证券组合选择的有效子集
证券组合选择的有效子集
证券组合选择的有效子集
投资组合选择是一项艰巨的工作，必须在投资组合的投资组合组合方案中找到最有效的组合。
一个有效的投资组合可以最大限度地实现投资者的目标，并为投资者实现投资最大收益。
因此，如何有效地选择投资组合就成为投资者想要了解的问题之一。
如何选择有效的投资组合？
1、明确投资目标：在选择投资组合时，投资者首先要明确自己的投资目标，根据未来预期利率水平、个人风险承受能力和投资知识来确定投资组合。
2、定义投资组合：一旦明确了投资目标，下一步就是根据投资者的特定需求和预期收益，准备投资组合的组合方案，把现有及可利用的资产编成投资组合。
这里要考虑的因素有：种类、余额、比例、风险等。
3、分析投资组合的风险与回报：在构成投资组合前，投资者还必须研究了解投资组合的风险报酬特征，特别是特定投资者的风险承受能力和预期收益，以便选择最有效的投资组合。
4、进行有效组合投资：一旦投资者明确了投资目标，准备了投资组合，那么投资者就可以进行有效的投资组合投资，最大限度地发挥投资组合的优势，以获得投资者最有价值的投资收益。
5、定期评估投资组合：定期评估投资组合也很重要，对于投资者追踪投资组合的投资表现情况和风险水平，及时发现各类风险问题，进行调整和优化，使投资者实现最佳投资收益。
总而言之，选择有效的投资组合并不易，但通过结合投资者的特定需求及投资组合的投资目标的研究，进行全面的风险与收益对比分析，定期评估投资表现，相信我们可以找到最有效、最高收益的投资组合。
证券投资组合理论
证券投资组合理论［内容提要］本章着重介绍了证券投资的组合及定价理论。
共分五节。
第一节提出了应如何构建最优风险资产组合，探讨了理性投资者在既定的假设条件下求可行集和有效集以及最优投资组合构建的具体方法；第二节分析了无风险借贷对有效集的影响。
第三节介绍了资本资产定价模型的假设前提和推导过程，运用实例分析了该理论的应用及局限性；第四节深入阐述了套利定价理论的基本内涵，并将两种理论进行了比较分析，介绍了两者实证检验的结果。
第五节对资本资产定价模型进一步扩展，对跨时的资本资产定价模型和消费资本资产定价模型进行了概述性的介绍。
第一节最优风险资产组合投资者必须根据自己的风险-收益偏好和各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。
然而，现实生活中证券种类繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话，那将是难以想象的。
幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。
本节将按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。
一、可行集为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。
可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。
也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部。
（一）有效集的定义对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。
对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。
能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界Efficient Frontier）。
处于有效边界上的组合称为有效组合。
（二）有效集的位置可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。
那么如何确定有效集的位置呢？我们先考虑第一个条件。
在图10.1中，没有哪一个组合的风险小于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。
有效前沿与最优证券组合课件
有效前沿和最优证券组合是相互依存的 ，一个的有效前沿是由所有可能的投资 组合构成的，而最优证券组合则是有效
前沿上的一个点。
投资者在选择最优证券组合时，需要根 据自己的风险偏好和投资目标，在有效 前沿上寻找具有最高夏普比率的投资组
