B4U5高考复习讲义
人教版b4u5一轮复习课件
• come to life变得活跃，精彩起来；苏醒 • The amazing, up-to-date information together with many opportunities for hands-on learning makes the world come to life … . to life 活灵 • Papa makes the stories come __________( 活现) when he reads them out. came to life in the second • The football match___________________ half ). (在下半场变得精彩起来了 • The passenger injured most seriously came (back) to life, having received emergency medical care.
• Coffee shops offer ______________ a variety of light meals and are less formal than most restaurants. vary from • Currencies used in the world ________ country __ to country. • Nowadays, people get news around them and about the world from ________ various media, varying from the newspaper to the Internet. __________ vary with the seasons. • Seafood prices ________
高三英语高效课堂资料B4U4-5一轮复习考纲词汇构建案
- 1 -高三英语高效课堂资料BIV U4&U5【课标考纲词汇构建】Class ： Group ： Name ：_____________________Challenge I:掌握本单元课标考纲词汇的同根词，自己查阅，自主构建，必须过关，以适应新题型变化。
1. represent vt. 代表；象征→ _____________ adj. 典型的，有代表性的；n.代表人 2. curious adj. 好奇的→________________ adv. 好奇地→ _______________ n.好奇心3. understand v.理解，明白→_______________ vt. 误解，误会→________________ n. 误解；误会4. employ v.雇佣 →________________ n. 雇员→________________ n. 雇主，老板5. produce v.生产→ ________________ n. 生产者；制片人→________________n. 生产；制造6. true adj. 真实的；真正的→__________ adv. 真实地；真诚地；真正地→__________n.真理，真实7. angry adj. 生气的→_____________ adv. 生气地→________________ n. 怒气；怒火8. subject n.主题；科目→________________ adj. 主观的→（反义）________________adj.客观的 9. major adj. 主要的→ ________ n. 多数，大多数→（反义）________________n. 少数；少数民族 10. various adj. 不同的；各种各样的→ _____________v. 变化→ _________ n. 多样；多样化 11. length n.长度→__________ adj. 长的______________ v. 加长12. attract v.吸引→_____________ adj . 吸引人的→_____________ n. 有吸引力的事物；吸引 13. tour n./ v .旅游，巡回演出 →______________ n. 旅游业→______________ n.游客 14. admit v.承认；准许进入；可容纳 →_____________ n. 允许进入；入场费；承认 Challenge II. 自查构建本单元出现的课标考纲词汇，人人争做词王。
B4U5基础梳理
Book 4 Unit5知识梳理构建案【Learning aims】1.Grasp the important words and phrases and sentence patterns in this unit.2. Learn the method of constructing knowledge tree by analyzing the sentences.【Key and difficult points】①Revising the sentence pattern ②advance, various, admission, no wonderI、重点词汇1. advance vt. & vi.前进；促进；提前advanced adj. 高级的，先进的1) Our soldiers advanced bravely towards the enemy. 我们的战士勇敢地朝着敌人挺进。
2) Being environmentally-friendly(环保的) has advanced (promoted) the development of our society, which in turn has a good effect on our living environment.环保促进社会发展，反之社会发展对环境有好的影响。
【拓展】in advance =ahead of time 预先；提前2. various adj.各种各样的派生词：variety n. 多样化vary v. 变化1)There are various（varieties of/ a variety of) colors to choose from. 有各种各样的颜色可供选择。
2) We all need variety in our diet. 我们都需要饮食多样化。
3) The weather varies from day to day. 天气一天天变化。
【师说系列】届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：选修45不等式选讲(共38张PPT)
解法二：x 为不等式|x＋2|＋|x－1|＜4 的解⇔x 是与数轴上的点 A(－2)及 B(1)两点距离之和小于 4 的点．
A、B 两点的距离为 3.因此线段 AB 上任何一点到 A、B 距离之 和都等于 3，因此都是原不等式的解．但我们需要找到原不等式解 的全体，于是关键在于找到与 A、B 距离之和为 4 的点．
定理 4 设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为任意
nn
n
实数，则a2i b2i ≥(aibi)2，
i＝1 i＝1
i＝1
其中等号当且仅当ab11＝ab22＝…＝bann时成立(当 ai＝0 时，约定 bi ＝0，i＝1,2，…，n)．
推论 在 n 个实数 a1，a2，…，an 的和为定值 S 时，它们的平 方和不小于n1S2，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，平方和取最小值1nS2.
b＝c 时取等号．同时，我们称a＋3b＋c为 a、b、c 的算术平均，称3 abc 为 a、b、c 的几何平均，该定理又可叙述为：三个正数的算术平均 不小于它们的几何平均．②已知 x、y、z 都是正数，(ⅰ)如果积 xyz
是定值
P，那么当
x＝y＝z
时，和
x＋y＋z
有最小值
3 3
P；(ⅱ)如果
和 x＋y＋z 是定值 S，那么当 x＝y＝z 时，积 xyz 有最大值2S73.
②作商法：欲证 A＞B，若 B＞0，只需证AB＞1；若 B＜0，只 需证明AB＜1.
步骤：作商 变形 判断商与“1”的大小． 注意：在比较商式与“1”的大小关系时，应注意函数(特别是 指数函数)的性质(特别是单调性)的运用．
(2)分析法． ①方法：分析法是从需求证的不等式出发，分析使这个不等式 成立的充分条件，通过肯定这些充分条件都已具备，从而断定原不 等式成立． ②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已 知”． 注意：用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用做为“逆 推”，分析过程只需寻求充分条件即可，而不是充要条件．
b4u5创新方案高考英语复习幻灯片PPT
市场上销售各种各样的鲜花，但是他能中 意的品种却不多。
新课标高考总复习·英语
创新方案系列丛书
新课标高考总复习·英语
创新方案系列丛书
5．length n．长度；长 6．creature n．生物；动物 7．souvenir n．纪念品 8．brochure n．(作宣传或介绍用的)小 册子；指南 9． various adj.不同的；各种各样的→ v_a_r_ie_t_y_n．变化；多样性→ vary v．有变化； 改变
vary with sth. 随……而变化
vary from ...to ... 从……到……不等；
在……到……之间变动
新课标高考总复习·英语
创新方案系列丛书
The variety of food at the restaurant is limited, but the amount of each dish is fairly large.
