第二讲-解析法、应力圆
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平面应力状态分析-应力圆法
练习2
求45°斜截面上的应力
D1(0, 80)
90
D45 (80, 0)
D2 (0, -80)
应力圆的应用2 求单元体的主平面和主应力
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
【例题】应力圆法求三个主应力
x 10 MPa y 20 MPa x 10 MPa y 10 MPa
D1(10, 10) D2 (20, 10)
D1(100, 20) D2 (40, 20)
20
100 40 20
30 67 MPa
30 36 MPa
练习1 求60°斜截面上的应力
x 70MPa y 50 MPa x 0 MPa y 0 MPa
D60 (20, 50)源自D2 (50, 0)120
C（10，0） D1(70, 0)
三个主应力按代数值排序为：
20
1 0 2 3.82 MPa 3 26.18 MPa
10 10
10
练习1 应力圆法求三个主应力
D1(60, 40)
1 20MPa 2 0 MPa 3 80 MPa
D2 (0, -40)
练习2 应力圆法求三个主应力
D1(0, 30)
D2 (0, 30) 1 30MPa 2 0MPa 3 30 MPa
（1）点面对应
xC
x y
2
R
x
2
y
2
2 x
（2）二倍角转向相同
应力圆的应用1 求单元体任意斜截面上的应力
D ( , )
2
D1( x , x ) D2 ( y , y )
【例题】用应力圆法求30°斜截面上的应力
材料力学应力圆法课件
o
（1）主应力数值
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
E D
2 20
C F A A1
对应的点,其横坐标 为主应力
1,2
x 1
OA1
OC
CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标
C(
x
y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
y
20
tan1( 2 xy x y
)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine
maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
CG1
2
（1）主应力数值
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
E D
2 20
C F A A1
对应的点,其横坐标 为主应力
1,2
x 1
OA1
OC
CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标
C(
x
y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
y
20
tan1( 2 xy x y
)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine
maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
CG1
2
27 应力状态分析-图解法
程师：Otto Mohr引入）
y
n
二、应力圆的画法
x xy
1 建立应力坐标系，如下图所示，（注意 选好比例尺）
y
Ox n D( , )
2 在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx)
3 AB与σa 轴的交点C便是圆心。
x
2
A(x ,xy) 4 以C为圆心，以AC为半径画圆—应力圆；
C
O
B(y ,yx)
材料力学
Mechanics of Materials
平面应力状态分析–图解法
y
x xy
x
y
y yx
Ox
一、应力圆
xx
2
yy
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
对上述方程消去参数（2），得：
n
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工
y Ox
600 95MPa
600 25 3MPa
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
BA
2
0
1
2 在坐标系内画出点
A(95,25 3) B(45,25 3)
3 AB的垂直平分线与σα轴的交点C 便是圆心，以C为圆心，以AC 为半径画圆——应力圆
(MPa)
B
A
3O 2
20MPa
2α0
C
1
(MPa)
4 主应力及主平面如图
1 120 M Pa 2 20 M Pa 3 0 MPa
二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT
d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin21
xycos21
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
