应力圆
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二向应力状态下的应力分析(应力圆)
(
x
-s y )2
2
+
t
2 x
当斜截面随方位角 a 变化时, 其上的应力 σα , τ α 在
s - t 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴
(
s
轴
)上,离原点的距离为
sx
+sy
2
半径为
此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。
s
(
x
2
s
y
)2
+
t
2 x
(sa
-sx
+s
2
y )2
+ ta2
A1 s
α o 确定后， s1 对应的主平面方位即确定。
tg(-2a 0 )
=
B1D1 CB1
=
2t x (s x -s
y)
再根据应力圆判断α0的
合理范围
由此可定出主应力s1 所 o 在平面的位置。由于A1A2 为 应力圆的直径, 则s2 所在的另 一主平面与s1 所在的主平面 垂直 。
t
σ2
A2 B2
σy
t
o
B2
sy
D2
sx
量取 OB2=sy , B2D2= ty ,
得D2 点
(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为 圆心, CD1或CD2为半径 作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
t
该圆的圆心 C 点到 坐标
x
-s y )2
2
+
t
2 x
当斜截面随方位角 a 变化时, 其上的应力 σα , τ α 在
s - t 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴
(
s
轴
)上,离原点的距离为
sx
+sy
2
半径为
此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。
s
(
x
2
s
y
)2
+
t
2 x
(sa
-sx
+s
2
y )2
+ ta2
A1 s
α o 确定后， s1 对应的主平面方位即确定。
tg(-2a 0 )
=
B1D1 CB1
=
2t x (s x -s
y)
再根据应力圆判断α0的
合理范围
由此可定出主应力s1 所 o 在平面的位置。由于A1A2 为 应力圆的直径, 则s2 所在的另 一主平面与s1 所在的主平面 垂直 。
t
σ2
A2 B2
σy
t
o
B2
sy
D2
sx
量取 OB2=sy , B2D2= ty ,
得D2 点
(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为 圆心, CD1或CD2为半径 作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
t
该圆的圆心 C 点到 坐标
材料力学应力圆法课件
o
（1）主应力数值
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
E D
2 20
C F A A1
对应的点,其横坐标 为主应力
1,2
x 1
OA1
OC
CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标
C(
x
y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
y
20
tan1( 2 xy x y
)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine
maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
CG1
2
（1）主应力数值
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
E D
2 20
C F A A1
对应的点,其横坐标 为主应力
1,2
x 1
OA1
OC
CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标
C(
x
y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
y
20
tan1( 2 xy x y
)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine
maximum shearing stress by
2
using stress circle）
G1和G两点的纵坐标分别代 o B1
表最大和最小切应力
CG1
2
应力圆概念
σ1
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa , （1）绘出相应的应力圆 （2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σ x = -1
σx τx
C
D1 (-1,-0.2)
B2
s
(2) 确定 a = 30°斜截面上的应力 将 半径 CD1 逆时针转动 2a = 60°到半径 CE, E 点的坐标就
代表 a = 30°斜截面上的应力。
(-0.4,0.2) t D2 B1 C o
B2
D1 (-1,0.2)
s
σ 30 = -0.68 MPa
0
60
C
D1 (-1,0.2)
B2
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
σ 30 = -0.68 MPa
0
τ 30 = -0.36 MPa
0
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
y
α =30
0
x
α = 400
例题 7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示,
0
τ 30
E
τ 30 = -0.36 MPa
0
0
σ 30
0
(3) 确定 a = - 40°斜截面上的应力 将 半径 CD1 顺时针转 2a = 80°到半径 CF, F 点的坐标就 代表a = - 40°斜截面上的应力。 F
