自动控制原理5
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第5章频域分析法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制原理第5章(5)
六、已知系统开环传递函
k ( s + 2) G ( s) = 2 s ( s + 20)
1. 试求相角裕度γ=45o时的k值 2. 在1.的基础上在对数坐标系中绘制一条 开环对数幅频渐近曲线L(ω)； 3. 用频域稳定判据判断闭环系统稳定性。 ωc=2.6时k=41.56, ωc=15.4时k=385.49 系统稳定
三、某单位反馈系统，开环传递函数为
20k G ( s) = s ( s 2 + s + 10)
1).由奈氏判据判断使系统稳定的k值范围。 2).求幅值裕度h=20时系统的相角裕度γ 。
(1)0 < k < 1 / 2 (2) wc = 0.05, γ = 89.7°
四、已知单位反馈系统的开环传递函数为 9 ，要求：
3.系统的带宽(0~wb) 带宽频率定义为系统闭环幅频特性衰减 到0.707M(0)时所对应的频率，通常用 wb表示。 频率从0到wb的频率范围，称为系统的 带宽，带宽的大小，即带宽频率wb的高 低，反映了系统的快速性和复现输入信号 的能力。
若记 φ ( jω )为系统闭环频率特性曲线， 则有：当ω > ωb 时，
20 lg φ ( jω ) < 20 lg φ ( jo ) − 3 ( dB )
例如，对一阶系统，按定义应该满足 ：
20lg φ ( jωb ) = 20lg 1 1 + T 2ωb 2 1 = 20lg 2
1 可求得带宽为 ω b = T 性。
，系统具有低通特
又例如，典型二阶系统： 由带宽定义得：
G (s) =
s ( s + 3)
2
1.绘制 G(s)的幅相曲线G(jw)，并用奈奎斯特 稳定判据判断系统的稳定性。 2.在对数坐标纸上绘制对数幅频渐近线L(w)。 3.求系统的相角裕度γ和幅值裕度h。 4.求输入r(t)=cost时的稳态输出Css(t)。
自动控制原理第5章-频域分析
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
自动控制原理第5章频率特性
自动控制原理第5章频率特性频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。
在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。
本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。
1.频率响应函数频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。
在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。
频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。
2.频率幅频特性频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。
频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。
对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。
3.相频特性相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。
相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。
在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。
4. Bode图Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。
它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
5.系统的稳定性分析频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。
在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。
对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。
6.频率特性的设计频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。
工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。
常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。
总结：本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。
频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。
自动控制原理 第五章 频率法
频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
自动控制原理
蒋大明
幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
90o
(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
自动控制原理
蒋大明
第三节
1.
《自动控制原理》第5章习题答案
jω
期望极点
期望极点
− p3
j
600
j0.58
− p2
-1
− p1
0 -j
-3
-2
σ
-2
19.150 -1
40.880 0.33 0
119.640
校核相角条件： 根据在图中主导极点位置的近似值－0.33 ± j 0.58 和开环极点的位置， 作由各开环极点到期望主导极点的向量，
Φ = －119.640 －40.880 －19.150 = －179.670≈－1800
− p2
-10 -5
− p1
0
σ
②计算期望主导极点位置。
超调量σ％ ≤ 20％，调整时间 ts ≤ 0.5s
4
ζω n
= 0.5s ， ζω n = 8
σ%=e
−
ζπ
1−ζ 2
= 0.2 ， ζ = 0.45 ， θ = 63.2 0
故，期望主导极点位置， s1, 2 = −8 ± j15.8
期望极点
Gc ( s ) =
4，控制系统的结构如图 T5.3 所示，Gc(s)为校正装置传递函数，用根轨迹法设计校正装置，
使校正后的系统满足如下要求，速度误差系数 Kv ≥ 20，闭环主导极点 ω n = 4 ，阻尼系数 保持不变。
R(s)
+ -
Gc(s)
4 s ( s + 2)
Y(s)
图 T5.3