合。
同时，市场条件、投资者风险偏好和投 资限制等因素的变化也会影响有效前沿 的形状和位置，进而影响最优证券组合
资产配置的优化
确定资产配置比例
根据投资目标和风险承受能力， 确定各类资产的配置比例。
动态调整
根据市场走势和投资者需求，对资 产配置比例进行动态调整，以实现 最优配置。
定期评估
定期对资产配置进行评估，确保其 符合投资目标和风险承受能力。
风险管理的实施
风险识别
识别投资组合面临的各种风险， 如市场风险、信用风险等。
最优证券组合对有效前沿的贡献
最优证券组合是有效前沿上的一个点，它代表了投资者在风险和预期收益之间的最 佳权衡。
最优证券组合的选择受到投资者风险偏好、投资期限、资金流动性需求等多种因素 的影响。
通过选择最优证券组合，投资者可以在有效前沿上找到最适合自己的投资方案，从 而提高投资效益。
有效前沿与最优证券组合的互动关系
06 总结与展望
CHAPTER
有效前沿与最优证券组合的重要意义
1 2
投资决策的科学性
有效前沿和最优证券组合为投资者提供了科学的 投资决策依据，有助于减少投资风险并提高投资 收益。
资产配置的优化
通过有效前沿和最优证券组合，投资者可以优化 资产配置，实现风险与收益的平衡。
3
市场效率的评估
有效前沿的存在与否是市场效率的重要评价指标 ，对于市场监管和政策制定具有指导意义。
财务估价基础 两种证券组合的机会集与有效集
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第四章 财务估价基础知识点：两种证券组合的机会集与有效集● 详细描述：【计算题】假设A证券的预期报酬率为10%，标准差是12%。
B证券的预期报酬率是18%，标准差是20%。
假设等比例投资于两种证券，即各占50%，且两种证券的相关系数为0.2。
要求： （1）计算该组合的预期报酬率； （2）计算该组合的标准差。
【正确答案】该组合的预期报酬率为： rp＝10%×0.50＋18%×0.50＝14% σp＝12.65% 如果投资比例发生变化，投资组合的期望报酬率和标准差也会发生变化。
计算结果见下表：不同投资比例的组合将以上各点描绘在坐标图中，即可得到组合的机会集曲线该图的几个主要特征：1.它揭示了分散化效应。
2.它表达了最小方差的组合。
3.它表达了投资的有效集合.【相关性对机会集和有效集的影响】组合对A的投资比例对B的投资比例组合的期望收益率组合的标准差11010.00%12.00%20.80.211.60%11.11%30.60.413.20%11.78%40.40.614.80%13.79%50.20.816.40%16.65%6118.00%20.00%相关系数＝1，不具有风险分散化效应。
相关系数＜1，机会集为一条曲线，当相关系数足够小，机会集曲线向左侧凸出。
相关系数越小，风险分散效应越强；相关系数越大，风险分散效应越弱。
由两项资产构成的投资组合，其最高、最低预期报酬率组合点，以及最大方差组合点不变，但最小方差组合点却可能是变化的。
机会集不向左侧凸出——有效集与机会集重合。
最小方差组合点为全部投资于A，最高预期报酬率组合点为全部投资于B。
不会出现无效集。
机会集向左侧凸出——出现无效集。
最小方差组合点不是全部投资于A，最高预期报酬率组合点不变。
例题：1.有效集以外的投资组合与有效边界上的组合相比，不包括（）。
A.相同的标准差和较低的期望报酬率B.相同的期望报酬率和较高的标准差C.较低的报酬率和较高的标准差D.较低的标准差和较高的报酬率正确答案：D解析：有效集以外的投资组合与有效边界上的组合相比，有三种情况：（1）相同的标准差和较低的期望报酬率；（2）相同的期望报酬率和较高的标准差；（3）较低的报酬率和较高的标准差。
AFP金融理财师投资规划第2篇 投资理论第5章 资产组合原理综合练习与答案
AFP金融理财师投资规划第2篇投资理论第5章资产组合原理综合练习与答案一、单选题1、由于宏观经济形势经常波动，对国家及企业的经济行为都会产生较大的影响，在通货膨胀情况下，发行保值贴补债券，这是对（）的补偿。
A.信用风险B.购买力风险C.经营风险D.财务风险【参考答案】：B【试题解析】：购买力风险又称通货膨胀风险，是由于通货膨胀、货币贬值给投资者带来实际收益水平下降的风险。
2、对于由两只股票构成的资产组合，从分散风险角度而言，投资者最希望它们之间的相关系数（）。
