2021届高考数学一轮双基小题专项练习含答案 (13)

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2021届辽宁省大连市高考双基测试数学试题(Word,解析版)

2021年辽宁省大连市高考数学双基试卷（3月份）一、单选题（共8小题）.1．已知集合A＝，则A∩B为（）A．∅B．{1}C．[0，+∞）D．{（0，1）} 2．设复数满足（1+2i）z＝i，则|z|＝（）A．B．C．D．53．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为（）A．32或5B．16或2C．16D．32或5或4 4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不给予优惠；（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（）A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元5．若数列{a n}为等比数列，则“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”是“a3＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣2+3）B．（﹣∞，﹣2+3）C．（﹣，4﹣）D．（﹣∞，4﹣）7．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，平面α与正方体相交，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面α的距离等于d（0＜d＜），那么下列结论中一定正确的是（）A．m≠6B．m≠5C．m≠4D．m≠3二、多选题（共4小题）.9．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（）A．此人第三天走了二十四里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍10．已知F1、F2是双曲线C：的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）A．双曲线C的渐近线方程为B．以F1F2为直径的圆方程为x2+y2＝2C．点M的横坐标为D．△MF1F2的面积为11．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．函数g（x）的图象关于直线对称B．函数g（x）的图象关于点（，0）对称C．函数g（x）在区间（，）上单调递增D．函数g（x）在区间（0，）上有两个零点12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝处取得极小值，极小值为B．f（x）只有一个零点C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞D．f（1）＜f（）＜f（）三、填空题（共4小题）.13．命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是．14．设α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）．15．已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最小值是．16．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是．四、解答题（共6小题）.17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝．（1）求角B；（2）求△ABC的面积．18．已知等差数列{b n}满足b n+2n＝2b n﹣1+4（n＝2，3，…），数列{a n}的前n项和记为S n，且S n＝2n﹣1．（1）分别求出{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝，求{c n}的前n项和T n．19．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）若y关于t的线性回归方程为y＝bt+2.3，根据图中数据求出实数b并预测2021年该地区农村居民家庭人均纯收入；（2）在2014年至2020年中随机选取三年，记X表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数，求X的分布列和E（X）．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PD的中点．（1）证明：直线EF∥平面PAB；（2）设二面角E﹣FD﹣A为30°，且AC＝AB＝，AD＝2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2＝k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．22．设函数f（x）＝lnx﹣﹣a在开区间（1，）内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1∈（0，1），x2＝（1，+∞）．求证：f（x1）﹣f（x2）＞2ln2+．参考答案一、单选题（共8小题）.1．已知集合A＝，则A∩B为（）A．∅B．{1}C．[0，+∞）D．{（0，1）}解：由集合A中的函数y＝，得到1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，又x∈Z，则集合A＝{﹣1，0，1}；由集合B中的函数y＝x2+1≥1，且x∈A，得到集合B＝{1，2}，则A∩B＝{1}．故选：B．2．设复数满足（1+2i）z＝i，则|z|＝（）A．B．C．D．5解：（1+2i）z＝i，则z＝＝＝＝+i，则|z|＝＝，故选：B．3．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为（）A．32或5B．16或2C．16D．32或5或4解：根据题意，正整数m经过5次运算后得到1，所以正整数m经过4次运算后得到2，经过3次运算后得到4，经过2次运算后得到8或1（不符合题意，舍去），经过1次运算后得到16，可得正整数m的值为32或5，故选：A．4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不给予优惠；（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（）A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为423÷0.9＝470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470＝638元的商品时，应付款为：500×0.9+（638﹣500）×0.7＝450+96.6＝546.6（元）．故选：C．5．若数列{a n}为等比数列，则“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”是“a3＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：数列{a n}为等比数列，“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”，∴＝1，∴“a3＝±1”；反之，满足“a3＝±1”的一元二次方程有无数个，∴“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”是“a3＝±1”的充分不必要条件．故选：A．6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣2+3）B．（﹣∞，﹣2+3）C．（﹣，4﹣）D．（﹣∞，4﹣）解：设C（x1，y1），D（x2，y2），∵F在以线段CD为直径的圆的外部，∴＞0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，于是（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝4x1x2﹣（a+3）（x1+x2）+3+a2＞0设l的方程为：y＝（x﹣a），代入抛物线方程，得x2﹣（2a+12）x+a2＝0，∴x1+x2＝2a+12，x1x2＝a2，∴4x1x2﹣（a+3）（x1+x2）+3+a2＝3a2﹣18a﹣33＞0，故a＞2+3或a＜﹣2+3，又△＝（2a+12）2﹣4a2＞0，得到a＞﹣3．∴﹣3＜a＜﹣2+3．故选：A．7．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种解：根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C32×C21×C21＝12种乘坐方式；②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C31×C21×C21＝12种乘坐方式；则共有12+12＝24种乘坐方式；故选：B．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，平面α与正方体相交，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面α的距离等于d（0＜d＜），那么下列结论中一定正确的是（）A．m≠6B．m≠5C．m≠4D．m≠3解：如图（1），恰好有3个点到平面α的距离为d；如图（2），恰好有4个点到平面α的距离为d；如图（3），恰好有6个点到平面α的距离为d．结合选项，故m≠5．故选：B．二、多选题；本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷：专题13 统计、统计案例与概率(A卷)(含解析)

2021年全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷（理科）专题13 统计、统计案例与概率（A卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、A B C标识的饮料数量之比标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）A．2 B．4 C．6 D．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（）A．39人B．49人C．59人D．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：号分别为001,002,,599,60032 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（） A ．270,75x s =C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x （万件） 14 16 182022单位成本y （元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（） A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（） A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 123 4利润y /万元5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈，根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0100.0050.0016.6357.87910.828P K kk≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于3的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②bx y ae =1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．x y u1021()ii xx =-∑()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii x x uu =--∑表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．专题13 统计、统计案例与概率答案+解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110，1120，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110，1120，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦，故275s <．故选A ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85，故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确；甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误；甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确；故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x，1210733255a ay ， x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y ，则32=7.45a，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是14，故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =，由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954yx =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=，同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=，又，∴()212222ππMONS =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35．【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）．（2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ，则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6．【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==．（2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=，所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i ii x y x yb x x--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-．（2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈．其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大，最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=．答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握．【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725，又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35．【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2，选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析．【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的计算(含答案)

《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数．（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++；（2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ；（4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -，所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=，故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-，所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+，由题意可得()12243n+=，解得5n =，所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+，令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+，所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+，因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+，即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。

高考数学复习双基统一测试试题及参考答案

高考数学复习双基统一测试试题本试卷分第I 卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(球的体积公式：334R V π=（其中R 表示球的半径）球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

.1．已知全集},,{},,{},,,,,{e b a B c b A e d c b a U ===集合，则（）∩B= （）A ．{e a ,}B ．},,{d c bC ．},,{e c aD ．}{c2．过点P （－2，4）作圆25)1()2(:22=-+-y x C 的切线l ，直线03:=-y ax m 与直线l 平行，则a 的值是（）A ．2B ．58 C ．512 D ．43．若关于x 的不等式042≥--a x x ，对任意]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值范围是（）A ．4-≥aB ．3-≥aC ．03≤<-aD ．3-≤a4．已知向量a =（λ，－2），b =（－3，5），且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（） A ．),56()56,310(+∞⋃- B ．)310(∞+-C ．)310,(--∞D ．]310,(--∞5．如图，都不是正四面体的表面展开图的是（）A ．①⑥B ．④⑤C ．②③D ．④⑥6．已知a >b >c >0，t 是方程02=++c bx ax 的实根，则t 的取值范围是（）A ．（－∞，－1）B ．（－1，0）C ．（0，1）D ．（1，+∞）7．正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则这个正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（）A ．2:3B ．1:2C ．1:3D ．3:2 8．要得到函数)42cos(π-=xy 的图象，只需将y=sin2x的图象（）A ．向左平移2π B ．向右平移2π C ．向左平移4πD ．向右平移4π 9．已知点P 在曲线323+-=x x y 上移动，若经过点P 的曲线的切线的倾斜角为α，则a 的取值范围是（）A ．),43[)2,0[πππ⋃ B ．),65[)2,0[πππ⋃C ．),43[ππD ．]43,0[π10．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+…+2n －1），…的前n 项和等于（）A ．2nB ．2n －nC ．2n+1 －n －2D ．n·2n11．（理科答）甲、乙两名篮球队员轮流投篮至某人投中为止。

2021年高三数学上学期第一次双基检测试卷文(含解析)

2021年高三数学上学期第一次双基检测试卷文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=（）A．∅B． {x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜1} D． R2．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A． r2＜r4＜0＜r3＜r1B． r4＜r2＜0＜r1＜r3C． r4＜r2＜0＜r3＜r1D． r2＜r4＜0＜r1＜r34．有以下四个命题p1：∃x∈（﹣∞，0），4＜5，p2：在锐角三角形ABC中，若tanA＞tanB，则A＞B；p3：∃x∈R，cosx0≥1；p4：∀x∈R，x2﹣x+1＞0其中假命题是（）A． p1B． p2C． p3D． p45．已知向量=（λ，1），向量=（2，1+λ），且与﹣垂直，则λ的值为（）A． 0 B． 0或3 C．﹣3或0 D． 46．已知双曲线﹣=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D． 47．设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（）A．﹣3 B． 3 C． 6 D． 128．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，S4=，则S n（）A．B．C．D． 2n﹣39．已知棱长为四面体ABCD的各顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．πC．πD．3π10．执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（）A． [6，23] B．（12，25] C．（14，26] D． [25，52]11．一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 16 B． 20 C．D．12．已知函数f（x）=|2x﹣2|，若m≠n，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=x+在点（1，2）处的切线方程为．14．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+n（n∈N*），则a n的最小值是．15．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜），当x=π时，f（x）取最大值，则f （x）在[﹣π，0]上的单调增区间是．16．已知抛物线y2=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为．三、解答题（共6小题。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题二不等式2.1不等式及其解法试题含解析

专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系，会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用。

常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容，在选择题、填空题中，常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值；在解1。

不等式的性质及不等式的解法难度较小，对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论（特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题)。

2.对于利用基本不等式求最值的问题，要学会配凑方法,将之表示成“和定"或“积定"的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3。

对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法（比如分离参数法等）上，而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题，积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小）应用值问题。

答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.【真题探秘】§2.1不等式及其解法基础篇固本夯基【基础集训】考点一不等式的性质1。

若a〉b>0,c〈d〈0，则一定有（)A.ac >bdB。

ac〈bdC.ad>bcD。

ad〈bc答案D2.已知实数a=ln22，b=ln33,c=ln55，则a ，b,c 的大小关系是( )A 。

a<b<c B.c 〈a<b C.c<b 〈a D 。

b<a<c 答案 B3。

若a 〈0,b<0，则p=b 2a+a 2b与q=a+b 的大小关系为 .答案 p≤q考点二不等式的解法4.不等式x 2+2x —3≥0的解集为（）A.{x ｜x≤—3或x≥1} B 。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题十一概率与统计11.4抽样方法与总体分布的估计试题含解析

§11。

4 抽样方法与总体分布的估计基础篇固本夯基【基础集训】考点一随机抽样1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性（）A。

与第几次有关,第一次可能性最大 B。

与第几次有关，第一次可能性最小C.与第几次无关，与抽取的第几个样本有关D.与第几次无关，每次可能性相等答案D2.某单位员工按年龄分为A，B，C三组,其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是1，则该单位员工总数为45(）A。

110B。

100 C.900D。

800答案B3.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示。

若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩,按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手"称号的人数为(）A.2B.4C.5D。

6答案B4.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工人.答案10考点二用样本估计总体5.甲、乙两组数据如茎叶图所示,则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（)A。

极差 B.方差C。

平均数 D.中位数答案C6。

为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,已知甲地该月5天11时的平均气温比乙地该月5天11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月5天11时的气温数据的标准差为()甲乙9 82 6 892 m 03 1 1 A 。

2 B 。

√2 C 。

10 D 。

√10答案 B7.某种产品的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试10对数与对数函数含解析人教B版

