三角变换与解三角形

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三角恒等变换与解三角形

π 0， 2
上的最大
值，求A，b和△ABC的面积．
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[解]
3 1＋cos 2x (1)f(x)＝(m＋n)· m＝cos x＋ 3sin xcos x＋＝ 2 2
2
π 3 3 1 3 ＋ sin 2x＋＝ cos 2x＋ sin 2x＋2＝sin2x＋6 ＋2. 2 2 2 2
1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等；
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) ＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
＝－
10 . 10
5 4 2 5 (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－＝－， 5 5 5
cos 2α＝1－2sin
2
α＝1－2×
5 2 3 ＝， 5 5
5π 5π 所以cos 6 －2α＝cos cos 6 ＝－
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[典例]
(2014· 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的
河流的两岸B，C的俯角分别为67° ，30° ，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67° ≈0.92，cos 67° ≈0.39，sin 37° ≈0.60，cos 37° ≈0.80， 3≈1.73)

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形问题中经常用到的重要工具。

在解三角形问题中，我们常常需要求解三角函数的值，而三角恒等变换则可以帮助我们将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值，从而简化计算过程。

本文将介绍三角恒等变换的概念和常见的恒等变换公式，并结合实例讲解如何利用三角恒等变换解决实际问题。

一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是指将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值的变换过程。

在三角恒等变换中，我们利用三角函数的基本关系和性质，通过代数运算和恒等式的推导，将一个三角函数的表达式转换为其他三角函数的表达式。

三角恒等变换在解三角形问题中起到了重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。

二、常见的三角恒等变换公式1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsin(A + B)sin(A - B) = cos2B - cos2A这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正弦函数的值转换为其他正弦函数的值，从而简化计算过程。

2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换公式如下：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2A - sin^2Acos(A + B)cos(A - B) = cos2A - sin2B利用这些恒等变换公式，我们可以将一个余弦函数的值转换为其他余弦函数的值，从而简化计算过程。

3. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正切函数的值转换为其他正切函数的值，从而简化计算过程。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。

1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。

通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。

2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。

这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。

2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。

这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。

2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。

这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。

3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。

以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。

假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。

根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。

因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。

同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。

3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。

假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。

三角变换与解三角形PPT

sin(x ) cos cos(x ) sin 4 4 4 4 7 2 2 2 2 4 . 10 2 10 2 5

(2)因为x ( , ), 2 4 4 2 3 所以cos x 1 sin x 1 ( ) . 5 5 24 7 2 sin 2 x 2 sin x cos x , cos 2 x 2 cos x 1 . 25 25
2
3
所以sin(2 x ) sin 2 x cos cos 2 x sin 3 3 3 24 7 3 . 50

题型二
三角函数与解三角形
【例2】(2009·四川)在△ABC中,A,B为锐角,角A,
3 10 . B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A= , sinB= 10 5
B. 4 2 3 D. 6 2
由a=c= 6 2 可知,∠C=75°, 1 所以∠B=30°,sin B= . 2 由正弦定理得 b a sin B 2 6 1 2 . sin A 2 6 2 4
3.(2009·全国Ⅱ)已知△ABC中,tan A=
cos A等于 A. 12 解析
3

2.(2009·广东)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分
别为a,b,c,若a=c= 6 2且∠A=75°,则b等于 ( A )
A.2 C.4 2 3 解析因sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°=
6 2 , 4
1.(2009·江西)若函数 f ( x) (1 3 tan x) cos x ,0 x 则f(x)的最大值为 A.1 C. 3 1 解析 B.2 D. 3 2

三角变换及解三角形45张

角差公式
利用角度差公式将一个角转换为两个角的差，如$alpha = beta - gamma$，则有$sin(alpha) = sin(beta)cos(gamma) - cos(beta)sin(gamma)$。
倍角公式
将一个角转换为它的两倍，如$alpha = 2beta$，则有 $sin(alpha) = 2sin(beta)cos(beta)$。
正弦函数性质
正弦函数在其定义域内是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[-1,1]$。
余弦函数的图像和性质
余弦函数图像
余弦函数图像也是一个周期函数，其基本周期为$2pi$，图像呈现波形。
VS
余弦函数性质
余弦函数在其定义域内是偶函数，即$f(x)=f(x)$，且在每个周期内，其值域为$[1,1]$。
正割与余割的转换
利用三角函数的互割关系，将正
割转换为余割或将余割转换为正
割，如$sec(alpha)
=
csc(frac{pi}{2} - alpha)$。
函数值的变换
半角公式
利用半角公式可以将角度减半，从而求出相应的三角函数值，如 $sin(frac{alpha}{2}) = pmsqrt{frac{1 - cos(alpha)}{2}}$。
正切函数的是一个奇函数，其基本周期为 $pi$，图像呈现锯齿波形。
正切函数性质
正切函数在其定义域内是奇函数，即$f(x)=-f(x)$，且在每个周期内，其值域为$(infty, +infty)$。
04
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解三角形
正弦定理
总结词
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形各角正弦值与对应边长之间的关系。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。