σ -40
-80
材料力学第18讲 Chapter7-2第七章 应力状态(应力圆)
x
y
2
R cos[180o
(2
20 )]
xy
x
2
y
R cos(2
20 )
O
xy
x
y
2
R(cos 2
cos 20
sin 2
sin 20 )
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
D
A ( x , xy )
y R 2 20
E
C
x
B ( y , xy )
13
单元体与应力圆的对应关系
y y
y
10
a
64103 110103 3.206107 1012
219.6MPa
200
b
64103 100103 3.206107 1012
199.6MPa
10
c
64103 0 3.206107 1012
0.0MPa
120
10
c z
b a y
30
(Fs 160kN; M 64kN m)
xy
（3）以C 为圆心，AC为半径画圆
—应力圆或莫尔圆
O
xy
y
y
xy x
Ox
A ( x , xy )
y C
B ( y , xy )
x
10
3、单元体公式与应力圆的关系
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
x
x
x
0
y 1
应力莫尔圆(课堂PPT)
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2a 2a0 )] R sin( 2a 2a0 )
( R cos 2a0 ) sin 2a ( R cos 2a0 )cos 2a
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 95
150° 25 3
a0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与sa
轴的交点 C 即是圆心，
a (MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
s3
O
s2
应力圆
A
2a 0
C
s1
20MPa
s1
sa
(MPa)
§9.3 应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
《来由》 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
把a看成参数，能否找到 s a与 a的函数关系？
sy
一、斜截面应力
s3 s y
D
2a o s x s1
a0
180 36.86 2
71.57
C
O
s 5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转a o
30
得主单元体的最大
80
s 2 80
s1
应力圆
•
• •
• •
点面对应--应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方 向面上的正应力和切应力； 转向对应--半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应--半径转过的角度是方向面法线旋转角度的 两倍。 有这三个对应关系，画应力圆和从应力圆得到一些重要 关系就比较方便。 首先是点面对应。如图是一个平面应力状态，建立图示 坐标系，图中的应力圆圆周上a点对应于微元的一个方向 面A，A面上的正应力和切应力就对应着应力圆上a点的坐 标。
•
通过求圆心坐标和半径 的画法比较复杂，所以利 用上面的三种对应关系来 画。首先建立坐标系， 在 坐标系中，标定与微元垂 直的A、D面上应力对应的 点a和d，连d交轴于c点， c即为圆心，cd或ca为应 力圆半径。
例题
应力圆
• 数字转换是很麻烦的，但若是把数学公式 加以简单的变换，可以发现任意方向面上 的应力所满足的方程可以转换为一个圆的方程 几种对应关系 应力圆的画法 应力圆的应用
•
利用三角恒等式，可以将前面所得的关于和的方程写成：
•
利用三角恒等式进行转换，于是写成如图上面的两个方程，再经过简单的 数学转换，就得到图中最下的方程。 • 应力圆的圆心坐标是（σx +σy）/2，半径为R，因此应力圆就是如图所示 的圆。
复杂应力状态分析2应力圆法
O
px A
OBC的面积为mdA
pz C
（A） OCA的面积为ndA
3
OAB的面积为ldA
z
2 1
x
y B
py
1 O
pz C
（B）平衡方程
X 0 px dA 1 mdA 0
2
Y 0 p y dA 3 ndA 0
px
Ax
Z 0 pz dA 2 ndA 0
（C）
p2
则E 点坐标： E（52.3，-18.7）
50
σ2
20 σ1
D′（50，20）
30 x A
C
σ1
σ2 0
20
B
3、主应力及主单元体
D（30，-20）
C（40，0） r 22.4 o 31.7o B点： 1 40 22.4 62.4(MPa)
A点： 2 40 22.4 17.6(MPa) 3 0
( n
2
3 )2
2
2 n
(
2
3
)2
2
(
n
3
2
1
)2
2 n
(
3
2
1
)2
(
n
1
2
2
)2
2 n
(
1
2
2
)2
结论：
σ3 σ2
σ1
任意斜截面上的应力，都落在图示阴影部分内，既阴影部 分内每一个点与一个截面上的应力相对应。
三、一点处应力状态中的 最大剪应力
max
1
3
2
★与二向应力状态中最大剪应力的区别：
与x轴的夹角为a，则
推论：
1
2
应力圆主应力
材料力学Ⅰ电子教案
一、应力圆的概念
平面应力状态中a 斜截面上应力sa，ta的公式：
sa
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2a
t x sin 2a
1
ta
sx
s y
2
sin 2a
t x cos 2a
材料力学Ⅰ电子教案
sa
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos 2a
tx
sin 2a
ta
sx
s
2t xy x s
y
60 0.6
60 40
a0 15.5 , a0 15.5 90 105.5
主应力 s 1 方向：a 0 15.5 主应力 s 3 方向：a0 105 .5
11
材料力学Ⅰ电子教案