考点测试10 对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6答案 D解析由对数的运算公式和换底公式可得log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝2log 23×log 24log 23＋log 5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．－1B ．1C ．－12D ．22答案 A解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，故选A. 3．函数f (x )＝lg (x ＋1)＋lg (x －1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C解析函数f (x )的定义域为{x |x >1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C.4．若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．1 B ．0或18C ．18D ．log 23答案 D解析由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0,2x＝3，x ＝log 23.故选D.5．已知a ，b ，c 分别是方程2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，log 2x ＝x 的实数解，则( ) A ．b <c <a B ．a 0，得a <0，由log 2b ＝－b <0，得00，得c >1，综上可知，a m ＋n >mnB ．m －n >mn >m ＋nC ．m ＋n >m －n >mnD ．mn >m －n >m ＋n答案 A解析 m ＝log 0.30.6>log 0.31＝0，n ＝12log 20.6<12log 21＝0，mn <0.1m ＋1n ＝log 0.60.3＋log 0.64＝log 0.61.2<log 0.60.6＝1，即m ＋nmn<1，故m ＋n >mn .又(m －n )－(m ＋n )＝－2n >0，所以m －n >m ＋n .故m －n >m ＋n >mn ，所以选A.7．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 4256＝( ) A.3＋ab1＋a ＋abB ．3a ＋ba ＋a 2＋bC.3＋b1＋a ＋bD ．1＋a ＋ab 3＋ab答案 A解析 log 4256＝log 256log 242＝3＋log 271＋log 23＋log 27＝3＋log 23·log 371＋log 23＋log 23·log 37＝3＋ab1＋a ＋ab.故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1,2)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，若f (a )≥1，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，e a －1≥1，可得1≤a ＜2；解⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3a 2－1≥1，可得a ≥2.综上a ≥1.故选B.9．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则x 3，y 5，z 2中最小的是( ) A ．z 2B ．y 5C ．x 3D ．三个数相等答案 C解析因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，不妨设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t >0，x ＝2t，y ＝3t，z ＝5t，所以x 3＝23t＝8t ，y 5＝35t ＝243t ，z 2＝52t ＝25t，又y ＝x t 在(0，＋∞)上单调递增，故x 3最小．故选C.10．计算：912－log95＝________.答案 35解析 912－log 95＝912×9－log 95＝3×15＝35.11．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.12．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.答案 9解析因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19.此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.二、高考小题13．(2019·天津高考)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.14．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.15．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x )答案 B解析函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于直线x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B.16．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.三、模拟小题19．(2020·湖南湘潭高三阶段测试)如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q的值为( )A.14 B ．4 C ．6 D ．4或1答案 B解析由题意知P >0，Q >0，P >2Q .由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q 可得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )，所以(P －2Q )2＝PQ ，可化为P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，又因为Q >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q 2－5P Q＋4＝0，解得P Q ＝4或P Q＝1(舍去)．故选B.20．(2019·广州市高三年级调研)已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 2，所以c <a <b .故选B.21．(2019·大庆模拟)设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，若a ＋b ≥0，则( )A ．f (a )＋f (b )≤0B ．f (a )＋f (b )≥0C ．f (a )－f (b )≤0D ．f (a )－f (b )≥0答案 B解析设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，其定义域为R ，f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )在R 上单调递增，那么a ＋b ≥0，即a ≥－b 时，f (a )≥f (－b )，得f (a )≥－f (b )，可得f (a )＋f (b )≥0.故选B.22．(2019·安庆二模)若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m <n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D ．答案 D解析函数f (x )＝log a x 的定义域与值域相同等价于方程log a x ＝x 有两个不同的实数解．因为log a x ＝x ⇔ln x ln a ＝x ⇔ln a ＝ln x x ，所以问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln x x 的图象有两个交点．作函数y ＝ln x x 的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a ＜1e 时，即1＜a ＜e 1e 时，直线y ＝ln a 与函数y ＝ln xx的图象有两个交点．故选D.23．(2019·陕西咸阳高三联考)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案 A解析因为f (x )＝x ·ln 1＋x1－x＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]，所以f (－x )＝(－x )[ln (1－x )－ln (1＋x )]＝x [ln (1＋x )－ln (1－x )]＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π.当0<x <1时，易知f (x )为增函数．又0<14<1π<1e <1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，即c <a <b ，故选A.24．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________．答案 (16,36)解析作出函数f (x )的图象如图所示．当x ＞4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知0＜a ＜2＜b ＜4,4＜c ＜9，由f (a )＝f (b )，得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ，因为4＜c ＜9，所以16＜4c ＜36，即16＜abc ＜36，所以abc 的取值范围是(16,36)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2020·湖北黄冈摸底)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )] ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 2．(2019·福建漳州模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12019＝0.(2)函数f (x )存在最小值．f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1，当x ∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时，f (x )单调递减． ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .3．(2019·渭南模拟)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，∴x ＋1x －1>m x －17－x>0恒成立， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0,7)．4．(2019·大庆模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)当a >1时，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， ∴a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，又h (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a的取值范围为(2，＋∞)．。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题6.3 等比数列及其前n项和(测)

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 【2022届陕西省高三下学期教学质检二数学（理）】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若321510,9S a a a =+=，则1a =（）。

A ．19 B ．19- C ．13D ．13-【答案】A 【解析】试题分析：由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==+91041211q a q a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==3911q a ,应选A 。

2.【2022届福建厦门外国语学校高三5月适应性数学】我国明朝有名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。

诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有（）盏灯。

A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】B【解析】3. 【海淀区高三年纪其次学期其中练习】在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（）A ．31B ．36C ．42D ．48 【答案】A【解析】由已知得，3564a a ⋅=，又3520a a +=，则354,16a a ==，故24q =，2q =，11a =，所以55123112S -==-.5. 【改编题】函数21(3)y x =--图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不行能．．．成为公比的数是（） A ．21B 2．1 D ．33【答案】A【解析】函数21(3)y x =--2，最大值为4，故2122q ≤≤，即22q ≤≤122<，因此选A. 6.【2022届四川凉山州高三第三次诊断数学】《庄子·天下篇》中记述了一个有名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( )A ．21111122222n n +++⋅⋅⋅+=- B ．211112222n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅<C ．21111222n ++⋅⋅⋅+=D ．21111222n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅<【答案】D 【解析】试题分析：据已知可得每次截取的长度构造一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 21111112222n n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-<.故反映这个命题本质的式子是21111222n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅<.故选D7.【2022届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学】在等比数列{}n a 中，若720,2n a a >=，则31112a a +的最小值为（）A ．22B ．4C ．8D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由于720,2n a a >=，所以由基本不等式可得，231131171222224a a a a a +≥==，故选B. 8.【2022年高考冲刺卷（5）【浙江卷】理科】已知S n 是单调递减的等比数列{a n }的前n 项和，则（）A ．S 2m ·S 2n ≤2n m S +，S 2m +S 2n ≤2S m +n B ．S 2m ·S 2n ≤2n m S +，S 2m +S 2n ≥2S m +n C ．S 2m ·S 2n ≥2n m S +，S 2m +S 2n ≤2S m +nD ．S 2m ·S 2n ≥2n m S +，S 2m +S 2n ≥2S m +n【命题意图】这是一道数列的问题，主要考查了等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式以及不等式等基础学问，还考查了基本运算力量．【答案】B9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （） A.3 B.4C.5D. 6【答案】C【解析】由已知得，116m m m S S a --==-，1132m m m S S a ++-==，故公比2q =-，又11m m a a qS q-=-11=-，故11a =-，又1116m m a a q-=⋅=-，代入可求得5m =． 10.【2022届河北省衡水高三下练习五】在等比数列{}n a 中，若25234535,44a a a a a a =-+++=，则23451111a a a a +++=（） A ．1 B ．34- C ．53- D ．43- 【答案】C 【解析】试题分析：由于数列{}n a 为等比数列，所以2534234523452534251111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+=⋅⋅⋅ 554334==--，故选C ．11．若数列{}n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列{}n a 为“等比和数列”，k 称为公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中11a =，22a =，则2015a = （）A. 1B. 2C. 10062D. 10072【答案】D 【解析】所以100720152=a .12．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =是数列{}n a 的前n 项的和，则*216()3n n S n N a +∈+的最小值为（）A ．4B ．3C ．232-D ．92【答案】A ．【解析】试题分析：∵11a =，1313,,a a a 成等比数列，∴2(12)1(112)d d +=⋅+．得2d =或0d =（舍去），∴21n a n =-，∴2(121)2nn n S n +-==，∴2216216322n n S n a n ++=++．令1t n =+，则216926243n n S t a t +=+-≥-=+，故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 【改编题】设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，若,13221=+a a 433a a =，则=+n n a S 2 ．【答案】1【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，由已知得，4313a q a ==，故1112313a a +⋅=，解得113a =，故 11332211113nn n n n n a S a a a a -+=+=-+=-．14. 【改编题】已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12ab b +的值为 .【答案】310．【解析】1,,9a 成等比数列，219,3a a ∴=⨯∴=．又121,,,9b b 是等差数列，121231910,10a b b b b +=+=∴=+． 15.【2022届上海市七宝高三模拟理科数学试卷】设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x （*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值________.【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可）【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时xx x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .16．已知{}n a 满足()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=+=N n a a a nn n 41,111， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________．【答案】n ．【解析】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2022全国丙17】（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和1n S a =+，1n n S a λ=+.其中0λ≠. （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ. 【答案】（1）()1*111n n a n λλλ-⎛⎫=∈ ⎪--⎝⎭N ；（2）1λ=-.【解析】（1）由题意得1111a S a λ==+，故1λ≠，111a λ=-，10a ≠. 由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+，得11n n n a a a λλ++=-，即()11n n a a λλ+-=.由10a ≠，0λ≠，得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-.因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列. 于是()1*111n n a n λλλ-⎛⎫=∈ ⎪--⎝⎭N .（2）由（1）得11nn S λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.由53132S =，得5311132λλ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，即51132λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得1λ=-. 18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T故数列{n a }的通项公式为n a =131-n （n *N ∈） ………………6分（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+1312--n n ①31n T =31+233+335+…+1332--n n +n n 312- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －nn 312-=12+（31+231+331+⋯+131-n ）－nn 312- =12+311)311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －n n 312-,所以nT =3－131-+n n . 19．各项为正的数列{}n a 满足112a =,21,()n n n a a a n λ*+=+∈N ，（1）取1n a λ+=，求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求其公比；（2）取2λ=时令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．【答案】(1) 证明见解析，公比为1+52（2）定值为2 【解析】（2）由21111122222()n nn n n n n n n n a a a a a a a b a a +++=+⇒=+⇒==+ 所以+1121122311111111122222()()()()()()()n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a +++=⋅=== 211+1+1122111===222n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a a a a a +++-=-所以12111111=2n n n n S a a a a a a ++=+++=--，故+12n n n T S +2=为定值． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．【答案】（Ⅰ)详见解析; （Ⅱ) 6116. 【解析】试题解析：（Ⅰ)由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311(2)n n a a a a n a n -+++++-=≥ ，两式相减得121n n a a +=+，所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)，由于10a =，所以111a +=，21211a a =+=，2112(1)a a +=+ 所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列（Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，由于点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+，又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=，故当3n ≤时，25{4}2nn --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=；当4n ≥时，25{4}2nn --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=；则2542nn --的最小值为6116，所以实数m的最大值是6116 21.【2022届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四理数学试卷】已知等比数列{}n a 中，11a =，且()24331a a a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32333431log log log log n n b a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）13n n a -=；（2）21nn +．【解析】试题分析：（1）用公比q 表示出234,,a a a ，即可求出q ，从而得通项公式；（2）由（1）13n n a -=，因此故()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭12111111111122211223111n n b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn +． 22.【2022届湖南师大附中高三上学期月考六数学（理）试卷】设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2nnS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，推断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=- 【解析】试题分析：（1）已知可得121242n n n a --=⋅=2log 21n a n ⇒=-()21212n n S n n +-⇒=⋅=24n n SS ⇒=；（2）由已知可得前n 项和()122n n n n d -T =+()()()()222148*********n n n n n d n d p n n n d n d-++-T ⇒===-T +-+恒成立()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d-++-T ==-T +-+由于{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n dp n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩由于0d ≠，则4p =，4d =所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-。

2021届全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷：专题06 平面向量(A卷)(含解析)

17．（10分）已知向量，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，，设，．
（1）用向量表示向量，，；
（2）若，，与的夹角为，求的值．
19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，．
（1）若，求的值；
又，，故，
，
．
（2），故答案为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，．
可得，，∴ ．
（2）因为，，所以，
所以，
因为，所以，的最大值．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵ ，，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，，
因为，则，解得，所以答案选B．
3．【答案】B
【解析】，，
，
故选B．
4．【答案】B
【解析】根据向量的投影公式可知，向量在向量方向上的投影为，故选B．
5．【答案】B
【解析】存在实数，使得，说明向量，共线，
当，同向时，成立，
当，反向时，不成立，所以充分性不成立．
当成立时，有，同向，存在实数，使得成立，必要性成立，
6．已知非零向量，，若，，则向量和夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
7．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（）
A． B． C． D．
8．设D为所在平面内一点，，若，则（）
A．2B．3C． D．
9．在四边形中，，，，那么四边形的形状是（）