通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。

本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。

根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。

2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。

根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。

3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。

举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。

根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。

第三讲三角函数恒等变换与解三角形

第三讲三角函数恒等变换与解三角形1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂。

主要用2倍角的余弦。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab 确定。

2、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

3、三角函数公式。

1．两角和与差的三角函数 2．二倍角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； αααcos sin 22sin =；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= 。

22tan tan 21tan ααα=-。

4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

1-4-11三角变换与解三角形、平面向量

数学（理）第4页
新课标· 高考二轮总复习
考情分析
相关的内容要予以高度重视，它们将是今后高考命题的热点；同时将解三角形的知识与实际问题结合起来，也将是今后命题的一个热点，复习时要给予重视．
数学（理）第5页
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考情分析
2．平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的重点内容．从试题形式上看主要以小题为主，一般为 1～2题，同时平面向量具有几何与代数形式的“双重
数学（理）第16页
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a· b (3)向量的夹角：cosθ＝cos〈a，b〉＝ |a|· |b| x1x2＋y1y2 ＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2 → (4)三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线⇔OP＝ → → xOA＋yOB(x＋y＝1)．
数学（理）第17页
数学（理）第24页
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2sinxcosx＋sinxcosx cosx＋sinx ＝＝sin2x· cosx－sinx cosx－sinx
π 4 － 2cos －x 7 5 28 4 ＝sin2x· ＝ × ＝－ . π 25 3 75 ＋x 2cos 5 4
数学（理）第25页
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π π π [点评] 注意＋x，－x,2x 三个角的内在联系，＋ 4 4 4
π π π π x 与－x 互余，2x＝＋x－－x，＋2x＝ 4 4 4 2 π π π 2 ＋x，－2x＝2 －x. 4 2 4
数学（理）第28页
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三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。

注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。

)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

第3讲三角变换和解三角形

第3讲三角变换和解三角形基本知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及逆用；2、二倍角的正弦、余弦、正切公式及逆用；3、正弦定理、余弦定理的灵活运用；4、面积公式：基础题演练1、已知32sin =α，则)2cos(απ-等于。

2、在△ABC 中，则060,10,15===A b a ，则=B cos 。

3、若54cos )cos(sin )sin(=---ββαββα，且α是第二项限角，则)4tan(απ+等于。

4、若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于。

5、在△ABC 中，1,600==b A ，其面积为3，则等于CB A cb a sin sin sin ++++等于。

考点、热点、难点突破题型一三角函数综合试题【例1】（2010年湖北）已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-⋅+=x x g x x x f ππ（1）求函数)(x f 的最小正周期（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值，并求)(x h 使取得最大值的x 的集合。

变式训练1已知函数)4sin()4sin(sin )cot 1()(2ππ-+++=x x m x x x f（1）当m=0时，求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的取值范围；（2）当2tan =α时，53)(=αf 求m 的值。

题型二实际应用【例2】如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方向20km 处和54km.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A 、20s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A 和P 的距离为xkm,用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；（2）求静止目标p 到海防警戒线a 的距离（精确到0.01km ）.a变式训练2某人在塔的正东方沿南偏西600的道路前进40m 后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为300，求塔高题型三三角形面积计算【例3】在△ABC 中，已知3,2π==C c 。