x
y
)2
2
xy
2
排序??
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2 面内最大切应力
y xy
x
x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa,
max
(
x
y
)2
2
xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MPa， y 40MPa,
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
应力状态分析2图解法
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20
A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故 作B1D′的垂直平分线，交 轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
8
[例2] 图示单元体，试用图解法确定主应力以及主平面位置。 解： 画应力圆
y yx
xy x
按选定比例尺，由 x = 80 MPa、xy = - 60 MPa 确定 D 点，由 y = - 40 MPa、yx = 60 MPa 确定 D′点；连接 DD′，交 轴
于点 C ；以点 C 为圆心、CD 为半径作出应力圆。
作出应力圆。
11
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1
20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa
延长 D′C 连线交圆周于 D ，即得 x 截面上的正应力
OF
EF
要点： 点面对应、基准一致、转向相同、倍角关系
2
D x , xy
2 0
0
D y , yx
三、由图解法（应力圆）确定主平面与主应力
Байду номын сангаас主应力
1 OA1
2 OB1
根据点面对应、基准一致、转向相同、倍角关系的原则即可确定 主平面的方位
二向应力状态分析PPT课件
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
bh3 12
500cm4
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
2点 (处于纯剪状态)
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
3点 (一般平面状态)
2
300 + -600 x + y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
平面应力状态的几种特殊情况
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
扭转
- x sin 2 x cos 2
1 ＝ x 2 ＝0 3 ＝- x max x
min
弯
x
2
+x
2
cos 2
- x sin 2
曲
x
2
sin 2
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
应力圆的画法课件
实例三：多向应力圆
多向应力圆，考虑多种受力方向和大小
输入 标题
详细描述
当物体受到多个方向的力和力矩作用时，应力圆呈现 多向性，圆心位于所有力和力矩的合力矩中心，半径 表示各方向应力的合力大小。
总结词
公式
F表示合力，F_i表示各方向力，M表示合力矩，M_i表 示各方向力矩。
解释
F=ΣF_i, M=ΣM_i
应力圆的应用
应力圆被广泛应用于工程和科学领域，特别是在材料力学、结构分析和机械设计中。通过 应力圆，工程师可以直观地了解应力的分布和变化，从而优化设计、提高结构的稳定性和 安全性。
对未来研究的展望
01
应力圆理论的发展
随着科学技术的发展，对应力圆理论的深入研究有望进一步揭示其内在
规律和性质，为解决更复杂的应力问题提供更有效的工具。
02
应力圆与其他领域的交叉研究
可以探索应力圆与其他领域（如物理学、生物学等）的交叉研究，以发
现新的应用和研究方向。
03
应力圆的计算机辅助分析
随着计算机技术的发展，利用计算机辅助分析工具进行应力圆的分析和
模拟将成为一个重要的研究方向，有助于提高分析的效率和准确性。
THANK YOU
应力圆的画法课件
目 录
• 应力圆的基本概念 • 应力圆的画法 • 应力圆的应用 • 应力圆的实例分析 • 总结与展望
01
应力圆的基本概念
定义与特性
定义
应力圆是一种表示平面应力状态 的工具，通过将平面内的应力分 量表示为圆周上的角度，以直观 地展示应力分布。
特性
应力圆具有直观性、易理解性、 易绘制性等特点，是工程中常用 的应力分析工具。
公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应力分析
第九章
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响
复杂应力状态分析2应力圆法
O
px A
OBC的面积为mdA
pz C