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第六章立体几何考点测试含解析新人教B版

考点测试44 空间点、直线、平面间的位置关系高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、解答题，分值为5分或12分，中等难度考纲研读1．理解空间直线、平面位置关系的定义2．了解可以作为推理依据的公理和定理3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题一、基础小题1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析c与b可能相交，可能异面，不可能平行，若c∥b，c∥a，则a∥b或a与b重合，与已知矛盾．故选C.2．下列命题中正确的个数为( )①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析①②都正确．空间中不共面的五个点不一定能确定10个平面，比如四棱锥中五个点最多可确定7个平面，所以③错误．故选C.3．下面四个说法，正确的有( )①如果两个平面有四个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④在空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析①若四个公共点不在同一条直线上，则这两个平面重合，若四个公共点在同一条直线上，则这两个平面可能相交；②两条异面直线不能确定一个平面；③若M∈α，M∈β，则M是平面α与β的公共点，又α∩β＝l，则M∈l；④在空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，故选A.4．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行C．垂直D．异面答案 C解析当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直．所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．5．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝F，DC1∩CD1＝E，则直线EF是平面ACD1与( )A．平面BDB1的交线B．平面BDC1的交线C．平面ACB1的交线D．平面ACC1的交线答案 B解析连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故平面ACD1∩平面BDC1＝EF.故选B.6．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案 A解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面．所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．同理，O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．所以A，M，O三点共线．7．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为( )A．90° B．60°C．45° D．30°答案 C解析如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，则O是AC，BD的中点，又E是PC的中点，∴OE∥AP，∴∠OEB为异面直线PA与BE所成的角(或其补角)．∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，则∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.又PA ＝2，∴OA＝OB＝1，OE＝1，∴在Rt△OBE中，∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°，故选C.8．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A.64B．63C．26D．36答案 A解析如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1C∥A1D，∴∠C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1＝AB＝3，AD＝1，∴A1D＝2，C1D＝6，A1C1＝2，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝C1D2＋A1D2－A1C21 2C1D·A1D ＝64，故选A.9．如图，四边形ABCD 和四边形ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案π3解析如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，AG ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.10. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(填序号)．答案 ③④解析直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 11. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱A 1D 1，C 1D 1的中点，过M ，N ，B 三点的截面与平面BCC 1B 1的交线为l ，则直线l 与AD 所成角的余弦值为________．答案31313解析如图，在平面ABCD 中，过B 作BE ∥AC ，交DC 延长线于点E ，连接BM ，BN ，NE ，NE 交CC 1于点F ，连接BF ，则BF 就是过M ，N ，B 三点的截面与平面BCC 1B 1的交线l ，由题意得CE ＝DC ＝2NC 1，∴CF ＝2C 1F ，∵BC ∥AD ，∴∠FBC 是直线l 与AD 所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，则BC ＝3，CF ＝2，BF ＝9＋4＝13，∴cos ∠FBC ＝BCBF＝313＝31313.∴直线l 与AD 所成角的余弦值为31313.12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为AA 1，AB 的中点，M 点是正方形ABB 1A 1内的动点，若C 1M ∥平面CD 1E ，则M 点的轨迹长度为________．答案2解析如图所示，取A 1B 1的中点H ，B 1B 的中点G ，连接GH ，C 1H ，C 1G ，EG ，HF .可得四边形EGC 1D 1是平行四边形，∴C 1G ∥D 1E . 同理可得C 1H ∥CF . ∵C 1H ∩C 1G ＝C 1，∴平面C 1GH ∥平面CD 1E ， ∵M 点是正方形ABB 1A 1内的动点，若C 1M ∥平面CD 1E ，∴点M 在线段GH 上． ∴M 点的轨迹长度GH ＝12＋12＝ 2. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线答案 B解析解法一：取CD 的中点O ，连接EO ，ON . 由△ECD 是正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD 知EO ⊥平面ABCD .∴EO ⊥CD ，EO ⊥ON .又点N 为正方形ABCD 的中心，∴ON ⊥CD .以CD 的中点O 为坐标原点，OD →，O N →，OE →的方向分别为x 轴正方向，y 轴正方向，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图1所示．不妨设AD ＝2，则E (0,0，3)，N (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，B (－1,2,0)， ∴EN ＝ 12＋－32＝2，BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋4＋34＝7， ∴EN ≠BM .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN ，∴BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．故选B.解法二：如图2，取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB .∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD .∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3，∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2. ∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF 且MG ＝12EF ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7.∴BM ≠EN .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN ，∴BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．故选B.14．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A ．B ．32 C ．52D ．72答案 C解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成的角为∠EAB ，设正方体的棱长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE ＝a ，所以BE ＝5a ，则tan ∠EAB ＝BEAB＝5a 2a ＝52.故选C.15．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.16．(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( ) A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5答案 B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C，D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.三、模拟小题17．(2019·大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是( )①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④答案 D解析直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．18．(2019·石家庄质检)下列正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )答案 D解析(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对于A，易判断PR∥SQ，故点P，Q，R，S共面；对于B，易判断QR∥SP，故点P，Q，R，S共面；对于C，易判断PQ ∥SR，故点P，Q，R，S共面；而D中的RS，PQ为异面直线．故选D.19．(2019·太原模拟)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，给出下列结论：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．其中正确结论的个数是 ( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)－DEF，如图所示．对于①，M，N分别为EF，AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，故①错误；对于②，易知BD与MN为异面直线，故②正确；对于③，依题意知GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，则A点在平面DEF 上的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AA1F，∴DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确结论的序号是②③④.故选C.20．(2019·衡水模拟)如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝42，若∠BAD＝60°，则异面直线B1C与AD1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，∴BD ＝4.又△BDD 1为直角三角形，∴BD 21＝BD 2＋DD 21，∴DD 1＝4，∴四边形BCC 1B 1为正方形．连接BC 1交B 1C 于点O ，∵BC 1∥AD 1，∴∠BOC (或其补角)为异面直线B 1C 与AD 1所成的角．由于四边形BCC 1B 1为正方形，∴∠BOC ＝90°，故异面直线B 1C 与AD 1所成的角为90°.故选D.21．(2019·山西四校联考)如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是________(填写所有正确说法的序号)．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．答案 ④解析连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以四边形EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 交线上的一点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．故只有④正确．一、高考大题1．(2019·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB ＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.二、模拟大题2．(2020·东北师大附中月考)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥FA且BE＝12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解 (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD . 又BC ∥AD 且BC ＝12AD ， ∴GH ∥BC 且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点， ∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．3．(2020·宁波镇海中学月考)已知△ABC 和△A 1B 1C 1所在平面相交，并且AA 1，BB 1，CC 1交于一点．(1)求证：AB 和A 1B 1在同一平面内；(2)若AB ∩A 1B 1＝M ，BC ∩B 1C 1＝N ，AC ∩A 1C 1＝P ，求证：M ，N ，P 三点共线．证明 (1)如图，∵AA 1∩BB 1＝O ，∴AA 1与BB 1确定一平面，设其为α，又A ∈α，B ∈α，A 1∈α，B 1∈α，∴AB ⊂α，A 1B 1⊂α，∴AB 和A 1B 1在同一平面内．(2)∵AB ∩A 1B 1＝M ，AC ∩A 1C 1＝P ，∴平面ABC ∩平面A 1B 1C 1＝PM ，∵BC ⊂平面ABC ，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，且BC ∩B 1C 1＝N ，∴N ∈PM ，即M ，N ，P 三点共线．4．(2020·武汉第二中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求证：BD⊥PC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.证明(1)如图，连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)因为底面ABCD为菱形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l，所以BC∥l.。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--方程的根问题(含答案)