(1)for various reasons 由于种种原因
新课标高考总复习·英语
创新方案系列丛书
(2)variety n.
变化；多样性；种类
a variety of ...
种类繁多的……
varieties of ...
the variety of ……的种类
(3) vary vt. & vi. 改变；变化
新课标高考总复习·英语
创新方案系列丛书
13．minority n．少数；少数民族→ _m__a_jo_r_i_ty__n．多数
高考数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.5 1.5.2 综合法和分析法 Word版含解析
1．5.2 综合法和分析法[对应学生用书P19][读教材·填要点]1．综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．2．分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．[小问题·大思维]1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A 只需证B ”表示，说明只要B 成立，就一定有A 成立，所以B 必须是A 的充分条件才行，当然B 是A 的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (步步寻求不等式成立的充分条件)， 总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．[对应学生用书P19][例1] 已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，又abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.[思路点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过a ＝1bc <1b ＋1c 2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[精解详析] 法一：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 法二：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc2＞ abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b＋c .(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )．②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有：a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b 2)2≥ab .a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.③若a ，b 为正实数，a ＋b 2≥ab .特别b a ＋ab≥2.④a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc＋ca .1．已知a >0，b >0，求证a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0， 所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0， 所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .[例2] a ，b 均为正实数，且2c >a ＋b . 求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .[思路点拨] 本题考查分析法在证明不等式中的应用．解答本题需要对原不等式变形为－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，然后再证明．[精解详析] 要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，两边平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab，也即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac.∵a，b均为正实数，且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac显然成立．∴原不等式成立．(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径．(2)对于无理不等式的证明，常采用分析法通过平方将其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性．(3)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆．2．已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.证明：要证明(x2＋y2)12>(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.∵x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.[例3]已知a，b，c均为正实数，且b2＝ac.求证：a4＋b4＋c4＞(a2－b2＋c2)2.[思路点拨]本题考查综合法与分析法的综合应用．解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明．[精解详析]欲证原不等式成立，只需证a4＋b4＋c4＞a4＋b4＋c4－2a2b2＋2a2c2－2b2c2，即证a2b2＋b2c2－a2c2＞0，∵b2＝ac，故只需证(a2＋c2)ac－a2c2＞0.∵a、c＞0，故只需证a2＋c2－ac>0，又∵a2＋c2>2ac，∴a 2＋c 2－ac >0显然成立． ∴原不等式成立．(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．3．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0.证明：法一：要证明1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0， 只需要证明1a －b ＋1b －c >1a －c .∵a >b >c ，∴a －c >a －b >0，b －c >0， ∴1a －b >1a －c， 1b －c >0，∴1a －b ＋1b －c >1c －a 成立． ∴1a －b ＋1b －c －1c －a>0成立． 法二：若令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y ， ∵a >b >c ，∴x >0，y >0， 证明1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0，只要证明：1x ＋1y －1x ＋y>0，也就是要证：y (x ＋y )＋x (x ＋y )－xyxy (x ＋y )>0，即证：x 2＋y 2＋xy xy (x ＋y )＞0，∵x >0，y >0，∴x ＋y >0，x 2＋y 2＋xy >0， ∴上式成立，即1x ＋1y －1x ＋y ＞0，故1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0.[对应学生用书P20]一、选择题1．设a ，b 均为正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞BD ．A ＜B解析：用综合法(a ＋b )2＝a ＋2ab ＋b ， 所以A 2－B 2＞0. 又A ＞0，B ＞0， ∴A ＞B . 答案：C2．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：由已知得3x >x ＋y ＋z ＝0， 3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z 得xy >xz . 答案：C3．若a >0，b >0，下列不等式中不成立的是( ) A.b a ＋ab≥2B ．a 2＋b 2≥2ab C.b 2a ＋a 2b≥a ＋bD.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b解析：由b a ∈(0，＋∞)且a b ∈(0，＋∞)，得b a ＋ab ≥2b a ·ab，所以A 成立，B 显然成立，不等式C 可变形为a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2⇔(a 2－b 2)(a －b )≥0.答案：D4．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( ) A ．S ≥2P B ．P <S <2P C ．S >PD ．P ≤S ＜2P解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2. 同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2， ∴a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )．即S <2P . 答案：D 二、填空题5．已知a ，b ，c ∈R ＋，则1a ＋1b ＋1c 与1ab ＋1bc ＋1ac 的大小关系是________________．解析：因为1a ＋1b ≥21ab ，1b ＋1c≥21bc ，1a ＋1c≥21ab ，三式相加可得1a ＋1b ＋1c ≥1ab＋1bc ＋1ac. 答案：1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac6．若x >0，y >0，且5x ＋7y ＝20，则xy 的最大值是________________． 