第2讲三角恒等变换与解三角形

栏目索引
sin α 5 2 2 5 5 高考导航所以sin α= 5 ,cos α= ,则cos α =cos αcos 4 +sin αsin = × 5 2 4 4 5
解析
(1)因为α∈ 0, ,且tan α= =2,所以sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1, cos α 2
栏目索引
高考导航
第 2讲
三角恒等变换与解三角形
考情分析
栏目索引
考情分析
高考导航
总纲目录
栏目索引
总纲目录
考点一三角恒等变换及求值
高考导航
考点二考点三考点四
正、余弦定理在解三角形中的应用(高频考点) 正、余弦定理的实际应用与解三角形有关的创新交汇问题
考点聚焦
栏目索引
考点一三角恒等变换及求值
在△ABC中,
2.余弦定理及其变形在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A;
b2 c2 a 2 变形:cos A= . 2bc
3.三角形面积公式
S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B.
1 2 1 2 1 2
考点聚焦
栏目索引
典型例题
(1)(2017课标全国Ⅱ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别高考导航为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= 已知sin A+ 3 cos A=0,a=2 7 ,b=2. ①求c; ②设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. . (2)(2017课标全国Ⅲ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

三角函数三角变换及解三角形

其中a2 a1 a4 a3 a2008 a2007 1004d 31004. b2 b1 b4 b3 b2008 b2007
b2 b4 b2008 b1 b3 b2007
6 1
1
1004
4
1 1
121
1
1004
4
函数,且函数y f x图象的两相邻对称轴间的距离为 .
2
1求f ;
8
2将函数y f x的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上
6
各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变化,得到函数y gx 的图象, 求g x 的单调递减区间.
解: 1 f x 3 sinx cosx
2
3 2
sinx
三角函数、三角变换及解三角形
一、三角函数的概念及基本关系式
例如图在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边作两个锐角, ,它们
的终边分别与单位圆交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为 2 , 2 5 . 10 5
1求 tan 的值;
2求 2的值.
解 : 1由已知条件及三角函数的定义知: cos 2 , cos 2 5 ,
1设方程f x1 0在0, 内有两个零点x1, x2,求x1 x2的值; 2若把函数y f x的图象向左平移mm 0个单位使所得函数的
图象关于点0,2对称, 求m的最小值.
2设y f x图象向左平移m个单位,得到函数gx的图象,
则gx 2 cos 2x 2m 2,
4
y gx的图象关于0,2对称,2m k , k Z,
C.
3 1002,41
1 4
1002
D.
3
1004,41
1 4
1004

第2讲三角变换与解三角形

第2讲三角变换与解三角形感悟高考明确考向(2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C . 7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．热点分类突破题型一三角变换及求值例1(1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，求cos(α＋β)；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．变式训练1 已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．题型二正、余弦定理的应用例2 已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sin B.(1)求角C；(2)试求△ABC的面积S的最大值．变式训练2 (2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C.(1)求A的大小；(2)求sin B＋sin C的最大值．题型三正、余弦定理的实际应用例3 (2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？变式训练3 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？规律方法总结1．证明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．(3)运用分析法，证明其等式成立．2．三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a，b，A为例(1)当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，则无解．(2)当A为锐角时，如下表：4.(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.(2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C.(3)a＝b cos C＋c cos B.5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(a<b<c)(1)若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．(3)若a2＋b2<c2，则△ABC为钝角三角形.知能提升演练一、选择题1．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan(π4＋α)等于 ( ) A．7 B．－7 C.17D．－172．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C等于 ( )A．3 3 B.2393C.2633D.2924．在△ABC中，已知sin C＝2sin A cos B，那么△ABC一定是( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形5．已知实数a，b均不为零，a sin 2＋b cos 2a cos 2－b sin 2＝tan β，且β－2＝π6，则ba等于 ( )A. 3B.33C．－ 3 D．－33二、填空题6．函数y＝sin4x＋cos4x的单调递增区间是______________________.7．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4b sin A，则cos B＝__________________8．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝_______________.三、解答题9．已知函数f(x)＝a(2cos2x2＋sin x)＋b.(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递减区间；(2)当a<0，x∈[0，π]时，f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．10．(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 .(1)求sin A的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．。

三角恒等变换与解三角形

失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． 5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法题型1 求角典例1 中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1应用正、余弦定理求边、角典例3淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C ＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．题型2 判断三角形的形状典例4 设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.全国卷高考真题调研]1．全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－7253．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．4．浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．一、选择题1．合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.122．广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223 D.326。

