数据、模型与决策 第六章 动态规划
动态规划
=MIN（3+12，4+10）=14
最短路线： A—— B2 ——C2——D2——E2——F 最优解： d1*(A)= B2，最短用时14
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
最优解： d2*(B1)= C1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S2=B2，则下一步能取C2或C3，故
f2(B2)=MIN r(B2,C2)+ f3(C2)
r(B2,C3)+ f3(C3) =MIN（2+8，1+11）=10
最短路线： B2 ——C2——D2——E2——F
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S4=D3，则下一步只能取E2，故
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
数模动态规划模型
9 5
C1
1 5
D
1
4 2 6 9 2 7 5 E2 E1 1 F
4
D
3
2
2016/3/31
B
1
9 5 4 5 1 7 3
C
1
1 5 8 4 6 4 2
D
1
4 2 E
1
B
1
9 5 4 5 1 7 3
C
1
1 5 8 4 6 4 2
D
1
4 2 E
1
3 A 4 B
3
5
B
2
C
2
D
2
6 9 7 5
1 F A
D
2
4 7 7
D
3
f 1 ( s 1 ) = d 1 ( s 1 ,x 1 ) + f 2 *(s 2 )
B1 3+ 14 = 17 B2 5+ 9 = 14 B3 4+ 12 = 16
f 1 *( s 1 )
14
X 1* B2
n = 3
X S
3
E2 E1 E2
f3*(s 3)
X
3 *
f 3 ( s 3 ) = d 3 ( s 3 ,x 3 ) + f 4 *( s 4 )
3、决策(decision) uk(sk) ：从一个阶段某状态演变到下
1
2016/3/31
最优化原理
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Un组成的有序总体 {Un}，如 A B2 C1 D1 E 。 5、子策略(sub-policy) ：剩下的M个阶段构成M子过程,相应的 决策系列叫M子策略，如 C1 D1 E。 6、状态转移方程：前一阶段的终点(决策)是后前一阶段的起点 (状态)，Uk = Sk+1。 7、指标函数：各个阶段的数量指标 标 数 各个阶 数 标,记为 为Vk,n(sk,Uk).如上例中 中, 用dk(sk,Uk)表示距离，d2(B3,C2)=8,d3(C2,D2)=2 等. 8、目标函数: 策略的数量指标值,记为 Z=opt[v1(s1,u1)*…* vn(sn,un)]. 其中：opt为max或min，*为运算符号.如上例中， Z=min[d1(s1,u1)+ ...+dn(sn,un)]=min[d1+d2+…+ dn]
《数据模型与决策》复习题及参考答案
《数据模型与决策》复习题及参考答案《数据模型与决策》复习题及参考答案第⼀章绪⾔⼀、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核⼼是运⽤数学⽅法研究各种系统的优化途径及⽅案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是⼀件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4、通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表⽰成⼀个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。
运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学⽤系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应⽤各学科交叉的⽅法，具有典型综合应⽤特性。
8．运筹学的发展趋势是进⼀步依赖于_计算机的应⽤和发展。
9．运筹学解决问题时⾸先要观察待决策问题所处的环境。
10．⽤运筹学分析与解决问题，是⼀个科学决策的过程。
11.运筹学的主要⽬的在于求得⼀个合理运⽤⼈⼒、物⼒和财⼒的最佳⽅案。
12．运筹学中所使⽤的模型是数学模型。
⽤运筹学解决问题的核⼼是建⽴数学模型，并对模型求解。
13⽤运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之⼀是⽤系统的观点研究功能关系。
15.数学模型中，“s·t”表⽰约束。
16．建⽴数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
⼆、单选题1.建⽴数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格2．我们可以通过（ C ）来验证模型最优解。
A．观察 B．应⽤ C．实验 D．调查3．建⽴运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施4.建⽴模型的⼀个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ）A数量 B变量 C 约束条件 D ⽬标函数5.模型中要求变量取值（ D ）A可正 B可负 C⾮正 D⾮负6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ）A 连续性B 整体性C 阶段性D 再⽣性7.运筹学运⽤数学⽅法分析与解决问题，以达到系统的最优⽬标。