解析：xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝⎛⎭⎫5x ＋7y 22＝135⎝⎛⎭⎫2022＝207.当且仅当5x ＝7y ＝10即x ＝2，y ＝107时取等号．答案：2077．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的正的等比中项，1R 是1a ，1b 的等差中项，则P 、Q 、R 按从大到小的排列顺序为________．解析：由已知P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，1R ＝1a ＋1b 2＝a ＋b 2ab ，即R ＝2ab a ＋b ，显然P ≥Q ， 又2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，∴Q ≥R .∴P ≥Q ≥R . 答案：P ≥Q ≥R8．若不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a >0在条件a >b >c 时恒成立，则λ的取值范围是________．解析：不等式可化为1a －b ＋1b －c >λa －c. ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， ∴λ<a －c a －b ＋a －c b －c 恒成立．∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4. ∴λ<4.答案：(－∞，4) 三、解答题9．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .证明：法一：由左式推证右式∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab ＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc 2>bc ·ac ＋ac ·ab ＋ab ·bc (基本不等式)＝c ＋a ＋b .∴1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c . 法二：由右式推证左式∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2(基本不等式) ＝1a ＋1b ＋1c. ∴1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c . 10．已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b .证明：要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，只要证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b ，即证⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2， 即证0＜a －b 2a ＜a －b ＜a －b 2b，即证a ＋b a <2<a ＋bb， 即证1＋b a <2<1＋a b， 即证b a<1<ab成立． 因为a >b >0，所以a b >1，ba <1，故ba＜1，ab＞1成立． 所以有(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b成立．11．已知实数a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ，a ＋b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：1＜a ＋b ＜43.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴欲证结论等价于 1＜1－c ＜43，即－13＜c ＜0.又a 2＋b 2＋c 2＝1，则有 ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)2＝(1－c )2－(1－c 2)2＝c 2－c .① 由a ＋b ＝1－c .②由①②得a 、b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，从而Δ＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，解得－13＜c ＜1.∵c ＜b ＜a ，∴(c －a )(c －b )＝c 2－c (a ＋b )＋ab ＝c 2－c (1－c )＋c 2－c ＞0，解得c ＜0或c ＞23(舍)． ∴－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43.。
高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章章末小结知识整合与阶段检测Word版含解析
P24][ P24]() ()[1] |x 1| |x|<2.[] 3x 1x 1 x<2 一<x 1 2 1<x<0 x 1x<21<x<0x 1 x<2x<2.不等式的基木性质解不等式p 1元一次不等式含绝对值的不等式一元二次不等式因此，原不等式的解集为# —2<x<1匚法二：利用方程和函数的思想方法.令f(x) = |x+ 1|+ 凶一22x—1 x> 0 ,1=—1 —K x<0 ,—2x — 3 x<—1 .作函数f(x)的图象(如图),3 1知当f(x)<0 时，一2<x<?.3 1故原不等式的解集为X1 — 3<x<1 .法三：利用数形结合的思想方法.由绝对值的几何意义知，x+ 11表示数轴上点P(x)到点A(—1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点0(0)的距离.由条件知，这两个距离之和小于 2.3 1 |--------------- 1作数轴(如图)，知原不等式的解集为吠一3 v x</ .2 2丿3-1 0 1L.~2T 法四：利用等价转化的思想方法.原不等式？ 0W|x+ 1|<2 —|x|,•••(x+ 1)2<(2 —|x|)2，且|X|<2,即0<4|x|<3—2x,且xi<2.• 16x <(3 —2x),且—2<x<2.3 1 3 1、解得—2<x<2・故原不等式的解集为<x|—2v x<2 r.［例2］已知f(x) =|ax+ 1|(a € R),不等式f(x) < 3 的解集为｛x|—2< x< 1｝.(1) 求a的值；⑵若f(x 一2f $ j w k恒成立，求k的取值范围.［解］(1)由|ax+ 1|w 3 得—4w ax w 2.又f(x) w 3的解集为｛x|—2w x w 1｝，所以当a w 0时，不合题意.当a>0 时，一4w x w2，得 a = 2.a a(2) 法一：记h(x) = f(x)—2fQ ,kk 1.B 2 .3 D 4 . 31.5(1x 1 」 4x 31<x< h(x) <【11 x212k 1.2|x 1||[3]0<x<21 cos 2x 8sin 2x22cos x8sin 2x 1 .. f(x)- 2sin xcos x 丄4ta n x. tan xI r 、 1x! P n 丿 tan x>0 tan x>0.f(x)1 4ta n x2 1 4ta nxtan x、:tan x[]C[4]xm11164.2014k (m 0) x 3(k )m 120148|h(x)| 1 k1| 1f(x) 2fg) k⑴将2014年该产品的利润y 万元(利润=销售金额—生产成本—技术改革费用 )表示为技术改革费用 m 万元的函数;⑵该企业2014年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大? ［解］ ⑴由题意可知，当 m = 0时，x = 1(万件)， 1 = 3— k.「. k = 2.「. x = 3 — _2—m + 1 每件产品的销售价格为 1.5 X 8±^6X (元),X ••• 2014年的利润16⑵「m >0，• mV (m +1)》216=8,• y w 29 — 8= 21.16当 =m + 1，即 m = 3, y max = 21. m +1•该企业2014年的技术改革费用投入 3万元时，厂家的利润最大证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、 数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有:1. 比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是： 不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论•其中，变形是证明 推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析， 可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.［例 5］已知 a > b>0,求证：2a 3 — b 3 >2ab 2— a 2b. ［证明］2a 3— b 3— (2ab 2— a 2b) =2a(a 2— b 2) + b(a 2— b 2)22=(a — b )(2 a + b) =(a — b)(a + b)(2a + b).因为 a > b>0 ,所以 a — b >0, a + b>0,2a + b>0,从而(a — b)(a + b)(2a + b) > 0, 即 2a ‘— b ‘》2ab ?— a ^b.y = x • 1.5X8 + 16xx —(8 + 16x)— m -16m + 1卜 m + 1 + 29(m > 0).2. 综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推” 件（由因导果），最后推导出所要证明的不等式成立.