解：①校核原系统。
14
+20
0dB
1
Φ (ω ) 度
900 00
5
ω rad/s
ω rad/s
2，控制系统的结构如图 T5.1 所示，试选择控制器 Gc(s)， 使系统对阶跃响应输入的超调量
自动控制原理第5章
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 sin(t arctanT ) 1 2T 2
1
e jarctanT
j 1
e 1 jT
1 2T 2
jT
1
1 jT
RC网络的频率特性
只要把传递函数式中的s以j置换，就可以 得到频率特性，即
1
1
1 jT 1 Ts sj
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频特性：( ) arctan 特征点： 1 , L( ) 3dB, 45
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
一阶微分环节的伯德图 幅相曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
六、振荡环节
传递函数： 频率特性：
G(s)
2 n
s2 2n s n2
1
s
n
2
2 n
s1
G( j
M ( ) G(j )
G1(j ) G2 (j ) G3(j ) M1( ) M2 ( ) M3 ( )
( ) G(j ) G1(j ) G2(j ) G3(j ) 1( ) 2( ) 3( )
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1.开环幅相特性曲线的绘制
例 某0型单位负反馈控制系统，系统开环
频率特性： G(j) 2 j 2 2 j 1
对数幅频特性：
L() 20lg G j 20lg 1 22 2 2 2
对数相频特性：
arctan
1
2 2
2
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线: 0时，M 1, 0 ; 时，M =, =180
自动控制原理
自动控制原理第五章
第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。
掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist 图和Bode 图的绘制方法，根据系统的Nyquist 图和Bode 图分析系统的性质。
本章的难点是Nyquist 稳定性分析。
[主要容]：一、引言 二、 频率特性 三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 四、 频率域稳定判据 五、 稳定裕度 六、 闭环系统的频域性能指标[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist 稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。
[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。
闭环频域性能指标的理解与应用[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。
准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。
与时域法进行对比，以加深理解。
§5-1 引言1.时域分析法（特点）1)以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。
它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。
2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。
3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
4) 在定性分析上存在明显的不足。
5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。
2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具； 3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。
自动控制原理第5章
jY (ω )
ω =∞
X (ω )
ω
积分环节的Nyquist图 积分环节的Bode图
幅频特性与角频率ω成反比，相频特性恒为－90° 成反比， 90° 对数幅频特性为一条斜率为 － 20dB/dec的直线，此 线通过L(ω)=0，ω=1的点
三、微分环节 微分环节的频率特性为
G ( jω ) = jω = ωe
奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述 了反馈系统稳定性。 极坐标图(Polar 极坐标图(Polar plot) =幅相频率特性曲线=幅相曲线 幅相频率特性曲线=
G ( jω )
可用幅值 G( jω ) 和相角ϕ (ω ) 的向量表示。
当输入信号的频率 ω → 0 ~ ∞ 变化时，向量 G ( jω ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面 上移动的轨迹称为极坐标图。
jY (ω )
ω →∞
ϕ (ω ) A(ω )
ω = 0 X (ω )
ω
RC网络对数频率特性 RC网络频率特性
5.2 典型环节的频率特性
用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态 响应时，是根据系统的开环频率特性进行的， 响应时，是根据系统的开环频率特性进行的， 而控制系统的开环频率特性通常是由若干典 型环节的频率特性组成的。 型环节的频率特性组成的。 本节介绍八种常用的典型环节。 本节介绍八种常用的典型环节。
频率响应: 正弦输入信号作用下， 系统输出的稳态分量。 频率响应 : 正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。 （控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成） 控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成） 频率特性: 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系， 频率特性 : 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它 和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应 数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应 的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。 的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。 频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典方法。 频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典方法。