（A） OCA的面积为ndA
3
OAB的面积为ldA
z
2 1
x
y B
py
1 O
pz C
（B）平衡方程
X 0 px dA 1 mdA 0
2
Y 0 p y dA 3 ndA 0
px
Ax
Z 0 pz dA 2 ndA 0
（C）
p2
则E 点坐标： E（52.3，-18.7）
50
σ2
20 σ1
D′（50，20）
30 x A
C
σ1
σ2 0
20
B
3、主应力及主单元体
D（30，-20）
C（40，0） r 22.4 o 31.7o B点： 1 40 22.4 62.4(MPa)
A点： 2 40 22.4 17.6(MPa) 3 0
( n
2
3 )2
2
2 n
(
2
3
)2
2
(
n
3
2
1
)2
2 n
(
3
2
1
)2
(
n
1
2
2
)2
2 n
(
1
2
2
)2
结论：
σ3 σ2
σ1
任意斜截面上的应力，都落在图示阴影部分内，既阴影部 分内每一个点与一个截面上的应力相对应。
三、一点处应力状态中的 最大剪应力
max
1
3
2
★与二向应力状态中最大剪应力的区别：
与x轴的夹角为a，则
推论：
1
2
平面应力状态的解析法和应力圆法详解
的非地质专业学生提供深入学习的机会ꎮ
２. ６ 采用有效的考核方式
为了提高实验教学的质量ꎬ采用有效、合理的考核方式是
必要的ꎬ实验课的效果考核一般都是依据实验报告的质量来定
的ꎬ而实验报告不一定能完全反应实验课的学习效果ꎬ部分同
学可能存在照搬书本ꎬ抄袭别人的现象ꎬ这种考核方式比较偏
面ꎬ忽略了学生实际综合能力的考查ꎬ因此ꎬ还应该考察他们的
( τ ｙｘ 、τ ｙｚ ) 三对中至少有一对为 ０ꎬ由于通常习惯于用 ｘ、ｙ 平面ꎬ
故假设 σ ｚ 和( τ ｚｙ 、τ ｚｘ ) 等于 ０ꎬ这样ꎬ图 １ 的空间应力状态就可
以表示为图 ２ 所示的平面应力状态了ꎮ
图 ２ 平面应力状态
２ 平面应力状态的解析法
图 ３ 平面应力状态的解析法
如图 ３ 所示ꎬ假设用任意一个截面把图中的平面应力状态
( σ ｙ 、τ ｙ ) 为垂直关系ꎬ即夹角为 ９０°ꎬ而到了图 ４￣ｂ 所示的应力
圆中ꎬ其所对应的 Ａ 点和 Ｂ 点却在同一条直径上ꎬ即夹角为
１８０°ꎬ这就是所谓的“ 二倍角关系” ꎬ即:在应力状态中两个方向
面的夹角若为 αꎬ则在应力圆中所对应的两个点所在半径的夹
角将是 ２αꎮ
(３) 转向一致关系ꎮ 在图 ４￣ａ 所示的应力状态中ꎬ若以左
科技风 ２０１９ 年 １２ 月
科教论坛
ＤＯＩ:１０. １９３９２ / ｊ. ｃｎｋｉ. １６７１￣７３４１. ２０１９３５０２３
平面应力状态的解析法和应力圆法详解
陆仁强
湖南科技学院土木与环境工程学院 湖南永州 ４２５１００
摘 要:材料力学是土木类专业学生必修的一门专业基础课ꎬ对于后续专业课程的学习具有重要的基础作用ꎮ 但是材料力学
而对应到图 ４￣ｂ 的应力圆ꎬ找到坐标值为( σｘ 、τ ｘ ) 的点为 Ａ 点ꎬ
２. ６ 采用有效的考核方式
为了提高实验教学的质量ꎬ采用有效、合理的考核方式是
必要的ꎬ实验课的效果考核一般都是依据实验报告的质量来定
的ꎬ而实验报告不一定能完全反应实验课的学习效果ꎬ部分同
学可能存在照搬书本ꎬ抄袭别人的现象ꎬ这种考核方式比较偏
面ꎬ忽略了学生实际综合能力的考查ꎬ因此ꎬ还应该考察他们的
( τ ｙｘ 、τ ｙｚ ) 三对中至少有一对为 ０ꎬ由于通常习惯于用 ｘ、ｙ 平面ꎬ
故假设 σ ｚ 和( τ ｚｙ 、τ ｚｘ ) 等于 ０ꎬ这样ꎬ图 １ 的空间应力状态就可
以表示为图 ２ 所示的平面应力状态了ꎮ
图 ２ 平面应力状态
２ 平面应力状态的解析法
图 ３ 平面应力状态的解析法
如图 ３ 所示ꎬ假设用任意一个截面把图中的平面应力状态
( σ ｙ 、τ ｙ ) 为垂直关系ꎬ即夹角为 ９０°ꎬ而到了图 ４￣ｂ 所示的应力
圆中ꎬ其所对应的 Ａ 点和 Ｂ 点却在同一条直径上ꎬ即夹角为
１８０°ꎬ这就是所谓的“ 二倍角关系” ꎬ即:在应力状态中两个方向
面的夹角若为 αꎬ则在应力圆中所对应的两个点所在半径的夹
角将是 ２αꎮ
(３) 转向一致关系ꎮ 在图 ４￣ａ 所示的应力状态中ꎬ若以左
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陆仁强
湖南科技学院土木与环境工程学院 湖南永州 ４２５１００
摘 要:材料力学是土木类专业学生必修的一门专业基础课ꎬ对于后续专业课程的学习具有重要的基础作用ꎮ 但是材料力学
而对应到图 ４￣ｂ 的应力圆ꎬ找到坐标值为( σｘ 、τ ｘ ) 的点为 Ａ 点ꎬ
二向应力状态分析图解法ppt课件
3 1
u
1 2E
2 1
2 2
2 3
2
1
2
3
2
1
3
1 20( )2200( ) 2E
1 2
E
G
E
21
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .
P1
P2
A
y x
P2 z
b z
a
l
b=50mm h=100mm
A
P2 A
20KN
（拉伸）
A
3FS 2A
30MPa
（负）
§7–9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度计算公式
1 、 单轴应力状态下, 物体内所积蓄的比能为
2
v
1
平行于3的方向面－其上之应力与3无关， 于是由1 、 2可作出应力圆.