《导数的综合应用—方程的根问题》考查内容：主要涉及到利用导数解决方程的根（或函数零点）问题注意：复杂的复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数()x f x e x a =--，若函数()y f x =有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞2．若关于x 的方程ln 0kx x -=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(,)e -∞B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,)e3．若函数3269y x x x =-+的图象与直线y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),0-∞B ．()0,4C ．()4,+∞D ．()1,34．若关于x 的方程0x e ax a +-=有实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,0e ⎤-⎦ B ．)20,e⎡⎣C ．(],0e -D ．2,](0,)e -∞-⋃+∞（5．若关于x 的方程有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．6．已知函数()x xf x e=，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（） A ．1(,)e e-+∞B ．1(,)e e-+∞C ．1(,)e e-∞-D ．1(,)e e-∞-7．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭e C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．若函数()32ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．[)1,0-D ．(),0-∞9．已知()2,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f x a =⎡⎤⎣⎦恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是（） A ．(1,)-+∞ B ．(,22ln 2)-∞-C ．(1,2ln 22)--D ．(),2ln 22-∞-10．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为( ) A ．()e -∞，B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，11．方程2ln ln 10x x m x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭有三个不同的解，则m 的取值范围是（） A ．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．1,e e⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭12．已知函数21()(,f x x ax x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()x g x e =的图像上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．1[1,]e e+ B ．1[1,]e e-C ．11[,]e e e e-+D ．1[,]e e e-二．填空题13．关于x 的方程3230x x a --=只有一个实数解，则实数a 的取值范围是___ 14．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___15．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.16．已知函数()ln ,012,0x x x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，若方程()()22104f x af x e ++=⎡⎤⎣⎦有八个不等的实数根，则实数a 的取值范围是_____．三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设函数329()62f x x x x a =-+-. （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.18．已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知函数(),()2ln .mf x mxg x x x=-= （1）当m =2时，求曲线()y f x =在点（1，f (1)）处的切线方程；（2）当m =1时，求证：方程()()f x g x =有且仅有一个实数根；（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()ln 1xf x ae x =--，a R ∈（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围21．已知函数()()22ln f x x a x a x =-++.（1）当2a <且0a ≠时，求函数()f x 的单调区间；（2）若4a =，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，求m 的取值范围.22．已知函数2()ln 23f x x x =-+，()()4ln (0)g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.《导数的综合应用—方程的根问题》解析1.【解析】函数()y f x =有零点等价于方程x e x a -=有解，令()xg x e x =-，()1x g x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0x <时，()0g x '<,函数()g x 单调递减，又(0)1g =，所以1a ≥.故选B2.【解析】由题意得ln x k x =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数,且()0f x >. 所以()f x 有最大值1()f e e=，简图如下，由图可知，1k e<<0时符合题意.故选：C. 3.【解析】函数()3269f x x x x =-+的导数为：()23129f x x x '=-+，()0f x '>解得3x >或1x <，函数递增；()0f x '<解得13x <<，函数递减；即()1f 取得极大值4，()3f 取得极小值0；作出()f x 的图像，作出直线y a =，由图像可得当04a <<时，直线与()f x 的图像有3个不同的交点.故选：B 4.【解析】0(1)xxe ax a e a x +-=⇒=--，当1x =时，0x e =无实数解，不符合题意，故1x ≠.于是有1xe a x =--，令()1x ef x x =--，显然当1x >时，()0f x <；当1x <时，()0f x >.'2(2)()(1)x e x f x x -=--，当2x >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当1,12x x <<<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，因此当1x >时，2max ()(2)f x f e ==-，函数()f x 的图象一致如下图所示：因此要想0x e ax a +-=有实数根，只需方程组：1x e y x y a ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩有交点，如上图，则有实数a 的取值范围是(2,(0,)e ⎤-∞-⋃+∞⎦.故选：D5.【解析】对函数求导，2()330f x x -'==，∴1x =±，当1x <-时，()f x 单调递增，当11x -<<时，函数()f x 单调递减，当1x >时，函数()f x 单调递增，要有三个不等实根，则(1)130f a -=-+->，且(1)130f a =--<，解得22a -<<． 6.【解析】()1'x xf x e-=，当1x <时，()'0f x >，()f x 在()0,e 上为增函数；当1x >时，()'0f x <，()f x 在(),e +∞上为减函数；所以()f x 的图像如图所示又0x >时，()0f x >，又()f x 的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以当0t ≤或1t e=时，方程()t f x =有一个解，当10t e <<时，方程()t f x =有两个不同的解，所以方程1t m t-=即210t mt --=有两个不同的解()12110,,,0t t e e ⎛⎫⎧⎫∈∈-∞⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，令()21g t t mt =--，故()0010g g e ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1m e e <-，故选：D 7.【解析】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，即()()210f x m f x -⋅+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得()2f x m =或()1f x =-，则直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点. 当1x ≥时，()ln x f x x =，()21ln x f x x-'=，令()0f x '=，得x e =. 当1x e ≤<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当x e >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 函数()y f x =的极大值为()1f e e =，且当1x >时，()ln 0x f x x=>，如下图所示：由于关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，由图象可知，直线1y =-与函数()y f x =的图象只有一个交点，所以，直线2y m =与函数()y f x =的图象有3个交点，所以102m e<<，解得102m e <<.因此，实数m 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 8.【解析】由题意，函数的定义域为{}0x x >，又由()32ln 0f x x x x x ax =-+-=，得2ln a x x x =-+，则等价为方程2ln a x x x =-+，在()0,∞+上有两个不同的根，设()2ln h x x x x =-+，()212121x x h x x x x-++'=-+=，由()0h x '>得2210x x -++>得2210x x --<，得112x -<<，此时01x <<，函数()h x 为增函数，()0h x '<得2210x x -++<得2210x x -->，得21x <-或1x >，此时1x >，函数()h x 为减函数，即当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()1ln1110h =-+=，要使2ln a x x x =-+，有两个根，则0a <即可，故实数a 的取值范围是(),0-∞，故选D ．9.【解析】当0x ≤时，20x ≥；当0x >时，e 1x >，()f x ∴值域为[)0,+∞，()2f x a ∴=⎡⎤⎣⎦等价于()f x =()y f x =与y =在平面直角坐标下中作出()f x 图象如下图所示：1>，即1a >，120x x <<，21x ∴=2x e =()1t t =>，1x ∴=2ln x t =，12ln x x t ∴+=令())ln 1g t t t =>，则()122g t t t'==， ∴当()1,4t ∈时，()0g t '>；当()4t ,∈+∞时，()0g t '<，()g t ∴在()1,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，()()42ln 22g t g ∴≤=-，即()12,2ln 22x x +∈-∞-.故选：D .10.【解析】函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解，∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ，∴lnx ＝ax ，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0x e h x h x '∈>，单调递增；()(),0,x e h x +∞'∈<， ()h x 单调递减.()()1max h x h e e ==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e ≤.故选B.11.【解析】令ln x t x =，2ln 1ln ,x xy y x x -'==，当()0,0f x x e '><<，当()0,f x x e '<>， ()f x 递增区间是(0,)e ，递减区间是(,)e +∞，,()x e f x =取得极大值为1e，也为最大值，0,(),,()0x f x x f x →→-∞→+∞→，1,()0x f x >>，当0t ≤或1t e =时，方程ln x t x =有一个解，当10t e <<时，方程ln xt x =有两个解，当1t e >时，方程ln x t x=没有实数解，方程2ln ln 10x x m x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭有三个不同的解，则210t mt --=要有两个实数解，设为12,t t ，121t t =-，必有一个根小于0，只需另一根在1(0,)e，设2211()1,(0)1,()10m g t t mt g g e e e=--=-∴=-->，解得1m e e<-.故选:B.12.【解析】设()f x 的图像上与()g x 的图像上关于y x =对称的点为(),x m ，故2mm x ax x e⎧=-⎨=⎩，消去m 得到2x ax x e -=，两边取对数有：2ln x x ax =-，因为1x e e ≤≤，故2ln x x a x -=，令()2ln x x h x x-=，1x e e ≤≤，则()22ln 1x x h x x+-'=，1x e e ≤≤.令()2ln 1s x x x =+-. 因为()s x 为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，且当1x =时，()10s =,故当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0s x <，当(]1,x e ∈时，()0s x >；所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(]1,x e ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；因为()11h =，()111,h e e h e ee e ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，所以()h x 的值域为11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，故11,a e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦.故选:A.13.【解析】令()323f x x x a =--，则()236f x x x '=-由()0f x '>得2x >或0x <，由()0f x '<得02x <<所以()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减所以()f x 的极大值为()0f a =-，极小值为()24f a =-- 由方程3230x x a --=只有一个实数解可得函数()f x 只有一个零点所以()00f <或()20f >，解得0a >或4a故答案为：()(),40,-∞-⋃+∞14.【解析】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，即函数y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=，解得ln 2x =，所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞，所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞，要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln2k >-．即实数k 的取值范围是(22ln 2,)-+∞. 15.【解析】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>，所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =，又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.16.【解析】当0x >时()'1ln f x x ，=+令()'1ln =0f x x =+，得1=x e ，可知函数()f x 在10e ，⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11=f x f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当0x <时，()12f x x x=++，可知函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()max =10f x f -=；由此作出函数()0120xlnx x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，，的草图，如下图：有图像可知当()10f x e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，有四个不同的x 与f （x ）对应，令()t f x =，又方程()()22104f x af x e ⎡⎤++=⎣⎦有八个不等的实数根，所以22104t at e ++=在10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内有两个不等的实数根12,t t ，令()2214g t t at e =++，可得()222221114102101004a g e e e e ae a e g e ⎧⎛⎫-=++> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎪⎨⎪∆=->⎪⎪⎪=>⎪⎩，得154a e e <<. 故答案为15,4e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭17.【解析】（1）由题意2()3963(1)(2)f x x x x x '=-+=--，因为(,)x ∈-∞+∞，()f x m '≥，即239(6)0x x m -+-≥恒成立，所以8112(6)0m ∆=--≤，可得34m ≤-，所以m 的最大值为34-；（2）因为当1x <或2x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当12x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以当1x =时，()f x 取极大值5(1)2f a =-；当2x =时，()f x 取极小值(2)2f a =-；所以当(2)0f >或(1)0f <时，方程()0f x =仅有一个实根. 所以20a ->或502a -<即2a <或52a >，故a 的取值范围为()5,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 18.【解析】（1）当x ＝2时，f （2）＝7，故切点坐标为（2，7），又∵f ′（x ）＝6x 2﹣6x ．∴f ′（2）＝12，即切线的斜率k ＝12，故曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣7＝12（x ﹣2），即12x ﹣y ﹣17＝0，（2）令f ′（x ）＝6x 2﹣6x ＝0，解得x ＝0或x ＝1 当x ＜0，或x ＞1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数，故当x ＝0时，函数f （x ）取极大值3，当x ＝1时，函数f （x ）取极小值2，若关于x 的方程f （x ）+m ＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m ＜3，即﹣3＜m ＜﹣2 故实数m 的取值范围为（﹣3，﹣2） 19.【解析】（1）m =2时，322()2,'()2,'(1)4,f x x f x f x x=-=+= 切点坐标为（1，0），∴切线方程为44440y x x y =-⇒--=；（2）m =1时，令1()()()2ln h x f x g x x x x=-=--, 则22212(1)'()10x h x x x x-=+-=≥，∴()h x 在（0，+∞）上是增函数又211().()(2)0,()h e h e h x e e=--+<∴在1(,)e e上有且只有一个零点 ∴方程()()f x g x =有且仅有一个实数根；（或说明(1)0h =也可以）（3）由题意知，2ln 2mmx x x--<恒成立，即2(1)22ln m x x x x -<+恒成立，`210x ->则当(1,]x e ∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令222ln ()1x x x G x x +=-，当(1,]x e ∈时，()()22221ln 4()01x x G x x'-+⋅-=<- 则()G x 在(1,]x e ∈时递减，∴()G x 在(1,]x e ∈时的最小值为24()1eG e e =-，则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭. 20.【解析】（1）当1a =时，()ln 1xf x e x =--，()1xf x e x'=-，()11f e =-，()11f e '=-．切线方程为()()()111y e e x --=--，化简得()e 1y x =-．曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-．（2）()ln 1xf x ae x =--，定义域为()0,∞+，函数()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，即方程ln 10x ae x --=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个正根，即y a =与()ln 1x x g x e +=的图象在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，()1ln 1xx x g x e --'=，令()1ln 1x x x ϕ=--，()2110x x xϕ'=--<，所以()x ϕ在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()10ϕ=．所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，中()0x ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增；当(]1,x e ∈时，()0x ϕ<，即()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()max 11g x g e ==．又知10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2e g e e=．结合y a =与()ln 1x x g x e +=图象可知，若有两个交点只需21e a e e≤<．综上可知满足题意的a 范围为21,ee e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 21.【解析】（1）函数()()22ln f x x a x a x =-++的定义域是()0,∞+，()()()()22122222a x x x a x a a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=-++==. ①当0a <时，()0f x '<在(0,1)上恒成立，()0f x '>在()1,+∞上恒成立，()f x 的增区间为[)1,+∞，()f x 的减区间为(]0,1.②当02a <<时，012a<<， ()0f x '>在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和(1,)+∞上恒成立，()0f x '<在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.∴02a <<时，()f x 的增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，()f x 的减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上所述，当0a <时()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，单调递减区间为(]0,1；当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，单调递减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若4a =，()264ln f x x x x =-+，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，等价于()y f x =的图象与直线y m =有三个交点.()()()2221426426x x x x f x x x x x---+'=-+==， ()0f x '>，由()0f x '>解得01x <<或2x <,由()0f x '<，解得12x <<.∴在(]0,1上()f x 单调递增，在[]1,2上()f x 单调递减，在[)2,+∞上()f x 单调递增，∴()24ln 28f =-，()15f =-，又∵当x 趋近于+∞时()f x 趋近于+∞，当x 在定义域()0,∞+内趋近于0时，lnx 趋近于-∞，∴()f x 趋近于-∞， ∴()y f x =的图象与直线y m =有三个交点时m 的取值范围是()4ln 28,5--.22.【解析】（1）依题意，得()()()21212114'4x x x f x x x x x +--=-==，()0,x ∈+∞.令()'0f x >，即120x ->，解得102x <<；令()'0f x <，即120x -<，解得12x >，故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得，()()'4g x f x x alnx =++ 1alnx x=+. 依题意，方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1h x alnx a x =+-存在零点，又()2211'a ax h x x x x -=-+=，令()'0h x =，得1x a=. 当0a <时，()'0h x <，即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，1111111a a h e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111110ae e -=-<-<，所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()'h x ，()h x 随x 的变化情况如表：所以11h a aln a alna a a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤，()110h e a a e e =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.。