主应力 s 1 方向：a 0 15.5 主应力 s 3 方向：a0 105 .5
s y
2
sin 2a
t x cos 2a
先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项
移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
s a
sx
s
2
y
2
t
2 a
s x
s
2
y
2
t
2 x
这个方程可以看作是以（s a，t a）为坐标的点的曲线
方程，该曲线方程就是圆的方程，由这个方程确定的圆称
为应力圆（莫尔圆）。
2
材料力学Ⅰ电子教案
通过应力圆可以直观地了解平面应力状态的一些特征。
一、应力圆的概念
平面应力状态中a 斜截面上应力sa，ta的公式：
sa
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2a
t x sin 2a
1
ta
sx
s y
2
sin 2a
t x cos 2a
材料力学Ⅰ电子教案
sa
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos 2a
tx
sin 2a
ta
sx
s
2t xy x s
y
60 0.6
60 40
a0 15.5 , a0 15.5 90 105.5
主应力 s 1 方向：a 0 15.5 主应力 s 3 方向：a0 105 .5
11
材料力学Ⅰ电子教案
主应力 s 1 方向：a 0 15.5 主应力 s 3 方向：a0 105 .5
s y
2
sin 2a
t x cos 2a
先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项
移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
s a
sx
s
2
y
2
t
2 a
s x
s
2
y
2
t
2 x
这个方程可以看作是以（s a，t a）为坐标的点的曲线
方程，该曲线方程就是圆的方程，由这个方程确定的圆称
为应力圆（莫尔圆）。
2
材料力学Ⅰ电子教案
通过应力圆可以直观地了解平面应力状态的一些特征。
莫尔应力圆[优讲课堂]
![莫尔应力圆[优讲课堂]](https://img.taocdn.com/s3/m/8fc1000f960590c69fc3769a.png)
( 1 3 )2 2 (1 3 )2
2
2
在στ坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个 圆，圆心落在σ轴上，与坐标原点的距离为(σ1+ σ3)/2,半 径为(σ1- σ3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。
莫尔应力圆圆周上的任意点，都代表着单元粉体中相应 面上的应力状态。
课资讲解
7
3.2 莫尔-库仑定律
15
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
课资讲解 莫尔圆半径：p*sin16φ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力 1 p (1 sini ) c cot i 最小主应力 3 p (1 sini ) c cot i
zz
粉体主要承受压缩作用，粉体的正应力规定压应力为
正，拉应力为负；切应课力资讲是解逆时针为正，顺为负。 2
二、莫尔应力圆
1、为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？ 首先由Otto Mohr（1835-1918）提出（ 一位工程师）
来由—— 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
状态—称为莫尔－库仑破坏
准则，它是目前判别粉体(粉
体单元)所处状态的最常用或
最基本的准则。
课资讲解
12
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系： 1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a： 处于静止状态
τ-σ线为直线b： 临界流动状态/流 动状态
根据这一准则，当粉体
应力圆的画法课件
实例三：多向应力圆
多向应力圆，考虑多种受力方向和大小
输入 标题
详细描述
当物体受到多个方向的力和力矩作用时，应力圆呈现 多向性，圆心位于所有力和力矩的合力矩中心，半径 表示各方向应力的合力大小。
总结词
公式
F表示合力，F_i表示各方向力，M表示合力矩，M_i表 示各方向力矩。
解释
F=ΣF_i, M=ΣM_i
应力圆的应用
应力圆被广泛应用于工程和科学领域，特别是在材料力学、结构分析和机械设计中。通过 应力圆，工程师可以直观地了解应力的分布和变化，从而优化设计、提高结构的稳定性和 安全性。
对未来研究的展望
01
应力圆理论的发展
随着科学技术的发展，对应力圆理论的深入研究有望进一步揭示其内在
规律和性质，为解决更复杂的应力问题提供更有效的工具。
02
应力圆与其他领域的交叉研究
可以探索应力圆与其他领域（如物理学、生物学等）的交叉研究，以发
现新的应用和研究方向。
03
应力圆的计算机辅助分析
随着计算机技术的发展，利用计算机辅助分析工具进行应力圆的分析和
模拟将成为一个重要的研究方向，有助于提高分析的效率和准确性。
THANK YOU
应力圆的画法课件
目 录
• 应力圆的基本概念 • 应力圆的画法 • 应力圆的应用 • 应力圆的实例分析 • 总结与展望
01
应力圆的基本概念
定义与特性
定义
应力圆是一种表示平面应力状态 的工具，通过将平面内的应力分 量表示为圆周上的角度，以直观 地展示应力分布。
特性
应力圆具有直观性、易理解性、 易绘制性等特点，是工程中常用 的应力分析工具。
公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
纯剪切应力状态应力圆
纯剪切应力状态应力圆剪切应力是指物体内部的两个相邻平面之间的相对滑动力。
在纯剪切应力状态下，物体内部的应力状态呈现出一种特殊的形态，即应力圆。
应力圆是描述纯剪切应力状态下物体内部应力分布的一种图形，它具有一些独特的特征和性质。
