《平行线的证明》全章复习与巩固(基础)知识讲解

平行线的证明

要点一、定义、命题及证明

１.定义:一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题．

要点诠释：

(1)每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2)正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．

(3)公认的真命题叫做公理.

(4) 经过证明的真命题称为定理.

3．证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断,这种演绎推理的过程称为证明.

要点诠释:

（１）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（２)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等．

(3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．

要点二、平行线的判定与性质

1.平行线的判定

判定方法1:同位角相等,两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行.

判定方法3:同旁内角互补，两直线平行.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:

（1)平行线的定义：在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交）,那么两直线平行．（2)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性)．

(３)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

(4)平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行,同位角相等;

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3:两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释:根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.

(2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.

要点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

（2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释:

(1）由一个公理或定理直接推出的真命题,叫做这个公理或定理的推论.

（２)推论可以当做定理使用．

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1．指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题，•请举出反例.

如果等腰三角形的两条边长为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17.

【答案与解析】

解:条件:等腰三角形的两条边长为5和7

结论:等腰三角形的周长为１７

是假命题;反例:当腰长为7,底边长为5时，周长为１9

【总结升华】本题考查了命题与定理的相关知识．关键是明确命题与定理的组成部分,会判断命题的题设与结论.

举一反三：

【变式1】某工程队,在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直,•根据什么公理可以说明这样做能缩短路程( ）.

A.直线的公理

B.直线的公理或线段最短公理 C．线段最短公理Ｄ．平行公理【答案】B

【变式2】下列命题真命题是( ) .

A.互补的两个角不相等Ｂ.相等的两个角是对顶角

C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．同角或等角的补角相等

【答案】Ｄ

２．叙述并证明三角形内角和定理.

要求写出定理、已知、求证,画出图形,并写出证明过程．

【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180°,可以把三角形三个角转移到一个平角上,利用平角的性质解答．

【答案与解析】

定理:三角形的内角和是180°；ﻫ已知:△ＡBC的三个内角分别为∠A,∠B，∠C;

求证:∠A+∠Ｂ＋∠Ｃ=18０°．ﻫ证明:如下图,过点A作直线MN，使ＭＮ∥BC.

∵MN∥BC，ﻫ∴∠Ｂ=∠MＡB，∠C=∠NAC（两直线平行,内错角相等）．ﻫ∵∠ＭAＢ+∠NAC+∠BAC=180°(平角定义），ﻫ∴∠Ｂ＋∠C+∠BAC＝180°(等量代换).

即∠A+∠B+∠Ｃ＝180°.

【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理,即三角形的内角和是180°.

类型二、平行线的判定与性质

３.(佳木斯中考）如图所示,请你填写一个适当的条件:______＿_,使AＤ∥ＢC.

【思路点拨】欲证ＡD∥ＢC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．

【答案】∠ＦAD＝∠FBC，或∠ADＢ＝∠CＢD,或∠ＡBC+∠ＢAD=1８0°.

【解析】

解：本题答案不唯一，如:利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAＤ=∠FBＣ;利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB=∠CBD;利用“同旁内角互补,两直线平行”，可添加条件∠ABC＋∠BAD＝18０°.

【总结升华】这是一道开放性试题,分清题设和结论：结论: AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.

４.如图,已知∠ADE ＝∠B，∠1 ＝∠2,那么CD∥FG吗？并说明理由.

【答案与解析】

解:平行，理由如下:

因为∠ADE＝∠B,所以DE∥ＢＣ(同位角相等,两直线平行）,

所以∠1=∠BCD(两直线平行,内错角相等）.

又因为∠1=∠２(已知)，

所以∠BCD=∠２.

所以CＤ∥FＧ（同位角相等,两直线平行)．

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.

举一反三：

【变式】如图,已知∠1＋∠2=1８0°，∠３=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．