综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论： 证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式（已知或已证）成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误、如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件， 即对重要不等式中“当且仅当…时，取等号”的理由要理解掌握.［例 6］ 设 x>0 , y>0 , z>0,求证： ,x 2+ xy + y 2 + y 2 + yz + z 2>x + y + 乙 >x +y ,① 7y 2+ zy + z［z+ 2/+ 4y 2 >z + 2,②•••由①②得：x 2 + xy + y 2 + y 2 + zy + z>x + y + 乙 3. 分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论•分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件（执果索因），最后得到的充分条件是已知 （或已证）的不等式.当要证的不等式不知从何入手时， 可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论 复杂的题目往往更为有效.由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法•一般来 说，对于较复杂的不等式， 直接用综合法往往不易入手， 因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.［例 7］已知 a>0, b>0，且 a + b = 1,求证:［证明］即证 a + b + 1 + 2，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条［证明］8]2 .2 a2 1a孑<21 1 1112 12 31 1 1[ ] 1 23 <k 1 2 •2小11)2n<3.a>0 b>0 a b 1.(1)(ab1 1ab 2(a b) 4 114.] 22.212a12aaa2 4[9]22 )<1 +1 +1+ 步+ {+ …+ 十=1=3 — 2°-1V 3.爪匚'■■叭[对应学生用书P26] 一、选择题A . [ — 1,4) D . (— 1,4)解析：A = {x|x — 1|>2} = {x|x>3 或 x< — 1},2B = {x|x — 6x + 8<0} = {x|2<x<4}, •••(?u A) n B = {x|2<x w 3}. 答案：C12. a>1 ”是“才<1 ”成立的（ ）A .充分不必要条件B •必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件1 1 一 a解析：当一<1时，有 <0,即a<0或a>1, a a 1所以a>1 ”是“丄<1”成立的充分不必要条件.a 答案：A 3.已知a ,b ,c 满足c<b<a 且a>0, ac<0,则下列选项中不一疋能成立的是（）c b A . -<aa ab — a B . >0c .2 2b a c.—> —c ca — c D . <0 ac解析：由b>c , a>0,即丄>0,可得->c ,故A 恒成立.a a a-b<a ，…b — a<0.b _ a又c<0,•—厂>0,故B 恒成立.c -c<a ,・• a — c>0.1.已知全集 U = R ，且 A = {x|X — 1|>2}, B = {x|x 2— 6x + 8<0}，则(?u A) n B 等于( B . (2,3) C . (2,3]ac<0 ----------- <0 Dac b 2 a 1b 2>a 2 c<0.2 2b a <—c cC4 |x 2| |x 3|>a x RA ( 5)B [0,5)C (1) D [0,1]A B A B |x 2| X 3|5Aa b不肩也何2占曙|x 1| |x 3|M >N6()x|ax 2|<3!x —I 33l32 a5一3 7a 71- 336 a引X132|x 2| |x 3|5 AB5a<5. A( 3)B(2)5.[-2x — 2,(X W — 3 , *；4, (— 3<x<1 ,(2x + 2, (X 》1 .当 x < — 3 时，一2x — 2>6? x < — 4; 当 x > 1 时，2x + 2>6? x >2; 当一3<x<1时，4W 6，舍去. 故不等式的解集为{x|x > 2或x < — 4}. 答案：{x|x > 2 或 x <— 4}1 , ,8.已知 a>0，贝U ---- , ~: ----- , ---------- 从大至U 小的顺序为2如 2pa + 1 >/a+p a + 1 解析：T a>0, — 2、a<• J a +、a + 1<2 .j a + 1 1 ______ 1 _______ 12 H a a + a + 1 2 ；：a + 1 1 1 _______ 12 ja a + \：a + 1 2\： a + 1 三、解答题(1)证明：对n 》2总有x n 》,a ; ⑵证明：对n 》2总有X n 》X n + 1.证明：(1)由x 1 = a>0，及X n + 1 = 1X n +旦可以归纳证明21 X n 丿X n • = a(n € N +)，所以当n 》2时，x *》a 成立. X n (2)当 n 》2 时，因为 X n 》a>0 , X n + 1= 2 X n + X ， 所以 x n +1 — x n =# 、 21 , a 1 a — x n= 1X n +X n —冷=2 - X n 仝故当n 》2时,Xn 》Xn + 1成立.10.已知关于x 的不等式 |ax — 1|+ |ax — a|》1(a>0).(1)当a = 1时，求此不等式的解集;(2)若此不等式的解集为 R ，求实数a 的取值范围. 解: (1)当 a = 1 时，得 2|x — 1|》1, 13 1••• ix -1》2 x 》3或 x < 2,•••不等式的解集为 *| x < 1或X 》2 .答案:9.某数列由下列条件确定:1 X 1 = a>0, xn + 1=-刈+x n ， Xn >0,从而有 X n +1= £1-0(2) |ax 1| |ax a| |a 1|b a 小 C・a a 2b 2 ab ab a 2 A B|a| |b| 0 |a b| 0.Ra 2 a 0. |a 1| 1a[2 ) 11 (1) x(x 1)(x 21)(x 31) 8x(2) x R(x 1)(x 2 1)(x 3 1) 8x 3xx 12五 12 x 2xx 31 2品(x 1)(x 21)(x 3 1)2乐 2x 2欢8x 3(⑵ x R(x 21)(x1)(x 3 31) 8x 3(1)x>0x 0 8x 3 0.(x 1)(x 2 1)(x 3 1)(x 1)2(x 21)(x 2 x 1)(x 1)2(x 2 1)[(x 2）刃P49]1090120 ) 50 )A a 2 b 2B ab b 2 D |a||b| |a b|ABCD b a 0? ai |b|.a>0 a 2. (1) x答案：D2.设 a , b , c € R J 则"abc = 1” 是"芈 + -1 +-1 < a + b + c ” 的（ p aQ b A /CA .充分条件但不是必要条件B •必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件 解析：当a = b = c = 2时，有辛+¥ a + b + c ,但abc 丰1,所以必要性不成立; a . b . c当 abc = 1 时，"a * I * 1广J " * ac * ab ， a* b 土 *2* c a * c > ab * bc * ac ,所以充分性成立, a * b * c ”的充分不必要条件. 答案：A x > 0,3.不等式3 -x 2 — x 的解集是（）> | |3* x 2*X A . (0,2) B . (0,2.5) C . (0, .6) D . (0,3)5解析：用筛选法，容易验证 x = 2是不等式的解，否定A ; x = 5不是不等式的解，否定D ; X=V 6使汙％ 瓷!取 “ = ”，7 V 2,故否定 B.3十x 2十X | 2 答案：C4•若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 () 1 1 A . a * b>b *a b b * 1B.a 诂 112a * b aC .a -b>b -aD .O *十航解析：a>b>0?右〉1〉。
高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件理北师大版
9
考点1
考点2
10
考点1
考点2
解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点
分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴
上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而
将绝对值不等式转化为常规不等式.
11
考点1
考点2
对点训练1 (2018 湖南湘潭三模,23)已知函数f(x )=| 3 x- 1 ||2 x+ 1 |+a.
解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数 形结合的思想.
4
知识梳理
考点自诊
2 ab
4 .不等式证明的方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
5
知识梳理
考点自诊
知识梳理
考点自诊
4 .若存在实数x ,使|x-a|+|x- 1 |≤3 成立,则实数a的取值范围D是(
)
A.[- 2,1]
B.[- 2,2]
C解.[析-2:由,3|]x-a|+|Dx.-[-12|≥,4|](x-a )-(x- 1)|=|a- 1 |,不等式|x-a|+|x
-1 |≤3 有解,可得|a-1 |≤3,即-3 ≤a- 1 ≤3,求得-2 ≤a≤4,故选D .
17
考点1
考点2
考向3 绝对值不等式的综合应用 例3 (2018 全国3,文23)设函数f(x )=| 2 x+ 1 |+|x- 1 |.
(1)画出y=f (x )的图像; (2)当x ∈[0,+∞ )时,f(x )≤ax+b ,求a+b 的最小值.