一、应力圆的定义应力圆是指在纯剪切应力状态下，物体内部的应力分布呈现出的一种圆形图形。
应力圆的圆心位于物体内部的剪切平面上，圆的半径则代表了物体内部的剪切应力大小。
二、应力圆的特征1. 圆心位于剪切平面上应力圆的圆心位于物体内部的剪切平面上，这是因为在纯剪切应力状态下，物体内部的正应力为零，只有剪切应力存在。
因此，应力圆的圆心位于剪切平面上，代表了物体内部的剪切应力。
2. 圆的半径代表剪切应力大小应力圆的圆的半径代表了物体内部的剪切应力大小。
在纯剪切应力状态下，物体内部的正应力为零，只有剪切应力存在，因此应力圆的半径大小可以直接反映出物体内部的剪切应力大小。
3. 圆的切线方向为最大剪切应力方向应力圆的切线方向为最大剪切应力方向。
在纯剪切应力状态下，物体内部的应力分布呈现出一种对称性，因此应力圆的切线方向为最大剪切应力方向。
三、应力圆的应用应力圆在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在材料加工过程中，为了保证材料的强度和韧性，需要对材料进行剪切加工。
在剪切加工过程中，物体内部的应力状态呈现出纯剪切应力状态，因此可以利用应力圆来分析材料的应力分布情况，从而确定最佳的加工参数。
此外，应力圆还可以用于分析土壤的力学性质。
在土壤力学中，应力圆被广泛应用于分析土壤的剪切强度和剪切变形特性，从而为土壤工程设计提供重要的参考依据。
总之，应力圆是描述纯剪切应力状态下物体内部应力分布的一种图形，具有独特的特征和性质。
在工程实践中，应力圆被广泛应用于材料加工、土壤力学等领域，为工程设计提供了重要的参考依据。
莫尔应力圆 ppt课件
⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。
【例题】某砂土地基的ф=30°，C=0，若在均布条形 荷载p作用下，计算土中某点σ1=100kPa，σ3=30kPa ，问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）
【解】用四种方法计算。
⑴σ3、Φ、c→σ1：
1 3 ta n 2 ( 4 5 2 ) 3 0 ta n 2 6 0 9 0 k P a 1 0 0 k P a
P 1 1 s siin nii y y 1 1 s siin nii B g y K PB g y
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
KP
1 sini 1 sini
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时，
最大主应力与最小主应力之比。被动态应
莫尔-库仑定律：粉体内任一点的莫尔应力圆在 IYF的下方时，粉体将处于静止状态；粉体内某一 点的莫尔应力圆与IYF相切时，粉体处于临界流动 或流动状态
二 莫尔-库仑定律
把莫尔应力圆与库仑抗 剪强度定律互相结合起来。 通过两者之间的对照来对粉 体所处的状态进行判别。把 莫尔应力圆与库仑抗剪强度 线相切时的应力状态，破坏 状态—称为莫尔－库仑破坏 准则，它是目前判别粉体(粉 体单元)所处状态的最常用或 最基本的准则。
3 粉体静力学
3.1 莫尔应力圆 3.2 莫尔库仑定律 3.3 壁面最大主应力方向 3.4 朗肯应力状态 3.5 粉体应力计算
3.1 莫尔应力圆
一、粉体的应力规定
粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的 剪应力达到其抗剪强度。
xx xy xz
yx yy yz zx zy
这表明：在σ3=30kPa的条件下，该点如处 于极限平衡，则最大主应力为90kPa。 故可判断该点已破坏。
材料力学应力圆法课件
A
B 2
A
B
O C
2.求主应力数值和主平面位置 （Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle） （1）主应力数值 A1 和 B1 两点为与主平面
2
B1 B CF
direction)
εmax 1 2 2 [( ε x ε y ) ( ε x ε y ) γ xy ] εmin 2 xy tg 2 0 x y
3结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力指代数值应等于最大应力圆上a点的横坐标
§7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means)
一、莫尔圆（Mohr’s circle）
FE CE sin(2 o 2 ) CD sin 2 0 cos 2 CD cos 2 0 sin 2 x y sin 2 xy cos 2 2
说明
（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于 应力圆上某一点的坐标. （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
§ 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state)
平面应力状态下，已知一点的应变分量x ,y , xy ，欲求方 向上的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件,分别 找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x ,y , xy在此方向上 引起的线应变及切应变,再利用叠加原理. 一、任意方向的应变(The strain of any direction）
应力圆
•
• •
• •
点面对应--应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方 向面上的正应力和切应力； 转向对应--半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应--半径转过的角度是方向面法线旋转角度的 两倍。 有这三个对应关系，画应力圆和从应力圆得到一些重要 关系就比较方便。 首先是点面对应。如图是一个平面应力状态，建立图示 坐标系，图中的应力圆圆周上a点对应于微元的一个方向 面A，A面上的正应力和切应力就对应着应力圆上a点的坐 标。
