图形的分割与剪拼
第十三讲 图形的分割和剪拼
（1）试一试，你能拼得所有不同类型的特殊四边形有___________，它们的裁剪线分别是__________;
（2）画一画，在图中（3）画出一个你拼得的特殊四边形的示意图。
2、（1）如图（1）△ABC中，∠C=90°，请你用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）；
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．
问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？
图形的分割和剪拼
图形分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形。这类问题直观性强，有较强的趣味性，解决问题过程中，既要勤于动手又要善于动脑，其基本类型有：
1.把图形分割成面积相等的几部分；
2.把图形分割成形状相同的几部分；
3.把图形分割后成轴对称或中心对称图形；
4.把图形分割成满足特定要求的几部分。
图形的对称性、面积关系、角这间的关系是解图形分割问题的常用策略。
想一想：1、如图，怎样把正六边形分成6等分。（面积相等）
2、如图，用一条直线怎样把梯形分成面积相等的两部分？
典例分析：
例1给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为n个小正方形，那么，通过实验与思考，你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是___________________(杭州市中考题)
图1图2图3
第5讲：图形的分割和剪拼(教学设计)-2023-2024学年四年级下册数学人教版
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
七、教学反思与改进
在完成本节课的教学后，我进行了一次深入的反思，以便评估教学效果并识别需要改进的地方。
首先，我在课前自主探索环节中，通过发布预习任务和设计预习问题，引导学生进行自主学习。然而，我发现部分学生在理解图形的分割和剪拼的基本概念和方法时存在困难。这可能是因为我在设计预习问题时没有充分考虑到学生的实际水平，导致问题过于抽象和难以理解。
其次，在课中强化技能环节中，我通过讲解知识点和设计课堂活动，帮助学生深入理解和掌握图形的分割和剪拼的技巧。然而，在小组讨论和角色扮演活动中，我发现部分学生参与度不高，可能是因为他们对图形的分割和剪拼的实践操作还不够熟悉，导致他们在活动中感到困惑和无助。
最后，在课后拓展应用环节中，我布置了适量的课后作业和提供了拓展资源，以帮助学生巩固学习效果和拓展知识视野。然而，我在反馈作业情况时发现，部分学生的作业质量不高，可能是因为我在课堂上的讲解和实践活动没有达到预期的效果，导致学生对图形的分割和剪拼的理解仍然存在偏差。
- 拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
- 反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
- 巩固学生在课堂上学到的图形的分割和剪拼的基本方法和技巧。
- 反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。
学生活动：
- 完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。
- 拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
人教版四年级下册数学 奥数：图形的分割与剪拼(课件)
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单位元分割
例题（六）（★ ★ ★ ）
正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍， 连结六个 端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积。
例题（六）（★ ★ ★ ）
采用分割法，过A、B、C分别作平行线，得到下图; 其中所有三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米。
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桌子上放着m根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1—n根。规定谁 取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取， 那么谁将获胜？ （1）若m÷（1+n）=P
则乙有必胜策略。甲取几根，乙就取（n+1）减几根。 （2）若m÷（1+n）=P …r
则甲先取r根，然后乙取几根，甲就取（n+1）减几根。
例题二（★★★）
在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)。试画一条直 线把除开水池外的这块地分成面积相等的两块。
用连对角线的办法找出这样长方形的中心O和正方形水 池的中心A。 过O、A画一条直线正好能把除开水池外的两块。
例题三（★★）
把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法。请你画出4 种不同的分法。
例题（七）（★ ★ ★ ）
用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、 一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图。
例题（八）（★ ★ ★ ）
试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的 图形，然后拼成一个正方形。
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72变唯有面积不变
例题（九）（★★★★★）
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层层倒推，步步必胜。
【思维拓展】数学四年级思维拓展之图形的分割与剪拼(附答案)
四年级思维拓展之图形的分割与剪拼1.请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?2.图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?3.把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗?4.下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．5.下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？6.将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．7.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．8.用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．参考答案1.【解答】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如右上图.2.【解答】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图.3.【解答】先把图形分成20×40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如下图所示.4.【解答】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，是由6结合染色法，如下图.5.