高考数学一轮复习选修45不等式选讲第2讲不等式的证明课件理北师大版
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋3（a＋4 b）2·(a＋b) ＝2＋3（a＋4 b）3， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
法二(分析法)： (1)因为 a>0，b>0，a3＋b3＝2. 要证(a＋b)(a5＋b5)≥4， 只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2， 即证 a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6， 即证 a4＋b4≥2a2b2， 因为(a2－b2)2≥0，即 a4＋b4≥2a2b2 成立． 故原不等式成立．
当 k＝n 时，21n≤n＋1 n<n1， 所以12＝2nn≤n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<nn＝1. 所以原不等式成立．
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
高32 考90 数2 学1 一/ 轮4 复/ 习1 选7 修 4 5 不 等 式 选 讲 第
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
(2)要证 a＋b≤2 成立， 只需证(a＋b)3≤8， 即证 a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8， 即证 ab(a＋b)≤2， 即证 ab(a＋b)≤a3＋b3， 即证 ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)， 即证 ab≤a2－ab＋b2，显然成立． 故原不等式成立．
分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件， 又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到 解题思路，用综合法书写证题过程．
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1，证明： (1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
2022版高考数学一轮复习 选修4-5 第一讲 绝对值不等式学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习选修4-5 第一讲绝对值不等式学案（含解析）新人教版班级：科目：选修4－5 第一讲绝对值不等式知识梳理·双基自测知识错误!错误!知识点一绝对值三角不等式定理1．如果a、b是实数，那么|a＋b｜≤__|a｜＋|b|__,当且仅当__ab≥0__时，等号成立．定理2．如果a，b是实数，那么__｜|a|－|b｜｜≤|a＋b｜__，当且仅当__ab≤0__时，等号成立．知识点二绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式｜x｜＜a与|x｜＞a的解法．不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a __｛x|－a＜x＜a}____∅____∅__|x｜＞a __｛x|x＞a或x＜－a}____{x|x∈R且x≠0｝____x∈R__（2)|ax＋b｜≤c（c＞0)和|ax＋b｜≥c(c＞0）型不等式的解法．①|ax＋b｜≤c⇔__－c≤ax＋b≤c__；②|ax＋b|≥c⇔__ax＋b≥c或ax＋b≤－c__．(3）｜x－a｜＋|x－b｜≥c（c＞0)和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c（c＞0）型不等式的解法．方法一(分类讨论思想)：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．方法二(函数与方程思想)：构造函数f（x)＝｜x－a｜＋|x－b|－c，写出f（x)的分段解析式，作出图象，找出使f（x）≤0或f(x)≥0的x的取值范围即可．方法三（数形结合思想）：利用绝对值的几何意义求解，｜x－a|＋|x－b｜表示数轴上点P(x)到点A（a)，B（b）距离的和．关键是找出到A(a），B（b）两点距离之和为c的点，“≤"取中间，“≥”取两边．错误!错误!错误!错误!1．若a、b、c为实数，则｜a－c|≤｜a－b｜＋｜b－c｜,当且仅当（a－b）（b－c)≥0时等号成立;2．若a、b为实数，则|｜a｜－|b｜|≤|a－b|≤|a|＋｜b｜，当ab≤0时右端等号成立,当ab≥0时左端等号成立．错误!错误!错误!错误!题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若｜x |＞c 的解集为R ，则c ≤0．( × ） （2）不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅．（ √ ）(3）对｜a ＋b ｜≥|a ｜－｜b ｜当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( × ) （4）对｜a ｜－｜b |≤|a －b |当且仅当｜a |≥|b |时等号成立．（ × ) （5）对|a －b |≤|a |＋｜b |当且仅当ab ≤0时等号成立．（ √ ) 题组二 走进教材2．（P 20T7）不等式3≤|5－2x |＜9的解集为（ D ) A ．[－2，1）∪［4，7） B ．（－2，1]∪(4，7］ C ．(－2，－1］∪[4,7） D ．(－2，1］∪[4，7)[解析] 由题意得错误! 即错误! 解得错误!不等式的解集为（－2，1］∪[4，7)．3．(P 20T8)不等式｜x －1｜－｜x －5｜＜2的解集为__(－∞，4)__． ［解析］ ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －（5－x ）＜2， ∴－4＜2,不等式恒成立，∴x ≤1；②当1＜x ＜5时，原不等式可化为x －1－(5－x ）＜2, ∴x ＜4，∴1＜x ＜4．③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5）＜2，该不等式不成立． 综上,原不等式的解集为（－∞，4）． 秒解：由下图易知不等式解集为（－∞，4）．题组三 走向高考4．（2017·全国Ⅲ）已知函数f (x ）＝｜x ＋1｜－|x －2|． （1）求不等式f （x )≥1的解集；(2)若不等式f (x ）≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．[解析] (1）f （x ）＝｛－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2。
高三英语高效课堂资料B4U4-U5一轮复习探究提升案
BookIVUnit4 -Unit 5【巩固检测学案】
Class：Group：Name：________________
【Learning goals】
1.To perfect the knowledge system in B4U4-U5 and output correctly.
9.________________________(understand) by others when you do nothing wrong at all is quite a bad experience.
10. Since my childhoodIhave found that nothing is more _____________(attract) to me than reading.
For some messages, words are not enough. Speaking a foreign language issometimes difficult because we may not understand the non-verbal signals ofanother culture. For example, nodding the head up and down is a gesture thatmay communicate different messages in different parts of the world. In NorthAmerica, it means “I agree”. In the Middle East, nodding the head down means “Iagree” and up means “I disagree”. In a conversation among Japanese it oftensimply means “I’m listening”.
2021高考数学一轮复习统考选修4_5不等式选讲第1讲绝对值不等式课件北师大版选修4_5
②由题意，知要使不等式恒成立，
只需 f(x)max≤|y＋54|＋|y－a|min. 当 x∈(－∞，a]时，f(x)＝－x2＋ax，f(x)max＝fa2＝a42. 因为|y＋45|＋|y－a|≥|a＋45|，当且仅当y＋54·(y－a)≤0，即－54≤y≤a 时 等号成立， 所以当 y∈(－∞，a]时，
解析 答案
5．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7)
D．(－2,1]∪[4,7)
解析 由题意，得||22xx－－55||<≥93，
⇒－ 2x－9<52≥x－3或5<29x，－5≤－3 ⇒－x≥24<或x<x7≤，1， 得所求不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．
2．绝对值不等式的应用 (1)定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
解析 答案
解6．析不等①式当|x＋x<3－|－3|2时x－，1|原<2x不＋等1的式解化集为为－_x(_x|x_＋<_－_3_)25_－或__(x1_>－_2_2．x)<2x＋1，解得 x<10，所以 x<－3.