自动控制原理第5章
8
二、图形表示法
1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 极坐标图 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 当频率ω 变化到无穷大时， 当频率ω从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画 有这种曲线的图形称为极坐标图。 有这种曲线的图形称为极坐标图。
− j arctan 2 ζT ω 1−T 2ω 2
幅频特性 相频特性
A(ω ) =
ϕ (ω ) = − arctan
23
典型环节的频率特性
9
2.博德图（对数频率特性图） 博德图（对数频率特性图） 博德图 两张图构成 一张是对数幅频图 一张是对数相频图 构成： 对数幅频图， 对数相频图。 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。
10
对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 是频率特性幅值的对数值乘20 即 L(ω ) = 20 lg A(ω ) 表示，均匀分度，单位为db。 表示，均匀分度，单位为db db。 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ(ω)，均匀分度，单 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ 是相移角 均匀分度， 位为“ 位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。
自动控制原理第五版
自动控制原理第五版自动控制原理第五版是一本介绍自动控制理论和应用的教材。
本书详细讲解了自动控制系统的基本概念、原理和方法，并通过大量的工程实例和案例分析，帮助读者理解和应用自动控制技术。
本书主要内容包括：1. 自动控制系统的基本概念和组成部分。
介绍了自动控制系统的基本概念，包括控制对象、传感器、执行器和控制器等组成部分，并详细解释了它们的作用和相互关系。
2. 系统建模与传递函数。
介绍了系统建模的方法和技巧，包括传统的数学建模方法和现代的系统辨识方法，并通过实例演示了如何得到系统的传递函数模型。
3. 闭环控制系统的分析与设计。
详细讲解了闭环控制系统的分析和设计方法，包括稳定性分析和频域分析等，并介绍了常用的控制器设计方法，如比例控制、积分控制和微分控制等。
4. 数字控制系统及其设计。
介绍了数字控制系统的基本原理和设计方法，包括采样定理、数字控制器设计和离散系统分析等内容。
5. 状态空间分析与设计。
详细介绍了状态空间分析和设计方法，包括状态空间模型的建立、可控性和可观性分析，以及状态反馈控制和观测器设计等。
6. 多变量控制系统。
介绍了多变量控制系统的基本概念和分析方法，包括多变量系统的稳定性判据、传递矩阵和多变量控制器设计等内容。
本书特色包括：1. 结合理论与实践。
除了介绍基本理论和方法，本书还通过大量的工程实例和案例分析，帮助读者更好地理解和应用自动控制技术。
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本书的内容安排清晰，逻辑严谨，既覆盖了基础知识，又涵盖了应用技术，非常适合自动控制领域的学习和应用。
总的来说，自动控制原理第五版是一本全面介绍自动控制理论和应用的教材，通过理论讲解和实例分析，帮助读者掌握自动控制系统的基本原理和方法，具备自动控制系统分析与设计的能力。
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
自动控制原理_第5章
：0 ( )： 0
dB
24
对数幅频曲线近似作法：
通信技术研究所
25
九.一阶不稳定环节 1 1 G( s) 特征根s= Ts 1 T
1 G ( j ) 1 T j
A( )
1 T 2 2 1
：0
一阶不稳： 惯性环节： 0
Im
0 n
1
1
0
Re
n
2
n
3 1 2 3
通信技术研究所
21
七.二阶微分环节
G( s) s2
2 n
2
n
s 1
G( j ) 1
( j )2
2 n
2
n
( j)
2 n arctan ， n 1 ( )2 n ( ) G ( j ) 2 n arctan ， n 1 ( )2 n
——幅频特性 ——相频特性
( ) ( j )
r (t ) Ar sin(t r ) 4. 稳态输出 cs (t ) ( j) Ar sin[t r ( j)]
通信技术研究所
3
三.频域性能指标 1.峰值Am ： A（ω）的最大值 2.频带宽 b： A()下降到0.707 A(0)对应的频率 3.相频宽 b ： ( ) 时对应的频率 2 4.零频振幅比A（0）：ω＝0时输出输入振幅比
dB
0
( ) 90
0.1 0. 2 0.3 0. 7
1
180 0.707 A( )无峰值 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 8 2 4 / 0.707 Am 1 m =0 0.707 Am 1 m 0 m , =0 Am m （共振） 0 m n (最大值) n
自动控制原理第五章PPT课件
s (1 0 .1 s)
s1 0 .1 s
比例环节
一阶微分环节
积分环节
惯性环节
.
23
非最小相位环节 ：开环零点、极点位于S平面右 半部分
➢ 比例环节：-K
➢ 惯性环节：1/(-Ts+1)，式中. T>0
24
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
• 对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因 为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳
定极点产生的发散或震荡分量。
.
8
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比
其反变换为
G(s)= C(s) R(s)
g(t) 1 jG(s)estds
2 j j 式中位于G(s)的收敛域。若系统稳定，则可取零，如果r(t)的傅氏变换 存在，可令s=j,则有
d () 是 关 于 的 奇 函 数 。
.
