八年级上册数学 全等三角形综合测试卷(word含答案)

AB＝BC 在△ABF 和△CBF 中， ABF＝CBF ，
BF＝BF
∴△ABF≌△CBF， ∴AF=CF， ∴∠FAC=∠ACF=15°， ∴∠AFH=15°+15°=30°. ∵AH⊥CD，
∴AH= 1 AF= 1 CF= 2 . 223
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE， ∴∠BDE=75°-60°=15°， ∴∠ADH=15°+30°=45°， ∴∠DAH=∠ADH=45°，
PAE PCF {?AP CP EPA FPC
， ∴ △ APE≌ △ CPF（ASA）， 同理可证△ APF≌ △ BPE，
∴ AE=CF，△ EPF 是等腰直角三角形，S = 四边形 AEPF 1 S△ABC，①②④正确； 2
而 AP= 1 BC，当 EF 不是△ ABC 的中位线时，则 EF 不等于 BC 的一半，EF=AP， 2
S△ABC= 1 AC•BE= 1 AC×EH×3EH= 1 BE= 1 ×6=2．由三角形外角的性质，得∠ BIF=∠ FGE﹣
2
2
33
∠ IBG=60°﹣30°=30°，由∠ IBG=∠ BIG=30°，得 IG=BG=2，由线段的和差，得 IF=FG﹣IG=4﹣
2=2，由对顶角相等，得∠ FIN=∠ BIG=30°，由∠ FIN+∠ F=90°，得∠ FNI=90°，由锐角三角函
∴DH=AH= 2 . 3
故答案为 2 . 3
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅 助线的作法.
9．如图，过边长为 1 的等边三角形 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延 长线上一点，当 AP＝CQ 时，PQ 交 AC 于 D，则 DE 的长为______．
∵AB=5 ，∠BAC=45°，∴BH= =
5．
∵BM+MN 的最小值是 BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为 5．
【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通 过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
3．如图，已知△ABC 和△ADE 都是正三角形，连接 CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求 AF 的长 _________ .
BC 上的动点，则 CM＋MN 的最小值是____．
【答案】4 【解析】 【分析】 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M′，过点 M′作 M′N′⊥BC 于 N′，则 CE 即为 CM+MN
的最小值，再根据 BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠Байду номын сангаасBC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由
∠ ABG=∠ HBD=30°，由直角三角的性质，得∠ BHD=90°﹣∠ HBD=60°，由对顶角相等，得 ∠ MHE=∠ BHD=60°，由 BG=2，得 EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由 GE 为边作等边三角形 GEF，得 FG=EG=4，∠ EGF=∠ GEF=60°，△ MHE 是等边三角形；
在 CAE 和 BAD 中 AC AB CAE BAD AE AD
∴ CAE ≅ BAD ∴ ICA ABJ ∴ BFE CAB （8 字形） ∴ CFD 120° 在 CAI 和 BAJ 中 ICA ABJ CAI BJA 90° CA BA
∴ CAI ≅ BAJ AI AJ,CI BJ
八年级上册数学 全等三角形综合测试卷（word 含答案）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点 A 的坐标是（2，2），若点 P 在 x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点 P 有 _____个．
【答案】4 【解析】 【分析】
由 A 点坐标可得 OA=2 2 ，∠AOP＝45°，分别讨论 OA 为腰和底边，求出点 P 在 x 轴正半
数，得 FN=1，IN= 3 ．S 五边形 NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣
S△FIN= 3 42 3 22 1 3 1= 5 3 ，故答案为 5 3 ．
4
4
2
2
2
考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合 题；5．压轴题．
5．在锐角三角形 ABC 中．BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC．若 M，N 分别是边 BD，
①AE=CF；
②△ EPF 是等腰直角三角形；
③EF=AB；
S ④ 四边形AEPF
1 2
SABC
，当∠
EPF
在△
ABC
内绕顶点
P
旋转时(点
E
不与
A、B
重合)，上述
结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】①②④ 【解析】 试题分析：∵ ∠ APE、∠ CPF 都是∠ APF 的余角， ∴ ∠ APE=∠ CPF， ∵ AB=AC，∠ BAC=90°，P 是 BC 中点， ∴ AP=CP， ∴ ∠ PAE=∠ PCF， 在△ APE 与△ CPF 中，
∴CM+MN 的最小值为 4．
【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角 形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
6．如图，已知△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=90°，直角∠ EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边
PE、PF 分别交 AB、AC 于点 E、F，给出下列四个结论：
∴ CFA AFJ 60° ∴ FAI FAE 30° 在 RtAIF 和 RtAJF 中 FAI FAE 30°
∴ IF FJ 1 AF 2
设 FJ x CF 7, BF 4
则4 x 7 x
x 3 2
AF 2FJ
AF
3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线 求解是解决本题的重点.
【答案】60° 【解析】 【分析】 此题需分三步：第一步是作出△CEF 的周长最小时 E、F 的位置（用对称即可）；第二步是 证明此时的△CEF 的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时 ∠ECF 的值. 【详解】 分别作出 C 关于 AD、AB 的对称点分别为 C1、C2，连接 C1C2，分别交 AD，AB 于点 E、 F 再连接 CE、CF 此时△CEF 的周长最小，理由如下：
轴和负半轴时，△APO 是等腰三角形的 P 点坐标即可. 【详解】 （1）当点 P 在 x 轴正半轴上， ①如图，以 OA 为腰时， ∵A 的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2 2 ， 当∠AOP 为顶角时，OA=OP=2 2 ，
当∠OAP 为顶角时，AO=AP， ∴OPA=∠AOP=45°， ∴∠OAP=90°，
在 AD、AB 上任意取 E1、F1 两点 根据对称性： ∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1 ∴△CEF 的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2 而△CE1F1 的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1 根据两点之间线段最短，故 C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2 ∴△CEF 的周长的最小为：C1C2. ∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90° ∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120° ∴∠CC1C2＋∠CC2C1=180°－∠DCB=60° 根据对称性：∠CC1C2=∠ECD，∠CC2C1=∠FCB ∴∠ECD＋∠FCB=∠CC1C2＋∠CC2C1=60° ∴∠ECF=∠DCB－（∠ECD＋∠FCB）=60° 故答案为：60° 【点睛】 此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最 短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.
∴OA＝2 2 ， ∴OA＝OP＝2 2 ， ∴P 的坐标是（﹣2 2 ，0）．
综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（2 2 ，0）或（﹣2 2 ，0）．
故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用 是解题关键． 2．如图，在锐角△ABC 中，AB=5 ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分 别是 AD，AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是______．
所以 AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以 DE= 1 AC= 1 . 22
故答案为 1 . 2
10．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在 AB、AD 上分别找一点 F、E，连接 CE、EF、CF，当△CEF 的周长最小时，则∠ECF 的度数为______．
锐角三角函数的定义即可求出 CE 的长． 【详解】 解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M′，过点 M′作 M′N′⊥BC 于 N′， 则 CE 即为 CM+MN 的最小值，
∵BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，
∴△BCE 是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°= 32 × 2 =4． 2
4．如图，△ ABC 是等边三角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4 3 ，在 BE 上截取 BG=2，
以 GE 为边作等边三角形 GEF，则△ ABH 与△ GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．
【答案】 5 3 2
【解析】
试题分析：如图所示，由△ ABC 是等边三角形，BC= 4 3 ，得到 AD=BE= 3 BC=6， 2
线 BF 交 CD 于点 F，过点 A 作 AH⊥CD 于 H，当 EDC=30 ，CF= 4 ，则 DH=______． 3