②当－3≤x＜12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<2x＋1，解得 x<－25， 所以－3≤x<－52.
2021高考数学一轮复习统考选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明课件北师大版选修4_5
6．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则
1 a
＋
1 b
＋
1 c
的最小值为
____9____． 解析 解法一：把 a＋b＋c＝1 代入1a＋1b＋1c，得
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．故a1＋b1＋1c的最小值为 9.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3(当且仅当 a2b2c2＝3 时，等号成立)，
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3(当且仅当 a＝b＝c＝6 3时，等号成立)．
答案
考向三 分析法证明不等式
例3 (2019·福建泉州第二次质量检测)已知函数f(x)＝x－14＋x＋41 ， M为不等式f(x)≤2的解集．
答案
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1， 故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3 ≥33 a＋b3b＋c3c＋a3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ca)＝24. 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
解
比较法证明不等式的一般步骤 作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差 变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可 变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分 解、配方、拆项、拼项等方法．
[即时训练] 1.(2019·西宁模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－2|，集合A ＝{x|f(x)<3}．
b>0，ab>1⇒a>b b<0，ab>1⇒a<b
2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.5 1.5.3 反证法和放缩法 Word版含解析
1．5.3反证法和放缩法[对应学生用书P21][读教材·填要点]1．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．2．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[对应学生用书P21][例1]设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.[思路点拨] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析] 假设4a (1－b )＞1,4b (1－c )＞1,4c (1－d )＞1，4d (1－a )＞1，则有 a (1－b )＞14，b (1－c )＞14，c (1－d )＞14，d (1－a )＞14.∴a (1－b )＞12，b (1－c )＞12，c (1－d )＞12，d (1－a )＞12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2， c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2， ∴a ＋1－b 2＞12，b ＋1－c 2＞12， c ＋1－d 2＞12，d ＋1－a 2＞12. 将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解：(1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N ＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.[例2] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析] 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0， 而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3∴π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)≥0 ∴a ＋b ＋c >0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾． 因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )≥ac ＋bd . 这与已知中ac ＋bd >1矛盾， ∴原假设错误，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.[例3] 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N *且n ≥2)．[思路点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[精解详析] ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1).即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13， …1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n，将这些不等式相加得 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n. ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n.即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立．(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a >b ，可换成证a >c 且c >b ，欲证a <b ，可换成证a <c 且c <b .(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞⎝⎛⎭⎫a ＋122； 将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．3．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k ≥n (k ＝1,2…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.[对应学生用书P23]一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 都是偶数 C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．答案：D2．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<101010102111···222+++个＝1. 答案：B3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 解析：假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，∵a ，b ，c ＜0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ≤－6，这与假设矛盾，则选C.答案：C 4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p <q C ．p ≥qD ．p ≤q解析：∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2，又a －2>0，∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4， 由a >2，可得q <4，∴p >q . 答案：A 二、填空题5．给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以上两种说法正确的是________．解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．答案：②6．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n 与n (n ∈N ＋)的大小关系是________． 解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥++?··+n n n n项＝n n ＝n .答案：A ≥n8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M .∴M <N . 答案：M <N 三、解答题9．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立， 则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0＜x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0＜y (2－y )≤1，且0＜z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.法二：假设x (2－y )＞1且y (2－z )＞1且z (2－x )＞1. ∴x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )＞3.③又x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x ) ≤x ＋(2－y )2＋y ＋(2－z )2＋z ＋(2－x )2＝3④④与③矛盾，故假设不成立， ∴原题设结论成立．10．已知实数x 、y 、z 不全为零，求证： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．证明：x 2＋xy ＋y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2≥ ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22 ＝|x ＋y 2|≥x ＋y 2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z 2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋z 2＋⎝⎛⎭⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )． 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <14.解：(1)由S n ＝na n －2n (n －1)得 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， 即a n ＋1－a n ＝4.∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3.(2)证明：T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n ＋1<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14.。
高考数学统考一轮复习 选修4-5 不等式选讲(教师文档)教案 文 北师大版