y
1
max
2
3
z
x
3
2
图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面 上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（2）整个单元体内的最大剪应力为
max
1
2
3
最大正应力和最大剪应力
从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小 正应力及最大剪应力分别为
2
a1 1
a2 3
a3
五、体积应变与应力分量间的关系
V dx dy dz
V1 dx(1 1 )dy(1 2 )dz(1 3 ) dx dy dz(1 1 2 3 )
体积应变：
V1 V V
1 2 3
代入本构关系，得到体积应变与应力 分量间的关系:
二向应力状态分析--解析法和图解法
多轴加载情况下处理方法
多轴加载定义
多轴加载是指物体在多个方向上同时受到外力的作用，导致物体 内部产生复杂的应力状态。
坐标变换法
通过坐标变换法可以将多轴加载情况下的应力状态转换到主应力 空间中进行分析，从而简化问题。
数值计算法
对于复杂的多轴加载情况，可以采用数值计算法求解应力张量和 主应力，以获得更精确的结果。
图形表示在工程中应用
01 02
复杂应力状态分析
在实际工程中，构件往往处于复杂的应力状态下。通过图解法，特别是 Mohr圆的应用，可以方便地确定构件的危险点和安全裕度，为工程设 计提供重要参考。
强度校核
在结构设计中，需要对关键构件进行强度校核。图解法可以直观地展示 受力构件的应力分布和大小，从而判断其是否满足强度要求。
VS
图解法适用范围
适用于简单的应力状态分析或者对精确度 要求不高的情况。例如，在初步设计阶段 或者课堂教学过程中，可以采用图解法进 行快速的应力状态分析和演示。
实例验证两种方法一致性
• 以某一具体实例为例，分别采用解析 法和图解法进行应力状态分析。通过 比较两种方法得到的结果，可以验证 两种方法的一致性和准确性。具体实 例可以根据实际情况选择，例如可以 选择一个简单的杆件结构或者一个复 杂的板壳结构进行分析。
优缺点分析
• 对数学知识要求低：相对于解析法，图解法对数 学知识的要求较低。
优缺点分析
精确度相对较低
由于绘图和测量过程中可能存在误差，因此图解法的精 确度相对较低。
适用范围有限
对于某些复杂的应力状态，图解法可能无法适用或者难 以得到准确结果。
适用范围讨论
解析法适用范围
适用于各种复杂的应力状态分析，特别 是需要高精度计算的情况。例如，在航 空航天、桥梁建筑等领域，对结构的安 全性要求极高，需要采用解析法进行精 确的分析和计算。
应力圆的概念
s 1 = 57 s 2 = 0 s 3 = -7 2a0 = -38.60 a0 = -19.30
(3) 画主应力方向
s3
s1 = 57 s 2 = 0 s 3 = -7
a0 = -19.3
a0 = -19.30
s1
D2
sx
量取 OB2=sy , B2D2= ty ,
得D2 点
(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为 圆心, CD1或CD2为半径 作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
t
该圆的圆心 C 点到 坐标
(b)
D1
原点的 距离为 s x + s y
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa ,
（1）绘出相应的应力圆 （2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σx τ x
σx
τx
x
τy σy
§7-3 二向应力状态下的应力分析(应力圆)
一、 应力圆的概念
由
sa
=sx
+sy
2
+sx
-s y
2
cos2a
-tx
sin 2a
ta
=sx
-s y
2
sin 2a
+tx
cos2a
削去α得到
(3) 画主应力方向
s3
s1 = 57 s 2 = 0 s 3 = -7
a0 = -19.3
a0 = -19.30
s1
D2
sx
量取 OB2=sy , B2D2= ty ,
得D2 点
(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为 圆心, CD1或CD2为半径 作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
t
该圆的圆心 C 点到 坐标
(b)
D1
原点的 距离为 s x + s y
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa ,
（1）绘出相应的应力圆 （2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σx τ x
σx
τx
x
τy σy
§7-3 二向应力状态下的应力分析(应力圆)
一、 应力圆的概念
由
sa
=sx
+sy
2
+sx
-s y
2
cos2a
-tx
sin 2a
ta
=sx
-s y
2
sin 2a
+tx
cos2a
削去α得到
应力圆的讲解
3-5三向应力圆及最大切应力
如果微单元的z 平面是主平面，那么x－y 坐标系内的应力变换仍然可以用前面所述方法进行。
z 平面上的主应力与x－y 坐标系的两个主应力按代数值大小分别用σ1，σ2，σ3来表示。
最大切应力发生在法向与σ1和σ3方向成45o 夹角的
截面上，最大切应力为 13max min 2
σ−στ=±
如以三个主平面作坐标平面截取一单元体，见上图(a)。
对于一任意斜截面上的应力情况，即该截面上的正应力值和剪应力值可以图中三个应力圆圆周所包含的阴影面积内的某一点K 来表示。
对于与主应力相平行的截面，对应以 为圆心，和以 为半径的应力圆.