A.等于0B.等于-1C.等于+1D.无所谓【参考答案】：B【试题解析】：相关系数为-1，即完全负相关的两只股票构成的资产组合，同等条件下，风险降低程度最大，最小风险可以为0。
3、下列关于两种风险资产形成的有效集的说法中，正确的是（）。
A.有效集上的投资组合风险一定最小B.有效集的形状与两种风险资产的相关系数无关C.有效集是可行集的一部分D.有效集由收益率最高的投资机会组成【参考答案】：C【试题解析】：可行集中风险固定收益最大的投资机会集或收益固定风险最小的投资机会集即为有效集。
有效集的形状与两种资产的相关系数密切相关。
4、最优证券组合为（）。
A.所有有效组合中预期收益最高的组合B.无差异曲线与有效边界的相交点所在的组合C.最小方差组合D.所有有效组合中获得最大满意程度的组合【参考答案】：D【试题解析】：没有试题分析5、可行域满足的一个共同特点是：左边界必然（）。
A.向外凸或呈线性B.向里凹C.连接点向里凹的若干曲线段D.呈数条平行的曲线【参考答案】：A【试题解析】：没有试题分析6、某客户希望在一项风险资产和国库券上配置10000元，风险资产的预期收益率为12%，标准差为15%，国库券的收益率为8%，如果该客户希望获得9%的目标收益率，那么，他应在风险资产和国库券上分别投资（）元。
A.7500；2500B.2500；7500C.6700；3300D.5700；4300【参考答案】：B【试题解析】：9%=y×8%+（1-y）×12%，y=0.75，1-y=0.25，故风险资产投资=10000×0.25=2500（元），国库券投资=10000×0.75=7500（元）。
有效前沿与最优证券组合
目录与最优证券组合的应用 • 有效前沿与最优证券组合的实证研
究 • 未来研究方向与展望
01
有效前沿概述
定义与特性
定义
有效前沿是指由全部有效投资组合构成的集合，它代表了投资者在给定风险水平下可以获得的 最大预期回报。
特性
05
未来研究方向与展望
动态有效前沿研究
动态有效前沿研究
随着时间的变化，有效前沿也会发生变化。未来的研究可以探 索如何动态地调整和优化有效前沿，以更好地适应市场的变化
。
考虑市场非完全有效性的影响
市场并非完全有效，因此有效前沿的研究需要考虑市场的非完 全有效性，探索如何利用市场的不完全有效性来获取更高的收
1 2 3
基于机器学习的有效前沿研究
随着机器学习技术的发展，未来的研究可以尝试 利用机器学习技术来探索有效前沿，以更好地指 导投资组合的构建和管理。
数据驱动的投资策略
基于机器学习的有效前沿研究可以尝试从大量数 据中挖掘出有用的信息，并利用这些信息来构建 数据驱动的投资策略。
自动化和智能化投资决策
通过机器学习技术，未来的研究可以尝试实现投 资决策的自动化和智能化，以提高投资组合的管 理效率和效果。
益。
引入新的投资策略和风险管理方法
在动态有效前沿的研究中，可以引入新的投资策略和风险 管理方法，以更好地控制风险并获取更高的收益。
多因子模型的有效前沿研究
01
多因子模型的有效前 沿研究
多因子模型可以更好地解释证券的收 益率，未来的研究可以进一步探索多 因子模型的有效前沿，以更好地指导 投资组合的构建和管理。
在马科维茨投资组合理论中，有 效前沿是由所有可能投资组合中 具有最高期望收益率且与特定风 险水平相匹配的组合构成的边界。
证券组合的可行域和有效边界
第三部分证券组合的可⾏域和有效边界⼀、证券组合的可⾏域1、两种证券组合的可⾏域组合线――任何⼀个证券组合可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的⼀点，这⼀点将随着组合的权数变化⽽变化，其轨迹将是经过A和B的⼀条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。
描述了证券A和证券B所有可能的组合。
不同关联性下的组合线形状（掌握第（4）种，（1）（2）（3）是（4）的特殊形式――组合线的⼀般情况）（1）完全正相关下的组合线（ρAB=1）――连接AB两点的直线（2）完全负相关下的组合线（ρAB＝-1）――折线（3）不相关情形下的组合线（ρAB＝0）――⼀条经过A和B的双曲线（4）组合线的⼀般情形（0＜ρAB＜1）――⼀条双曲线。
相关系数决定结合线在A和B之间的弯曲程度，随着ρAB的增⼤，弯曲程度将降低。