高三数学双基考试试题理含解析试题

2021届高三数学双基考试试题理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

第一卷一、选择题〔本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.其中试题1-11中每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的；试题12为多项选择题，有两个选项正确，只选一个且对得2分，有一个错选项得0分〕{}2|3100,A x x x =--<{}|22x B x =<，那么A B =〔〕A. (2,1)-B. (5,1)-C. ∅D. {0}【答案】A 【解析】【分析】先分别求得集合A 与集合B ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{}2|3100,A x x x =--<{}|22xB x =< 即{}|25,A x x =-<<{}|1B x x =<由交集运算可得{}{}{}|25|1|21x x x x x A x B =-<<⋂<=-<<应选:A【点睛】此题考察了一元二次不等式与指数不等式的解法,交集的运算,属于根底题.1i z =--，那么在复平面内z 对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据一共轭复数的定义,可先求得z ,进而得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】1i z =--由一共轭复数的定义可知1i z =-+z 在复平面内对应点为()1,1-所以z 在复平面内对应点在第二象限应选:B【点睛】此题考察了一共轭复数的定义,复数在复平面内的几何意义,属于根底题. 3.命题“2,40x x ∀∈-≥R 〞的否认是〔〕 A. ,x ∀∈R 240x -≤ B. ,x ∀∈R 240x -< C. ,x ∃∈R 240x -≥ D. ,x ∃∈R 240x -<【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否认形式,即可求解.【详解】由全称命题的否认,“2,40x x ∀∈-≥R 〞的否认为,x ∃∈R 240x -< 应选:D【点睛】此题考察了含有量词的命题的否认,全称量词的否认形式,属于根底题.y 〔件〕与销售价格x 〔元/件〕的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，那么其回归方程可能是〔〕A. 10198ˆyx =-- B. 10198ˆyx =-+ C. 10198ˆyx =+ D. 10198ˆyx =- 【答案】B 【解析】根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故B 满足题意应选B ．l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，那么b 与c 所成的角的大小为〔〕 A. 120° B. 90°C. 60°D. 30°【答案】C 【解析】【分析】,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥，所以,b c 分别是平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为60°，,b c 的夹角为060或者0120，因为异面直线所的角为锐角或者直角，所以b 与c 所成的角为060.应选:C.【点睛】此题考察二面角与二面角平面的法向量的关系，属于根底题. 6.以下四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是〔〕 A. cos y x = B. 2|sin |y x =C. cos 2x y =D. tan y x =【答案】B 【解析】【分析】根据解析式,判断出最小正周期,及函数的单调递减区间,即可判断. 【详解】对于A, cos y x =的最小正周期为2π,所以A 错误;对于B,结合函数图像可知2sin y x =的最小正周期为π,在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以B 正确;对于C, cos 2x y =的最小正周期为4π,所以C 错误; 对于D,tan y x =的最小正周期为π,在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项. 应选:B【点睛】此题考察了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于根底题. 7.“剑桥学派〞创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的〞；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割〞给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图〞.“弦图〞是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，那么sin 2α等于〔〕A.35B.45C.725D.2425【答案】D 【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b .根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得a 与b 的关系,进而求得sin α和cos α, 再由正弦的二倍角公式即可求得sin 2α.【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b ,即a b < 因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1 所以大正方形的边长为5 由勾股定理可知2225a b += 每个直角三角形的面积为()125164⨯-= 所以162ab = 那么2225162a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解方程组可得34a b =⎧⎨=⎩所以34sin ,cos 55αα== 由正弦的二倍角公式可知3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯= 应选:D【点睛】此题考察了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于根底题.l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，那么弦AB 中点M 的横坐标是〔〕 A. 3 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线方程画出图像,结合抛物线定义及梯形中位线性质,即可求得AB 中点M 的横坐标. 【详解】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点那么其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如以下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 那么826MH MN NH =-=-=即M的横坐标是6应选:C【点睛】此题考察了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于根底题.9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅HY展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，那么气体费用最少为〔〕元A. 4500B. 4000C. 2880D. 2380【答案】B【解析】【分析】根据题意,先求得正四棱柱的底面棱长和高,由体积公式即可求得正四棱柱的体积.减去文物的体积,即可求得罩内的气体体积,进而求得所需费用.+⨯=所以由正方形与圆的位置关系可知,底面正方形的边长为0.920.3 1.5m+=所以正四棱柱的高为1.80.22m那么正四棱柱的体积为23=⨯=1.52 4.5V m因为文物体积为30.5m所以罩内空气的体积为34.50.54m -= 气体每立方米1000元所以一共需费用为410004000⨯=元应选:B【点睛】此题考察了棱柱的构造特征与体积求法,由空间位置关系求得棱柱的棱长,属于根底题.1,F 2F 是双曲线2222,1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，假设126PF PF a +=，且12F PF ∠为120︒，那么双曲线C 的离心率为〔〕【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线定义及126PF PF a +=,可用a 分别表示出12PF PF 、,在12F PF ∆中应用余弦定理可得a c 、的关系,进而求得双曲线的离心率.【详解】设1,F 2F 分别是双曲线2222,1x y C a b-=的左右两个焦点,P 为双曲线右支上一点由双曲线定义可知122PF PF a -= 而126PF PF a +=所以121262PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩因为12120F PF ∠=,122F F c = 所以在12F PF ∆中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠代入可得222416442122c s 0o c a a a a =⨯⨯⨯+-化简可得227c a =所以双曲线的离心率为e ==应选:D【点睛】此题考察了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法,属于根底题.11.在发生某公一共卫惹事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间是内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人〞.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为3，中位数为4；乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丙地：总体平均数为2，总体方差为3；丁地：中位数为2，众数为3；那么甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是〔〕 A. 甲地 B. 乙地C. 丙地D. 丁地【答案】C 【解析】【分析】平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因此可能会出现超过7人的情况;方差表达的是数据的离散情况,不知道方差的详细值,不能判断是否出现超过7人的情况;众数是出现次数多的数据,不能限制极端值的大小.【详解】对于甲地, 总体平均数为3,中位数为4.平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因此可能会出现超过7人的情况,所以甲地不符合要求;对于乙地, 总体平均数为1,总体方差大于0.没有给出方差详细的大小,假如方差很大,有可能出现超过7人的情况,所以乙地不符合要求;对于丁地：中位数为2,众数为3. 中位数与众数不能限制极端值的大小,因此可能出现超过7人的情况,所以丁地不符合要求; 对于丙地,根据方差公式()()()2222123110s x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦.假设出现大于7的数值m ,那么()()()22222312 3.610s m x x x x ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅>⎢⎥⎣⎦,与总体方差为3矛盾,因此不会出现超过7人的情况出现.综上可知,丙地符合要求. 应选:C【点睛】此题考察了平均数、众数、中位数与方差表示数据的特征,对数据整体进展估算,属于中档题.()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象上任意两，且函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 10x <B. 101x <<C.21x x 最大值为e D. 12x x 最大值为e【答案】D 【解析】【分析】根据12x x <,分三种情况讨论: 121x x <≤,121x x ≤<或者121x x ≤<.对函数()f x 求导,由导数的几何意义及函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直,即可得12x x 、的关系,进而判断选项即可.【详解】因为1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩,点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <所以,1'()1,1x e x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩因为()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直由导数几何意义可知, ()f x 在点A 和点B 处的切线的斜率之积为1- 当121x x <≤时,满足()()121x xe e -⨯-=-,即12121x x x x e e e +⨯==-因为120x x e +>121x x <≤时使得()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直当121x x ≤<时,满足()1211xe x -⨯=-,即12x e x =.因为21>x ,所以11x e >所以1>0x ,所以A 、B 错误;对于C,可知1211x x e x x =,令()xe g x x=,()1x ≤ 所以()()221''x xx x e x e xe e g x x x x ⎛⎫--===⎪ ⎪⎝⎭令()'0g x =,得1x =所以当1x <时, ()'0g x <,那么()xe g x x=在1x <时单调递减所以()x e g x x =在1x =时获得极小值,即最小值为()1min 11e g e ==,无最大值,所以C 错误;对于D,可知1121xx x x e =⋅ 令()xh x xe =,()1x ≤那么()'xxh x e xe =+令()()'10xh x e x =+=,解得1x =-所以当1x <-时, ()'0h x <,那么()xh x xe =在1x <-时单调递减当11x -<≤时, ()'0h x >,那么()xh x xe =在11x -<≤时单调递增所以()xh x xe =在1x =-时获得极小值,即最小值为()min 11h e-=-.当1x =时获得最大值, ()max 1h e =,所以D 正确. 当121x x ≤<时,满足12111x x ⨯=-,即121x x ⋅=- 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D 为正确选项. 应选:D【点睛】此题考察了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于难题.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题纸上，16题第一空2分，第二空3分〕a ，b 的夹角为,4π||2,a =||2b =，那么a b ⋅=________.【答案】2. 【解析】【分析】根据向量数量积的定义,可直接求得a b ⋅. 【详解】设向量a ,b 的夹角为α由向量数量积定义可知||||cos a b a b α⋅⋅= 代入可得22cos24a b π⋅⨯==故答案为:2【点睛】此题考察了向量数量积的定义及求法,属于根底题.R 上的奇函数()x x f x e ae -=+，那么a 的值是________.【答案】-1. 【解析】【分析】根据定义域为R 的奇函数满足(0)0f =,代入即可求得a 的值. 【详解】因为()xxf x e ae -=+是定义在R 上的奇函数所以满足(0)0f =代入可得001(0)0f e ae a -=++== 解得1a =- 故答案为:1-【点睛】此题考察了奇函数的性质与简单应用,注意只有当定义域为R 时奇函数才满足(0)0f =,属于根底题.a ，b ，c ，那么三角形的面积S 可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为“—秦九韶〞公式，现有一个三角形的边长满足4c =，6p ，那么三角形面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意,求得+a b 的值,结合三角形的面积公式,由根本不等式即可求得面积的最大值. 【详解】因为4c =,162pa b c所以1248a b +=-=而S ===(6)(6)2a b -+-=≤而由根本不等式可知()(6)(6)122a b a b -+-=-+=⎡⎤⎣⎦所以S ≤当且仅当66a b -=-时获得最大值,此时4a b ==即三角形面积的最大值为故答案为: 【点睛】此题考察了对新定义的理解和应用,根本不等式在求最值中的应用,属于根底题.ABC ∆中，假设()sin sin cos sin 0A B B C +-=，那么角A 的值是__________，当sin 22sin 2B C +获得最大值时，tan 22tan 2B C +的值是__________________．【答案】 (1).4π. (2). 92-.【解析】【分析】〔1〕将sin sin()C A B =+代入条件等式，化简可得()sin sin cos 0B A A -=，由sin 0B ≠，可得tan 1A =，结合A 的范围，求得4A π=；〔2〕由3,2242A B C ππ==-，sin 22sin 22sin 2cos 2)B C C C C ϕ+=-=- 其中1sin tan2ϕϕϕ===，当sin 22sin 2B C +获得最大值时，22,22,22C k C k k Z ππϕπϕπ-=+=++∈，由sin ,cos ,tan ϕϕϕ的值，结合诱导公式求出tan 2,tan 2C B ，即可得出结论.【详解】()sin sin cos sin 0A B B C +-=，得()sin sin cos sin()0A B B A B +-+=()sin sin cos sin cos cos sin 0A B B A B A B +--=，()sin sin cos 0B A A -=，由sin 0B >，sin cos 0A A -=，tan 1A =，0,4A A ππ<<∴=；〔2〕由3,2242A B C ππ==-，sin 22sin 22sin 2cos 2)B C C C C ϕ+=-=-其中1sin tan 2ϕϕϕ===，当sin 22sin 2B C +获得最大值时，22,22,22C k C k k Z ππϕπϕπ-=+=++∈，sin()cos 2tan 2tan()22sin cos()2C πϕπϕϕπϕϕ+=+===--+， 31tan 2tan(2)tan()tan 22B C ππϕϕ=-=-=-=-，9tan 22tan 22B C +=-.故答案为: (1)4π. (2).92-.【点睛】此题考察三角恒等变换求角，考察化简三角函数求最值，属于中档题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且060ABC ∠=，PA PC AB ==，过侧面PAD ∆中线AE 的一个平面α与直线PD 垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形. 〔1〕画出这个平面图形，并证明PD ⊥平面α；〔2〕假设PB PD =，求平面α与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2. 【解析】【分析】〔1〕连接,AC CE ，ACE ∆即为所求，由可知AD PA =，E 为PD 中点，得AE PD ⊥，同理有CE PD ⊥，即可得出结论；〔2〕连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，可证PO ⊥面ABCD ，设2PA PC AB ===,求出点,,,P A B D 坐标，求出平面PAB 法向量，由〔1〕得面α的一个法向量为DP ，根据空间向量二面角公式，即可求解.【详解】〔1〕连接,AC CE ，ACE ∆即为所求，∵ABCD 是菱形，∴AD AB =，又∵PA AB =，∴AD PA =， ∵E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，同理CE PD ⊥，又∵AECE E =，,AE CE α⊂，∴PD α⊥；〔2〕连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，且O 为,AC BD 中点， ∵PA PC =，∴AC PO ⊥，同理BD PO ⊥，又∵ACBD O =，,AC BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2PA PC AB ===，∵060ABC ∠=，∴2,23AC BD ==())()(0,1,0,3,0,0,3,0,0,3A BD P --()()(3,0,3,3,1,0,0,1,3DP AB AP ===.∵PD α⊥，∴平面α的一个法向量为(3,0,3DP =，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，那么·0·0n AB n AP ⎧=⎨=⎩，即3030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，设1x =，那么3,1y z =-=，()1,3,1n =-，设平面α与平面PAB 所成的锐二面角大小为θ，那么·2310cos cos ,56?5n DP n DP n DPθ====，综上平面α与平面PAB 所成的锐二面角余弦值为105.【点睛】此题考察线面垂直的证明，考察空间向量法求二面角，考察计算才能，属于中档题.{}n a 满足：n a n⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列. 〔I 〕求12,a a 的值；〔Ⅱ〕试求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】〔I 〕1228a a =⎧⎨=⎩；〔Ⅱ〕1(1)22+=-⋅+n n S n .【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据等比数列的定义与等差数列的定义,可得关于12,a a 的方程组,解方程组即可求得12,a a 的值. 〔Ⅱ〕根据〔Ⅰ〕求得数列{}n a 的通项公式,可知数列{}n a {}n a 的前n 项和n S .【详解】〔Ⅰ〕方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列, 1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ 〔Ⅱ〕1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---,1(1)22n n S n +∴=-⋅+.【点睛】此题考察了等差数列与等比数列通项公式的简单应,错位相减法求数列前n 项和,属于根底题. 19.某校辨论队方案在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，该校辩论队一共有10位成员〔包含正、副队长〕，每场比赛除负责人外均另需3位队员〔同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛〕.假设正副队长分别将各自比赛通知的信息HY 、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到.〔1〕求辩论队员甲收到队长或者副队长所发比赛通知信息的概率；〔2〕记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X ，求X 的分布列及其数学期望. 【答案】〔1〕3964；〔2〕分布列见解析，()398E X =. 【解析】【分析】〔1〕根据条件甲队员收到正副队长的通知信息概率均为38，没有收到正副队长的通知信息概率均为58，根据互相HY 同时发生的概率公式，可求出甲队员没有收到正队长也没收到副队长所发比赛通知信息的概率，由对立事件的概率关系，即可求解；〔2〕由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6，根据古典概型的概率，分别求出3,4,5,6X =的概率，可得到分布列，按照期望公式，即可得出结论.【详解】〔1〕设事件A 表示：辩论队员甲收到队长的通知信息，那么()38P A =，()58P A =，设事件B 表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息，那么()()35,88P B P B ==，设事件C 表示；辩论队员甲收到队长或者副队长的通知信息，那么()()()253911864P C P A P B ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，所以辩论队员甲收到队长或者副队长的通知信息的概率为3964；〔2〕由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6，那么()()32118865353588881153,45656C C C C P X P X C C C C ======， ()122875358815528C C C P X C C ===，()358535885628C C P X C C ===，所以随机变量X 的分布列为：其数学期望()115155393456565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察互相对立同时发生的概率以及利用对立事件求概率，考察随机变量的分布列和期望，属于中档题.()ln f x x =.〔1〕试判断函数()()1axg x f x x =++的单调性；〔2〕假设函数()()()()110h x fx f x ax a -=-+->在()0,∞+上有且仅有一个零点，①求证：此零点是()h x 的极值点；②求证：122132e a e -<<-. 1.65,ln 20.7,ln 3 1.1≈≈≈〕【答案】〔1〕见解析；〔2〕①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】〔1〕求出()()()()()222212211111x a x a x ax g x xx x x x ++++++'=+==+++，由0x >，得12x x +≥ ，对参数a 分类讨论，当4a ≥-时，()0g x '≥恒成立，求出单调区间；当4a，令()2()0,210g x x a x '=+++=，求出方程的根，即可求得结论；〔2〕①求出(),()h x h x '，可判断()h x '在()0,∞+单调递增，根据零点存在性定理可得，()()00,ln 1x a ∃∈+，使得()00h x '=，结合()h x '的单调性，可得()00,x x ∈,()()00,,h x x x '<∈+∞时，()0h x '>，()h x 在()00,x 单调递减，()0,x +∞单调递增，()h x 在()0,∞+上有且仅有一个零点，此零点为极小值点0x ；②由①得()()0000h x h x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，0011x a e x =-+，且()()000001ln 101x x x e x x --++=+，整理得0011x a e x =-+，且()()000001ln 101x x x e x x --++=+，0x 为函数 ()()()1ln 11x xu x x e x x =--+++()()()0,ln 1x a ∈+的零点，通过求导判断()u x 的单调性，结合零点存在性定理，可求01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，根据()11x v x e x =-+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，即可求出结论.【详解】〔1〕∵()()()()()222212211111x a x a x ax g x xx x x x ++++++'=+==+++， ∵0x >，∴1222x a a x+++≥++，∴4a ≥-时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在()0,∞+单调递增，没有单调递减区间.4a时，设()()221m x x a x =+++，那么对称轴0202a x +=->，240a a ∆=+>，解不等式()0m x >可得：()22a x -+>，或者()22a x -+<，所以此时()g x 的单调递增区间为()20,2a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭和()22a ⎛⎫-++ ⎪+∞ ⎪⎝⎭. 单调递减区间是()()22,22a a ⎛⎫-+-+⎪ ⎪⎝⎭，综上：4a ≥-时，单调递增区间是()0,∞+，没有单调递减区间：4a时，单调递增区间为()20,2a ⎛-+- ⎪⎝⎭和()22a ⎛⎫-++ ⎪+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是()()22,22a a ⎛⎫-+-+⎪ ⎪⎝⎭；〔2〕①∵()()()()11ln 1x h x f x f x ax e x ax -=-+-=-+-，∴()11xh x e a x '=--+在()0,∞+单调递增，又因为()00h a '=-<， ()()()()()()ln 1ln 11ln 10ln 11ln 11a a h a e a a a ++'+=--=>++++∴()()00,ln 1x a ∃∈+，使得()00h x '=，且()00,x x ∈时，()()00,,h x x x '<∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 在()00,x 单调递减，()0,x +∞单调递增， ∵()h x 在()0,∞+上有且仅有一个零点， ∴此零点为极小值点0x ；②由①得()()0000h x h x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()00000101ln 10x x e a x e x ax ⎧--=⎪+⎨⎪-+-=⎩，解得：0011xa e x =-+，且()()000001ln 101x x x e x x --++=+，设()()()1ln 11xxu x x e x x =--+++，()()()0,ln 1x a ∈+， ∵()()()22111111xx u x x e x e x x x ⎛⎫'=--+=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭，那么()u x 在()()0,ln 1x a ∈+单调递减，因为131ln 3223u ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，()11ln 202u =-+<，∴01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()11xv x e x =-+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，121223v e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()112v e =-，∴122132e a e -<<-. 【点睛】本导考察导数在研究函数中的综合应用，求含参函数的单调区间，考察分类讨论思想；考察函数零点的判断，注意运用函数的单调性和零点存在性定理，考察构造函数利用导数证明不等式，属于较难题.12的椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，且椭圆E 经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点.〔1〕求椭圆E 的HY 方程；〔2〕假设直线AC 和直线AD 的斜率之积为94-，求证：直线l 过定点；〔3〕假设B 为椭圆E 上一点，且0OC OD OB ++=，求三角形BCD 的面积.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕证明见解析；〔3〕92BCD S ∆=. 【解析】【分析】〔1〕根据离心率，将,a b 用c 表示，椭圆方程化为2222143x y c c+=，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程，即可求出椭圆E 的HY 方程；〔2〕设l 的方程为y kx m =+，〔或者x my n =+〕，设()()1122,,,C x y D x y ，将直线方程与椭圆方程联立，消元得到()2224384120k x kmx m +++-=，由>0∆，得2234k m +>，且122843kmx x k -+=+，212241243m x x k -=+，12129224AC AD kx m kx m k k x x ++==-++，整理得22230k km m -+=，k m =或者2k m =〔舍〕，满足>0∆，可得直线过定点()1,0-〔3〕0OC OD OB ++=，根据向量的关系可得3BCD OCD S S ∆∆=，点O 到直线l 间隔d =1322OCD S CD d ∆==即可求解；或者将根据椭圆的参数方程，设()2cos C αα，()2cos D ββ，0OC OD OB ++=，求得点()2cos 2cos ,B αβαβ--，又点B 在椭圆上，整理可得()1cos 2αβ-=-，将OCD S ∆用,αβ表示，并化简为()32OCD S αβ∆=-=，即可求得结论. 【详解】〔1〕∵12c a =，∴2,a c b ==，∴2222143x y c c+=，又∵椭圆E 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴1c =，∴椭圆E 的HY 方程为22143x y +=；〔2〕方法一：l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()2224384120k x kmx m +++-=，由>0∆解得2234k m +>，且122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，∴12121212922224AC AD y y kx m kx m k k x x x x ++===-++++，∴()()()221212494184360k x x km x x m ++++++=，()()22222412849418?43604343m kmk km m k k --+++++=++，化简可得：22230k km m -+=，∴k m =或者2k m =〔舍〕，满足>0∆， ∴直线l 的方程为y kx k =+， ∴直线l 经过定点()1,0-.方法二：设l 的方程为x my n =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立方程组22143x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()2223463120m y mny n +++-=， >0∆解得：2234m n +>，且122634mn y y m -+=+，212231234n y y m -=+， ∵()()121212129··22224AC AD y y y y k k x x my n my n ===-++++++， ∴()()()()2212129492920m y y m n y y n ++++++=，∴()()()2222231269492?9203434n mn m m n n m m --+++++=++，化简可得：2320n n ++=，∴1n =-或者者2n =-〔舍〕满足>0∆ ∴直线l 经过定点()1,0-；方法三：设2x x y y ''=-⎧⎨=⎩，那么有()()222143x y -+'='，∴()()22043x y x -+''='，设l 方程为1mx ny ''+=，∴()()()22043x y x mx ny -++''''='，∴21034k nk m -+-=，∴12194143mk k -==-，∴1m =， ∴:1l x ny ''+=，∴21x ny ++=，∴1x ny +=-， ∴直线l 经过定点()1,0-；〔3〕点O 到直线l 间隔 d =∴1322OCD S CD d ∆==，∴932BCD OCD SS ∆∆==；方法二：设()()2cos ,2cos C D ααββ，∵0OC OD OB ++=，∴点()2cos 2cos ,B αβαβ--，又∵点B 在椭圆E上，∴()()222cos 2cos 143αβαβ--+=，∴()1cos 2αβ-=-.()()()()()1112cos 2cos 332cos 32cos 3222OCD S αβαβααββ∆=--⨯----⨯()332αβ=-=， ∴932BCD OCDS S ∆∆==. 【点睛】此题考察椭圆的HY 方程，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考察直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，考察计算才能，属于较难题.，请考生在22，23二题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分，做答时，需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2sin 4cos ρθθ=，经过点(2,0)M ，倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点〔I 〕求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；〔Ⅱ〕求2211||||MA MB +的值。