应力圆
• 数字转换是很麻烦的，但若是把数学公式 加以简单的变换，可以发现任意方向面上 的应力所满足的方程可以转换为一个圆的 方程，这个圆就叫做应力圆。
பைடு நூலகம்
• • • •
应力圆方程 几种对应关系 应力圆的画法 应力圆的应用
•
利用三角恒等式，可以将前面所得的关于和的方程写成：
•
利用三角恒等式进行转换，于是写成如图上面的两个方程，再经过简单的 数学转换，就得到图中最下的方程。 • 应力圆的圆心坐标是（σx +σy）/2，半径为R，因此应力圆就是如图所示 的圆。
•
通过求圆心坐标和半径 的画法比较复杂，所以利 用上面的三种对应关系来 画。首先建立坐标系， 在 坐标系中，标定与微元垂 直的A、D面上应力对应的 点a和d，连d交轴于c点， c即为圆心，cd或ca为应 力圆半径。
例题
应力圆
确定后， 对应的主平面方位即确定 主平面方位即确定。 α0 确定后， σ1 对应的主平面方位即确定。
BD τx 1 1 tg(−2 0 ) = α = CB σ x −σ y 1 2
τ σ2 o
A2 B2 B1
( σx , τ x ) D1
C
= tg−1( −2τx ) 2α0 σx − σy
σy
σx
e
σx
f
τα o
τx
τy
B1 C
τx
σy
D2
σ
σy
σx 圆周上 E 点的 σ ¸τ 坐标 就依次为斜截面上的正应力 σα ， τ 剪应力 τα 。（ 证明略 ）
说明
（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 ）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，
应于应力圆上某一点的坐标。 应于应力圆上某一点的坐标。 （2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 ）夹角关系：
利用应力圆求 主应力 数值和 主平面位置 （1）主应力数值 A1 和 A2 两点为与主平面 对应的点， 对应的点，其横坐标 为主应力 σ1 ，σ2 。 o
τ σ2
A2 B2 D1
B1 C
A1
σ
σy
D2
σx σ1
τ
O 1 = O + CA A C 1
σ2 o
A2 B2
D1
C O 2 = O − CA A 1
τ σ2
A2 B2
( σx , τ x ) D1
σx σ1
σ 2 = OA2 = OC −CA 1
σ x +σ y − =
2
σ x−σ y) + 2 ( τx 2
莫尔应力圆
莫尔应力圆
莫尔应力圆是一种应力分析的图表，由英国工程师威廉·莫尔于1885年提出。
它可以帮助
我们确定各种应力和变形的关系，从而更好地理解材料的力学性能。
莫尔应力圆是一个椭圆，它由三条曲线组成，分别是弹性极限曲线、屈服曲线和破坏曲线。
它的坐标轴分别为应力和变形，可以用来表示材料的弹性极限、屈服点和破坏点。
莫尔应力圆可以帮助我们判断材料在不同应力下的行为，以及材料在极限状态下的变形量。
它是研究材料力学性能的重要工具，广泛应用于工程领域。
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补充
1、应力圆(莫尔圆) ..........................................................................................................................1 2、证明: 三个弹性常数 E、G、μ 之间的关系 ............................................................................9 3、虎克定律的统一形式...............................................................................................................10 4、广义虎克定律...........................................................................................................................10 5、应力函数...................................................................................................................................10 6、平面曲线的曲率、曲率半径...................................................................................................12 7、用 Mohr 圆进行坐标变换..........................................................................................................6 8、用柯西(Cauchy)方程进行坐标变换 ..........................................................................................7 9、柯西(Cauchy)公式......................................................................................................................8 10、主应力和相应的方向余弦.....................................................................................................13 11、变形协调方程.........................................................................................................................15 