保险精算之三生命表
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Pr(x X z) F(z) F(x) s(x) s(z)
13
新生儿的生存函数
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，
lx=l0s(x)
而s(x)曲线形状如下图所示，
14
x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t qx Pr[T(x) t]
nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为
qx
3
生命表基本函数
lx d x lx1 , x 1, 2, 1
lx n d x lxn , n 1, 2, x 1
(1)
1
l0 d x
(2)
x0
n qx
n dx lx
dx dx1 L lx
dxn1
(3)
qx 1 qx 2 qx L q n1 x
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t px 1t qx Pr[T(x) t]
(t 0)
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
15
x岁余寿的生存函数
考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到 了x岁 ，tqx实际是一个条件概率
12
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F(x) Pr( X x)
(x 0)
f x F 'x,x 0
s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s(x) 1 F(x) Pr( X x)
(x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
死亡力
定义：(x)的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds}
x
19
死亡力
20
对 y 从 x 到 x n 积分，有
25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算 25 p50 。 解： 已知
0.3(l25 -l75 )=l25 l50
l25 l50 l25
0.2
(*) (**)
由(**)式可得：0.8l25 l50
代入(*)可得：0.125l50 0.3l75
由此可推知
25 p50
l75 l50
0.125 0.3
0.4167
10
例：
已知lx
1000(1 x 120
),计算
20
p30和
20|5
q25
.
解：
(1)
20
p30
l50 l30
1 50 113200
77.78%
120
(2) 20|5 q25
l45 l50 l25
(1 45 )(1 50 ) 120 120 1 25
5.26%
120
11
生存分布
一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
n1
t qx
t0
4
生命表基本函数
npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。
qx
dx lx
,
lx n dx lxn ,
n
px
lxn lx
nqx n px 1
5
生命表基本函数
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。 人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2 个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死 亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故
当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生
到死亡平均每人存活的年数。
o
ex
Tx lx
0 t pxdt
l xt dt 0 lx
7
生命表基本函数
n｜q：x 表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
n｜qx＝
d
xn
lx
lxn lx
dxn lxn
npx
qxn
n｜m qx ：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。
n｜m
qx＝
m
dxn lx
lxn
lx lx
n
m
n
px
n
m
px
n
px
m
qx
n
当m 0时，n｜0qx 0；当m 1时，n｜mqx q n｜1 x n｜qx；当m 时，n｜qx n px。
8
例3.1
利用表31，计算
第三章 生命表
1
生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。
封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
2
生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx
(1)一个新生婴儿存活到3岁的概率。
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( 2 )一个新生婴儿在1岁和3岁之间死亡的概率。
解：
(1)
l3 l0
997255 1000000
0.997255
(2)在1岁和3岁之间的死亡人数为l1l3 ,故死亡概率为 l1 l3 1165 0.001165
l0 1000000
9
例：
25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡。
n Lx
nlxn
n 2
n
d
x
n 2
(lx
lxn)
当n=1时，
Lx
1 2
(lx
lx1)
6
生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。 x1
Tx Lx Lx1 L L1
Lxt
t0
在均匀分布假设下，
1
Tx i0 2 lxi lxi1
ex
：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。
17
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1,k 0,1,L 概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px k1 px k px qxk k qx
18
t qx Pr[x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
s(x)
16
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
概率的方式表示为：
t｜u qx Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt
13
新生儿的生存函数
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，
lx=l0s(x)
而s(x)曲线形状如下图所示，
14
x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t qx Pr[T(x) t]
nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为
qx
3
生命表基本函数
lx d x lx1 , x 1, 2, 1
lx n d x lxn , n 1, 2, x 1
(1)
1
l0 d x
(2)
x0
n qx
n dx lx
dx dx1 L lx
dxn1
(3)
qx 1 qx 2 qx L q n1 x
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t px 1t qx Pr[T(x) t]
(t 0)
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
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x岁余寿的生存函数
考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到 了x岁 ，tqx实际是一个条件概率
12
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F(x) Pr( X x)
(x 0)
f x F 'x,x 0
s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s(x) 1 F(x) Pr( X x)
(x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
死亡力
定义：(x)的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds}
x
19
死亡力
20
对 y 从 x 到 x n 积分，有
25岁的人在50岁之前死亡的概率为0.2，计算 25 p50 。 解： 已知
0.3(l25 -l75 )=l25 l50
l25 l50 l25
0.2
(*) (**)
由(**)式可得：0.8l25 l50
代入(*)可得：0.125l50 0.3l75
由此可推知
25 p50
l75 l50
0.125 0.3
0.4167
10
例：
已知lx
1000(1 x 120
),计算
20
p30和
20|5
q25
.
解：
(1)
20
p30
l50 l30
1 50 113200
77.78%
120
(2) 20|5 q25
l45 l50 l25
(1 45 )(1 50 ) 120 120 1 25
5.26%
120
11
生存分布
一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
n1
t qx
t0
4
生命表基本函数
npx： x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。
qx
dx lx
,
lx n dx lxn ,
n
px
lxn lx
nqx n px 1
5
生命表基本函数
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。 人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2 个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死 亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故
当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生
到死亡平均每人存活的年数。
o
ex
Tx lx
0 t pxdt
l xt dt 0 lx
7
生命表基本函数
n｜q：x 表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
n｜qx＝
d
xn
lx
lxn lx
dxn lxn
npx
qxn
n｜m qx ：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。
n｜m
qx＝
m
dxn lx
lxn
lx lx
n
m
n
px
n
m
px
n
px
m
qx
n
当m 0时，n｜0qx 0；当m 1时，n｜mqx q n｜1 x n｜qx；当m 时，n｜qx n px。
8
例3.1
利用表31，计算
第三章 生命表
1
生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。
封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
2
生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx
(1)一个新生婴儿存活到3岁的概率。
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( 2 )一个新生婴儿在1岁和3岁之间死亡的概率。
解：
(1)
l3 l0
997255 1000000
0.997255
(2)在1岁和3岁之间的死亡人数为l1l3 ,故死亡概率为 l1 l3 1165 0.001165
l0 1000000
9
例：
25岁到75岁之间死亡的人群中，其中30%在50岁之前死亡。
n Lx
nlxn
n 2
n
d
x
n 2
(lx
lxn)
当n=1时，
Lx
1 2
(lx
lx1)
6
生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。 x1
Tx Lx Lx1 L L1
Lxt
t0
在均匀分布假设下，
1
Tx i0 2 lxi lxi1
ex
：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。
17
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1,k 0,1,L 概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px k1 px k px qxk k qx
18
t qx Pr[x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
s(x)
16
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
概率的方式表示为：
t｜u qx Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt