“数与式”中考数学专题复习

“数与式”中考数学专题复习•中考命题形势与趋势翻阅手中近几年全国各地的中考试卷，仔细琢磨“数与式”的试题发现，这部分知识多考查实数、整式、分式以及二次根式的有关概念及其简单运算和求值，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题.由于数与式涉及的知识点比较多，围比较广，而且都是研究数学的基础知识，所以预计2010的中考中的基础知识的考查仍注重这些容，题型除了会加大创新的力度外，还将会沿袭传统的题型.•数与式试题的特点与数与式有关的试题的题型一般相对来说都比较小，而且大多出现在选择与填空中，即使出现个别的解答题，一般也是靠近较前面的，好让同学们下笔就能得分，个别探索型和开放型的题目也只需同学们略动一下脑筋就能解答，一般没有偏难的题目，更没有同学们没有遇到的问题，至于，试卷中会出现一些新定义，或简单的阅读理解问题，也会让同学们一看即会明了的，总之，数与式部分的试题大多属于送分题，同学们只要注重基础知识的复习，不遗漏任何一个知识即可^•典型问题归类例析专题1实数一、知识点1. 实数的分类：按定义来分类：有理数和无理数；按正、负数来分类：正实数、0、负实数.2. 实数和数轴上的点是-- 对应的.3. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.若a、b互为相反数，贝U a+b = 0,或—=-1（a、b乒0）.aa a 0 ,4. 绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 a = 0 a 0 ,a a 0 .5. 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，贝U ab= 1;反之，若ab= 1,则a与b 互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数.6. 科学记数法、近似数和有效数字：把一个数记成 aX10n的形式，这种记法叫科学记数法.注意，科学记数法的实质是有理数的乘方，其中 1 < a v 10, n是比原数的整数位数小1的正整数.近似数是指近似地表示某一个量的数.一个近似数，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位.由四舍五入得到的近似数精确到某一位，那么从左边第一个不是零的数字起，到最后一位数字止，所以的都叫做这个数的有效数字.7. 平方根、算术平方根和立方根：若x2= a （a> 0）,则x就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可以符号表示为“土”；正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为“ *2 ”.如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根.8. 实数的开方运算：Va = a（a>0）, Va2 = a .9. 实数的混合运算顺序：和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.有理数的运算律在实数围仍然适用.10. 实数的大小估算与实数大小的比较：（1）数形结合法；（2）作差法比较；（3）作商法比较；（4）倒数法；（5）平方法.二、考题例析考点1负数的意义例1 （江市）汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米记作（）A.5千米B. - 5千米C.10千米D.0千米分析 由负数的意义可知，汽车向东行驶 5千米与汽车向西行驶 5千米是表示两个相反意义的量，既 然汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米就应该记作与 5千米相反的量.解 因为汽车向东行驶 5千米记作5千米，所以汽车向西行驶 5千米就应该记作-5千米.故应选B.说明 本题意在让同学们进一步体会负数的意义，知道负数的产生是源于生活，并服务于生活^考点2实数的概念例2 （市）2009的相反数是（ ）A. - 2009B.2009C. ----------------- 1一 D. 一2009 2009分析利用相反数的定义直接求得 2009的相反数.解因为2009的相反数是—2009,所以应选A.说明 明白相反数的意义可容易求解，即只有符号不同的两个数称为相反数， 0的相反数是0,互为相反数总是成对出现的，不能出现类似“2009是相反数”的错误.考点3数轴例3 （市）数轴上的点 A 、B 位置如图所示，贝U 线段 AB 的长度为（ ）A. — 3B.5C.6D.7c。

分析数轴上任意两点之间的距离等于这两点对应的数值的差的绝对值，由此可以求解 解 因为A 点对应的数值为一5, B 点对应的数值为2,所以AB = 5 2 = 7 = 7, 所以应选D.说明利用数轴上任意两点间的距离公式计算线段的长度时并不需要考虑数值的先后.如，本题中AB = 2 5 |= 7 = 7.考点4科学记数法、近似数与有效数字例4 （市）2009年10月11日，第^一届全运会将在美丽的泉城召开 .奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局 .建筑面积约为359800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（保留三个有效数字）A.35.9 X 105 平方米B.3.60 X 105 平方米C.3.59 X 105 平方米D.35.9 X 104 平方米分析 数据359800有6个整数位，即用科学记数法表示时 则从8开始四舍五入.解 因为359800Q 360000,所以用科学记数法表示为 3.60X 105.故应选B.求解时应注意，将一个数用科学记数法表示为 a x 10n （1 < a< 10）的形式，其中a 的有效数字就是 ax 10n 的有效数字，且n 等于这个数的整数位数减1.考点5实数的估算例5 （市）估计20的算术平方根的大小在（）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 分析 要估计20的算术平方根的大小，即估计面围，此时，由于42= 16 , 52= 25,由此可以求解解 因为42V V20 V 52,所以20的算术平方根在 4和5之间.故应选C. 说明 对实数的估算，可以借助于数的平方，从而确定一个无理数的大致围10的指数为5,要求保留三个有效数字时,说明本题考查科学记数法和有效数字,考点6实数的比较大小 例6 （市）设a= 20, b= （— 3）2,c= "9, d = 1 ，贝U a 、b 、c 、d 按由小到大的顺序排列正确的2是（）A.cv av d v bB.b< d < a< cC.av cv d< bD.b< cv av d分析 可以分别求出a 、b 、c 、d 的具体值，从而可以比较大小 .i解 因为 a= 20= 1, b = （— 3）2= 9, c= ^~9 = — ^9 , d=】=2,而一而 < 1 <2< 9,所以 cv2av d v b.故应选A.说明 比较实数的大小有好多种方法，在具体求解时应根据题目自身的特点选择容易比较的方法 .考点7实数的运算例7 （市）（1）有这样一个问题： 很 与下列哪些数相乘，结果是有理数？问题的答案是（只需填字母）：说明 本题是考查实数的运算，其题型以前不常见，虽然不难，但请同学们应注意关注.另外，应注意避免对无理数的几种错误认识： （1）错误认为无限小数就是无理数如 1.414141 •-（41无限循环）；（2）错误 认为带根号的数是无理数， 如44 ; （3）错误认为两个无理数的和、 差、积、商也还是无理数，如J 3 +J2 ,43- J 2都是无理数，但它们的积却是有理数； （4）错误认为无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如 42,我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此^三、同步训练11. 实数一2, 0.3, - , 72 ,-兀中，无理数的个数是（）7A.2B.3C.4D.5A.3 扳B.2 — 423 D.、/2E.0（2）如果一个数与 72相乘的结果是有理数, 则这个数的一般形式是什么（用代数式表示） 分析（1）可利用实数的运算验证，看结果情况判断.（2）设出这个数，从而列式求解....— — 3 — — _ — ................. —解（1）因为 3^2 X \[2 = 6, —— x J 2 = 3, 0X J2 = 0,所以 J2 分力U 与 3 J2、-23 一 .一—=和0相乘,2其结果为有理数.故应选A 、D 、E.（2）设这个数为x,则根据题意，得 x- J 2 = a （a 为有理数），所以x= -— （a 为有理数），这个数的一般形式是（a 为有理数）2. 通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球感染人数约为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031，将数字0.0000031用科学记数法表示为（）A.3.1 X 10 5B.3.1 X 10 6C.3.1 X 10 7D.3.1 X 10 83. 平方根节是数学爱好者的节目，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.请你写出本世纪你喜欢的一个平方根（题中所举例子除外）.年月日.4. | 2| - （1 仞°+V4.专题二整式一、考点扫描1. 代数式的有关概念：代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子.求代数式的值的方法：①化简求值；②整体代入.2. 整式的有关概念：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式；几个单项式的和，叫做多项式；所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项^3. 去括号与添括号：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号；给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号^4. 合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变^5. 乘法公式：平方差公式：（a+b）（a— b）= a2— b2；完全平方公式：（a土b）2= a2± 2ab+b2.6. 整指数藉的运算：amx a n= a m+n,（a m）n = a mn, （ax b）n= a n x b n, a m+ a n= a m+n（a乒0）.7. 零指数藉与负整数指数藉：不等于零的数的零次藉等于1.即a°= 1（a乒0）.不等于零的数的负整数次藉............................... 一1等于这个数的正整数次藉的倒数 .即a p= 土（a乒0, p是正整数）.8.整式的运算：（1）加减运算：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是：①如果遇到括号，按去括号法则去括号；②合并同类项.（2）乘除运算：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的藉分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多项式与多项式相乘，就是先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.单项式相除，把系数、同底数藉分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.9. 因式分解：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法^二、考题分析考点8列代数式例8 （株洲市）孔明同学买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元.那么他买铅笔和练习本一共花了元 .分析买铅笔m支，每支0.4元，贝U需钱0.4m元，买练习本n本，每本2元，贝U需钱2n元，由此可以列式求解.解因为买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元，所以铅笔和练习本一共花了（0.4m+2n）元钱.说明列代数式的关键是正确掌握数学关联词，并且书写代数式时应注意规性^考点9藉的运算例9 （市）下列计算中，结果正确的是（）A.a2- a3= a6B.（2a）• （3a）= 6aC.（a2）3 = a6D.a6 + a2= a3分析为了能准确地获得答案，可利用藉的运算法则逐一计算验证^解因为a2- a3= a5, （2a） - （3a） = 6a2, a6- a2= a4,所以选项A, B, D 都是错误的，只有（a2）3= a6运算是正确的,故应选C.说明要能正确地猎取答案，就必须熟练掌握藉的运算法则，弄清楚每一个法则的前因后果^考点10同类项例10 (贺州市)已知代数式2a3b n+1与—3a m 2b2是同类项，贝U 2m+3n= .分析利用同类项的定义，构造出m和n的简易方程，求得m和n即可求解.解因为代数式2a3b n+1与一3a m 2b2是同类项，所以3 = m — 2,且n+1 = 2,解得m= 5, n = 1,当m = 5, n= 1 时，2m+3n = 2X 5+3 x 1= 13.说明同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，根据同类项的定义可得字母指数的方程，然后再求代数式的值，这是中考中常出现的题型^考点11去括号例11(市)下列运算正确的是(A. — 2(a — b) = — 2a— bC. - 2(a — b) = — 2a— b分析利用去括号的法则进行化简解因为一2(a— b) = — 2a+2b,所以D是正确的，故应选 D.说明去括号时一定要注意两点，一是括号前面是负号，去掉括号时，括括号的各项都要改变符号，二是括号前面有因数或因式时，去掉括号时，应运用乘法的分配律运算，不能漏掉任何一项^ 考点12乘法公式例12 (江市)在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A.(a+b)2= a2+2ab+b2C.a2—b2 = (a+b)(a-b)分析依题意，甲、乙两个图形中阴影部分的面积相等，由此，可列式验证解因为甲图的阴影部分的面积= a2- b2,而乙图的阴影部分面积= (a+b)(a- b),所以a2— b2= (a+b)(a— b).故应选C.说明求解本题时要注意图形在变换过程中面积的不变性，由此可以利用几何图形的面积公式求得考点13整式运算与因式分解例13 (市)给出三个多项式：【x2+2x—1, ■―x2+4x+1 , ■― x2一2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行2 2 2加法运算，并把结果因式分解.分析给定的是三个多项式，要求选择其中的两个进行加减运算，显然，选择的方法不惟一，即结果不惟一，进而因式分解的结果也不惟一，但只要符合题意即可^解答案不惟一.如，情形一：—x2+2x— 1+【x2+4x+1 = x2+6x= x(x+6);2 2情形二：—x2+2x— 1+ 】x2— 2x= x2- 1 = (x+1)(x— 1);2 2•— v2+4 1 -i- — v2——2x x2 1 ——1 \ 2旧)iz-~- • x +4x+l+ x 乙人x+2x+l — (x+l).)B, — 2(a — b)=- 2a+bD, — 2(a — b)=—2a+2bB.(a — b)2= a2— 2ab+ b2D.(a+2b)(a— b)= a2+ab — 2 b2a a bb甲乙说明本题若改成“请选择你最喜欢的两个多项式进行加减法运算”，则情况则更多，同学们不妨一考点14规律探索a 5例14 (0 一组按一定规律排列的式子：一 a 2, 一，2( n 为正整数).分析 先观察分母，发现从 1, 2, 3, 4,…，随项数依次递增，第 n 个式子的分母应该是 n ；而分子 是关于 a 的藉，且指数分别是 2, 5, 8, 11,…，而 2 = 3X 1 — 1 , 5= 3X 2- 1 , 8= 3X 3- 1, 11 = 3X 4- 〔，•••，第n 个式子的分母应该是 3n-1;再来看各项前面的符号特点是逢奇是负，逢偶是正，由此可以探 索到结果.3n 1第n 个式子是(-)n 一 .说明 对于规律探索类的问题，一定要观察一些特殊式的结构特点，并从中找到规律性的问题，然后 再将这一规律推广，得到一般的结论.三、同步训练5. 小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是( )A.(a — b)2 = a 2 — b 2B.( — 2 a 3)2 = 4a 6C.a'+a?= Na ，D. — (a — 1) = — a — 16. 一个矩形的面积为 a 3— 2ab+a,宽为a,则该矩形的长为 .7. 分解因式 x 2 — 4y 2+x — 2y =.8. 已知 M = x+5a — 1, N=— 2x 4+ax 3— x 2, 2xM+N 安一2 的值与 x 无关，求 a 的值. 专题三分式 一、 考点扫描1. 分式：整式A 除以整式B,可以表示成 A 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称 山为分式.此时, B B若B 丰0，则△有意义；若B= 0，则A 无意义；若A= 0且B 乒0,则—=0.B BB2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.3. 通分与约分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分；通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次藉 的积.把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分^4. 分式的乘除、乘方法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的 分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘；分式的乘方要把分子、分母分 别乘方.5. 分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加；异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算^6.分式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 .对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.二、 考题分析 考点15分式的意义8 11a a —,一34(a 乒0)则第n 个式子是.3 1 1解因为一a 2= (一 )1 一153 2 1曾=(-)2」2 283 3 1史=(-)3」3 3113 4 1—=(-)4-—,…，所以4 4例15 （黔东南州）当 x 时， 有意义.x 1分析 要使分式有意义，必须满足分式的分母不为0,从而可得到不等关系求解.1解 要使分式 ------ 有意乂，只要分母 x+1丰0,即x 乒—1,x 1所以当x 乒一1时，分式—有意义.x 1说明 分式无意义时，只要分式的分母等于0,进而构造出方程求解.例16 （市）已知分式 工」的值为0,那么x 的值为 .x 1分析 要使分式的值为 0,必须满足分式的分子为0,而分式的分母不为 0,从而列式求解解 由分式的分母 x+1 = 0,得x=— 1,而当x= — 1时，分母x — 1乒0, ~ , x 1 ,所以分式—的值为0时，x 的值为一1.x 1说明 处理分式的值的为 0时，一定要注意强调分母不等于 0,否则容易出现错误.考点16分式的基本性质分析先对分子与分母分别分解因式，再约去公因式2m 2n m 2n= m 2n m 2n m 2n说明对于分式的分子或分母是多项式时, 考点17分式的运算x 42 x x例18（市）化简 y —— 土己+,其结果是x 4x 4 x 2 x 2A. - 土分析先对括号的第一个分式分解因式,算，同时将除法转化为乘法，再约分化简x 24 2 x -= [x 2 x 2 _ ^2 x x 2x 24x 4 x 2 x 2 x2 2 x 2 xx2 x 4x4x 4x4 x2 8 —队 --------------------- X =.故应选D. x 2 x 2 x x 2说明 有关分式的运算，一般都是考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算， 要注意运算顺序.先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.例19 （市）先化简，再求值：1 —-— + ------------ ，其中x= 2.x 2 x 2分析 先进行括号的减法运算，同时将除法转化为乘法，并分解因式，对分式化简，再将条件中 x 的取值代入计算.例17 （滨州市）化简:2 2m 4mn 4n22m 4n2 2m 4mn 4n 2. 2m 4n首先得进行因式分解，以便更好地发现公因式，进而约分C.-三D .里x 2x 2对第二个分式的分子进行符号变换，进而进行括号的加法运, 2 」 , 一 ,1 x 1 x 1 x2 1解 1 ----------- + --------- = ------- X ------------------ = --------x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1当x = 2时，原式== 1.2 1说明 解决分式的化简求值试题，要正确运用分式的通分或约分，对分式进行必要地化简，然后根据 条件中给定的字母的取值，代入化简后的式子进行计算^考点18开放型立 x — = 土 a a b a b当b =— 1,并取a= 2时，原式== 1.2 1说明解决此类的分式化简与求值问题时，除了要能正确地先运用分式通分或约分法则，对分式进行 化简，然后根据分式有意义的情况下取字母适当的值代入化简后的式子进行计算.本题的a 不能取0和土 1.三、同步训练 9.下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）2.ax _ a 1 y _ y n _ na a _ ab b x b 1 x x 2m ma b b 2二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简 二次根式.（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式2.二次根式的性质：(1)Va= a (aA0)、, a 2 = a ,(2)Vab = VaVb (a>0, b>0),例20 （市）先化简: 2,2a b 入 2ab b 2a 2ab,当b= - 1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.分析 先对分式进行化简，再当b=- 1,并选取使原分式有意义的一个字母a 的值代入计算.a 2b 2a 2ab2ab b 2(a b)(a b) a(a b)10. 如果m 个人完成一项工作需要 d 天, mdC.-A.d+nB.d — n则（m+n ）个人完成这项工作需要的大数为（dD. --------m n 11.当 a时，(a — 2)5=2- 成立,2， m 1,当2m =上时,162xy12.已知 M = ~22x yxN=— xM 、N,有三种不同的形式： M+N 、 M-N 、N- M,请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中专题四二次根式一、考点扫描y= 5 : 2.1.二次根式的有关概念：（1）式子Va （a>0）,叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或 0. （2） 最简例24 （市）化简：M8 一I - ^6+心一wV^；7.3.二次根式的运算：二次根式的加减：①先把各个二次根式化成最简二次根式；②再把同类二次根式 分别合并.二次根式的乘除法：按 j a ・j b = j ab,—=区运算，再化成最简二次根式.、一 b '、b二、考题分析 考点19最简二次根式例21 （市）下列根式中，不是.最简二次根式的是（ ） A.万B, V3C. WD. 72分析对照最简二次根式的概念逐一筛选 ^解 因为J 1 =—，所以任不是最简二次根式,故应选C. 说明 最简二次根式的判断，必须遵循其两个条件，缺一不可 ^考点20确定二次根式的字母值例22 （市）已知 Jl2 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ） A.12B.11C.8D.3分析 由于二次根式 J12 n 是正整数，则其式必须满足 12-n> 0,且12-n 是一个完全平方数，由此可以求解.解 因为<12 n 是正整数,所以有12- n>0,且12 — n 是一个完全平方数, 所以nv 12,且12- n 是一个完全平方数，此时，要使实数 n 的最大值，则n= 11.故应选B.J12 n 是正整数，又必须考虑实数 n 的最大值，若一不小心，求得的解就有可能使题目本身失去意义考点21实数的估算例23 （眉山市）估算 J27 - 2的值（ ）分析 首先得估算出 J 27的大小围，由于25V 27V 36,于是可得到 J 分的大小围发，进而求解 解因为 25v 27V 36,即 5 v J27 V 6,所以 3< 、, 27 —2 V 4,即 岳一 2的值在在3到4之间,故应 选C.说明 确定一个实数的值，一般可利用算术平方根的意义确定该实数的围，进而求解 考点22实数的运算a,b(a>0, b>0) 说明求解本题时一定要注意：既要考虑 A.在1至I] 2之间 B.在2到3之间C,在3到4之间D.在4至IJ 5之间解据-£ 一+（73 - 2）°^/（i 72）2=3龙—3 72 —（i+72）+i+V2 —1= 3 72 —i.说明本题的化简实际上就是实数的运算，求解时一定要灵活运用二次根式化简技巧和性质，并注意被开方数是一个非负数和括号前面的“―”号，否则容易陷入运算的困境^考点23实数的新定义运算例25 （湘西自治州）对于任意不相等的两个数a, b,定义一种运算※如下:=。