高中物理 第4章 习题课：共点力平衡条件的应用学案5 沪科版必修1

习题课：共点力平衡条件的应用[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．1．共点力作用的平衡状态：物体在共点力作用下，保持静止或匀速直线运动状态．2．共点力作用下的平衡条件是合力为零，即F合＝0，用正交分解法表示的平衡条件：F x合＝0，F y合＝0.3．平衡条件的四个常用推论：(1)二力平衡时，二力等大、反向．(2)三力平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向．(3)多力平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向．(4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零.一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这个三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．例1在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)图1答案F＝mg tan θ解析甲取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：重力mg 、水平方向的风力F 和金属丝的拉力T ，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．解法一 矢量三角形法如图乙所示，风力F 和拉力T 的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F ＝mg tan θ. 解法二 正交分解法以金属球为坐标原点，取水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力F x 合和竖直方向的合力F y 合分别等于零，即F x 合＝T sin θ－F ＝0，F y 合＝T cos θ－mg ＝0，解得F ＝mg tan θ.由所得结果可见，当金属球的质量m 一定时，风力F 只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．针对训练 如图2所示，一质量为1 kg 、横截面为直角三角形的物块ABC ，∠ABC ＝30°，物块BC 边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB 边上使物块处于静止状态，则推力F 及物块受墙的弹力为多少？(g ＝10 m/s 2)图2答案 20 N10 3 N解析 物块受重力G ，推力F 和墙的弹力N 作用，如图所示，由平衡条件知，F 和N 的合力与重力等大反向．故有F ＝G sin 30°＝1×10 N 12＝20 N N ＝G tan 60°＝1×10× 3 N＝10 3 N二、动态平衡问题所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法．1．图解法(1)特征：物体受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．2．相似三角形法(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．例2如图3所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中( )图3A．小球对薄板的压力增大B．小球对墙的压力减小C．小球对墙的压力先减小后增大D．小球对薄板的压力不可能小于球的重力解析根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和使球压墙的力F2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1有最小值，等于G，所以B、D项均正确．答案BD例3如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A 点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是( )图4A．N变大，F变大B．N变小，F变大C．N不变，F变小D．N变大，F变小解析小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形由图乙可知F/AB＝N/OA＝G/OBF＝G·AB/OB N＝G·OA/OBAB变短，OB不变，OA不变，故F变小，N不变．答案C三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．注意隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．例4如图5所示，A、B两个物体的质量都是1 kg，现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动．已知A、B之间的动摩擦因数μAB＝0.1，B与地面间的动摩擦因数μB地＝0.2.g＝10 m/s2.则两个物体在匀速运动的过程中，图5(1)对A、B分别画出完整的受力分析．(2)A、B之间的摩擦力大小为多少．(3)拉力F的大小为多少．解析(1)以A为研究对象，A受到重力、支持力作用；以B为研究对象，B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用，如图所示．(2)对A：由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.(3)以A、B整体为研究对象，由于两物体一起做匀速直线运动，所以受力如图．水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力，即F ＝f ＝μB 地N B ，而N B ＝G B ＋G A ，所以F ＝0.2×(1×10＋1×10) N＝4 N答案 (1)见解析图 (2)0 (3)4 N1.矢量三角形法合成法.2.动态平衡问题：1图解法；2相似三角形法.3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac 和bc 与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac 绳和bc 绳中的拉力分别为( )图6 A.32mg ，12mg B.12mg ，32mg C.34mg ，12mg D.12mg ，34mg 答案 A解析分析结点c 的受力情况如图，设ac 绳受到的拉力为F 1、bc 绳受到的拉力为F 2，根据平衡条件知F 1、F 2的合力F 与重力mg 等大、反向，由几何知识得F 1＝F cos 30°＝32mg F 2＝F sin 30°＝12mg选项A 正确．2．(动态平衡问题)用细绳OA 、OB 悬挂一重物，OB 水平，O 为半圆形支架的圆心，悬点A 和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA 绳和OB绳中的拉力变化情况为( )图7A．OA绳中的拉力逐渐减小B．OA绳中的拉力逐渐增大C．OB绳中的拉力逐渐减小D．OB绳中的拉力先减小后增大答案AD解析如图所示，在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB中的拉力分别为T A1、T A2、T A3和T B1、T B2、T B3，从图中可以直观地看出，T A逐渐变小，且方向不变；而T B先变小后变大，且方向不断改变；当T B与T A垂直时，T B最小，然后T B又逐渐增大．故A、D正确．3.(整体法与隔离法)如图8所示，吊车m和磅秤N共重500 N，物体G重300 N，当装置平衡时，磅秤的示数是( )图8A．500 N B．400 NC．300 N D．100 N答案D解析先用整体法分析，所有物体总重为800 N，则与定滑轮相连的绳子的拉力都是400 N，所以下面两股绳子的拉力都是200 N，最后以G为研究对象可知磅秤对G的支持力为100 N，D正确．4．(矢量三角形法)如图9所示，电灯的重力为20 N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．(请分别用两种方法求解)图9答案20 2 N 20 N解析解法一矢量三角形法(力的合成法)O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，可得出F A与F B的合力F合方向竖直向上，大小等于F C.