【解答】用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图．6.【解答】经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中的一个如图2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以图2为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图3；用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如下图．图2：图3：7.【解答】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，所以将长为3的边分成两段，找到AD 的三等分点E，现在，CD=AE,DE=AB,EF=EF，所以还要找到BC 的中点F，连接EF，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分.如下图.8.【解答】最好拿起手中的等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，见下图【解答】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4×4的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，如下图：→→。
四年级奥数《数学图形的分割与剪拼课件》
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单位元分割
例题（六）（★ ★ ★ ）
正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍， 连结六个
端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积。
例题（六）（★ ★ ★ ）
采用分割法，过A、B、C分别作平行线，得到下图;
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根据等底高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4 个等底高的小三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积 必定相等。
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等底等高的两个三角形的面积相等
例题（四）（★ ★ ★ ★）
怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角 形。
（1）分成8块的方法：先取各边的中点并把它们连接起来， 得到4个大小、形状相同三角形，然后再把每一个三角形分成两部分。
图形的分割与剪拼
四年级 第13课
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一、了解一下 图形的分割与剪拼 用一条线段把一个长方形分成形状大小都相同的两块，一共有多少种 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割。 按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合。 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼。 二、会用到的 几何变换：平移，旋转，对称 动手
图形的分割与剪拼
课题：图形的分割与剪拼图形操作型的问题可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的，一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
图形分割与剪拼应注意以下几下方面的思考途径和解决方法： 1、图形的剪拼问题考虑图形的变换性质和如何利用变换； 2、考虑相似三角形面积比与相似比的关系； 3、考虑“勾股定理”对应的图形面积关系； 4、考虑特定数量的构成形式。
一、图形的分割按分割的要求分为：（1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
例2 如图（1），在ABC ∆和DEF ∆中，︒=∠=∠90D A ，42,3====DF AC DE AB 。
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过D A ,在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆ 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。
（1）ABCEFA BC例3 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连结OC OA ,，显然，折线AOC 能把四边形ABCD 的面积平分，再过点O 作AC OE //，交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”。
（如图（1）（1）试证明：AE 确为一条“好线”；（2）如图（2），若AE 为四边形ABCD 的一条“好线”，F 为CD 上一点，请作出过F 的一条“好线”，并说明理由。
（1） （2）二、将原图形剪拼成新图形例1 下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）（中点） （中点）ABCD例2 如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形ABCD 与''''D C B A ，已知点',',,C B C B 在同一直线上，且点'B C 与 重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形。
七年级暑期提高讲义(图形的分割2与剪拼)
- 1 -图形的分割与剪拼（2）1.现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。
如图甲（虚线表示折痕）。
除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。
如图乙和图甲是相同的操作）。
（甲）（乙）2.已知：如图（1），在ABC∆中，︒=∠=36,A AC AB ，直线BD 平分ABC ∠交AC 于点D 。
求证：ABD ∆与DBC ∆都是等腰三角形。
（1） （2） （3）（2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图（2）、（3）也具有这种特性。
请你在图（2）、（3）中分别画出一条直线，把他们分成两个小等腰三角形并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；3.（1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
ABC- 2 -（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