12、广义虎克定律.........................................................................................................................16 13、各向同性物体的广义虎克定律.............................................................................................16 14、应力张量分解为球张量和偏(斜)张量 ..................................................................................19 15、应变张量分解为球张量和偏斜张量 ..................................................................................... 21 16、应变能.....................................................................................................................................21 17、截面的静矩、惯性矩和惯性积.............................................................................................23 18、量纲.........................................................................................................................................25 19、达朗贝尔原理.........................................................................................................................26 20、应力概念.................................................................................................................................27 21、哑指标与自由指标.................................................................................................................30 22、克罗内克尔符号δ.................................................................................................................31 23、勒维–契维塔符号 δklm........................................................................................................31 补充题 ............................................................................................................................................34
cos 2α = σ x − σ y = σ x − σ y 2 ⋅ CA σ1 − σ 2
(A1.4)
sin 2α = τ xy = 2τ xy CA σ1 − σ 2
tg2α = 2τ xy σx −σy
σx
=
OC
+
CAcos 2α
=
σ1
+σ2 2
+
σ1
−σ2 2
cos 2α
= σ1 cos2 α + σ 2 sin 2 α
解：
如上图所示，水平压应力为σ1 （习惯上以最大主压应力σ1 ），断层面的法线是从σ1 方
3
向逆时针旋转 30°，也即θ =30°，代入公式可得：
σn
=
σ1
+ σ2 2
+
σ1
− σ2 2
cos 2θ =
−100 − 500 2
+
−100 + 500 2
co（s 2× 30）=-300 +100=-200公斤 / 厘米2
上式可以改写为（ cos 2α = cos2 α − sin2 α ）：
σn
=
σx
+ σy 2
+
σx
−σy 2
cos 2α
+τ xy sin 2α
σn
Î
− σx
+ σy 2
=
σx
−σy 2
cos 2α
+τ xy sin 2α
τn
=
−
σx
−σy 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
τn
=
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+τ xy
cos
2α
Mohr（1900）提出的一种分析平面应力的几何方法。消去上列方程组中的变量α ，得：
⎜⎜⎝⎛σ n
−
σx
+σ 2
y
⎟⎟⎠⎞ 2
+
τ
2 n
=
⎜⎜⎝⎛ σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞2
+τ
2 xy
当为主应力状态时，摩尔圆方程变为：
(A1.1)
⎛ ⎜⎝
σ
n
−
σ1
+σ2 2
⎞2 ⎟⎠
+
τ
2 n
=
⎛ ⎜⎝
σ
1
−σ2 2
⎞2 ⎟⎠
其中：σ n 为某一截面上的正应力，τ n 为该截面上的剪应力. 莫尔圆为σ n −τ n 平面上的一个
圆，这个圆的圆心 C 的坐标为 ⎜⎜⎝⎛ σ x
+σ y 2
,0⎟⎟⎠⎞ ,
半径为
⎜⎜⎝⎛ σ x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞2
+
τ
2
.