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
数学建模中的动态规划问题
数学建模中的动态规划问题动态规划是一种常见且重要的数学建模技术，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。
本文将介绍动态规划问题的基本概念和解题方法，并通过几个实例来说明其在数学建模中的应用。
一、动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。
一般来说，动态规划问题可以分为以下几个步骤：1. 确定阶段：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个决策。
2. 确定状态：将每个阶段的可能状态列出，并定义对应的决策集合。
3. 确定状态转移方程：根据当前阶段的状态和上一个阶段的决策，确定状态的转移关系。
4. 确定初始条件：确定问题的初始状态。
5. 确定决策的评价标准：根据问题的具体要求，确定决策的评价标准。
6. 使用递推或递归公式求解：根据状态转移方程，使用递推或递归公式求解问题。
二、动态规划问题的解题方法在解决动态规划问题时，一般可以使用自顶向下和自底向上两种方法。
自顶向下的方法，也称为记忆化搜索，是指从问题的最优解出发，逐步向下求解子问题的最优解。
该方法通常使用递归来实现，并通过记忆化技术来避免重复计算。
自底向上的方法，也称为动态规划的迭代求解法，是指从问题的初始状态出发，逐步向上求解各个阶段的最优解。
该方法通常使用迭代循环来实现，并通过存储中间结果来避免重复计算。
三、动态规划在数学建模中的应用1. 01背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，而且总重量不超过背包的容量。
这是一个经典的动态规划问题，在数学建模中经常遇到。
2. 最短路径问题：在给定的有向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
该问题可以使用动态规划的思想对其进行求解，其中每个阶段表示到达某个顶点的最短路径。
3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解它们最长的公共子序列的长度。
该问题可以使用动态规划的方法解决，其中每个阶段表示两个序列的某个子序列。
四、实例分析以01背包问题为例进行具体分析。
数据模型与决策完整
数据,模型和决策第一章决策分析一、比尔.桑普拉斯的夏季打工决策一个决策树模型及分析比尔. 桑普拉斯(bill Sampras) 在麻省理工学院的斯隆管理学院就读第一学期，已经是第三周了。
除了花在准备功课上的时间外，bill开场认真考虑有关明年夏季打工的事情，特别是该决策在几周后必须做出。
8月底，在bill飞往波士顿的途中，他坐在vanessa Parker 的旁边，并与她就双方感兴趣的问题进展了交谈。
vanessa 是一个重要的商业投资银行有关资产预算的副总裁。
在飞机到达波士顿后，vanessa坦率地告诉bill，她愿意考虑明年夏季雇佣bill的可能性，并希望在她的公司于11月中旬开场进展的夏季招聘方案时，请bill直接与她联系。
bill感觉到自己的经历和所具有的风度给vanessa留下了很深的印象〔bill曾经在一个财富500强公司的金融部门就来自税收业务的额外现金的短期投资工作过4年〕。
当bill 8月离开公司去攻读MBA时，他的老板john Mason把他叫到一边，对他许诺，到第二年夏季可以雇佣他。
夏季回到公司进展为期12个星期的打工薪水将是12000美元。
但john也告诉bill夏季工作招聘期限仅到10月底有效。
因此，bill在得到vanessa提供夏季工作的细节之前，必须决定是否承受john的工作。
vanessa已经解释，她的公司在11月中旬之前不愿意讨论夏季工作方案的细节。
如果bill回绝john的好意，bill要么承受vanessa的提供〔如果vanessa承受bill的申请〕，要么通过参加斯隆管理学院在1月和2月举办的公司夏季招聘方案中，寻找另一个夏季工作时机。
决策准那么假设bill认为所有的夏季工作时机〔为john工作，为vanessa工作和参加斯隆学院的夏季打工方案〕都将会给bill提供类似的学习、交流以及丰富经历的时机。
那么，bill判断夏季工作时机的优劣的唯一标准就是工作的薪水，以薪水越高越好。
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
动态规划模型及求解方法
dh2 dx2
2x2 s2 3x22
0
解得：
2 x2 3 s2
x2=0（舍）
d 2h2 dx22
2s2
6x2
d 2h2 dx22
x2
2 3
s2
是极大值点。
x2
2 3
s2
2s2
0
f2
(s2
)
(2 3
s2
)2 (s2
2 3
s2 )
4 27
s
3 2
x2*
2 3
s2
k=1时，
f1 (s1 )
max
k=3时，
f3 (s3 )
max
x3D3 (s3
)[v3
(
x3
)
f4 (s4 )]
max(
x3 s3
x3
)
s3
k=2时，
x3*=s3
f2 (s2 )
max
x2D2 (s2
)[v2
(
x2
)
f3 (s3 )]
max
0x2 s2
(
x22
s3 )
max [
0x2 s2
x22
(s2
x2 )]
令h2（s2，x2）=x22（s2－x2）
运筹学
动态规划模型及求解方法
一、动态规划的数学模型
1. 动态规划的基本方程
设第k阶段处于状态sk，决策是uk（sk），状态转移方程为 sk+1=Tk（sk，uk），k阶段和k+1阶段的递推关系式可写为：
fk
(sk
)
opt [vk
uk Dk ( sk )
(sk
,uk
建立动态规划数学模型的步骤
建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。