4.操作与探究：（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A 与点C 重合，DE 为折痕．试证明△CBE 等腰三角形；（2）再将图①中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？ABCBBCC F图①图②图③图④- 3 -5．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，M 为射线CA 上一点，ME ⊥BC 于点E ，∠AME 的平分线MF 交AB 于点F(1)如图1，若∠ABC ＝40°，M 为边CA 上一点，试探究BD 与FM 的位置关系，并说明理由 (2)如图2，若∠ABC ＝α， M 为边CA 延长线上一点，①图2中∠ABC 的平分线BD 未画，请补画出来（“尺规作图”，不写作法，但要保留作图痕迹）．②试探究BD 与FM 的位置关系，并说明理由．A BC图1 图2- 4 -6.如图，A 、E 、F 、C 四点在同一直线l 上，AC ＝8，AE ＝CF ＝1，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，且DE ＝BF ，连接AD 、BC ，连接BD 交AC 于点O ， (1)请直接判断AD 、BC 的关系．(2)试说明O 为AC 的中点．(3)若△BFC 固定不动，将△ADE 沿直线l 平移到△A ’D ’E ’(A 、D 、E 的对应点分别为A ’、D ’、E ’)，连接BD ’交直线l 于点O ’，试探究如何平移△ADE ，使得OO ’=1.2？请直接写出△ADE 的平移方向和距离．备用图备All。
图形的分割和简拼
一、分割、剪拼的原则☆ 前后总面积保持不变二、基础图形的常见分法1.2.3.三、不规则图形分割（要求大小形状都一样）的技巧☆ 单位化1. 把不规则图形分成小正方形或小正三角形；2. 根据题目要求合并几个小块为一大块；3. 合理排布． 四、图形剪拼口诀（阶梯状剪法）☆ 长多少，减多少；高几分，挖多深．下图是由完全一样的五个小正方形组成的图形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．;第1题 例题精讲知识GPS解析：图形不规则，尝试先分成小正方形，直到分到5的倍数块，如下图一共20个小正方形，每4块合并成一大块，进行合理排布可以得到将一个49⨯的长方形剪成两部分，再拼成一个正方形．解析：直着剪，发现毫无头绪，那么就阶梯状剪．要知道我们最后要完成的目标是什么．根据剪拼前后总面积不变：4966⨯=⨯，长是9变为6，横着剪掉3格：第2题宽是4变为6，竖着剪掉2格上台阶就可以拼成下图第3题介绍一种别致的正六边形分完全相同4份的方法．当我们把图形分成很小的单元后，会找到一些新的分法，伙伴们可以多多尝试，培养对图形的感知力．比较图中两个阴影部分①和②的面积，他们的大小关系是什么？① ②解析：这道题是一道杯赛原题，它用到了面积割补的办法，也将会是寒假班“格点与割补”一讲学习的内容．① 的面积133=⨯=② 的面积3223=⨯÷=它们的面积相等。
第4题杯赛展示不得不说，这一讲的内容杯赛不会直接考，但分割图形的技巧，尤其是“面积不变”的原则对于我们高年级的几何问题来说至关重要，几乎每一道几何难题都会跟面积联系起来，也需要我们去分割．。
第七章图形的分割与剪拼
第七章图形的分割与剪拼
讲义：
分割：大图变小图。
大小、形状相等
1.可以通过1分2、2分4方式划分的：
1刀1分2：正方形（过中心点任意一条直线）、长方形（过中心点任意一条直线）、等腰三角形（沿中线分）；
2刀1分4：正方形（过中心点任两条互相垂直直线）、
等边三角形：每边等分n份，三角形可分为n*n个相等小三角形。
2.不能通过1分2、2分4方式划分的。
如6边形分成8等分，可以先把大图形分成最小公倍数的份数，再把小图形适当组合起来。
六边形分成6个等边三角形，每个等边三角形分成4等份，共24等分，把3个等份组合，就实现把六边形8等份了。
剪拼：竖看少，横看余。
6*6正方形
可知：横向多3块，就从第6块和第7块之间开剪，竖向剪到什么位置？4比6少2块，横向再剪3块，竖向再剪2块。
习题：
1.已知下图是由大小相同的5个正方形组成，试将其分成4块形状、大小相同的图形。
2.能够画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相等的四边形。
3.将此图切成两半，再拼成一个正方形。
第23讲_图形的分割与拼接(含答案)
“图形的分割与拼接”专项复习本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【典型例题】板块一图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 1 4 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．AB C C B AABC【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．AB CC B ABA【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．→【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DCB A 1FE 221D C BA【解析】 直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？2060402020【解析】 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．【例 7】 下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】 分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例 8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【例 9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是5 4个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【解析】 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例 11】 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．666555444333222111【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥 【解析】 图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．本读数奥答案不唯一．【例 15】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【解析】 如下图所示：图1答案不唯一．【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学 （5）（4）（3）（2）（1）【解析】 看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角22⨯的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉． 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：考思习学考思学习学考思习学考思习学习思考考思习学考思习学考思习学【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1 图2【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位．即每一块都由9个小正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”．②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心点旋转90、180、270得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线．③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转180后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号(横线阴影)，如图．对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一块都有9个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图．