迭加法求梁的位移和转角(材料力学)
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F
a
a a (1)
F
a
a (2)
a
2a (3)
Fa 3 Fa 2 F ( 2a ) 3 11Fa 3 wB1 wB 2 wB 3 a 3EI 2 EI 3EI 6 EI 3 11Fa wC wB1 6 EI
F A C
F
F
F B
B
a a
→
C
→
B C
+
B C F
a
a
P a (1)
F/ 2 wB B C
(b)
wB /2 wDF
直线
F FB FB qa 2
q A F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2
F/ 2
wB B C
(b)
wB wBb wBbF wBbq
q B右 q Bb q BbF q Bbq
1 wD wDa wDaF wB 2 wB q B左 q Ba q BaF a
例
A
梁的EI已知，求wC和θA
M C l 2 l 2 B
M/2 C l 2 (1)
→
A
wC wC1 0
( M / 2)(l / 2) Ml q A q A1 6 EI 24 EI
三角形分布载荷（适用于简支梁）
例
EI已知，求wE和θB
F F/2 B a
F
A 2a
C
D a
a
E
→A
切断＋简化
例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面的挠度。
A
a EI F=qa D a F=qa A a EI D a B qa qa2/2 B a C
解：
+
B a (b)
C
(a)
q C q Cb q Ba (继承)
wC wCb q Ba a (继承和发扬) wD wDa
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法适用的条件： 1）线弹性范围工作; 2）小变形。 简单载荷下梁的挠度和转角见表7-1。
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由 端B截面的挠度和转角。
F A l C EI l F F D l B
解：
(1)
A C
来自百度文库
D
B
＋
F
(2)
A
C
D
B
叠加法的基本思想
总
一、对载荷分组叠加
结
二、继承与发扬 在前一点位移的基础上叠加新的位移。 三、切断＋简化，将原来作用在悬臂部分上的载 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁） 四、对称问题（适用于简支梁） 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座， 将一简支端改为自由端；保留半跨上的载荷和简支 端的反力。 五、反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁；保 留半跨上的载荷。
F=qa A EI D
qa B a
qa2/2
+
B a (b)
C
a
(a)
q C q Cb q Ba q Cb q BaF q BaM
3
2
qa qa2a qa qa 16 EI 3EI 4 EI 6 EI
3
3
qa2a qa3 qa3 qa wC wCb q Ba a [ ] a 16 EI 3EI 6 EI 8EI
F
A a D a C B F
→
A a
D a (1)
C
F a a
wC wC1 0
F (2a)3 Fa 3 wD wD1 48 EI 6 EI
2 2
F ( 2a ) Fa q B q C1 [ ] 16 EI 4 EI
反对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷反对称，就能采用上 述方法求解。
4
2
F=qa A EI D
qa B a
qa2/2
+
B a (b)
C
a
(a)
wD wDa wDaF wDaM
qa (2a)3 qa2 / 2 (2a) 2 16 EI 48 EI
qa 4 24 EI
例
梁的EI已知，求wC和θB
F
F
C B
F
F
B
A
a a
→
C
→
B
C
+
B
C
F
A l C EI l F D l B
弯矩方程 挠度和转角←挠曲函数←{ 位移条件
(3) A l F C F Fl
2 F l 2 Fl l 2 Fl 2 qC qC3 EI 2 EI EI 3 2 3 7 Fl Fl l 2F l wC wC 3 6 EI 2 EI 3EI
2a
C D a (1)
+D
a
E a
B
(2)
wD1 wE wE 2 2
wD1 qB q B2 2a
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
F
A
a/2
D
B EI
a
q EI a C
解：
A F
q
(a)
wB F/ 2
对图(2)
F
(2)
B A C 曲线 D
直线
qD1
wD1
qD1 BD qB 2
wB2
q B2
2 Fl 2 q D1 （顺时针） EI
3 2
F (2l ) F (2l ) 14 Fl 3 wB 2 wD 2 q D 2 l l 3EI 2 EI 3EI
（向下）
F
(1)
A
C
D
B
＋
F
(2)
A
C
D
B
4 Fl 3 14 Fl 3 6 Fl 3 wB wB1 wB 2 （向下） EI 3EI 3EI Fl 2 2 Fl 2 5 Fl 2 q B q B1 q B 2 （顺时针） 2 EI 2 EI EI
求C截面的挠度和转角。
F
(1) A
D
曲线
B
对于图(1)：
qC1 2l qB1
wC1 wB1
wC1 C
q C1
直线
Fl 2 q B1 q C1 （顺时针） 2 EI
4 Fl 3 Fl Fl wB1 wC1 q C1 2l 2l （向下） 3EI 3EI 2 EI
3 2
变形的继承和发扬
2 2
a
a (2)
a
2
2a (3)
Fa F ( 2a ) 3Fa q B1 q B 2 q B 3 2 EI 2 EI 2 EI 3Fa q B q B1 2 EI
2
对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷对称，就能采用上 述方法求解。
例 梁的EI已知，求wC、 wD和θB
注意事项
一、不要漏项
二、叠加位移时注意每一项的符号
三、注意载荷的变化
简支梁在半跨均布载荷作用下，简化后集度q减半； 简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶M减半。 四、注意计算长度的变化 公式中长度为l，题目中的计算长度可能是l、a、 2l、2a、l/2或a/2。 五、简支梁在集中力偶作用下两个铰支端的转角不 等，此时的挠度公式计算的时跨中截面的挠度
