自动控制原理 第三章 时域分析法

三、稳定性判据 本节主要讲下代数判据，代数判据的形式很 多，有劳斯判据（Routh），赫尔维茨 （Hurwitz)稳定判据，林纳德 奇帕特 （Lienard-Chipard)判据，劳斯-侯维智稳 定判据等。 由前面的讲述可知，判定系统稳定的最直接 方法是求出系统的闭环特征根，根据特征根 的位置判断，但有时候这种计算不方便。代 数判据的目的是不直接求特征根，通过间接 的方法判断系统稳定性。 主要学习一下劳斯判据
第三章
时域分析法
主要内容
•3.1 •3.2 •3.3 •3.4 •3.5 时域分析基础 一、二阶系统分析与计算 高阶系统动态响应及简化分析 控制系统的稳定性分析及其代数判据 稳态误差分析计算
3.1 时域分析基础
1. 时域分析：根据系统微分方程，通过拉氏
变换，直接求出系统的时间响应。依据响应 的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性 能，并找出系统结构、参数与这些性能之间 的关系。 时域分析法是一种直接方法，而且比较 准确，可以提供系统时间响应的全部信息。 在已知系统传递函数的情况下，先求得 拉氏变换下的Y(s)，再反变换求y（t）一般 较方便。
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
• 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统
•二阶系统的微分方程的一般式为
d c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
2
(n 0)
——阻尼比
•二阶系统的反馈结构图
•二阶系统的传递函数
从图中看出，对于5％误 差带，当 0.707 时，调 节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量<5 ％，平稳性也较好，故称
0.707为最佳阻尼比。
总结：n 越大，调节时间 t s 越短；当 一定时， n 越大，快速性越好。
• 稳态精度
h(t ) 1 1 1 2 e
始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。 • 若系统能恢复到平衡状态，就称该系统是 稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢 复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统 是不稳定的。
二、稳定性的数学条件
设系统的微分方程（或增量化线性方程）为：
对上式进行拉氏变换得：
化简整理：
其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子 式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输入，C(s) 为输出，M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式， M0(s) = M02(s)- M01(s) 。 整理上式：
2.高阶系统简化分析
• 若有极点离虚轴较远
这些极点到虚轴的距离是其余极点到虚轴距离的5 倍以上，也即这些极点的实部的绝对值很大， 此时c(t)中第二项对应的部分衰减和快，对系 统影响较小，因此这部分极点的作用可以忽略 掉。
• 若有极点与零点相距很近
这些极点到零点的距离是其余极点到该零点距离 的1/5以下，此时，每一对这样的极零点构成偶 极子，极零点的作用对消。
1000 s 34.5s 1000
2
与标准的二阶系统传递函数对照得
5 1500 ( s) 2 s 34.5s 7500
当KA ＝1500时
当KA ＝13.5时
( s )
67.5 s 34.5s 67.5
2
系统在单位阶跃作用下的响应曲线
c(t)
KA=1500 KA=200 1 KA=13.5
欠阻尼时(0<ξ <1),上式可以按部分分式展开：
展开式系数a，ai，bk，ck可由待定系数法或留 数法求出。
对上式求拉氏反变换，可求得时域响应：
上式右边，第一项为单位阶跃响应的稳态分量；第 二项为非周期过程动态分量；第三、四项为衰 减振荡的动态分量。 **考虑下，若系统负阻尼或极点在复平面的右半部 分，则系统响应如何？
三、二阶系统举例
例3-2 设位置随动系统，其结构图如图所示， 当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增 益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响 应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间 ts和超调量，并分析比较之。
• 输入：单位阶跃函数：
系统的闭环传递函数
当KA ＝200时
( s )
假定：
将C(s)等式右边的两项分别展成部分分式，可得：
再进行拉氏逆变换，得：
系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态 分量决定。此时，系统的输入为零。
故稳定性定义可 转化为：
式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅 取决于特征根si的性质，设 特征根的性质对系统稳定性的影响
• 当si为实根时，即si＝i
系统特征方程的一般形式为： 可以由1+G0（s）=0求出，其中G0（s）
=G（s）+H（s）为系统的开环传递函数 。
劳斯稳定判据判稳的必要条件（即首先满足的条 件）：系统特征方程的系数均大于0或小于0.