④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“⨯”．那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分．于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分．空白部分是另外两块． 下就是最后分得的结果．【例 19】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【解析】采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【巩固】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FE D CB AFE D CBA【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例 20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有1553÷=(个)小正方形，如图．⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822-=(厘米)．图1【例 21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．【例 22】(2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【解析】分割的方法不唯一，如图所示．【例 23】(2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【解析】分割的方法不唯一，如右图所示．板块二图形的拼合【例 24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：→→→【例 27】 有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【解析】 利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成．→→【例 28】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A ) (B ) (C )已有A 型板30块，要购买B 、C 两种型号板若干，拼成55⨯正方形10个，B 型板每块价格5元，C 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B 、C 两种板要花多少元？【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有30个A 型板最好能用上，而价格较贵的B 型板尽可能少用，因为A 型与B 型的面积都为3，所以在拼成的55⨯的正方形中，除了C 型外，余下的面积应能被3整除．有25449-⨯=或254121-⨯=能被3整除知，只能用4块C 型板或1块C 型板，考虑尽可能多地使用A 型板，有如下图1、图2 的拼法：BC CCC B AAAAAA BCA图1 图2图1的拼法要花445226⨯+⨯=(元)，图2的拼法要花459+=(元)，因为只有30块A 型板，所以在10快55⨯的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：94266192⨯+⨯=(元)【例 29】 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．【解析】 把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三 图形的剪拼【例 30】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】 要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 31】 把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】 因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的。
图形的分割与剪拼(4年级培优)教师版
图形的剪拼，即把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形。
完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。
在拼图形的过程中，多动手画一画，剪一剪，拼一拼是最好的方法。
分图形时要从图形的性质入手，观察它的对称点、对称轴，从这些性质出发解决问题。
用四种不同的方法，沿格子线把下面的图形分割成形状相同、大小相等的四块，应该怎样分？【答案】如下图；【难度】A；【出处】底稿修改【分析】这个图形由16个小正方形组成，要将它分割成形状相同、大小相等的四块，每块应该由4个小正方形组成，且每块的形状只能是下列四种情况：所以有如下的四种剪法：用四种不同的方法，沿格子线把下面的图形分割成形状相同、大小相等的两块（非长方形），应该怎样分？【答案】如下图；【难度】A；【出处】底稿修改【分析】把下图分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母。
DACB【答案】如下图；【难度】B；【出处】底稿修改【分析】这个图形一共有12个小正方形，因此要将它分成4个相同的图形，则分成的每一个图形中有小正方形3个。
于是有如下的分法：将下列的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个圆圈“○”。
【答案】如下图；【难度】B；【出处】底稿修改【分析】左边图形一共有12个小正方形，因此要将它分成3个相同的图形，则分成的每一个图形中有小正方形4个。
于是有如下的分法；右边图形一共有18个小正方形，因此要将它分成3个相同的图形，则分成的每一个图形中有小正方形6个。
于是有如下的分法：如下图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。
【答案】如下图；【难度】B；【出处】底稿修改【分析】由于要分成四个大小、形状相同的图形，所以可以把小正方形分成四个相等的小正方形，再尝试剪，剪法如下图：如下图所示是由5个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。
【思维拓展】数学四年级思维拓展之图形分割与剪拼(附答案)
四年级思维拓展之图形分割与拼接
1.右图是由两个正方形组成的长方形，请你剪两刀，把它拼成一个正方形。
2.把下面的图形分割成三块，再把它们拼成一个正方形。
3.把右图分切成形状相同，大小相等的四块。
4.把下面的图形(由五个小正方形组成)切拼成一个正方形。
5.下面的两个图形都是由八个小正方形组成，只用两刀，把每个图形切分成四块，然后拼合成一个正方形。
6.下图是一个三角形(任意)，请你把它两刀分切成三块，然后再拼合成一个长方形。
7.如右图所示，有一个边长是1厘米的正方形和两个长都2厘米的，宽都是1厘米的长方形，请你把它们分割成几块后，再拼成一个正方形。
8.把下面图形切分成形状相同，大小相等的四块。
9.把右下图剪两刀，然后拼成一个正方形。
10.把下图分割成2块，然后拼成一个6×5的长方形。
参考答案
1.【答案】
解法一：如图所示，先划两条线对角线，然按对角线，2刀可以切成3块，3块拼成一个正方形。
解法二：(如图将长方形的一半，即其中一个正方形按对角线2刀剪开成4块，然后把4块拼成一块。
2.【答案】
如图所示，图形底部是个梯形，在梯形下底取一中点，然后分别连接上面两个顶点，沿这两条连线2刀剪下两个三角线(全等)，旋转贴于中部的两侧即成。
3.【答案】
分析：整个图形由相等的6个小正方形所成，其中有一格已平分成两个半格。
6÷4=1.5，即平均每块一格半。
具体切法如图所示：
4.【答案】
（1）
（2）