学习资料选修4－5 不等式选讲授课提示：对应学生用书第204页［基础梳理]1．绝对值三角不等式(1）定理1：如果a,b是实数，则|a＋b｜≤｜a|＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a,b，c是实数,那么｜a－c｜≤｜a－b|＋｜b－c｜，当且仅当(a－b）（b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集（1不等式a>0a＝0a〈0|x|〈a ｛x|－a〈x〈a}∅∅|x|>a ｛x|x〉a或x〈－a}｛x∈R|x≠0｝R（2）｜ax①|ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c;②｜ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a,b>0，那么错误!≥错误!,当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均．定理3：如果a，b,c全为正实数，那么错误!≥错误!，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2)（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，等号当且仅当ad＝bc时成立．1．一组重要关系｜a＋b|与|a|－｜b|,|a－b｜与｜a|－｜b｜,|a|＋|b｜之间的关系:（1)|a＋b|≥|a｜－|b｜，当且仅当a＞－b＞0时,等号成立．（2）｜a|－|b｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋|b|,当且仅当|a|≥｜b｜且ab≥0时，左边等号成立,当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．两个等价关系(1)|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0）．(2)｜x｜＞a⇔x＜－a或x＞a(a＞0）．3．一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．4．一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间,逐个解，并起来．"[四基自测］1．(基础点：解绝对值不等式)不等式｜x－1|〈1的解集为（）A．（1,2)B．(0,2）C．(－1，1）D．（0，1)答案：B2．（基础点：绝对值不等式的等价转化)不等式｜x＋1｜〉｜x－1｜的解集为________．答案：（0,＋∞）3．（基础点：绝对值不等式的意义)若关于x的不等式｜ax－2|＜3的解集为错误!，则a＝________．答案：－3授课提示：对应学生用书第204页考点一解绝对值不等式[例]（2019·高考全国卷Ⅱ）已知f（x)＝｜x－a｜x＋|x－2｜（x－a)．（1）当a＝1时，求不等式f(x）<0的解集；（2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．［解析]（1）当a＝1时,f(x）＝|x－1|x＋｜x－2|(x－1)．当x＜1时，f（x）＝－2（x－1）2＜0；当x≥1时,f（x)≥0.所以，不等式f(x）＜0的解集为（－∞，1)．(2）因为f(a）＝0，所以a≥1。
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：选修4-5 第01节 绝对值不等式
第一节 绝对值不等式考点高考试题考查内容核心素养2017·全国卷Ⅰ·T23·10分绝对值不等式的解法数学运算2017·全国卷Ⅲ·T23·10分绝对值不等式的解法数学运算2016·全国卷Ⅰ·T24·10分绝对值函数的图象与绝对值不等式的解法数学运算2016·全国卷Ⅱ·T24·10分绝对值不等式的解法与绝对值不等式的证明数学运算2016·全国卷Ⅲ·T24·10分绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质数学运算2015·全国卷Ⅰ·T24·10分绝对值不等式的解法与最值数学运算绝对值不等式2015·全国卷Ⅱ·T24·10分绝对值不等式的证明数学运算命题分析本节一直是高考的热点，以解答题形式出现，考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，解题时注意绝对值三角不等式、零点分段讨论及数形结合思想的应用.1．绝对值不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法①|ax ＋b |≤c ⇔__－c ≤ax ＋b ≤c __．②|ax ＋b |≥c ⇔__ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c __．(2)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当__ab ≥0__时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －b |≤|a －c |＋|c －b |，当且仅当__(a －c )(c －b )≥0__时，等号成立．提醒：1．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( )(2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( )(4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( )(5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集是( )A ．(－∞，4) B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)解析：选A ①当x ＜1时，原不等式等价于1－x －(5－x )＜2，即－4＜2.∴x ＜1．②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )＜2，即x ＜4，∴1≤x ＜4．③当x ＞5时，原不等式等价于x －1－(x －5)＜2，即4＜2，无解．综合①②③知x ＜4．3．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析：原不等式等价于Error!或Error!或Error!解得x ≥2或x ≤－3．故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．答案：{x |x ≤－3或x ≥2}4．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是12________．解析：令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝，依题意得a 2＋a ＋2≤⇔－1≤a ≤521252．12答案：[－1，12]含绝对值不等式的解法[明技法]|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式的解法―→分段讨论法利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集―→几何法利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |―→图象法作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|．(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)f (x )＝Error!由分段函数的图象画法，可得f (x )的图象，如图．(2)由|f (x )|＞1，可得当x ≤－1时，|x －4|＞1，解得x ＞5或x ＜3，即有x ≤－1；当－1＜x ＜时，|3x －2|＞1，解得x ＞1或x ＜，即有－1＜x ＜或1＜x ＜；32131332当x ≥时，|4－x |＞1，解得x ＞5或x ＜3，即有x ＞5或≤x ＜3．3232综上可得，x ＜或1＜x ＜3或x ＞5．13即|f (x )|＞1的解集为Error!．[刷好题]1．解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜＋1．x2解：①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜＋1，解得x ＜10，所以x2x ＜－3．②当－3≤x ＜时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜＋1，解得x ＜－，12x225所以－3≤x ＜－．25③当x ≥时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜＋1，解得x ＞2，所以x ＞2．12x2综上可知，原不等式的解集为Error!．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤．－1＋172所以f (x )≥g (x )的解集为Error!．(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2．又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1．所以a 的取值范围为[－1,1]．绝对值不等式的性质[明技法]两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．[提能力]【典例1】 设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且∈A ，∉A ．3212(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)因为∈A ，且∉A ，3212所以＜a ，且≥a ，|32－2||12－2|解得＜a ≤，又因为a ∈N *，所以a ＝1．1232(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3．当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3．【典例2】 (1)如果a ，b ∈R .求证|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤，|x －y |≤，求证：|x ＋5y |≤1．1614证明：(1)当ab ≥0时，ab ＝|ab |，所以|a ＋b |＝＝＝＝＝|a |＋|b |．(a ＋b )2a 2＋2ab ＋b 2|a |2＋2|ab |＋|b |2(|a |＋|b |)2当ab ＜0时，ab ＝－|ab |，所以|a ＋b |＝＝＝(a ＋b )2a 2＋2ab ＋b 2|a |2－2|ab |＋|b |2＜＝＝|a |＋|b |．|a |2＋2|ab |＋|b |2(|a |＋|b |)2所以|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|．所以由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×＋2×＝1.即|x ＋5y |≤1．1614[刷好题]1．确定“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的什么条件．解：因为|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |＜m ＋m ＝2m ，所以“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2＜2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a |＜m ＝2.5，故“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”不是“|x －y |＜2m ”的必要条件．故为充分不必要条件．2．如果a ，b ，c ∈R ，求证|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．证明：由a ，b ∈R ，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立，有|a －c |＝|(a －b )＋(b －c )|≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时等号成立．绝对值不等式的综合应用[明技法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[提能力]【典例1】 (2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2．