建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。
第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。
例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。
第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。
第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。
决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。
继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。
第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。
状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。
在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。
第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。
通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。
例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。
第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。
在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。
例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。
第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。
动态规划
5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其 中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点 到G点的最短距离（总费用最小）。
1 C1 3 6 8 3 D1 1 2 2 2 5 E2 2 D2 E1 3
5
A 3
B1
6
8 B2 7 6
C2
5
3
5
F1
3
4
G
C3 8 C4
3
4 D3
3
3 4 E3
6
6
F2
3.航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一 次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。 4.线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
f k sk min d k sk , uk sk f k 1 uk sk u k Dk s k f 6 s6 0或 写 成 5 s5 d 5 s5 , F f
k 5,4,3,2,1
动态规划的基本方程（二）
D4(D1)={E1,E2},D4(D2)= {E1,E2}
D5(E1)={F}, D5(E2)={F}
4 A 5
2 B1 3 5 B2 8 7 7
⑷状态转移方程 上例中的状态转移方程sk+1=uk(sk)
C1 5 8 C2 45 3 C3 4 84 C4
D1 3 5 E1 4 6 D2 2 3 E2 1 3 D3
模型决策法
每件铸造工时（小时） 5 10 7 8000
每件机加工工时（小时） 6 4 8 12000
每件装配工时（小时） 3 2 2 10000
自产铸件每件成本（元） 3 5 4
外协铸件每件成本（元） 5 6 -
机加工每件成本（元） 2 1 3
装配每件成本（元）
322
每件产品售价（元）
23 18 16
问题：如何安排生产计划，使公司获利最大？
v4
7
2
8
6
v5
v6 6
v7
•（快餐店）
5
模型决策法
最大流问题
最大流问题 引例：某石油公司拥有一个管道网络（如
图），使用这个网络可以把石油从采地 运送到一些销售地。弧上的数字为该管 道的容量， 问如果使用这个网络系统从 v1向销地v7运送石油， 每小时能运送多 少石油？
模型决策法
•V2 •(6,0)
时序规划问题
第1步：将工作按到期时间排序。
工作
GBC A E F D H
到期时间
2 7 8 13 14 20 30 36
开始加工时间 0 2 7 10 12 16 23 31
加工时间
253 2 4 7 83
完成加工时间 2 7 10 12 16 23 31 34
延误工作
*
* **
第2步：在上述时序中，第1项被延误的工作是C。
27/8=3.375天。
模型决策法
时序规划问题
(5) Johnson’s rule(约翰逊原则)
步骤1：列出各项工作及它们在每台机器上的加工时间。 步骤2：找出下一个在各台机器上加工时间最短的工作。 步骤3：如果这是在机器1上，尽量将这一工作安排在前面；如果这是在机
动态规划
状态 B1 在决策 u2 ( B1 ) 作用下的一个新的状态，记作u2 ( B1 ) C2 . 4、策略 策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的第 k 阶段开始到 终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程（或称为 k 子过程）。
返回 结束
动态规划
由每段的决策按照顺序排列组成的决策函数序列
k 1,2,, n.
