高三数学-数列大题解法(一)——练习

大题考法专项训练
A 级——中档题保分练
1．已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令c n ＝
4b n ·b n ＋1＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .
2．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝
a n ＋1－23
，设b n ＝log 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；
(3)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫4(b n ＋1)(b n ＋3)的前n 项和T n .
3．(2019·福州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1
(b n ＋2)n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
B级——拔高题满分练
1．(2020届高三·长沙摸底)已知数列{a n}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有a n－2a n＋1＋a n＋2＝0，数列{b n}满足b n＝a2n－1，n∈N*.
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求使b1＋b2＋…＋b n＞2 019成立的最小正整数n的值．
2．已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且S n为a n与1
a n的等差中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(－1)n
a n，求{
b n}的前n项和T n.
3．(2019·天津高考)设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.
(1)求{a n}和{b n}的通项公式．
(2)设数列{c n}满足c n＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2n c2n(n∈N*)．
数列大题考法专训练答案
A 级——中档题保分练
1．解：(1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12，得log 2(a 1a 2a 3)＝12， ∴a 1a 2a 3＝212. 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2＝26·q 3＝212， 解得q ＝4， ∴a n ＝4·4n －
1＝4n .
(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ， c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n . 设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1n (n ＋1)的前n 项和为A n ， 则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1， 设数列{4n
}的前n 项和为B n ， 则B n ＝4－4n ·41－4＝43(4n －1)， ∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．
2．解：(1)依题意得a 1＝2，则n ＝1时，S 1＝
a 2－23＝a 1， ∴a 2＝8. n ≥2时，S n －1＝a n －23，则a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－23－a n －23
，整理得a n ＋1a n ＝4. 又a 2a 1
＝4，∴数列{a n }是首项为2，公比为4的等比数列，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1. (2)b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1， 则b n ＋1－b n ＝2n ＋1－(2n －1)＝2，且b 1＝1，∴数列{b n }是等差数列．
(3)由(2)得b n ＝2n －1，
∴
4(b n ＋1)(b n ＋3)＝42n (2n ＋2)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.
3．解：(1)因为S n ＝3n 2＋8n ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －[3(n －1)2＋8(n －1)]＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11也符合上式， 所以a n ＝6n ＋5，n ∈N *. 于是，b n ＋1＋b n ＝a n ＝6n ＋5. 因为{b n }是等差数列， 所以可设b n ＝kn ＋t (k ，t 均为常数)，
则有k (n ＋1)＋t ＋kn ＋t ＝6n ＋5， 即2kn ＋k ＋2t ＝6n ＋5对任意的n ∈N *恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＝6，k ＋2t ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝3，t ＝1，故b n ＝3n ＋1. (2)因为a n ＝6n ＋5，b n ＝3n ＋1，
所以c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n
＝2n ×(6n ＋6)． 于是，T n ＝12×2＋18×22＋24×23＋…＋2n ×(6n ＋6)，①
所以2T n ＝12×22＋18×23＋24×24＋…＋2n ×6n ＋2n ＋1×(6n ＋6)，②
①－②得，－T n ＝24＋6(22＋23＋…＋2n )－2n ＋1×(6n ＋6)＝24＋6×22－2n ×21－2
－2n ＋1×(6n ＋6)＝－2n ＋1×6n ， 故T n ＝2n ＋1×6n ＝2n ＋
2×3n .
B 级——拔高题满分练
1．解：(1)令n ＝1，得a 1－2a 2＋a 3＝0，解得a 2＝5.
又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1＝2， 故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列，于是a n ＝2n ＋1，b n ＝a 2n －1＝2n ＋1.
(2)由(1)知，b n ＝2n ＋1.
于是b 1＋b 2＋...＋b n ＝(21＋22＋ (2)
)＋n ＝2(1－2n )1－2＋n ＝2n ＋1＋n －2. 令f (n )＝2n ＋
1＋n －2，易知f (n )是关于n 的单调递增函数， 又f (9)＝210＋9－2＝1 031，f (10)＝211＋10－2＝2 056， 故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2 019成立的最小正整数n 的值是10.
2．解：(1)由题意知，2S n ＝a n ＋1a n ，即2S n a n －a 2n ＝1，① 当n ＝1时，由①式可得S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式，得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1.
所以{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，S 2n ＝1＋n －1＝n .
因为{a n }的各项都为正数，所以S n ＝n ， 所以a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)． 又a 1＝S 1＝1，所以a n ＝n －n －1.
(2)b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n n －n －1
＝(－1)n (n ＋n －1)， 当n 为奇数时，
T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ； 当n 为偶数时，
T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n . 所以{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n .
3．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .
依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝3，q ＝3， 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n . 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n .
(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )
＝⎣⎡⎦
⎤n ×3＋n (n －1)2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )．
记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，①
则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②
②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3(1－3n )1－3
＋n ×3n ＋1＝(2n －1)3n ＋1＋32. 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n －1)3n ＋1＋32＝(2n －1)3n ＋2＋6n 2＋92
(n ∈N *)．。