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】。
小学数学 图形的剪拼 课件+作业(带答案)
总结：要先求出分割出来的图形所占的方格数量，最后剪切时要注意限制条件。
课后作业：
1、下图是一个3×4 的方格纸，总面积是12平方厘米，请将它沿格线分割成 完全相同的 3 部分。每部分的面积是多少平方厘米？
12÷3=4（平方厘米） 答：每部分的面积是4平方厘米。
2、如图：一个大正方形被剪去了面积为总面1积 的小正方形。请将其分割成 12个完全相同的小正方形
练习1：请将下图沿格线分割成五个大小相等、形状相同的图形。填出。
15÷5=3（个） 3个小正方形可以拼成的形状有：
一种剪法如下图所示： 答案不唯一。
知识点一：简单分割
例题2：下图是由同样大小的五个正方形组成的，请将该图形分割成四个形状相同、大小相等的
图形。
分析：
5个正方形无法直接分割成 4个形状、大小都相同的部 分。
图形的剪拼
课前铺垫 图形分割、拼合和剪拼的概念
分割：将一个图形按要求分成几个图形，叫作图形的分割。 拼合：按一定要求将几个图形拼成一个完整的图形，叫作图形的拼合。 剪拼：将一个或多个图形先分割再拼成另一个图形，叫作图形的剪拼。
图形剪拼问题的特点
剪拼前后图形的面积相等。
知识点一：简单分割
例题1：请将下图沿格线剪成五个形状相同、大小相等的图形。
拼成的正方形如下图所示
答案不唯一。
练习3：下图是一张塔形的方格纸，沿着哪条格线剪开后，可 以拼成一个正方形？
原图中，小正方形的个数：9个
剪拼后，所得大正方形的每条边应 有3个小正方形。 一种剪切方式如下图：
拼成的正方形如下图所示
例题4：请将下图沿格线分成大小相等、形状相同的四块， 并拼成一个正方形。
总结：对于这种复杂的图形分割，要先计算出理论上的最大值，然后去尝试。
图形剪拼分割
教师： 王喜才 学生： 时间： 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析：图形剪拼分割二、授课内容：【例1】已知两个连体的正方形（有两条边在同一条直线上）在正方形网格上的位置如图所示，请你把它分割后，拼接成一个新．．．的．正方形．．．.要求：在正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形且新正方形的顶点在网格的格点上，不写作法）.分析：利用图形分割中面积不变性，先求出剪拼后的图形 所需关键线段的长度，再从剪拼前图形中找这些长度裁剪。
【例2】在ABC △中，BC a =，BC 边上的高2h a =，沿图中线段DE 、CF 将ABC △剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图1所示．图1③②①HGF E DC BA图2C′B′A′图2C′B′A′请你解决如下问题：在A B C '''△中，B C a ''=，B C ''边上的高12h a =．请你设计两种不同的分割方法，将A B C '''△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．分析：正方形四个角都是直角，四边相等，剪拼时要充分利用线段的中点和垂直关系。
【例3】已知：如图，△ABC 中， AC ＜AB ＜BC ．（1）在B C 边上确定点P 的位置，使∠A P C =∠C ．请画 出图形，不写画法；（2）在图中画出一条直线l ，使得直线l 分别与AB 、BC 边 交于点M 、N ，并且沿直线l 将△A B C 剪开后可拼成 一个等腰梯形．请画出直线l 及拼接后的等腰梯形，并 简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．要剪拼成等腰梯形，首先要找到相等的角。
：大兴22. 如图8-1、9-1，现将二张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合．分别在图8-1、图9-1中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，按所采裁图形的实际大小，在图8-2中拼成正方形，在图9-2中拼成一个角是︒135的三角形．要求：（1）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （2）所拼出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.石景山22．（1）如图1，把边长是3的等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到图2，再把图2中图形各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个新图形，则这个新图形的周长是 ；（2）如图3，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图4，请把图4中的图形剪拼成正方形，并在图4中画出剪裁线，在图5中画出剪拼后的正方形． 房山22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△ADM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15； 然后取n=3，如图3，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△ADM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25；……请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指图1 图2图3 图4 图5明拼接后的正方形）．丰台22．在图1中，正方形ABCD 的边长为a，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△F AG 和△CGB并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△F AG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．M’E B A Q P NG H F E D C B A M M’A B E H C P G D Q H M N F B E A图 图1 图3 图4图5 图3E图 4图22b ＝a a ＜2b ＜2ab ＝a 图12b ＜a①②③怀柔22．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下: 请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形； (2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.朝阳：在下面所给的图形中，若连接BC ，则四边形ABCD 是矩形，四边形CBEF 是平行四边形． （1）请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；（2）请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．昌平22．阅读下列材料:将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形．．．，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠） 请你参考以上做法解决以下问题：（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形．．．； （2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形．．．，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.图1图24图3653126877584321门头沟22.如图1，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成（1）一个等腰梯形；（2）一个正方形．