三角恒等变换和解三角形公式

三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。

这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。

解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。

下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。

一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。

(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。

4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。

5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。

1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形中常用的方法之一。

通过利用三角函数之间的关系，可以简化复杂的三角形问题，从而解决解题难题。

本文将介绍常见的三角恒等变换，并结合实例来说明其在解三角形问题中的应用。

一、三角恒等变换的定义三角恒等变换指的是一些等式或关系式，通过其变换可以得到与原三角函数等价的另一种表达式。

这些变换可以方便我们在求解三角形问题时进行化简和变形。

下面将介绍几种常见的三角恒等变换：1. 余弦定理余弦定理是三角形中常用的恒等变换之一，可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理表达式如下：\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$C$表示夹角$c$的对应角。

2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的恒等变换。

正弦定理表达式如下：\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$表示三角形的对应角度。

3. 余角恒等变换余角恒等变换可以将三角函数中的一个角的正弦、余弦、正切、余切等函数转化为另一个角的相应三角函数表达式。

例如，$sin(\pi -\theta) = sin\theta$、$cos(\pi - \theta) = -cos\theta$等。

二、三角恒等变换在解三角形中的应用三角恒等变换在解三角形问题中是十分有用的。

通过对已知条件进行恒等变换，可以从中发现一些隐藏的关系，从而简化问题。

例如，已知三角形的两边和一夹角，可以使用余弦定理求解第三边的长度。

而当已知三角形的两边和三个角度之一时，可以使用正弦定理求解三角形的三个角度。

通过利用三角恒等变换，可以将复杂的计算问题转化为简单的代数计算，进而解决三角形问题。

下面通过一个具体的例子来说明三角恒等变换在解三角形中的应用。

3.3 三角大题三角变换与解三角形

3.3三角大题三角变换与解三角形必备知识精要梳理1.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α=12[(α+β)+(α-β)].(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2.解三角形的公式变形(1)正弦定理asinA =bsinB=csinC的一些变式:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②sinA=a2R ,sin B=b2R,sin C=c2R;③a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C.其中R是△ABC外接圆的半径.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A的变形为cos A=b2+c2-a22bc.当b2+c2-a2>0(=0,<0)时,角A为锐角(直角,钝角).3.三个等价关系在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.关键能力学案突破热点一三角函数与三角变换的综合【例1】(2020北京海淀二模,17)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.(1)求f(0)的值;(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[-π2,π6]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.解题心得1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是:通过变换把函数化为y=A sin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.【对点训练1】(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=a sin2x-π6-2cos 2x+π6(a>0),且满足.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点(π6,0)这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.热点二利用正弦定理、余弦定理解三角形【例2】(2020山东,17)在①ac=√3,②c sin A=3,③c=√3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=√3sinB,C=π,?6解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为三角形外接圆的半径)能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,②a=2,③b cos A+a cos B=√3+1这【对点训练2】(2020山东菏泽一模,17)在①B=π3三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2,b=√6且,求△ABC的面积S的大小.热点三三角函数与解三角形的综合【例3】(2020山东聊城二模,18)在①a cos B+b cos A=2c cos C,②2a sin A cos B+b sin 2A=√3a,③△ABC的面积为S,且4S=√3(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2√3sin ωx cos ωx+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,c为f(x)在[0,π]上的最大值,且,求a-b2的取值范围.解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围.【对点训练3】(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2√3sin x cos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求b的取值范围.c热点四三角变换与解三角形的综合【例4】(2020天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin(2A+π)的值.4解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注理的变形如cos A=b2+c2-a22bc意角的范围的限制,还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.