5
.
6
因而
1
G (j) c b 2 2 ( () ) d a 2 2 ( () ) 2 ,
G (j) a r c ta n b ()c () a ()d () a ()c () d ()b ()
G ( j )c a (( )) jjd b ( ( ) )G (j )ej G (j)
Tddut0u0ui
TRC
uo t
取拉氏变换并带入初始条件uo0
1
1 A
U o ( s ) T s 1 [ U i( s ) T u o 0 ] T s 1 [ s 2 2 T u o 0 ]
自动控制原理 第5章
⇒
X 2 − X +Y 2 = 0
（下半圆） 下半圆）
Y = −ω T X
§5.2 典型环节与开环系统的频率特性
1 G( s) = 不稳定惯性环节 Ts − 1 1 G ( jω ) = − 1 + jω T 1 G = 1 + ω 2T 2 ωT ∠ G = − arctan = − ( 180° − arctan ω T ) = −180° + arctan ω T -1
ω ω ⑹ G ( jω ) = 1 1 − 2 + j 2ξ ωn 2 ωn ω ω ⑺ G ( jω ) = 1 − 2 + j 2ξ ωn ωn ω2 ω 1 − 2 − j 2ξ ωn ωn ⑻ G ( jω ) = e − jτ ω
2
jω
ω ω2 1 − 2 + j 2ξ ωn ωn
建 模
§5.1
频率特性
cs (t ) = A
2
r ( t ) = A sin ω t
1+ω T
2
§5.1.2 频率特性 G(jω) 的定义 ω 定义一： 定义一： G ( jω ) = G ( jω ) ∠G ( jω )
G ( jω ) = cs (t ) 1 = r (t ) 1 + ω 2T 2
∠ c s (t ) = − 63.4° + 30° = − 33.4°
ω =2
cs (t ) =
3 sin( 2t − 33.4° ) 5
s Φ e ( s) = s+1
ω =2 2 es (t ) ω jω Φ e ( jω ) = = = = 2 1 + jω 3 5 1+ω
自动控制原理(第二版)第五章频率响应法
发展多变量频率响应法
针对多输入多输出系统，需要发展多变量频率响 应法，以便更好地处理复杂系统的分析问题。
深入研究非最小相位系统
针对非最小相位系统的稳定性判断问题，需要深 入研究其频率响应特性，并寻求有效的解决方法 。
06
CATALOGUE
结论
总结频率响应法的要点与重点
01 02 03 04
频率响应法是一种通过分析线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应 来评价系统性能的方法。
频率响应法的优势与局限性
优势
频率响应法能够提供系统在整个频率范围内的动态性能信息，有助于全面了解 系统的性能特点；通过分析频率特性，可以更容易地识别系统的稳定性和潜在 的谐振问题。
局限性
频率响应法主要适用于线性定常系统，对于非线性或时变系统，其应用可能受 到限制；此外，频率响应法无法提供系统的时域信息，如瞬态响应和稳定性。
05
CATALOGUE
频率响应法的局限性与改进方法
频率响应法的局限性
01
频率响应法主要适用于线性时不 变系统，对于非线性或时变系统 ，频率响应法可能不适用。
02
频率响应法只能给出系统在正弦 输入下的稳态输出，无法反映系
统的动态行为。
频率响应法无法处理多输入多输 出系统，对于复杂的多变量系统 ，需要采用其他方法进行分析。
02
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频率响应的基本概念
频率特性的定义
频率特性
系统对正弦输入信号的稳态输出与输入之比，用复数表示的频率 函数。
频率特性与传递函数
传递函数是系统在零初始条件下，频率特性的解析表达式。
频率特性与系统性能
频率特性直接反映系统在不同频率的正弦输入信号下的响应特性 ，与系统的动态和稳态性能密切相关。
自动控制原理—第五章(5)
从奈氏图上衡量系统的相对稳定性
由图可见,对 一结构,参数 给定的最小相 位系统,当开 环传递系数增 加 时 , 由 于 L(ωc) 曲 线 上 升 , 导致幅值穿越 频率 ωc右移, 从而使得相位 裕度与幅值裕 度都下降,甚 至使系统不稳 定.