请在图2和图3中分别画出拼接后的这两个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方格顶点重合．图1 图2 图3 密云22．阅读下列材料：在学习小组，小明接到这样一个任务：把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形．为完成任务，小明先学习了两种简单的“基本分割法”．基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形． 基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．学习了上述两种“基本分割法”后，小明很从容的就完成了分割的任务： （1）把一个正方形分割成9个小正方形．方法一：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．方法二：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639+=（个）小正方形．（2）把一个正方形分割成10个小正方形．如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32⨯个小正方形，从而分割成43210+⨯=（个）小正方形．请你参照上述分割方法解决下列问题（只要求画图，不用说明分割方法）：（1）请你替小明同学把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形； （2）仿照基本分割法1：请把图a 中的正三角形分割成4个小正三角形； （3）仿照基本分割法2：请把图b 中的正三角形分割成6个小正三角形； （4）分别把图c 和图d 中的正三角形分割成9个和10个小正三角形．图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥ABC DEOA B CDA B CDABCABC西城22. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．东城22．请阅读下面材料，完成下列问题：（1）如图1，在⊙O 中，AB 是直径，CD AB ⊥于点E ，AE a =，EB b =．计算CE 的长度（用a 、b 的代数式表示）；（2）如图2，请你在边长分别为a 、b （a b >）的矩形ABCD 的边AD 上找一点M ，使得线段CM =，保留作图痕迹；（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.（第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）丰台22．认真阅读下列问题，并加以解决：问题1：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使△ABC 的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；图1 图2问题2：如图2，△ABC 是锐角三角形，且满足BC ＞AC ＞AB ，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；问题3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足BC ＞AC ＞AB ，现将它补成矩形．要求：△ABC 有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）． 房山22．（本小题满分5分）小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．他先进行了如下部分操作，如图1所示：ADE第22题图1A ADCB A①取△ABC 的边AB 、AC 的中点D 、E ，联结DE ； ②过点A 作AF ⊥DE 于点F ；（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC 拼接成面积与它相等的矩形．（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．平谷22．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M 、N 、P 、Q 表示安装点；（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M 、N 、P 表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．延庆22．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，ABC ∆中，AC AB =，90=∠BAC ，D BC AD 于⊥，把ABD ∆绕点A 旋转，并拼 接成一个正方形,请你在图1中完成这个作图；（2）如图2，ABC ∆中，AC AB =，90=∠BAC ，请你设计一种与(1)不同方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,请你依据此矩形画出正方形.图1 C D 图2 C D朝阳22．阅读并操作：如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).图①图②图③请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.（1）新图形为平行四边形；（2）新图形为等腰梯形.顺义22．如图，将正方形沿图中虚线（其x y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求xy的值．东城22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.yyxyxy xx④③②①图4F ED C BA顺义22．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x （x >0）. 依题意，割补前后图形面积相等, 有52=x , 解得5=x ．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：（1） 如图4，是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图4上画出分割线，在图4的右侧画出拼成的正方形简图）；（2）如图5，是由边长分别为a 和b 的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图5上画出分割线，在图5的右侧画出拼成的正方形简图）.西城22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，图3图2图1图3图2图1-----您值 龙文 学校 ----- 您值 得信赖的 专业化个性辅 导学校 △ABC 是锐角三角形且 AC＞AB，点 E 为 AC 中点，F 为 BC 上一点且 BF≠FC（F 不与 B，C 重合） ，沿 EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图 2 中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图 3 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形； （2） 在图 4 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形； （3）在图 5 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角 形．门头沟 22．