全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题含答案

2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）

（1）已知1

7x x +=（01x <<）

的值为（ B ）．

（A

） （B

） （C

（D

【解】2

125x x =+

-=（，

∴= 又

01x <<

=故选（B ）

． （2）若关于x 的方程2230x x m -+=的一个根大于2-且小于1-，另一个根大于2且小于3，则m 的取值

范围是（ C ）． （A ）98m <

（B ）9

148

m -<< （C ）95m -<<- （D ）142m -<<- 【解】根据题意，由根的判别式980m ∆=->，得9

8

m <

．设223y x x m =-+， 由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当2x =-时，有860m ++>，即14m >-； 当1x =-时，有230m ++<，即5m <-； 当2x =时，有860m -+<，即2m <-； 当3x =时，有1890m -+>，即9m >-． 综上，95m -<<-. 故选（C ）．

（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分

别为1v ，2v ，3v ，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ D ）．

（A ）1233v v v ++ （B ）123111

3v v v ++

（C ）1231111v v v ++ （D ）1233111v v v ++

【解】设这段公路长为3s ，则三个不同路段的长度均为s ，此辆汽车在各路段上行驶

的时间分别为i i

s

t v =（1,2,3i =），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为

123

123123

333

111s s v s s s t t t v v v v v v =

==

++++++． 故选（D ）． （4）已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A B C E →→→运

动，设点P 经过的路程为x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ A ）．

【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD 中，

如图①，当点P 在AB 边上运动时，AP x =（10≤

2y x =； 如图②，当点P 在BC 边上运动时，

AB BP x +=，即1BP x =-（12x ≤≤），有2CP x =-，

∴ABP ECP ADE ABCD y S S S S

∆∆∆=---正方形

=11111131(1)(2)12222244x x x ---⨯--⨯⨯=-+；

如图③，当点P 在线段CE 上运动时，

AB BC CP x ++=，有5

2EP x =

- （2

52<≤x ）

， ∴1551

()12242

y x x =⨯-⨯=-．

故选（A ）．

（5）已知矩形ABCD 中，AB = 72，AD = 56，若将AB 边72等分，过每个分点分别作AD 的平行线；将

AD 边56等分，过每个分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的两个点）共有（ D ）．

（A ）130个 （B ）129个 （C ）121个 （D ）120个 【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得)56,0(),0,72(),0,0(D B A ，则)56,72(C ． 因为AC 与水平线（含AB 与DC ）、竖直线（含AD 与BC ）中的每一条都相交， 所以有57 + 73 = 130个交点（含重合的交点）． 由表示直线AC 的正比例函数为7

9

y x =

，于是重合的交点坐标为（9k ，7k ）

（k =0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点．

因此共有1309121-=个彼此不同的交点，它们将对角线AC 分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC 共穿过120个小正方形．故选（D ）．

二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分) （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则由x ，y 所确定的点(,)

M x y 在双曲线6

y x

=上的概率等于19

.

【解】

其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线6y x =

上，因此所求的概率等于1

9

． P

图② B

C

图③

（7

（2n ≥的整数）的值等于 100 ．

【解】根号内的被开方数可化为

299

999

91099

999

9(99

91)1099

9101010.

n n

n n n n n n

n

n

n ⨯++=⨯++=⨯+=个

个个

个

个

个

299

999

9199

910100n

n ⨯+==．

（8）若p 是质数，且3p +整除5p ，则2009p 的末位数字是 2 .

【解】当2p =时，35p +=，510p =，5能整除10；

当p 是奇质数时，3p +为偶数，5p 为奇数，而偶数不能整除奇数，此时p 不满足“3p + 整除5p ”的条件.

综上，2p =.于是2009200945025022(2)2216p ==⨯=⨯. 由50216的末位数字是6，所以2009p 的末位数字是2.

（9）如图，四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，

45ABC ADC ∠=∠=︒，若2AB =，则CD 的长为 2 ．

【解】如图，过点A 作EA AB ⊥与BC 的延长线交于点E ，

则90EAB ∠=︒.

∵在△ABC 中，由45ABC ∠=︒，105ACB ∠=︒，得30CAB ∠=︒． ∴60EAC EAB CAB ∠=∠-∠=︒．

∵105BAD ∠=︒，∴75DAC DAB CAB ∠=∠-∠=︒，又18075ACE ACB ∠=︒-∠=︒， ∴DAC ACE ∠=∠．

又在△ACD 中，18060ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒，∴ACD EAC ∠=∠． ∴△ACE ≌△CAD ．有CD AE =．

而在Rt △ABE 中，∵45ABC ∠=︒，∴2AE AB ==，∴2CD =. （10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，

4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两 个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加， 若使这个和最大，则此最大值为 50 ．

【解】设相邻格子内的两数为a ，b ，且a b >，则b a b a -=-，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数a 应当尽量大，10个减数b 应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为

2(109876)2(54321)50++++-+++

+=． 如图，是满足条件的一种填数字的方法．

D

C

B A E