∵f (x )≤6，∴|2x －2|＋2≤6，|2x －2|≤4，|x －1|≤2，∴－2≤x －1≤2，解得－1≤x ≤3，∴不等式f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)∵g (x )＝|2x －1|，∴f (x )＋g (x )＝|2x －1|＋|2x －a |＋a ≥3，2|x －|＋2|x －|＋a ≥3，|x －|＋|x －|≥．12a212a23－a2当a ≥3时，成立；当a ＜3时，|a －1|≥＞0，123－a2∴(a －1)2≥(3－a )2，解得2≤a ＜3，∴a 的取值范围是[2，＋∞)．【典例2】 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3．(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．[－a 2，12)解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0．设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝Error!其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈时，f (x )＝1＋a ．[－a 2，12)不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3．所以x ≥a －2对x ∈都成立．[－a 2，12)故－≥a －2，即a ≤．a 243从而a 的取值范围是．(－1，43][刷好题](2018·兰州诊断)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|．(1)解不等式f (x )＞0；(2)若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＞0，即|2x －1|＞|x ＋2|，即4x 2－4x ＋1＞x 2＋4x ＋4，即3x 2－8x －3＞0，解得x ＜－或x ＞3，13所以不等式f (x )＞0的解集为{x ．|x ＜－13或x ＞3}(2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝Error!故f (x )的最小值为f ＝－．(12)52因为∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，所以4m －2m 2＞－，解得－＜m ＜．521252所以m 的取值范围是．(－12，52)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Unit 5 Theme parks重点单词1. themen.题目；主题（曲）She has written several stories on the theme of lost happy.【易混辨析】theme/topic/title/subjecttheme意为―主题；论题；题目‖。
演讲、文章或艺术作品的题目，主题，主题思想；乐曲的主题，主旋律。
topic意为―话题，主题‖。
指人们普遍感兴趣或对之持有不同观点，可供讨论的题目，也可指名篇作品的主旨或某个章节、段落的要点。
title意为―标题；题目‖。
指文章、书、绘画等作品的名称，还有―头衔；称呼‖之意。
subject意为―题目；主题‖时，指在讨论、信件、书本中写的或讨论的事、人、观点或事件。
侧重发言人或作者等暗示的主旨，含义较广。
①This is a one–man show of paintings whose theme was the dullness of modern life.②It was the book’s eye–catching title that helped me make up my mind to buy it.③The topic of your article is very good, but your spelling and style must be improved.④What books have you read on this subject ?2. variousadj.各种各样的There are various colours to choose from.有各种各样的颜色可供选择。
There are various ways of cooking an egg.鸡蛋有多种不同的做法。
【链接】表达各种各样的different/ various+n.(pl.)all kinds/sorts/types of+n.a great/wide variety of【联想拓展】variously adv.（情况、时间、处所等）不同地vary v.变化；不同variety n.(pl.) varieties变化，多样性He was variously described as a hero, a genius and a fool. 他被说成是英雄、天才、笨蛋，不一而足。
Leaves vary with the seasons. 叶子随着四季的变化而改变。
【易混辨析】various/differentvarious 表示―各种各样的‖，主要指彼此不同且种类繁多，强调―异‖而且―多‖。
different 表示―不同的‖，指的是种类不同、不相像、不一样等，强调―异‖。
①He had a wide variety of interests, which made him a popular person that all of us like to make friend with.（跨度极广的；多种多样的）②Geographers usually get information by comparing and contrasting various places on the earth.3.be famous for=be well-known for以……而闻名be famous as作为……而闻名be famous to sb.被某人所知道be famous in在某个范围内出名Beijing is famous for many places of interest.The area is famous as a green tea producing place.He is famous for his kindness to the poor.Beijing Duck is very famous in the world.4. whichever 不管哪一个；任何一个。
可以引导名词性从句，也可以引导让步状语从句。
Whichever dictionary you want to buy, I’ll pay for it. (引导让步状语从句)You can choose whichever you want. (引导宾语从句)【易混辨析】whichever/whatever这两个词的意思不同，whichever意为―无论哪个；无论哪些‖；whatever意为―无论什么；凡是……的事物‖。
whichever/whichwhichever可以引导名词性从句或让步状语从句，which是个疑问词；用在疑问句中，或作关系代词，引导定语从句。
no matter which/whicheverno matter which只能引导让步状语从句；而whichever可引导让步状语从句和名词从句。
no matter which可以用whichever代替，但两个同时出现在选项中时，必须选whichever。
①We’ll eat at restaurant has a free table. （C）A. whichB. whateverC. whicheverD. no matter which②These wild flowers are so special that I would do I can to save them. (A)A. whateverB. thatC. whichD. whichever5.amusement(1)n.[U]愉悦，娱乐搭配：to one’s amusement使某人发笑的是In/with amusement愉悦地，好笑地To my amusement，he couldn’t get the door open.Her eyes twinkled with amusement.He looked at us in amusement.(2)[C]娱乐活动6 .swingvt. &vi.摇摆；摆动n. [C]秋千；摇摆His arms swung/He swung his arms as he walked.他走路时摆动着手臂。
The girl sat on a swing, swinging back and forth.那个女孩坐在秋千上，前后摇摆。
【搭配】swing around/round 突然转向相反方向swing sb. from sth. to sth. (使某人)突然改变观点或情绪等①She swung her legs from side to side。
.②她突然生气地转过身来。
She swung around on her angrily.7.no wonder难怪；怪不得No wonder he is not hungry, he has been eating sweets all day. No wonder you’re so experienced, you have worked here for ten years.联想拓展【拓展】wonder vi.&vt.感到惊异；(对)……感到奇怪；想要知道n.［U］惊奇；惊叹；［C］奇迹；奇观；奇事It is a wonder that ...真想不到，令人惊喜的是……wonder that ... 感到奇怪，觉得惊讶wonder whether (if)/when/why/how ...想知道是否/什么时候/为什么/怎么……He wondered why people built ugly homes, when they could have beautiful ones.他很奇怪为什么人们本可以造出漂亮的房屋，而偏偏建造出丑陋的房子来。
It is a wonder that he remained alive after dropping from the roof of a ten–story building. 他从一幢十层楼的顶上摔下来，但仍然活着，真是个奇迹。
no doubt/no wonderno doubt是there is no doubt ...的省略说法，表示―……毫无疑问‖。
no wonder是It is no wonder that ...的省略说法，表示―怪不得，难怪……‖。
8.preserve（1）vt.保护，维护，保留搭配：preserve…from/against （doing）sth.保护……免受……The organization was set up to preserve endangered species from extinction.I think these troditional customs should be preserved.(2)维持……的原状，保存，保养搭配：be well preserved保养的好preserve sb./sth.+adj.把……保护（存）得……preserve one’s strength保留体力preserve one’s eyesight保护视力（3）保护区No hunting is allowed in the preserve。
（在保护区）9. be modelled after 根据……模仿；仿造His voice is modelled after Xiao shenyang.The painter modelled his style after that of Picasso.10.advancev.前进；推进；进展n.前进；发展Our soldiers advanced bravely towards the enemy.The enemy’s advance w as stopped. 敌人的推进被阻止。
【搭配】in advance=ahead of time 预先;提前advance on/towards sb./sth. 向某人/物前进advance in sth. 改进/改变某物【联想拓展】advanced adj. 高级的；先进的China has become one of the most advanced countries in technology. 中国已成为世界上科技最先进的国家之一。
e to life复活；苏醒；变得活跃；恢复生气I love to watch everything come to life in spring.我喜欢看到春天万象更新。
In a few minutes Tom suddenly came to life.过了一小会儿，汤姆突然苏醒过来。