**若有以下情况：系数符号不同；缺项（有的幂 次项没有），则直接断定系统不稳定。 满足必要条件的前提下，在用劳斯判据
0
t
3.3 高阶系统动态响应及简化分析
1.高阶系统的单位阶跃响应
• 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系
统；一般把3阶及3阶以上的系统成为高阶系统。 • 高阶系统闭环传递函数
其中，q为一阶惯性环节的个数；r为二阶振荡环 节个数，系统阶数设为n，则n=q+2r。
假设输入信号为单位阶跃信号，则系统响应：
nt
sin(d t arccos )
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应稳态误差为零。
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
1
1
2
ccos ) 1
注： %, ts 及ess 三项指标是针对阶跃响应 而言的，对于非阶跃输入，则只有 稳态误差ess , 而没有％和ts。
3－2 一、二阶系统分析与计算
1.一阶系统的数学模型及单位阶跃响应
微分方程：
动态结构图：
传递函数：
一阶系统单位阶跃响应
输入：
输出：
初始斜率：
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和 暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分 量为衰减过程，振荡频率为ωd。
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
n 对阶 下面根据上图来分析系统的结构参数 、 跃响应的影响。
• 平稳性（％）
越大，ω d越小，幅值也越小，响应的振荡 结论： 越小， 倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。
2. 快速性ts：
3. 准确性 ess：
例3-1
R( s ) B( s ) E ( s ) 100 100 s s
KH H
C ( s)
一阶系统如图所示，试求： 1. 当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍 数K，稳态误差ess。 2. 如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？ 3. 讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。
d
根据极值定理有：
取n=1得: t p
π
d

π
n 1 2
h(t ) 1
%
1 1
h()
2
e
nt
sin(d t arccos )
π / 1 2
h(t p ) h()
100% e
100%
写出调节时间的表达式相当困难。在分析设 计系统时，经常采用下列近似公式。
第三个元素小于0，因此系统不稳定
例3-5
例3-6
欲使如图所示系统稳定，试确定K的取值 范围。
例3-7
欲使如图所示系统的特征根位于距虚轴一 个单位以左的区域，试确定K的取值范 围。
3.5 稳态误差分析计算
• 闭环主导极点
如果高阶系统的某个极点距离虚轴最近（是其它 极点到虚轴距离的1/5以下），且附近没有任何 零点，则该极点对系统响应起主导作用，称为 系统的闭环主导极点。
3.4 系统稳定性分析
主要内容：
• 线性定常系统稳定的概念 • 系统稳定的条件和稳定性的代数判定方法。
一、系统稳定的概念
• 稳定性是指当扰动作用消失后，系统由初
2. 典型实验信号及其选择：就是典型输入 信号，一般为阶跃信号，斜坡信号，抛 物线信号，正弦信号，脉冲信号等典型 测试信号。 选择什么样的测试信号与系统特性 及具体需要有关。如对于突变系统，一 般取阶跃信号来测试；对于渐变信号一 般取斜坡信号测试；对于宇宙飞船等航 空航天系统，则一般取抛物线信号。 本章研究的动稳态特性，都是在给 定输入下研究的。
开环传递函数：
闭环传递函数：
•二阶系统的特征方程为：
• 解方程求得特征根：
s1,s2完全取决于ξ ，n两个参数。 •当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
二阶系统单位阶跃响应
过阻尼系统分析
• 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大 • • •
的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰 减速度慢 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和 超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大， 离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小， 有时甚至可以忽略不计。
• 劳斯判据：若劳斯行列表第一列的元素均大
于0，则系统稳定（有全零行时，即使第一列 元素全大于0，系统也是临界稳定的，在此， 临界稳定我们认为也是不稳定的）。
• 劳斯行列表的计算
系统闭环特征方程：
则劳斯行列表如下计算：
• 如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳
定。 • 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程 正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。