由三角函数关系可得F合＝F A sin 45°＝F C＝G灯F B＝F A cos 45°解得F A＝20 2 N，F B＝20 N故绳AO、BO上的拉力分别为20 2 N、20 N.解法二正交分解法如图所示，将F A进行正交分解，根据物体的平衡条件知F A sin 45°＝F CF A cos 45°＝F B后面的分析同解法一题组一动态平衡问题1.用轻绳把一个小球悬挂在O点，用力F拉小球使绳编离竖直方向30°，小球处于静止状态，力F与竖直方向成角θ，如图1所示，若要使拉力F取最小值，则角θ应为( )图1A．30° B．60°C．90° D．45°答案B解析选取小球为研究对象，小球受三个共点力作用：重力G、拉力F和轻绳拉力T，由于小球处于平衡状态，所以小球所受的合力为零，则T与F的合力与重力G等大反向．因为绳子方向不变，作图后不难发现，只有当F的方向与T的方向垂直时，表示力F的有向线段最短，即当F的方向与轻绳方向垂直时，F有最小值．故本题的正确选项是B.2.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是( )图2A．N先减小，后增大B．N始终不变C．F先减小，后增大D．F始终不变答案B解析取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)，如图所示，得到一个力三角形(如图中画斜线部分)，此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．如图所示，力三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得：G H ＝NL＝Fl式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小．故选B.3.如图3所示，用细绳悬挂一个小球，小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是( )图3A．F′不断增大B．F′不断减小C．F不断减小D．F不断增大答案AD解析如图所示，利用图解法可知F′不断增大，F不断增大．4.置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态，如图4所示，保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是( )图4A．N先变小后变大，f不变B．N不变，f先变小后变大C．N、f都是先变大后变小D．N、f都是先变小后变大答案D解析力F与水平方向的夹角θ先增大后减小，水平方向上，F cos θ－f＝0，f＝F cos θ；竖直方向上，N＋F sin θ－mg＝0，N＝mg－F sin θ，故随θ变化，f、N都是先减小后增大．题组二整体法与隔离法5.两刚性球a和b的质量分别为m a和m b、直径分别为d a和d b(d a＞d b)将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内，如图5所示．设a、b两球静止对圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2，筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的，则( )图5A．F＝(m a＋m b)g F1＝F2B．F＝(m a＋m b)g F1≠F2C．m a g＜F＜(m a＋m b)gD．m a g＜F＜(m a＋m b)g，F1≠F2答案A解析对两刚性球a和b整体受力分析，由竖直方向受力平衡可知F＝(m a＋m b)g、水平方向受力平衡有F1＝F2.6.如图6所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40 N，物体B重10 N，以下说法正确的是( )图6A．地面对A的支持力是30 NB．物体A受到的合力是30 NC．测力计示数20 ND．测力计示数30 N答案AC7.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图7所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块( )图7A．无摩擦力的作用B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出D．地面对三角形木块的支持力大小为(m1＋m2＋M)g答案AD解析由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体，如图所示，整体竖直方向受到重力(m1＋m2＋M)g和支持力N作用处于平衡状态，故地面对整体的支持力大小为(m1＋m2＋M)g，故D选项正确．水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．故A选项正确．8．如图8所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )图8A．B对墙的压力减小B．A与B之间的作用力增大C．地面对A的摩擦力减小D．A对地面的压力不变答案ACD解析设物体A对球B的支持力为F1，竖直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A 右移而减小．对球B受力分析如图所示，由平衡条件得：F1cos θ＝m B g，F1sin θ＝F2，解得F1＝m B gcos θ，F2＝m B g tan θ，θ减小，F1减小，F2减小，选项A对，B错；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力N＝(m A＋m B)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，选项D对；水平方向，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C对．题组三矢量三角形法求解共点力的平衡问题9．一个物体受到三个力的作用，三力构成的矢量图如图所示，则能够使物体处于平衡状态的是( )答案A10.如图9所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是( )图9A．F＝mgtan θB．F＝mg tan θC ．N ＝mg tan θD ．N ＝mg tan θ答案 A解析对滑块进行受力分析如图，滑块受到重力mg 、支持力N 、水平推力F 三个力作用．由共点力的平衡条件知，F 与mg 的合力F ′与N 等大、反向．根据平行四边形定则可知N 、mg 和合力F ′构成直角三角形，解直角三角形可求得：F ＝mgtan θ，N ＝mgsin θ.所以正确选项为A. 11.如图10所示，一个重为100 N 、质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A 点之间，已知球心O 与A 点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求墙面对小球的支持力F 1和A 点对小球的压力F 2.图10答案 100 3 N ，方向垂直墙壁向左 200 N ，方向沿A →O解析 如图，小球受重力G 竖直墙面对球的弹力F 1和A 点对球的弹力F 2作用．由三力平衡条件知F 1与F 2的合力与G 等大反向，解直角三角形得F 1＝mg tan θ＝100 3 N ，方向垂直墙壁向左F 2＝mg cos θ＝200 N ，方向沿A →O 12.滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力N 垂直于板面，大小为kv 2，其中v 为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图11)，滑板做匀速直线运动，相应的k ＝54kg/m ，人和滑板的总质量为108 kg ，试求：(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°取35，忽略空气阻力)图11(1)水平牵引力的大小；(2)滑板的速率．答案(1)810 N (2)5 m/s解析(1)以滑板和运动员整体为研究对象，其受力如图所示(三力组成矢量三角形)由共点力平衡条件可得N cos θ＝mg①N sin θ＝F②联立①②得F＝810 N(2)N＝mg/cos θN＝kv2得v＝mgk cos θ＝5 m/s。