对于动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系
Vk ,n k [ sk , uk ,Vk 1,n ( sk 1 ,, sn1 )]
在实际问题中指标函数都满足这个性质。 常见的指标函数有下列两种形式 （1）过程和任一子过程的指标是它所包含的各阶段指标的和，即
指标函数的最优值，称为最优值函数，记作 f k (sk ) 它表示从第 k 阶段 的状态 sk 开始到第 n 阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的 指标函数值。即
f k ( sk ) opt Vk ,n ( sk , uk ,, sn1 )
uk ,,un
返回 结束
动态规划
在不同的问题中，指标函数的含义不同，它可能是距离，利润，成本 ，产品的产量，资源消耗等。 二、动态规划的基本思想和基本方程 结合最短路问题介绍动态规划的基本思想 。最短路线有一个重要特性，
这种递推关系式称为动态规划的基本方程。
返回
结束
动态规划
资源分配问题 某工业部门根据国家计划的安排，将某种高效率的设备 五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得 这种设备之后，可以为国家提供盈利如表2-2所示。
问这五台设备应如何分配给工厂，才能使国家得到的 盈利最大。
返回
结束
动态规划
表2-2
数据、模型与决策 第六章 动态规划
• （2）在多阶段决策过程中，动态规划方法是既将当前一阶段和未 来各阶段分开，又将当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最
优化方法。因此，每阶段决策的选取是从全局来考虑的，与该段 的最优选择答案一般是不同的。
• （3）在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每
阶段的决策都是该阶段状态的函数，故最优决策所进过的各阶段
f s • k( k) 表示第k周的价格为 s k时，从第k周到第5周采取最优
策略所得的最小期望值。
• 所以，我们得到逆推关系式为： •
•
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 其中 • Sk 50， 060， 0700 k1， 2， 3， 4， 5
• • 并且得出最优决策为
•
第六章 动态规划
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
6.1.5动态规划的最优性原理 和最优性定理
动态规划的最优性定理：
• 设阶段数为n的多阶段决策过程，其阶段编号为k=0，1
，…… ，n-1。允许策略
p dd d 是最优决策的 * ( *, *,....*. )
0,n1
01
n1
重要条件，对任一个k，0<k<n-1和 s0S0 有
状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 步骤：
• （1）将系统分为恰当的阶段，并编号；
• （2）确定状态变量sk，状态集合Sk； • （3）确定决策变量dk（sk），以及允许决策的
集合Dk（Sk）； • （4）建立状态转移方程Sk+1=Tk（Sk，uk）; • （5）建立指标函数Vk，n的关系。
动态规划
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 3
C1 C2 4 C3 3
1 D
第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。 有二条路线。 第三阶段（ f3(A)1 = d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) ＝2＋4＝6 ＋ ＋ ＝ f3 (A)2 = d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＝4＋3＝7 ＋ ＋ ＝ ＋ ∴ f3 (A) = min d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) = min｛6,7｝=6 ｛ ｝ d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＋ (最短路线为 最短路线为A→B1→C1 →D) 最短路线为
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 C3 C2 4 3 3 C1
1 D
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 3
C1 C2 4 C3 3
1 D
整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 第一阶段（ 第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点 。 ）： 有三条路线到终点D 显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4
动 态 规 划
(Dynamic programming)
动态规划的基本思想 最短路径问题 投资分配问题 背包问题
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于， 化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一 维决策问题变换为几个一维最优化问题， 个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从 而一个一个地去解决。 而一个一个地去解决。 需指出：动态规划是求解某类问题的一种 需指出： 方法，是考察问题的一种途径， 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算 必须对具体问题进行具体分析， 法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态 规划的原理和方法，建立相应的模型， 规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再 用动态规划方法去求解。 用动态规划方法去求解。
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6.1.4 动态规划方法的基本思 想归纳