对于与主应力
相平行的截面，其应力圆的圆心为 ，半
径为 。
对于与主应力
相平行的截面，应力圆的圆心 ， 半径 为 。
(b)231max 31==，
从上图的三个应力圆上，可看出最大正应力值为，最小正应力值为σ3。
最大剪应力等于
23
1 max σ
σ−
τ=
因此材料在复杂受力情况下，三向应力状态的单元体的最大正应力、最小正应力和最大剪应力分别为。
材料力学应力圆法课件
3.求最大切应力（Determine
maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
C1G ( x2 y)2x 2ymax y
C2G ( x2 y)2x 2ymin
G1 D
B
20
C
A A1
力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2
决定
3
与3 垂直的斜截面上的应力可
由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表
示
1
1
2
3 2
该应力圆上的点对应
于与3 垂直的所有斜截面
上的应力
与主应力 2 所在主平 面垂直的斜截面上的应力,
可用由1 ,3作出的应力
圆上的点来表示
OC
B
A
与主应力１所在主平
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
2.证明(Prove)
（1）该圆的圆心C点到 坐 标原点的 距离为
D
x y
2
（2）该圆半径为
o
B
C
A
y
D′
R (x 2y)2x2y
x
O O C 1 ( O B O A ) 1 B ( O O A ) B x y
以 DD′为直径作应力圆
A1,A2 两点的横坐标分别代
表另外两个主应力 1 和 3
D′
1 =46MPa 3 =-26MPa
A2
该单元体的三个主应力
O
1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa
材料力学应力圆知识点总结
材料力学应力圆知识点总结材料力学是研究物质内部受力和变形规律的学科，其中应力圆是应力分析的重要工具和方法之一。
应力圆的概念由英国工程师、物理学家威廉·蒙特格迪提出，它能够帮助我们理解和分析材料内部的应力状态。
本文将对材料力学中应力圆的相关知识点进行总结和归纳。
1. 应力和应变应力是单位面积上的内部力，描述了物体在受力作用下的抵抗能力。
应力的三个基本分量包括正应力、剪应力和法向切应力，分别指沿正方向的拉伸或压缩力、平面上的切变力和垂直于平面的拉伸或压缩力。
与应力相对应的是应变，它描述了材料在受到应力作用后的形变程度。
2. 应力变换与应力圆在材料内部，常常有多个应力分量同时存在，而应力圆可以帮助我们更直观地理解和计算这些应力的叠加效果。
应力圆是由正应力和剪应力构成的坐标系，其中纵轴表示正应力，横轴表示剪应力。
在应力圆中，每个点代表一组特定的正应力和剪应力，通过应力圆的半径和圆心位置可以计算出材料在不同方向上的应力分布和主应力方向。
3. 应力主轴和主应力应力主轴是应力圆中连接两个主应力的直线，其中主应力是指正应力的最大和最小值。
在应力圆中，主应力对应的应力分量称为主应力分量，其中主应力之差称为主应力差。
主应力和主应力分量的计算可以通过应力圆的半径和圆心位置得到。
4. 最大主应力与最小主应力最大主应力指的是主应力中的最大值，对应的主应力分量称为最大主应力分量。
最小主应力则是主应力中的最小值，对应的主应力分量称为最小主应力分量。
在应力圆中，最大主应力和最小主应力分别对应应力圆的顶点和底点，通过计算它们的数值可以帮助我们了解材料的承载能力和抗压性能。
5. 剪应力最大值与剪应力角剪应力最大值是在应力圆中剪应力的最大点，对应的坐标值为半径的一半。
剪应力角是剪应力最大值对应的主应力方向与横轴的夹角，通过剪应力角我们可以了解材料在受力方向上的切变情况。
总结：材料力学中的应力圆是一种重要的工具和方法，可以帮助我们更好地理解和分析材料内部的应力状态。
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a x cos 2a ysin 2a ( x y )sinacosa a ( x y )sinacosa x cos 2a ysin 2a
a x cos 2a ysin 2a ( x y )sinacosa
2
应力圆 —— 图解法
应力状态
a截面应力 a , a
迹
应力圆的绘制与应用
绘制应力圆
x面应力 y面应力
C x y
2
D、E两点
－ 圆心横坐标
应力圆直径DE
应力圆
图解法求斜截面应力
2 2 H OC CD cos2a 0cos2a CD sin2a 0sin2a x y x y H cos2a x sin2a a 2 2 同理可证： H a
max min
1 3 , 2 0
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断 发生在max 的作用面
断裂发生在 max的作用 面
例题
例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
max x y x y 2 x min 2 2 x tana 0 max y
2
a 0
x y
2
应力圆
2
sin2a x cos2a
2
x y 2 x y 2 0 a x a 2 2 x y C 2
x y 2 R x 2
符号规定：
切应力 － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位用 a － 以 x 轴为始边、 者为正
问题：试建立 a, a 与 x, x, y, y 间的关系
a截面应力公式 微 体 应 力 图
根据平衡条件确定 微 体 受 力 图