2021年高考数学一轮课时复习《函数的单调性》小题练习(选填题) 教师版

2021年高考数学一轮课时复习《函数的单调性》小题练习(选填题)一、选择题1.已知y=f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a －1)，则a 的取值范围是( )A.(-∞,23)B.(0，＋∞)C.(0,23)D.(－∞，0)∪(23,+∞) 【答案解析】答案为：C解析：∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a<1，－1<2a －1<1，1－a>2a －1，解得0<a<23.故选C. 2.给定函数①y=错误!未找到引用源。

；②y=错误!未找到引用源。

；③y=|x －1|；④y=2x ＋1.其中在(0,1)上为减函数的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④【答案解析】答案为：B 解析：①y=错误!未找到引用源。

在(0,1)上单调递增；②∵t=x ＋1在(0,1)上单调递增，而y=l 错误!未找到引用源。

在(0,1)上单调递减，故y=错误!未找到引用源。

)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y=|x －1|在(0,1)上单调递减；④∵u=x ＋1在(0,1)上单调递增，y=2u 在(0,1)上单调递增，故y=2x ＋1在(0,1)上单调递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.3.如果二次函数f(x)=3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则( )A.a=－2B.a=2C.a ≤－2D.a ≥2【答案解析】答案为：C解析：二次函数f(x)的对称轴为x=－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 4.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y=ln(x ＋2)B.y=－x ＋1C.y=(12)xD.y=x ＋1x【答案解析】答案为：A解析：函数y=ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数.5.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则下列结论成立的是( )A.f(1)<f(错误!未找到引用源。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析

§9。

4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于（ ) A 。

1 B 。

17C.1或17 D 。

以上均不对答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（）A 。

x 24-y 212=1 B 。

x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。

x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。

若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（）A 。

实半轴长相等B 。

虚半轴长相等C 。

离心率相等 D.焦距相等答案 D考点二双曲线的几何性质5。

已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。

1答案 D6。

双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（） A 。

2 B.2√2 C 。

4 D 。

4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。

y=±14x B.y=±13xC 。

y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。

【高三】2021届高考数学双基突破训练试题(含答案和解释)

【高三】2021届高考数学双基突破训练试题(含答案和解释)2021届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (4)一、1．若f(x)＝1x的定义域为，g(x)＝x的值域为N，令全集I＝R，则∩N＝( )A．B．NC．∁I D．∁IN【答案】A【解析】由题意知：1x>0⇒x>0，N：x≥0，所以∩N＝.故选择A.2．已知函数y＝f(x)(a≤x≤b)，则集合{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}∩{(x，y)x＝0}中含有元素的个数为( )A．0 B．1或0C．1 D．1或2【答案】B【解析】＝{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}表示y＝f(x)在x∈[a，b]时的图像，N＝{(x，y)x＝0}表示y轴，根据函数的定义，至多有一个交点．故选择B.3．用in{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝in{x，x＋t}的图像关于直线x＝－12对称，则t的值为( )A．－2 B．2C．－1 D．1【答案】D【解析】方法1：由图像关于直线x＝－12对称得，－12＝－12＋t，解得t＝0或t＝1，当t＝0时，f(x)＝x，不符合题意，故t＝1，选D.方法2：验证答案，将四个答案分别代入题中，通过数形结合，作出函数y＝x与y＝x＋t的图像，得出函数f(x)的图像，然后由对称性排除A，B，C，故选D.4．已知U＝{yy＝log2x，x>1}，P＝yy＝1x，x>2，则∁UP＝( )A.12，＋∞B.0，12C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪12，＋∞【答案】A【解析】因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，故U＝{yy>0}，函数y＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P＝y0<y<12，所以∁UP＝yy≥12.故选择A.二、题5．已知f(x)＝3([x]＋3)2－2，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]＝3，则f(－3.5)＝.【答案】1【解析】∵[－3.5]＝－4，∴f(－3.5)＝3(－4＋3)2－2＝1.6．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，函数f1x＋2的定义域为.【答案】－∞，－13∪12，＋∞.【解析】由题设条件知：－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，因此，－1≤1x＋2≤4，解得x≤－13或x≥12.7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f[g(1)]的值为；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是.【答案】1,2【解析】g(1)＝3，f(3)＝1，∴f[g(1)]＝1.x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不符合题意．x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，符合题意．x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不符合题意．8．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝a；当a<b时，a b＝b2.则函数f(x)＝(1 x)•x－(2 x)(x∈[－2,2])的最大值等于.(“•”和“－”仍为通常的和减法)【答案】6【解析】当x∈[－2,1]时，f(x)＝1•x－22＝x－4，f(x)ax＝－3；当x∈(1,2]时，f(x)＝x2•x－2＝x3－2，f(x)ax＝6.三、解答题9．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r与面积S的函数关系及其定义域．【解析】设扇形的弧长为L，则有L＝10－2r，得S＝12Lr＝(5－r)•r＝－r2＋5r，又r>0，0<L<2πr，⇒r>0，0<10－2r<2πr，⇒5π＋1<r<5.∴所求函数的解析式为S＝－r2＋5r，其定义域为5π＋1，5.10．已知函数y＝f(x)的定义域A＝{1,2,3，k}，值域B＝{4,7，a4，a2＋3a}(a，k∈N)，对应法则“f：x→y＝3x＋1”(x∈A，y∈B)，能否求出a、k的值，是否可以确定集合A、B.【解析】因为A中的元素1与2的象已经确定，所以首先应确定3的象，求出a值，最后再求k.∵f：x→y＝3x＋1，∴A中的元素1与2的象分别是4和7.设A中元素3的象是a4，则：a4＝3×3＋1＝10，∵a∈N，∴此时a不存在．设3的象是a2＋3a，则有a2＋3a＝3×3＋1＝10，即a2＋3a－10＝0，解得 a＝2，a＝－5∉N(舍去)，当a＝2时，k的象即为a4，即 a4＝3k＋1,16＝3k＋1，∴k＝5.∴a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,16,10}．11．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ13＝16，φ(1)＝8.(1)求φ(x)的解析式，并指出定义域；(2)求φ(x)的值域．【解析】(1)设f(x)＝ax，g(x)＝bx，a、b为比例常数，则φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ax＋bx，由φ13＝16，φ1＝8.得13a＋3b＝16，a＋b＝8.解得a＝3，b＝5.∴φ(x)＝3x＋5x其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由y＝3x＋5x，得3x2－yx＋5＝0(x≠0)．∵x∈R且x≠0，∴Δ＝y2－60≥0，∴y≥215或y≤－215，∴φ(x)的值域为(－∞，－215]∪[215，＋∞)．12．在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点E，如图所示，沿折线BCDA由起点B 向终点A移动，设点E移动的路程为x，△ABE的面积为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)作出函数y＝f(x)的图像．【解析】(1)当点E在BC边上，即0≤x≤4时，S△ABE＝12×4×x＝2x；当点E在CD边上，即4<x≤8时，S△ABE＝12×4×4＝8；当点E在DA边上，即8<x≤12时，S△ABE＝12×4(12－x)＝24－2x.综上y＝f(x)＝2x 0≤x≤48 4<x≤824－2x 8<x≤12 (2)图像如图所示感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--证明不等式(含答案)