• （1）动态方法关键在于正确的归纳出基本的递推关系式和恰当的 边界条件（即基本方程）。要做到这一点，必须先将问题的过程 分成几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定 义最优值函数，从而把一个大问题化成一组同类型的子问题，然 后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每个子问题 的求解中，均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进行， 最后的一个子问题所得到的最优解，就是整个问题的最优解。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 一般情况下，k阶段与k+1阶段的递推关系可写为
•
•
（6-1）
•
k=n，n-1， ，1
• 边界条件为
•
f n+1（sn+1）=0
• 这种递推关系式（x.1）称为动态规划的基本方程。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
6.1.2 动态规划的基本概念
• 阶段 • 状态 • 决策 • 策略 • 状态转移方程 • 指标函数和最优值函数
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
6.1.3动态规划的基本方程
• 动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路线的一种方法。
• 当k=4时，由D1到终点E只有一条路线，故f4（D1）=4， f4（D2）=3。
状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 步骤：
• （1）将系统分为恰当的阶段，并编号；
• （2）确定状态变量sk，状态集合Sk； • （3）确定决策变量dk（sk），以及允许决策的
集合Dk（Sk）； • （4）建立状态转移方程Sk+1=Tk（Sk，uk）; • （5）建立指标函数Vk，n的关系。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
6.1.5动态规划的最优性原理 和最优性定理
动态规划的最优性定理：
• 设阶段数为n的多阶段决策过程，其阶段编号为k=0，1
，…… ，n-1。允许策略
p dd d 是最优决策的 * ( *, *,....*. )
0,n1
01n1Βιβλιοθήκη 重要条件，对任一个k，0<k<n-1和 s0S0 有
• （2）在多阶段决策过程中，动态规划方法是既将当前一阶段和未 来各阶段分开，又将当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最
优化方法。因此，每阶段决策的选取是从全局来考虑的，与该段 的最优选择答案一般是不同的。
• （3）在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每
阶段的决策都是该阶段状态的函数，故最优决策所进过的各阶段
6.1.1 多阶段决策
• 多阶段决策问题：把一个问题可看作一 个前后关联具有链状结构的多阶段过程 就称为多阶段决策过程，也称序贯决策 过程。
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
最短路问题
• 下图是一个线路网络图，代表待定的输油管可行路线，A，B，C 代表经过的三个地区，每个地区都有若干个转运点，构成许多不 同的输油路线，转运点间的数字表示点间距离，问应选择那些路 线，使总路线最短？
• 动态规划的方法，在工程技术中、企业管理、工农业 生产及军事等部门都有广泛的应用，并且获得了显著 的效果。
• 动态规划模型的分类，根据多阶段决策过程的时间变 量是离散的还是连续的变量，过程分为离散决策过程
第六和章 动连态规续划决策过程。数据、模型与决策 (第二版)
第六章 动态规划
• 6.1 动态规划的基本概念和基本方程 • 6.2 动态规划应用举例
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
6.1 动态规划的基本概念和 基本方程
• 6.1.1 多阶段决策 • 6.1.2 动态规划的基本概念 • 6.1.3 动态规划的基本方程 • 6.1.4 动态规划的基本思想归纳 • 6.1.5 动态规划的最优性原理和最优性定
理
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
•
f1（A）=15
u1（A）= B1
• 于是，我们找到从起点A到终点E点的最短距离为15。
• 为了找出最短路线，再按计算的顺序反推之，可求出最优决策函 数序列{u k}，即由u1（A）= B1，u2（B1）= C2，u3（C2）= D2， u4（D2）= E组成一个最优策略。因而，找出相应的最短路线为A B1 C2 D2 E。
数据、模型与决策 第六章 动态规划
学习目标
• 动态规划是解决多阶段决策过程最优化 问题的一种方法。
• 明确什么是多阶段的决策问题；理解动 态规划的基本思想和基本方程；理解动
态规划的最优性原理和最优性定理。
• 掌握动态规划在资源分配问题、生产和
存贮问题、采购问题中的应用，并学会
使用动态规划方法分析和解决实际的问
• 其相应的决策为u3（C2）= D2
•
f3（C3）=10
• 其相应的决策为u3（C3）= D1
第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
• 当k=2时，有
•
f2（B1）=12
u2（B1）= C2
•
f2（B2）=11
u2（B2）= C2
•
f2（B3）=9
u2（B2）= C2
• 当k=1时，出发点只有一个A点，则有
题。 第六章 动态规划
数据、模型与决策 (第二版)
第六章 动态规划
• 动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是运 筹学的重要分支之一，它是一种研究多阶段决策问题 的最优化理论和方法。大约产生于50年代。1951年美 国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人，根据一类多阶段 决策问题的特点，把多阶段决策问题变为一系列互相 联系单阶段问题，然后逐个加以解决。
同理，
• 当k=3时，出发点有C1，C2 ，C3三个。若从C1出发，则有两个选择，一 是至D1，一是至D2，则
f3（C1）=min =min =7
• 其相应的决策为u3（C1）= D1，这说明，由C1至终点E的最短距离为7， 其最短路线是C1 D1 E。
• 同理，从C2和C3出发，则有
•
f3（C2）=6
•
•
•
式中， p p p ， ( , )
0,n1
0,k1 k,n1
，当是由给定的初始状态so和子策略p 0 ,k 1所确定的
k段状态。当V是效益函数时，opt取max；当V是损失