【对点训练4】(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=√3c,b=2√7,求△ABC的面积;(2)若sin A+√3sin C=√22,求C.热点五三角函数、三角变换与解三角形的综合【例5】(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin B sin C.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=A sin(ωx+φ)或f(x)=A cos(ωx+φ)的形式,最终求出结果.【对点训练5】(2020浙江,18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b sin A-√3a=0.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.核心素养微专题(三)核心素养在三角应用和三角综合题中的考查【例1】(多选)(2020山东济南三模,10)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,假设和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.若球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,则tan α的值为()A.16B.12C.1D.32核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,通过“直观想象”得到两种不同的碰撞情况;然后利用物理学中光的反射定律,通过“数学抽象”得到关于角α所在的直角三角形;再通过“数学建模”将问题转化为三角函数的模型;最后通过“数学运算”得出答案.【例2】(2020山东淄博4月模拟,18)已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题,在解三角形的题境下,将等差数列与余弦定理的知识相结合,将函数和正弦定理的知识相结合,应用到一个问题中.使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决.考查了“数学建模”“数学运算”素养和知识的应用能力、迁移能力,同时也考查了方程与函数的思想.3.3 三角大题三角变换与解三角形关键能力·学案突破【例1】解(1)f(0)=2cos20+sin 0=2.(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2√22sin 2x+√22cos 2x+1=√2sin2x+π4+1.因为x∈[-π2,π6 ],所以2x+π4∈[-3π4,7π12].所以-1≤sin(2x+π)≤1.所以1-√2≤f(x)≤1+√2.当2x+π4=-π2,即x=-3π8时,f(x)在-π2,π6上取得最小值1-√2.方案二:选条件②.f(x)的一个周期为2π.f(x)=2cos2x+sin x=2(1-sin2x)+sin x=-2(sinx-14)2+178.因为x∈[-π2,π6 ],所以sin x∈[-1,1].所以-1≤f(x)≤17.当sin x=-1,即x=-π2时,f(x)在[-π2,π6]上取得最小值-1.对点训练1解(1)因为f(x)=a sin2x-π6-cos 2(x+π6)-1=a sin2x-π6-cos2x+π3-1=a sin2x-π6-cos2x-π6+π2-1=(a+1)sin2x-π6-1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin(2x-π6)-1;若选③,则(a+1)sin2×π6−π6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1.(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-π6∈-π6,2m-π6,所以5π2≤2m-π6<9π2,解得4π3≤m<7π3.所以实数m的取值范围是4π3,7π3.【例2】解方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.由①ac=√3,解得a=√3,b=c=1.因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是3b2+b2-c22√3b2=√32,由此可得b=c.所以B=C=π6.由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.由②c sin A=3,即c sin2π3=3,所以c=b=2√3,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2√3.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是3b2+b2-c22√3b2=√32,由此可得b=c.由③c=√3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.对点训练2解因为4S=b2+c2-a2,cos A=b2+c2-a22bc ,S=12bc sin A,所以2bc sin A=2bc cos A.显然cos A≠0,所以tan A=1.又因为A∈(0,π2),所以A=π4.若选①B=π3,由asinA=bsinB,得a=bsinAsinB=√6×√2232=2.又因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√6+√24,所以S=12ab sin C=3+√32.若选②a=2,由asinA =bsinB,得sin B=bsinAa=√32,因为B∈(0,π2),所以cos B=12.又因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√6+√24,所以S=12ab sin C=3+√32.若选③b cos A+a cos B=√3+1,所以a cos B=1,即a ·a 2+c 2-62ac=1,所以a 2=6+2c-c 2.又因为a 2=6+c 2-2√6c ·√22=6+c 2-2√3c ,所以6+2c-c 2=6+c 2-2√3c ,解得c=√3+1. 所以S=12bc sin A=3+√32.【例3】解 f (x )=2√3sin ωx cos ωx+2cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin 2ωx+π6+1.因为T=2π2ω=π,所以ω=1,f (x )=2sin (2x +π6)+1.因为0≤x ≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6,所以-12≤sin (2x +π6)≤1. 所以f (x )的最大值为3,即c=3.若选①,由a cos B+b cos A=2c cos C 及正弦定理可得sin A cos B+sin B cosA=2sin C cos C ,即sin(A+B )=2sin C cos C ,所以cos C=12,C为三角形内角,所以C=π3.若选②,由2a sin A cos B+b sin 2A=√3a 及正弦定理得2sin 2A cos B+2sinB sin A cos A=√3sin A.因为sin A ≠0,所以sin A cos B+sin B cos A=√32, 所以sin(A+B )=√32, 所以sin C=√32.因为C 为锐角,所以C=π.若选③,由4S=√3(a 2+b 2-c 2),得2ab sin C=√3(a 2+b 2-c 2),即sinC=√3(a 2+b 2-c 2)2ab ,所以sin C=√3cos C ,即tan C=√3,所以C=π3.因为c=3,C=π3,所以A+B=23π,csinC =2√3.a-b=2√3(sin A-sin B )=2√3sin A-sin 23π-A=2√3sin A-π3.因为π6<A<π2,所以-π6<A-π3<π6,所以-√3<2√3sin A-π3<√3.所以a-b 的取值范围为(-√3,√3).