1、应力圆(莫尔圆) ..........................................................................................................................1 2、证明: 三个弹性常数 E、G、μ 之间的关系 ............................................................................9 3、虎克定律的统一形式...............................................................................................................10 4、广义虎克定律...........................................................................................................................10 5、应力函数...................................................................................................................................10 6、平面曲线的曲率、曲率半径...................................................................................................12 7、用 Mohr 圆进行坐标变换..........................................................................................................6 8、用柯西(Cauchy)方程进行坐标变换 ..........................................................................................7 9、柯西(Cauchy)公式......................................................................................................................8 10、主应力和相应的方向余弦.....................................................................................................13 11、变形协调方程.........................................................................................................................15 12、广义虎克定律.........................................................................................................................16 13、各向同性物体的广义虎克定律.............................................................................................16 14、应力张量分解为球张量和偏(斜)张量 ..................................................................................19 15、应变张量分解为球张量和偏斜张量 ..................................................................................... 21 16、应变能.....................................................................................................................................21 17、截面的静矩、惯性矩和惯性积.............................................................................................23 18、量纲.........................................................................................................................................25 19、达朗贝尔原理.........................................................................................................................26 20、应力概念.................................................................................................................................27 21、哑指标与自由指标.................................................................................................................30 22、克罗内克尔符号δ.................................................................................................................31 23、勒维–契维塔符号 δklm........................................................................................................31 补充题 ............................................................................................................................................34
cos 2α = σ x − σ y = σ x − σ y 2 ⋅ CA σ1 − σ 2
(A1.4)
sin 2α = τ xy = 2τ xy CA σ1 − σ 2
tg2α = 2τ xy σx −σy
σx
=
OC
+
CAcos 2α
=
σ1
+σ2 2
+
σ1
−σ2 2
cos 2α
= σ1 cos2 α + σ 2 sin 2 α
解：
如上图所示，水平压应力为σ1 （习惯上以最大主压应力σ1 ），断层面的法线是从σ1 方
3
向逆时针旋转 30°，也即θ =30°，代入公式可得：
σn
=
σ1
+ σ2 2
+
σ1
− σ2 2
cos 2θ =
−100 − 500 2
+
−100 + 500 2
co（s 2× 30）=-300 +100=-200公斤 / 厘米2
上式可以改写为（ cos 2α = cos2 α − sin2 α ）：
σn
=
σx
+ σy 2
+
σx
−σy 2
cos 2α
+τ xy sin 2α
σn
Î
− σx
+ σy 2
=
σx
−σy 2
cos 2α
+τ xy sin 2α
τn
=
−
σx
−σy 2
sin 2α
+τ xy
cos 2α
τn
=
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+τ xy
cos
2α
Mohr（1900）提出的一种分析平面应力的几何方法。消去上列方程组中的变量α ，得：
⎜⎜⎝⎛σ n
−
σx
+σ 2
y
⎟⎟⎠⎞ 2
+
τ
2 n
=
⎜⎜⎝⎛ σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞2
+τ
2 xy
当为主应力状态时，摩尔圆方程变为：
(A1.1)
⎛ ⎜⎝
σ
n
−
σ1
+σ2 2
⎞2 ⎟⎠
+
τ
2 n
=
⎛ ⎜⎝
σ
1
−σ2 2
⎞2 ⎟⎠
其中：σ n 为某一截面上的正应力，τ n 为该截面上的剪应力. 莫尔圆为σ n −τ n 平面上的一个
圆，这个圆的圆心 C 的坐标为 ⎜⎜⎝⎛ σ x
+σ y 2
,0⎟⎟⎠⎞ ,
半径为
⎜⎜⎝⎛ σ x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞2
+
τ
2
.