如图 1，有一张菱形纸片 ABCD，AC＝8，BD＝6． （1）若沿着 AC 剪开，把它分成两部分，把剪开 的两部分拼成一个平行四边形，请在图 2 中 用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接 写出这个平行四边形的面积； （2）若沿着 BD 剪开，把它分成两部分，把剪开 的两部分拼成一个平行四边形，请在图 3 中 用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接 写出这个平行四边形的周长； （3）沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在 图 4 中用实线画出你所拼成的平行四边形． （注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等） 上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）D CDCA 图1BDCDCA 图2 面面周BA 图3 周周周BA 图4B（本小题满分 5 分） 门头沟 22．媒体村龙文学校 84955492-----您值 龙文 学校 ----- 您值 得信赖的 专业化个性辅 导学校 如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为 3，另一种纸片的 两条直角边长分别为 1 和 3．图 1、图 2、图 3 是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正 方形的边长均为 1． （1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成 平行四边形（非矩形） ，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙， 并把你所拼得的图形按实际大小画在图 1、图 2、图 3 的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格 纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹） ； （2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直 接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少； （3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直 接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.3 33 31 31 3 图1图2图3顺义 22. 现有 12 个边长为 1 的正方形，排列形式如图① ，请把它们分割后拼成面积为 12 的一个特殊三角形形 和一个三边都不相等的三角形（顶点在格点上） 。
中考高分的十八个关节 关节17 图形的分割与剪拼
关节十七图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2），（1）可从“等边”推演角之间的关系。
解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。
（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ①交边AC 于D 。
在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠ y x A --︒=∠180。
②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒，︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是： C ABC ∠-︒=∠43135。
②若C ∠是底角，则有两种情况。
③ACABC︒5.67 ︒5.67 ︒5.22︒5.22AB C︒45︒5.22︒5.22︒45ABCDABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。
Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。
④ Ⅱ、由BD AB =，得x y x 2180=--︒，此时 ︒=+1803y x ，即C ABC ∠-︒=∠3180。
初中奥数讲义_图形的折叠、剪拼与分割附答案
图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键． 注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力． 近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图． 【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。
第23讲_图形的分割与拼接(含参考答案)
“图形的分割与拼接”专项复习本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．把图再【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 14 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．，，【例7】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．5份．再【解析】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例11】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．【例12】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底⨯高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥64⨯的，4块，4个小2的正方4种可【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1图2【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积90、③设想分块从中心位置开始，(斜对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有÷=(个)小正方形，如图．1553⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540-=(厘⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822米)．【例21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容3个个较小的21一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：型板每块A型与⨯=或491、图2快55⨯的【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三图形的剪拼【例 30】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 31】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右图．【例 32】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】总共有36块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有6个单位，具体切拼方法如下：【例 33】试将一个49⨯的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】已知长方形格数9436⨯=(个)，所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图．