《导数的综合应用—证明不等式》考查内容：主要涉及利用导数证明不等式注意：涉及到复合函数求导问题一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知1201x x ，则（）A ．1221ln ln x x x x > B ．1221ln ln x x x x < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x <2．当时，有不等式（）A ．1x e x <+B ．1x e x >+C ．当0x >时1x e x <+，当0x <时1x e x >+D ．当0x <时1x e x <+，当0x >时1x e x >+3．已知非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y <++ B ．y x x y x y+>+ C ．1111xya a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭D ．x y y x >4．已知函数()=ln 1f x x ax +-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（） A ．01a <D ．2111x x a->-5．已知01a b <<<，则下列不等式一定成立的是（）A ．ln ln a b a b> B ．ln 1ln ab < C ．ln ln a a b b < D ．a b a b > 6．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（）A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f xf x f x <<7．若ln22a =，ln33b =，ln66c =，则（） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．下列不等式中正确的是( )①sin ,(0,)x x x <∈+∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0)x x x <∈+∞，. A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②9．若[)0,x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．21x e x x ≤++ B211124x x ≤-+C ．21cos 12x x ≥-D ．()21ln 18x x x +≥-10．若0m n e <<<，则下列不等式成立的是（）A ．m n e e m n C ．ln ln n mn m<D ．ln ln n mn m>11．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点（2）若1a >，则()0f x <（3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<- 其中正确结论的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．012．已知函数ln ()1x xf x x=-+在0x x =处取得最大值，则下列选项正确的是（） A ．()0012f x x =C ．()0012f x x ==D ．()0012f x x <<二．填空题13．若0<x 1<x 2<1，且1<x 3<x 4，下列命题：①3443ln ln x x ee x x ->-；②2121ln ln x x e e x x ->-；③3232x x x e x e <；④1221x xx e x e >；其中正确的有___14．已知函数，当时，给出下列几个结论：①；②；③;④当时，．其中正确的是（将所有你认为正确的序号填在横线上）．15．若01a b <<<，e 为自然数()2.71828≈e ，则下列不等式：①11++>a b b a ； ②ln ln ->-a b e e a b ；③()()log 1log 1+>+a b a b ，其中一定成立的序号是___ 16．已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③00()0f x x +<；④00()0f x x +> 其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式: （1）sin tan <<x x x ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）1x e x >+，0x ≠.18．已知函数2()2ln f x x x =-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当2x >时，()34f x x >-.19．已知函数()ln 1a x bf x x x=++曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0x >且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.20．已知函数f (x )＝ln(x +1)－x ． ⑴求函数f (x )的单调递减区间； ⑵若1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+．21．已知函数()21ln(0).f x ax x a x=-+> （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln2.f x f x +>-22．已知函数()ln ()x f x e a x a R =+∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，若e a -<<0，求证：()00x f x e >.23．已知函数()1ln f x x x x=--. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若()f x 满足()()()1212f x f x x x ''=≠，证明：()()1232ln 2f x f x +>-.《导数的综合应用—证明不等式》解析1.【解析】设()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，由()'0f x >，得1x e>，所以函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；由()'0f x <，得10x e <<，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 在()0,1上不单调，所以()1f x 与()2f x 的大小无法确定，从而排除A ，B ；设()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，由()'0g x >，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上单调递增，故函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()12g x g x <，即1212ln ln x x x x <，所以2112ln ln x x x x <.故选：D 2.【解析】对于函数()1xf x e x =--其导数()1xf x e '=-，当0x >时()0f x '>，当0x <时，()0f x '< ()()min 00f x f ∴==∴当时()01xf x e x >∴>+3.【解析】依题意非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则20,11a a ≠+>，所以01x y <<<.不妨设11,42x y ==，则2211614161616,,175201720111142===>⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项错误； 315535,2,422444y x x y x y +=+=+==<，所以B 选项错误；由于1011a <<+，根据指数函数的性质可知：11421111a a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误.依题意01x y <<<，要证明x y y x >，只需证明ln ln x yy x >，即证ln ln x y y x >，即证ln ln y x y x >，构造函数()()ln 01xf x x x=<<，()'21ln x f x x-=，由于01x <<，所以ln 0x <，所以()'21ln 0x f x x -=>在区间()0,1上恒成立，所以()f x 区间()0,1上递增，所以ln ln y xy x>，所以x y y x >.故D 选项正确.故选：D4.【解析】因为函数()=ln 1f x x ax +-,所以11()'-=-=axf x a x x, 当a≤0时，()0,f x '>所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，10x a <<时，()0f x '>，函数f(x)单调递增，1x a>时，()0f x '<，函数f(x)单调递减.所以max 11()()ln .f x f aa== 因为函数f(x)有两个零点，所以1ln0,ln 0,ln 0,0 1.a a a a>∴->∴<∴<< 又111()0,(1)10, 1.a f f a x e e e =-<=->∴<<又111210,.x x a a a<<∴->令2221()()()ln()()ln (0)g x f x f x x a x x ax x a a a a=--=----+<≤则212()11()20.21()a x a g x a x x x x a a-=-+=<--' 所以函数g(x)在1(0,)a 上为减函数，11()()g x g a∴>=0，又1()=0f x ，11111222()ln()()1()()0,f x x a x f x g x a a a∴-=---+-=>又2()0f x =，∴212x x a >-，即1222x x a+>>.故答案为B5.【解析】对A ，令()ln x f x x=，'2ln 1()(ln )x f x x -=，当'()00f x x e <⇒<<，∴()f x 在(0,)e 单调递减，∴()()f a f b >，即ln ln a ba b >，故A 正确；对B ，01a b <<<，∴ln ln 0a b <<，∴ln 1ln ab>，故B 错误；对C ，令()ln f x x x ='()ln 1f x x ⇒=+，当10x e<<时，'()0f x <；当1x e >时，'()0f x >，∴()f x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增，显然当1b e=时，ln ln a a b b >，故C 错误；对D ，ln ln a b a a b b a b ⇔>>，由C 选项的分析，当1a e=时，ln ln a a b b <，故D 错误；故选：A.6.【解析】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=，所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f xf x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D.7.【解析】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减；即有(6)(4)(3)f f f <<，所以ln6ln4ln2ln36423<=<，故c a b <<.故选：C8.【解析】对于①：令sin ,(0,)y x x x =-∈+∞，则'cos 10y x =-≤恒成立，则sin ,(0,)y x x x =-∈+∞是减函数，所以有0y <恒成立，所以sin ,(0,)x x x <∈+∞成立，所以①正确；对于②：1,xe x x R ≥+∈，令1xy e x =--，'e 1x y =-，当0x <时，'0y <，当0x >时，'0y >，所以函数1x y e x =--在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以在0x =处取得最小值，所以0010y e ≥--=，所以1,xe x x R ≥+∈成立，所以②正确；对于③，ln x x <，(0,)x ∈+∞，令ln y x x =-，有11'1x y x x-=-=，所以有当01x <<时，'0y >，当1x >时，'0y <，所以函数ln y x x =-在1x =时取得最大值，即ln 010y x x =-≤-<，所以ln x x <，(0,)x ∈+∞恒成立，所以③正确；所以正确命题的序号是①②③，故选B.9.【解析】对于A ,分别画出2,1x y e y x x ==++在[)0,+∞上的大致图象如图,知21x e x x ≤++不恒成立,排除A ；对于B ,令()()252111,'24x x f x x x f x -⎫=-+=⎪⎭，所以20,,5x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()'0,f x f x <为减函数,2,5x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()'0,f x f x >为增函数,所以()f x 最小值为21,5f B ⎛⎫=<⎪⎝⎭错，排除B ；对于D ,当4x =时,221ln 5ln 244,8e D <==-⨯错，排除D ，故选C.10.【解析】构造函数()()()21,xxx e e f x f x x x -='=，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为0m n e <<<，当m 和n 在不同单调区间时，函数值大小不能确定，故AB 不正确;构造函数()()2ln 1ln ,x xf x f x x x -='=，函数在()()0,,,e e +∞，0m n e <<<故ln ln n mn m>.故答案为：D. 11.【解析】（1）若函数()f x 存在零点，只需方程()2ln 10x x ax --=有实根，即方程ln 1x a x -=有实根，令ln 1()x g x x -=，则只需函数ln 1()x g x x -=图像与直线y a =有交点即可.又22ln ()x g x x -'=，由22ln ()0x g x x -'=>可得20x e <<；由22ln ()0x g x x-'=<可得2x e >；所以函数ln 1()x g x x-=在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减，故22max ()()g x g e e -==，因此，当2a e -=时，直线y a =与ln 1()x g x x-=图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；（2）由（1）可知，当1a >时，2ln 1()1x g x e a x--=≤<<在(0,)+∞上恒成立，即2()()0f x g x a x=-<在(0,)+∞上恒成立，即()0f x <在(0,)+∞上恒成立；故（2）正确；（3）因为()()2ln 1f x x x ax =--，所以()ln 2f x x ax '=-，若()f x 有两个极值点12,x x ，则1122ln 20ln 20x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，所以1212ln ln 2x x a x x -=-，又由()f x 有两个极值点，可得方程ln 20x ax -=有两不等实根，即方程ln 2xa x=有两不等式实根，令ln ()x h x x =，则1ln ()xh x x-'=，由1ln ()0x h x x -'=>得0x e <<；由1ln ()0xh x x -'=<得x e >；所以函数ln ()xh x x =在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 1()h x e =，又当1x <时，ln ()0x h x x =<；当1x >时，ln ()0xh x x =>；所以方程ln 2x a x =有两不等式实根，只需直线2y a =与函数ln ()xh x x=的图像有两不同交点，故102a e<<；所以1212ln ln 1x x x x e -<-，即（3）正确.故选A 12.【解析】函数的定义域为()0,∞+，而()()2ln 11x x f x x ++'=-+，令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减，且()221133110,ln 2ln 02222h eh e e -⎛⎫=->=-<-=-< ⎪⎝⎭，010,,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()f x 在0x x =处取得最大值，00ln 10x x ∴++=，()0000000ln 1ln 1,12x x x x f x x x ∴=--∴=-=<+.故选：A13.【解析】令()()ln 0x f x e x x =->，则()1x f x e x'=-，易知当()0,x ∈+∞时，()f x '单调递增，由131303f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()110f e '=->，则存在01,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；1201x x ，∴当02x x =时，()()21f x f x <即2121ln ln x x e x e x -<-，∴此时2121ln ln x x e e x x -<-，故②错误；341x x <<，∴()()43f x f x >即3443ln ln x x e x e x ->-，∴3443ln ln x x e e x x ->-，故①正确；令()()0xe h x x x =>，()()21x e x h x x -'=， ∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；2301x x <<<，∴()2h x 与()3h x 的大小无法确定即23x x e 、32x x e 的大小无法确定，故③错误；121x x ，∴()()21h x h x <即2121x x e e x x <，∴1221x x x e x e >，故④正确.故答案为：①④.14.【解析】因为，所以，可知（0，1e）递减，（1e，+∞）递增，故①错误；令，所以'()ln g x x =，可知在（0,1）上递减，（1，+∞）上递增，故②错；令，所以h （x ）在（0，+∞）上递增，所以，故③正确；当时，可知，又因为f （x ）在（1e，+∞）递增，设111()()2()()x xf x xf x x f x ϕ=-+1'()()'()2()x f x xf x f x ϕ∴=+-112ln 2ln 0x x x x x =+->，又因为f （x ）在（1e ，+∞）递增，所以1x x >时，1()()f x f x >即11ln ln x x x x >，所以1x x >时，'()0x ϕ>，故()x ϕ为增函数，所以21()()x x ϕϕ>，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+1()0x ϕ>=，故④正确．15.【解析】对于①若11++>a b b a 成立.两边同时取对数可得11ln ln a b b a ++>,化简得()()1ln 1ln a b b a +>+，因为01a b <<<，则10,10a b +>+>,不等式两边同时除以()()11a b ++可得ln ln 11b ab a >++ 令()ln 1xf x x =+,()0,1x ∈，则()()()()22111ln 1ln '11x x x x x f x x x +-+-==++ 当()0,1x ∈时, 11ln 0x x+->,所以()'0f x > 即()ln 1xf x x =+在()0,1x ∈内单调递增所以当01a b <<<时()()f b f a >,即ln ln 11b ab a >++，所以11++>a b b a ，故①正确对于②若ln ln ->-a b e e a b ,化简可得ln ln a b e a e b ->-，令()ln xg x e x =-,()0,1x ∈，则()()211',''xx g x e g x e x x=-=+，由()''0g x >可知()1'xg x e x=-在()0,1x ∈内单调递增，而()()'0,'110g g e →-∞=->，所以()1'xg x e x=-在()0,1x ∈内先负后正，因而()ln xg x e x =-在()0,1x ∈内先递减,再递增,所以当01a b <<<时无法判断，ln a e a -与ln b e b -的大小关系.故②错误.对于③,若()()log 1log 1+>+a b a b ，令()()log 1x h x x =+，利用换底公式化简可得()()ln 1ln x h x x+=,()0,1x ∈ 则()()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 1ln 11''ln ln 1ln x x x x x x x x x h x x x x x x +-+-++⎡⎤+===⎢⎥+⎣⎦当()0,1x ∈时,()()ln 0,1ln 10x x x x <++> ，所以()()ln 1ln 10x x x x -++<,即()'0h x <，则()()ln 1ln x h x x+=在()0,1x ∈内单调递减，所以当01a b <<<时,()()ln 1ln 1ln ln a b a b++>，即()()log 1log 1+>+a b a b ，所以③正确，综上可知,正确的为①③，故答案为: ①③ 16.【解析】的定义域为，，所以有，所以有，即，即，所以有；因为，所以有．17.【解析】（1）设()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ， ∴()cos 1'=-f x x ，()222cos sin sin 1()11cos cos --'=-=-x x x g x xx， ∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0cos 1x <<，∴()0f x '<，()0g x '>， ∴函数()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；函数()tan =-g x x x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；∴()(0)0f x f <=，()(0)0g x g >=，即sin x x <，tan x x >， ∴sin tan <<x x x ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）设函数()1x h x e x =--，所以 ()1xh x e '=-；令()10'=-=xh x e 得：0x =，由()10xh x e '=->得0x >；由()10'=-<xh x e 得0x <；所以函数()1xh x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；∴当0x =时，()h x 取最小值，即min ()(0)0h x h ==， ∴当0x ≠时，恒有()0h x >，即1x e x >+，0x ≠显然成立． 18.【解析】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-，由f ′(x )>0，得x>1; 由f ′(x )<0，得0<x<1∴f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．(2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4， ∴g ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， ∵当x >2时，g ′(x )>0，∴g (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0，∴当x >2时， x 2-2lnx>3x-4, 即当x >2时()34f x x >-..19.【解析】1）()()221ln '1x x b x f x x x α+⎛⎫-⎪⎝⎭=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11,1'1,2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=ln 1,1x x x++所以()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭ 考虑函数()()2120x h x lnx x x-=->，则h′(x)=()()222222112x x x x x x----=-，所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,故x ()0,1∈时h(x)>0可得()ln 1xf x x >-, x ()1∈+∞， h(x)<0可得()ln 1xf x x >-,从而当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.20.【解析】（1）函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +．由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．（2）证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0，因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ln(1)x x ．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x =-+'+＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0． ∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即1ln(1)11x x ++-+≥0，∴1ln(1)11x x +≥-+．综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+． 21.【解析】（1）()2ln f x x ax x =--+ ，()212121ax x f x ax x x-+==-'--+ ，则18a ∆=- ，当18a ≥时()0,0f x '∆≤≤ ，此时f(x)在()0,∞+单调递减，当108a <<时0∆≤ ，方程2210ax x -+= 有两个不等的正根12,x x ，不妨设12x x <，则当()()120,,x x x ∈⋃+∞时()0f x '< ，当()12,x x x ∈时，()0f x '> ，这时f(x)不是单调函数，综上，a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，（2）由（1）可知当且仅当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，f(x)有极小值点1x 和极大值点2x且1212x x a +=，2212x x a=， ()()12f x f x + 22111222ln ln x ax x x ax x =--+--+()()()()12121211ln ln 1122x x x x x x =-+----++ ()()12121ln 12x x x x =-+++ ()1ln 214a a=++ ，令()()1ln 214g a a a =++ ，10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()221141044a g a a a a -=-=<' ，则()()1ln 214g a a a =++在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递减，所以()132ln28g a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即()()1232ln2f x f x +>-， 22.【解析】（1）当1a =时，()ln (0)xf x e x x =+>，1()x f x e x'∴=+，且(1)f e =， ∴曲线()y f x =在(1,)e 处的切线的斜率(1)1k f e '==+. ∴曲线()y f x =在(1,)e 处的切线方程为(1)(1)y e e x -=+-，即(1)10e x y +--=；（2）由题意得()xa f x e x'=+.0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，()0000x a f x e x '∴=+=，即00x a e x =-，00ln ln x a e x ⎛⎫-∴= ⎪⎝⎭，即()00ln ln()x x a +=-.又e a -<<0，则()00ln ln()1x x a +=-<. 令()ln g x x x =+，显然0x >，所以'1()10g x x=+> 因此()ln g x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且()0(1)1g x g <=.001x ∴<<，因此0ln 0a x >.()0000ln x x f x e a x e ∴=+>.23.【解析】（1）函数()1ln f x x x x=--的定义域是()0,∞+. 因为()2222213()1112410x x x f x x x x x -+-+'=+-==>恒成立，所以函数()1ln f x x x x=--在定义域()0,∞+上是单调递增函数.（2）由（1）知()2111f x x x'=+-.令()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由一元二次方程根与系数关系得12111x x +=，即1212x x x x +=⋅>124x x ⋅>， ∴()()()()()12121212121211ln ln ln 1f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-+-+=--⎪⎝⎭令124t x x =⋅>，则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->，则()()1104g t t t'=->>，得()()432ln 2g t g >=-.。