对点训练3 解 (1)f (x )=1-2√3sin x cos x-2cos 2x+m=-(√3sin 2x+cos 2x )+m=-2sin (2x +π6)+m ,由已知2+m=3,得m=1, 所以f (x )=-2sin 2x+π6+1.令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z , 所以函数f (x )的单调递增区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z . (2)由(1)知-2sin 2A+π6+1=0,所以sin 2A+π6=12, 由0<A<π2得π6<2A+π6<7π6, 所以2A+π6=5π6,解得A=π3.b c =sinBsinC=sin (π3+C )sinC=√32cosC +12sinC sinC=√32tanC+12.因为三角形ABC 为锐角三角形, 所以{ 0<C <π2,0<B =2π3-C <π2,解得π6<C<π2.所以tan C>√33,所以12<bc <2, 即bc 的取值范围为12,2.【例4】解(1)在△ABC中,由余弦定理及a=2√2,b=5,c=√13,可得cosC=a2+b2-c22ab =√22.又因为C∈(0,π),所以C=π4.(2)在△ABC中,由正弦定理及C=π4,a=2√2,c=√13,可得sin A=asinCc=2√1313.(3)由a<c及sin A=2√1313,可得cos A=√1−sin2A=3√1313,进而sin 2A=2sinA cos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.所以sin(2A+π4)=sin 2A cosπ4+cos2A sinπ4=1213×√22+513×√22=17√226.对点训练4解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×√3c2×cos 150°,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=2√3.△ABC的面积为12×2√3×2×sin 150°=√3.(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sin A+√3sin C=sin(30°-C)+√3sin C=sin(30°+C).故sin(30°+C)=√22.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.【例5】解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB cos A.②由①②得cos A=-12.因为0<A<π,所以A=2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB =ABsinC=BCsinA=2√3,从而AC=2√3sinB,AB=2√3sin(π-A-B)=3cos B-√3sin B.故BC+AC+AB=3+√3sin B+3cos B=3+2√3sin(B+π3).又因为0<B<π3,所以当B=π6时,△ABC周长取得最大值3+2√3.对点训练5解(1)由正弦定理, 得2sin B sin A=√3sin A,故sin B=√32,由题意,得B=π3.(2)由A+B+C=π,得C=2π3-A,由△ABC是锐角三角形,得A∈(π6,π2).由cos C=cos(2π3-A)=-12cos A+√32sinA,得cos A+cos B+cos C=√32sin A+12cos A+12=sin(A+π6)+12∈(√3+12,32].故cos A+cos B+cos C的取值范围是(√3+12,3 2 ].核心素养微专题(三)【例1】AD解析因为AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,有两种情况,一种是球先和球台边框DC碰撞,另一种是球先和球台边框BC碰撞,第一种情况如图,A关于DC的对称点为E,C关于AB的对称点为F.根据直线的对称性可得tan α=EGGF =3AD2AD=32.第二种情况如图,A关于BC的对称点为G,C关于AD的对称点为E.根据直线的对称性可得tan α=EFFG =AD6AD=16.故选AD.【例2】解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=2π3,即cos C=-12,由余弦定理可得a2+b2-c22ab =-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,∴AC sinθ=BCsin(π3-θ)=√3sin2π3,即AC=2sin θ,BC=2sin(π3-θ).∴△ABC的周长f(θ)=AC+BC+AB=2sin θ+2sin(π3-θ)+√3=212sin θ+√32cos θ+√3=2sinθ+π3+√3.又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+√3.。

专题二第2讲三角恒等变换与解三角形

c，已知 bsin 2A＝asin B，且 c＝2b，则ab等于
A.3
1 B.3
3 C. 3
√D. 3
因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab，所以 cos A＝12，又 c＝2b，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋44bb22－a2＝12，解得ab＝ 3.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). ①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
abcos C＝ 2 ，2bccos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
所以 cos α＝
415，tan
α＝csoins
αα＝
15 15 .
2sin α 方法二因为 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－cocssoinαs22αα ＝c2ossi2nα－αcsoisnα2α＝21s－in 2αscions2αα，

三角变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形

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三角恒等变换与解三角形

第三讲 三角函数恒等变换与解三角形

1-4-11三角变换与解三角形、平面向量

三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

第3讲 三角变换和解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形

三角函数三角变换及解三角形

第2讲 三角变换与解三角形

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三角恒等变换和解三角形公式

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3.3 三角大题 三角变换与解三角形

专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形

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第3讲三角变换和解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形

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3.3 三角大题三角变换与解三角形

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