幅值稳定裕度的物理意义为:对于闭环稳定的最小相位系统, 稳定的最小相位系统 幅值稳定裕度的物理意义为 : 对于闭环 稳定的 最小相位系统 , 若 系统在相角穿 分贝) 则系统将处于临界稳定状态. 越频率 ωg 处幅值增大 hg 倍 ( 或对数幅值上升 Lh 分贝 ) , 则系统将处于临界稳定状态 . 系统将变成不稳定;而不稳定系统,若开环放大系数缩小 若幅值增大倍数大于 hg , 系统将变成不稳定 ; 而不稳定系统 , 若开环放大系数 缩小 hg倍,系统将处于临界稳定. 系统将处于临界稳定.
从奈氏图上衡量系统的相对稳定性
5.5.3相位裕度 相位裕度
在系统幅值穿越频率 ω c 处 , 使系统达到临界稳定状态所 需的附加相位滞后角称为相 位裕度,用表示: 位裕度,用表示: γ=(ωc)-(-180) ( ) =(ωc)+180 从奈氏图上看, 从奈氏图上看 , 是 A( ωc ) 向 ( 量与负实轴之间的夹角 . 实 际上 , 从奈氏图或波德图上 都是相位移 ω 距离 距离-180° 的 都是相位移 (ωc)距离 ° 角度值. 角度值.
从奈氏图上衡量系统的相对稳定性
相位裕度为正值, 则相位裕度为负值, 如果 γ > 0,相位裕度为正值, 闭环系统稳定 . 反之 如果 γ < 0,则相位裕度为负值, 相位裕度为正值 闭环系统稳定.反之,如果 则相位裕度为负值 闭环系统不稳定. 闭环系统不稳定.
相角稳定裕度的物理意义在于: 相角稳定裕度的物理意义在于: 对于闭环稳定的最小相位系 系统的相角如果再减小γ角度, 统,在 ω=ωc 处,系统的相角如果再减小γ 角度,系统将处于临界 ω 稳定状态;减小的角度大于γ 系统将不稳定. 稳定状态 ; 减小的角度大于 γ 后 , 系统将不稳定 . 为了使最小相 位系统是稳定的, 必须为正值. 位系统是稳定的 γ必须为正值. 相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据, 相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据 ,描述系统的阻 尼程度.后面将会分析,二阶系统的相位裕度γ与阻尼比ζ之间有 尼程度.后面将会分析,二阶系统的相位裕度γ与阻尼比 之间有 一一对应的关系. 一一对应的关系. 通常,一个性能良好的控制系统,其相位裕度应具有45° 通常,一个性能良好的控制系统,其相位裕度应具有 °左右 的数值. 过低 系统的动态性能较差, 过低, 的数值 . γ过低, 系统的动态性能较差 , 对参数变化的适应能力 过高, 弱 ; γ过高, 则对系统及其组成元件要求较高 , 造成实现上的困 过高 则对系统及其组成元件要求较高, 或者经济性较差;或由于稳定程度过好, 难,或者经济性较差;或由于稳定程度过好,造成系统的过渡过 程较为缓慢. 程较为缓慢.
