高二数学期末复习(5)

常熟市浒浦高级中学 高二数学期末复习（5）
选修2-1 圆锥曲线与方程 6/11
姓名：____________
1．已知椭圆13
42
2=+y x ,椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称,则m 的取值范围是 .
2．以x 轴为对称轴，抛物线通径长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程为 . 3．双曲线229436x y -=-的渐近线方程是 .
4．抛物线x y 42=被直线b x y +=2截得的弦长为53,则=b .
5．如果双曲线
19
162
2=-y x 上的一点P 到双曲线的右焦点的距离是8，那么点P 到右准线的距离是 .
6．若抛物线px y 22-上的一点),6(y A 到焦点F 的距离为10，则p 等于 . 7．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .
8．已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为，椭圆22221x y a b =＋的离心率
为 .
9．设1F 、2F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的面积是 . 10．过双曲线M ：12
22
=-
h y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分
别相交于点B 、C ，且BC AB =，则双曲线M 的离心率是 .
11． 双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 .
12．椭圆
1492
2=++k
y x 的离心率为54，则k 的值为 . 13．直线12+=x y 截抛物线x y 42
-=所得弦AB 的长为 .
14．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(2
1
+=则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522
=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）
15．已知双曲线与椭圆
125
92
2=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.
16．设P 是椭圆()2
2211x y a a
+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ
的最大值.
17．点A 、B 分别是椭圆
120
362
2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥，求点P 的坐标.
18．已知抛物线C ：2
2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
19．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10，设A (5，0)， B (1，0)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点A 作直线与椭圆C 有且只有一个公共点D ，求过B 、D 两点，且以AD 为切线的 圆的方程；
(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ， 若AP →＝tAQ →(t >1)，求证：SB →＝tBQ →.
圆锥曲线复习训练参考答案
一、填空题 1．)13
13
2,13132(-
2．x y 82±= 3．32y x =± 4． 4- 5．532
6． 8 7．14- 8．1
2
9．1 10．10 11
12．25
19
-
或21 13． 15 14．③④ 二、解答题
15．解:由于椭圆焦点为)4,0(±F ,离心率为e =4
5
,所以双曲线的焦点为)4,0(±F ,离心率为2,从而4=c ，2=a ，32=b 。

所以求双曲线方程为:
22
1412
y x -= 16．解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ,又因为Q 在椭圆上, 所以,x 2=a 2(1－y 2) , |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2 =(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a
2+1+a 2
. 因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=11－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ;
17．解:由已知可得点A （－6，0），F （4，0）
设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得
.623,018920
)4)(6(120362
22
2-===-+⎪⎩
⎪⎨
⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).32
5,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==
> 18．解：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，
把2y k x =+代入22y x =得2
220x kx --=， 由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，．
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
将2
2y x =代入上式得2
2
2048
mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ⎛⎫
∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又
M 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=．
又2
212121||||1()4AB x x k
x x x x =-=++-
2214(1)11622k k k ⎛⎫
=-⨯-=++ ⎪
⎝⎭
．
22161168k k +∴=+，解得2k =±．
即存在2k =±，使0=⋅． 19．
解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，2a 2c ＝10，解得⎩⎨⎧c ＝1，
a ＝5，
∴b 2
＝4，∴椭圆的标准方程为x 25＋y 2
4
＝1.
(2)设过点A 的直线方程为y ＝k (x －5)，代入椭圆方程x 25＋y 2
4
＝1整理得：
(4＋5k 2)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0(*)；
依题意得Δ＝0，即(50k 2)2－4(4＋50k 2)(125k 2－20)＝0， 解得k ＝±55，且方程(*)的根为x ＝1，∴D (1，±45
5
)；
当点D 位于x 轴上方时，过点D 与AD 垂直的直线与x 轴交于点E ， 则直线DE 的方程是y －455＝5(x －1)，∴E (1
5，0)；
∵所求圆即为以线段DE 为直径的圆，故方程为 (x －35)2＋(y －255)＝24
25
.
同理可得，当点D 位于x 轴下方时，圆的方程为： (x －35)2＋(y ＋255)＝2425
.
(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)；由AP →＝tAQ →得
⎩⎪⎨⎪⎧x 1－5＝t （x 2－5）y 1＝ty 2
，代入
⎩⎨⎧
x 125＋y 12
4
＝1，x 225＋y
22
4＝1；
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＝－2t ＋3x 2
＝3t －2t (**)；
要证SB →＝tBQ →
，即证：⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝t （x 2－1） ①y 1＝ty 2
②
由方程组(**)可知①成立，②显然成立；∴SB →＝tBQ →
.。