a
a a (1)
F
a
a (2)
a
2a (3)
Fa 3 Fa 2 F ( 2a ) 3 11Fa 3 wB1 wB 2 wB 3 a 3EI 2 EI 3EI 6 EI 3 11Fa wC wB1 6 EI
F A C
F
F
F B
B
a a
→
C
→
B C
+
B C F
a
a
P a (1)
F/ 2 wB B C
(b)
wB /2 wDF
直线
F FB FB qa 2
q A F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2
F/ 2
wB B C
(b)
wB wBb wBbF wBbq
q B右 q Bb q BbF q Bbq
1 wD wDa wDaF wB 2 wB q B左 q Ba q BaF a
例
A
梁的EI已知，求wC和θA
M C l 2 l 2 B
M/2 C l 2 (1)
→
A
wC wC1 0
( M / 2)(l / 2) Ml q A q A1 6 EI 24 EI
三角形分布载荷（适用于简支梁）
例
EI已知，求wE和θB
F F/2 B a
F
A 2a
C
D a
a
E
→A
切断＋简化
例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面的挠度。
A
a EI F=qa D a F=qa A a EI D a B qa qa2/2 B a C
解：
+
B a (b)
C
(a)
q C q Cb q Ba (继承)
wC wCb q Ba a (继承和发扬) wD wDa
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法适用的条件： 1）线弹性范围工作; 2）小变形。 简单载荷下梁的挠度和转角见表7-1。
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由 端B截面的挠度和转角。
F A l C EI l F F D l B
解：
(1)
A C
来自百度文库
D
B
＋
F
(2)
A
C
D
B
叠加法的基本思想
总
一、对载荷分组叠加
结
二、继承与发扬 在前一点位移的基础上叠加新的位移。 三、切断＋简化，将原来作用在悬臂部分上的载 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁） 四、对称问题（适用于简支梁） 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座， 将一简支端改为自由端；保留半跨上的载荷和简支 端的反力。 五、反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁；保 留半跨上的载荷。
F=qa A EI D
qa B a
qa2/2
+
B a (b)
C
a
(a)
q C q Cb q Ba q Cb q BaF q BaM
3
2
qa qa2a qa qa 16 EI 3EI 4 EI 6 EI
3
3
qa2a qa3 qa3 qa wC wCb q Ba a [ ] a 16 EI 3EI 6 EI 8EI
F
A a D a C B F
→
A a
D a (1)
C
F a a
wC wC1 0
F (2a)3 Fa 3 wD wD1 48 EI 6 EI
2 2
F ( 2a ) Fa q B q C1 [ ] 16 EI 4 EI
反对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷反对称，就能采用上 述方法求解。
4
2
F=qa A EI D
qa B a
qa2/2
+
B a (b)
C
a
(a)
wD wDa wDaF wDaM
qa (2a)3 qa2 / 2 (2a) 2 16 EI 48 EI
qa 4 24 EI
例
梁的EI已知，求wC和θB
F
F
C B
F
F
B
A
a a
→
C
→
B
C
+
B
C
F
A l C EI l F D l B
弯矩方程 挠度和转角←挠曲函数←{ 位移条件
(3) A l F C F Fl
2 F l 2 Fl l 2 Fl 2 qC qC3 EI 2 EI EI 3 2 3 7 Fl Fl l 2F l wC wC 3 6 EI 2 EI 3EI
2a
C D a (1)
+D
a
E a
B
(2)
wD1 wE wE 2 2
wD1 qB q B2 2a
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
F
A
a/2
D
B EI
a
q EI a C
解：
A F
q
(a)
wB F/ 2
对图(2)
F
(2)
B A C 曲线 D
直线
qD1
wD1
qD1 BD qB 2
wB2
q B2
2 Fl 2 q D1 （顺时针） EI
3 2
F (2l ) F (2l ) 14 Fl 3 wB 2 wD 2 q D 2 l l 3EI 2 EI 3EI
（向下）
F
(1)
A
C
D
B
＋
F
(2)
A
C
D
B
4 Fl 3 14 Fl 3 6 Fl 3 wB wB1 wB 2 （向下） EI 3EI 3EI Fl 2 2 Fl 2 5 Fl 2 q B q B1 q B 2 （顺时针） 2 EI 2 EI EI
求C截面的挠度和转角。
F
(1) A
D
曲线
B
对于图(1)：
qC1 2l qB1
wC1 wB1
wC1 C
q C1
直线
Fl 2 q B1 q C1 （顺时针） 2 EI
4 Fl 3 Fl Fl wB1 wC1 q C1 2l 2l （向下） 3EI 3EI 2 EI
3 2
变形的继承和发扬
2 2
a
a (2)
a
2
2a (3)
Fa F ( 2a ) 3Fa q B1 q B 2 q B 3 2 EI 2 EI 2 EI 3Fa q B q B1 2 EI
2
对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷对称，就能采用上 述方法求解。
例 梁的EI已知，求wC、 wD和θB
注意事项
一、不要漏项
二、叠加位移时注意每一项的符号
三、注意载荷的变化
简支梁在半跨均布载荷作用下，简化后集度q减半； 简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶M减半。 四、注意计算长度的变化 公式中长度为l，题目中的计算长度可能是l、a、 2l、2a、l/2或a/2。 五、简支梁在集中力偶作用下两个铰支端的转角不 等，此时的挠度公式计算的时跨中截面的挠度