【巩固】长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．4如果3；显【解析】要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形的边重合，假设拼好的长方形以BC为长，现在要把△ADE补到△CGE的位置上，这就要求这两个三角形完全一样，显然，只要取D、E分别为AB、AC的中点即可．所以首先连接AB的中点D和AC的中点E，将△ADE沿DE剪开，再按顺时针方向旋转180°即可．如下图所示．【例 37】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．【解析】方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图．方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图．方法一：方法二：【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．4请就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？【解析】地毯的面积为8324⨯=平方米，两者虽然长、宽不相等，⨯=平方米，新房间的面积为6424但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个21⨯(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右下图．【例 40】 如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形． →图d 图e 【解析】 因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形．因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可1618厘80厘米，再)；⑴⑵⑶【解析】 拼成大正方形的面积应是a a b b ⨯+⨯，设边长c ，则有等式c c a a b b ⨯=⨯+⨯，又因为将边长为a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN 为大正方形边长，如图⑴，一定有MN MN a a b b ⨯=⨯+⨯，而MH a =，则：NH b =，所以2AN CM BH a b ===-÷（），由此可以确定MN ，然后将MN 绕中心O 旋转90到EF 位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如图⑵与图⑶．这种分法同时确保图⑶的中间部分就是边长为b 的小正方形．这是因为：⑴中心四边形的角即边长为a 的正方形的四个角，∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．⑵中心正方形的边长[2]2a a b a b a a b b =--÷--÷=--=（）（）（）．精心整理因此，中间部分是边长为b 的正方形．【例 45】 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．【解析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长方形的长为x 长度单位，宽为2x 长度单位，那么有25,102x x x ==，即22231x =+，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如右图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360490÷=角的两边切开，得到整个图形的14，这个14的图形若绕中心旋转3603120÷=角的两边切开，1n 边的角的两边剪开，得到整个图形的360和另一个1n。
图形的分割与剪拼
（3）找中心利用染色法分割
例题：1.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
分割后两个图形形状相同面积相等说明两个图形全等，直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2， 边长正好为3，所以 边分成两段，找到 的三等分点 ，过点E任作一条线段将梯形ABCD分成两部分交BC与点F，现在， ，∠D=∠A=90°， ，∴BE=CE且∠BED=90°△BEC为等腰直角三角形，由对应性，只需满足EF=BF，CF=EF即CF=EF=BF∴ 应为BC的中点，连接 ，就把梯形 分成完全相同的两部分．如右上图．
为1:2:3
分析：由8字相似可知
∴△PAB,△PBC,△PAC的面积比为1:2:3
二．按要求分割出与原图形形状相同的图形
图形的形状相同即相似，在研究多边形相似时要满足两点：
1.对应角相等，
2.对应边成比例，
（1）如图，非等腰Rt△ABC中，∠A=90°点P为Rt△ABC的边上的动点，过点P作一条直线分割出一个三角形与原三角形形状相同。
一．按要求分割后各部分的面积满足一定的比例关系。
在研究这类问题时，同学们先给我们的大脑充点电吧
Ⅰ.把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出
4种不同的分法．
分析：方法一.根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等
底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角
同学们以上三点看懂了吗？下面让我们来两个小题实战一下吧！
1.如图所示五边形ABCDE内有一段折线CFE把原五边形分成两部分，面积分别为s1和s2现在过点E想用一条直线将原五边形仍分成两部分但两侧的面积不变。
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图形的有关问题
一、图形的分割
例：用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？
练习：
1、画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有
条．
2、在一块长方形的地里有一正方形的水池(
如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．
A
O
例：把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．
练习：怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．
例：把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？
20
6040
20
例：下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．
练习：右图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．
例：下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．
练习：下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？
下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．
二、格点与面积
例1 计算下图中各图形的面积：
例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？
算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。
练习：计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）
⑴⑵
例：用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？。