I A ∴()02=+A I ，∵()0=+A I w ww .z hi na n ch e.co m。