Fn 0， a dA ( x dAcosa )sina - ( x dAcosa )cosa ( ydAsina )cosa - ( ydAsina )sina 0 Ft 0， a dA ( x dAcosa )cosa - ( x dAcosa )sina ( ydAsina )sina ( ydAsina )cosa 0
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态 微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式
平面应力状态 的一般形式
§2 平面应力状态应力分析
解析法 例题
平面应力状态应力分析——解析法
问题 平 面 应 力 状 态 任意截面：// z 轴； 截面方位角用 a 表示；应力为 a, a
m
m
§3 应力圆
应力圆
应力圆的绘制与应用
例题
应力圆
a x y x y
2 2 cos2a x sin2a
a
x y
2
sin2a x cos2a cos2a x sin2a
a
x y
2
x y
x y x y a H OC CD cos(2 cos2 )x sin2a a0 a 2 a
点、面对应关系
点面对应，转向相同，转角加倍；
圆心在轴上；
互垂截面，对应同一直径两端；
例题
例 3-1 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
a ( x y )sinacosa x cos 2a ysin 2a
由于x 与 x 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
a
a
x y x y
2 x y 2 2
cos2a x sin2a
sin2a x cos2a
第 7 章 应力、应变状态分析 本章主要研究： 应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变一般关系 应变能分析计算
第 7 章 应力、应变状态分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6
引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力
平面应变状态应变分析
2 x tan2a 0 x y tana 0
max min
x y 2 x 2
x x x min max y
主平面与主应力
2 1
i?
3
主平面－切应力为零的截面 相邻主平面相互垂直，构成一正六 面形微体－主平面微体 主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ 1 2 3（按代数值排列）
2
sin2a x cos2a
解： x 100 MPa x 60 MPa y 50 MPa a 30
(-100 50) MPa (-100 50) MPa cos(-60 ) 2 2 (-60 MPa)sin(-60 ) -114.5 MPa ( 100 50) MPa sin(60 ) ( 60 MPa)cos( 60 ) 35.0 MPa 2
2. 图解法
a 0 62.5
1 26 MPa
2 0
3 96 MPa
m 115 MPa
m 35 MPa
§4 平面应力状态的极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力
纯剪切应力与扭转破坏
例题
平面应力状态的极值应力
max x y x y 2 x min 2 2
微体A
微体abcd
微体A
复杂受力情况 强度条件
最大应力 所在截面与大小
应力、应变 状态分析
应力与应变状态
应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为 该点处的应力状态（正应力、切应力） 应变状态 构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点 处的应变状态（正应变、切应变） 研究方法 环绕研究点切取微体：表示各截面与方位； 应力状态：微体静力平衡； 应变状态：微体小变形分析方法。 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
§7 各向同性材料的应力应变关系 §8 复杂应力状态下的应变能 §9 复合材料的应力应变关系简介
§1 引言
问题提出
应力与应变状态 平面与空间应力状态
问题提出 强度条件
单向受力状态 问题 其它受力状态的强度条 件如何建立？
max
纯剪切应力状态 max
上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异 性、非线弹性与非弹性问题
讨论：
a 0,
x面应力状态； a
2
,
y面应力状态
y 0, x 0, x y 0,
说明： 1）符号规定：
拉压杆斜截面应力； 受扭圆轴斜截面应力；
应力状态分类 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
纯剪切应力与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
t,max c
c,max D
解：1. 解析法 x 70 MPa
x 50 MPa
2
y 0
max 70 0 70 0 50 2 26 MPa - 96 MPa min 2 2
a 0 arctan
1 26 MPa
50 62.5 26 0 2 0 3 96 MPa
：受拉；：顺时针； a：+x逆时针。 2）a面与a+面：
a a
a a
烦琐
3）应力公式 应力极值、方位角
例题
例 2-1 试计算截面 m-m 上的应力
x y x y a cos2a x sin2a 2 2
a
x y