2021届高考数学一轮双基小题专项练习含答案 (12)

2021届高考壹轮双基小题练习一(理科)（教研室）班级_____________ 姓名____________________ 学号___________一、选择题（每小题5分，共50分.每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2010广州一模）如果命题P ：若“sinx=0,则cosx=1”,那么命题P 的逆命题．否命题和逆否命题中,真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (C ) 2 已知函数2(21)()log (1)a f x x -=-在区间(2,)+∞上是减函数，则a 的取值范围是( B )A ．102a < 3．下列四个函数中，值域是(－∞，－2]的一个函数是 ( D ) A.y ＝－2x ＋1 (x ＞32) B.y ＝－(x ＋1)2－2 (－1≤x≤0)C.y ＝x ＋1x (x ＜－1)D.y ＝log 0.5(x ＋1x －1＋1) (x ＞1) 4．（2010年浙江模拟）已知向量),1,0(),40sin 2,40cos 2(-=︒︒=则向量与的夹角为（ B ）A ．40°B ．130°C ．140°D ．230°5．已知数列{}n a 中，12a =，对一切正整数n 恒有12n n a a n ++=，则10a 的值为( A )A ．8B ．10C ．20D ．386. 若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ D ）A. l 与a 、b 分别相交B. l 与a 、b 都不相交C. l 至多与a 、b 中的一条相交D. l 至少与a 、b 中的一条相交 7. 设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于 A.2 B.22 C.4 D.8 （ A ）8．(2009年广东)已知向量a ＝(2cosα，2sinα)，b ＝(3cosβ，3sinβ)，a 与b 的夹角为60o ，则直线xcosα－ysinα＋1＝0与圆(x －cosβ)2＋(y ＋sinβ)2＝1的位置关系是 ( C )Ａ.相切Ｂ.相交Ｃ.相离Ｄ.随α，β的值而定9．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，并且每科均有人参加, 其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有 A ．96 B ．180C ．240D ．288 ( C )10．若1>a 为常数，则关于x 的方程013123=+-ax x 在区间（0，2）上的实根个数共有（ B ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（每小题4分，共28分.把答案填在题中横线上）13. f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为 _31或40_14. △ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 ___6516__________; 15．设,a b 是两个不共线向量,2,,2AB a pb BC a b CD a b =+=+=-,若,,A B D 三点共线,则实数p 的值是______-1__________;16．(2010届黄冈模拟)已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1:1l x y +=相切，圆心在直线20x y +=上.则圆C 的方程是_______________________;2)2()1(22=++-y x17．设{x }表示离x 最近的整数，即若2121+≤<-m x m ，则{x }=m. 下面是关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题: ① 函数)(x f y =的定义域是R ，值域是]21,0[；② 函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k k x ∈=对称； ③ 函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；其中正确的命题序号是______________. ①②③18．已知两个定点A 、B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0)，动点P 满足||AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（I ）求动点P 的轨迹E 的方程；（II ）过点C (0,1)的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．18．解:(I)动点P 的轨迹E 的方程是y 2=4x. (II)设直线l 的方程为x=k(y-1),代入轨迹E 的方程y 2=4x,整理得:y 2-4ky+4k=0. 由题意知,(4k)2-4⨯4k>0且4k>0,解得k>1. 由根与系数的关系可得MN 的中点坐标为(k(2k-1),2k),∴线段MN 垂直平分线方程为:y-2k=-k[x-k(2k-1)], 令y=0,得D 点的横坐标x 0=2k 2-k+2,∵k>1,∴x 0>3,即为所求。

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2021届高考壹轮双基小题练习七(理科)（教研室）班级_____________ 姓名____________________ 学号___________
一、选择题（每小题5分，共50分.每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．准线方程为3=x 的抛物线的标准方程为（ B ）
A ．x y 62-=
B ．x y 122-=
C ．x y 62=
D ．x y 122
= 21-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的（ A ）
A ．充分不必要的条件
B ．必要不充分的条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知直线a 、b 与平面α，给出下列四个命题
①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α;
②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ; ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b;
④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b. 其中正确的命题是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（ A ）
4．若等比数列{a n }对一切正整数n 都有S n =2a n -1,其中S n 是{a n }的前n 项和，则公比q 的值
为A.21 B.-2
1 C.2D.-2（ C ） 5. 函数1,00,01,0
x y x x ->⎧⎪==⎨<⎪⎩的程序框图如图所示，
则①②③的填空能完全正确的是：（D ）
A. ①y=0; ②x=0;③y=1;
B. ①y=0;②x<0;③y=1;
C. ①-1;②x>0;③y=0;
D. ①y=-1;②x=0;③y=0.
6．已知函数)(,|
|1)1
()(2)(x f x x f x f x f 则满足=-的最小值是 A ．3
2 B ．2 C ．322 D ．22（ C ） 7．若双曲线12
2=-y x 的左支上一点P （a ，b ）到直线 x y =的距离为a 则,2+b 的值为（ A ）
A ．21-
B ．2
1 C ．－
2 D ．2 8. 已知A (－7,0)、B (7,0)、C (2，－12)，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，则此椭圆的另一焦点的
轨迹是( D ) A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.双曲线 D.双曲线的一部分
9. 某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下,从最下面
的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中, 猜
得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为 ( A )
A.165
B.325 C .61 D .以上都不对
10．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是（ B ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题（每小题4分，共28分.把答案填在题中横线上）
11．函数R x x x y ∈+=,cos sin 的单调递增区间是______; )](42,432[Z k k k ∈+-
ππππ 12．设复数92)1(,)1(11z i i
i z ++++-=则的二项展开式的第7项是 ___－84____; 13．以椭圆,120422的焦点为顶点=+y x 一条渐近线为y=2x 的双曲线的方程14
162
2=-x y . 14．已知两个正数,x y 满足45x y xy ++=，则xy 取最小值时x =___10___,y =____2.5____;
15．已知函数()12
log f x x =，则方程()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的实根个数为 _______2________ 16．下图的矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，
数得落在阴影部分的黄豆数为138颗. 则我们可以估计出阴
影部分的面积为.5
2325300138=⨯⨯ 17．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//
平面MNP 的图形序号是①②（写出所有符号要求的图形序号）.
三、解答题（14分）
18．在△ABC 中，角A 为锐角，且A A A A A A A f 222cos )2
(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=πππππ. （I ）求f (A )的最大值；
（II ）若2,1)(,12
7===+BC A f B A π，求△ABC 的三个内角和AC 边的长.
18、解：（I ）()f A =.2
1)42sin(22)12cos 2(sin 21cos 2sin 212++=++=+=πA A A A A 52.444A π
π
π<+<)(,2
42A f A 时当ππ=+∴取值最大值，其最大值为.212+
（II ）由()1sin(2)4f A A π
=+=得352, (444312)
A A
B
C πππππ∴+==∴=∴= 在△ABC 中，由正弦定理得：.6sin sin .sin sin ===∴= A
B B
C AC B AC A BC。