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• 4、系统动态结构图的建立 • 其方法步骤如下： • （1）建立系统各元部件（或典型环节）的 微分方程。 • （2）对各微分方程进行拉氏变换，并做出 各元部件的动态结构图（方块图）。或者 d 用S 算子符代替 dt即将微分方程中的微分符 d2 d 2 , 号 dt dt 2 用算子符 S, s , 代替，并将 时域的变量均换成相应的复域中拉氏变换 后的符号，经简单运算可得到各元件的传 递函数，并填写在对应的方块内。
• 对上式进行拉氏变换，得
1 U r ( s) U c ( s) RI ( s) I ( s) [U r ( s) U c ( s)] R 1 I ( s) CsU c ( s) U c ( s) I ( s) Cs
• 绘制上式各子方程的方块图
三、结构图的等效变换
• （3）按照系统中各信号的传递顺序，依次于左端，输出变量（即被控量）于 右端，便得到系统的动态结构图. • 二、结构图的建立 • 如 RC网络的微分方程
u r (t ) Ri(t ) u c (t ) duc (t ) i (t ) C dt
四、结构图变换示例
• 变换步骤及需要注意的问题： • 1．确定输入量与输出量。如作用在系统上的输入量有多 个（可以分别作用在系统的不同部位），则必须分别对每 个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。 • 2．若结构图中有交叉联系，应运用移动法则，首先将交 叉消除。注意，一般情况下，应使比较点向比较点一方移 动，引出点向引出点一方移动。避免比较点向引出点一方 移动，否则将使问题变得更复杂。 • 3．对多回路结构，可由里向外进行变换，逐个减少内回 路，直到变成一个等效的方块，即得到所求的传递函数。
• 此结构有以下特性： • （1）结构图是线图方式的数学模型，可以用来描 述控制系统的系统结构关系。 • （2）结构图上可以表示出系统的一些中间变量或 者系统的内部信息。（3）结构图与代数方程组等 价。因此可以通过结构图化简的方法消去中间变 量，化简代数方程组，将结构图化为最简方块， 即一个方块，来求得控制系统的传递函数。 • 3、动态结构图的特点 • （1）动态结构图形象、直观、便于研究系统的动 态性能。 • （2）同一系统可画出不同的动态结构图，即结构 图不是惟一的。但得到的结果——系统的传递函 数是惟一的。
• 结构图化简需要遵守一定的基本原则，也 就是要保证化简前后的代数等价关系不变。 • （1）化简前后，前向通路传递函数的乘积 不变。 • （2）化简前后，回路传递函数的乘积不变。 • 等效变换法则： • （1）环节串联 • （2）环节并联
• • • • • • • •
（3）反馈回路化简 （4）相加点移动（又称为比较点移动） 比较点前移“加倒数 “ 比较点后移“加本身”。 （5）分支点移动（又称为引出点移动法则） 引出点前移“加本身” 引出点后移“加倒数” （6）相邻的比较点之间可以随意调换位置，也可 综合为一个比较点。相邻的引出点之间也可互相 调换位置。 • （7）相邻的比较点和引出点之间可以调换位置.
例2-5 求图2-29所示系统的闭环传递函数 C
R
• 总结：本节重点讲解了动态结构图的定义、 组成，动态结构图的特点及等效变换，讲 解了用梅森公式求系统的传递函数。 • 作业：2-3。
• 例题2-3
• 例题2-4
四、用梅森（Mason）公式求传递 函数
• 梅森公式为：
(s)
k 1
n
pk k
• 利用梅森公式求传递函数的注意事项： n 条前向通道是指从输入信号至输出信 • （1） 号前向通道的总数，不要漏掉，不要重复， 也不要错划。注意信号传递的单向性。 • （2）单独回路数和互不接触回路数不要漏 掉，也不要重复。 k 和 应计算无误。 • （3）反馈的极性应体现在回路传输的正负 上，一定要注意符号。
第五讲
复习、引入新课
• • • • • • 1、传递函数的概念及定义 2、求取系统传递函数的假设： （1）系统不带负载，即在系统的输出端不吸收能量。 （2）假设系统的参数为线性集中常数。 3、求取的方法与步骤： （1）首先确定系统的输出信号（被控量等）和输入信号 （如给定值、干扰等）。 • （2）把系统分成若干个典型环节，求出各环节的传递函 数，填写在方框内。用信号线把这些方框连接起来，得到 系统的动态结构图。 • （3）对动态结构图进行变换，得到所要求的传递函数。 • 4、传递函数零极点的概念。
2-3 动态结构图及其等效变换
• 一、动态结构图 • 1、定义： • 动态结构图又称为方块图。是图形化的数学模型，它是一 种系统输入和输出之间因果关系的简略图示法，表示了系 统输出、输入信号之间的动态传递关系。 • 2、组成要素： • 它是一种网络拓扑约束下的有向线图，由以下几部分构成： • （1）以传递函数来描述信号输入输出关系的传输方块。 • （2）标有信号流通方向的信号输入输出通路。（包括前 向通道和反馈通道） • （3）信号的分离点和会合点。（包括引出点和比较点）