当ρAB＝1时，弯曲程度最⼩，呈直线；当ρAB＝-1时，弯曲程度，呈折线；不相关是⼀种中间状态，⽐正完全相关弯曲程度⼤，⽐负完全相关弯曲程度⼩。
在不卖空的情况下，组合降低风险的程度由证券间的关联程度决定（相关系数越⼩，证券组合的风险越⼩，特别是负完全相关的情况下，可获得⽆风险组合。
）2、多种证券组合的可⾏域组合可⾏域――当由多种证券（不少于3个证券）构造证券组合时，组合可⾏域是所有合法证券组合构成的E-σ坐标系中的⼀个区域。
不允许卖空情况下，多种证券所能得到的所有合法组合将落⼊并填满坐标系中每两种证券的组合线围成的区域；允许卖空情况下，多种证券组合的可⾏域不再是有限区域，⽽是包含该有限区域的⼀个⽆限区域。
可⾏域的形状依赖于4个因素：可供选择的单个证券的特征E(ri)和si以及它们收益率之间的相互关系ρij，还依赖于投资组合中权数的约束。
可⾏域满⾜⼀个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性。
⼆、证券组合的有效边界（掌握4个概念）共同偏好规则：（1）如果两种证券组合具有相同的收益率⽅差和不同的期望收益率，即s2 A=s2B，⽽E（rA）≠E（rB），且E（rA）>E（rB），那么投资者选择期望收益率⾼的组合，即A；（2）如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率⽅差，即E（rA）=E（rB），⽽s2A≠s2B，且s2A（注意）：共同规则不能区分s2B有效证券组合――按照投资者的共同偏好规则，可以排除那些被所有投资者都认为差的组合，余下的这些组合称为有效证券组合。
投资学(高级教程)(04)-有效投资组合
（4.1）
n
n
n
因为 ZTF = [xi (1 ) yi ] = xi (1) yi = 1
i 1
i1
i1
所以 Z 。故为凸集。证毕。
附：凹函数（定义）：
对任意X、Y∈（凸集），若恒有：
f(w1X+w2Y) ≤ w1f(X)+w2f(Y) 则称 f(X) 为凹函数。(当“<”时，为严格凹函数)
同理(令h反号)可证证券组合中期望收益率同值上 升的情况。证毕。
性质6说明，当证券组合中的证券期望收益 率同值变动时,不会改变其组合期望收益率与风 险的关系。
问题：当证券组合中的证券期望收益率同值变
动时,不会改变其组合期望收益率与风险的关系， 但是否会改变原有效证券组合？换句话说，当 证券组合中的证券期望收益率同值变动时，原 （有效）证券组合是否需要调整？
所以
z2 [x+(1)y]2
故
z x+(1)y
由X、Y的任意性, 即证明了=(WTEW)1/2为凹函数。
定义4.1：一组已知的n种证券组合的“重新包装”可 以用n ×n 阶的非奇异矩阵A表示，其中
F＝AF
（4.2）
重新包装的证券组合收益率、期望收益率分别为：
r*＝Ar
(4.8)
有效集在空间的映射称为有效边界，为
M (R, ) min 2 W T EW,W T R R,W T F 1
(4.9)
有效集中的元素为有效证券组合，有效证券组合即指一 定投资期望收益率而风险最小的证券组合。有效集为可行 集的子集。
有效边界模型表示为：
min 2 W T EW
a' b'
投资学课后答案
第一章选择题1-9ABADD CBAC 10 ABC 11ABD 12 ABCD13 ABCD 14 ACD 15 BD 16 AB 17BD思考题 1．投资就是投资主体、投资目的、投资方式和行为内在联系的统一，这充分体现了投资必然与所有权相联系的本质特征。
也就是说，投资是要素投入权、资产所有权、收益占有权的统一。
这是因为：①反映投资与所有权联系的三权统一的本质特征，适用于商品市场经济的一切时空。
从时间上看，无论是商品经济发展的低级阶段还是高度发达的市场经济阶段，投资都无一例外地是要素投入权、资产所有权、收益占有权的统一；从空间上看，无论是在中国还是外国乃至全球范围，投资都无一例外地是这三权的高度统一。
②反映投资与所有权联系的三权统一的本质特征，适用于任何投资种类和形式。
尽管投资的类型多种多样，投资的形式千差万别，但它们都是投资的三权统一。
③反映投资与所有权联系的三权统一本质特征贯穿于投资运动的全过程。
投资的全过程是从投入要素形成资产开始到投入生产，生产出成果，最后凭借对资产的所有权获取收益。
这一全过程实际上都是投资三权统一的实现过程。
④反映投资与所有权联系的三权统一本质特征，是投资区别于其他经济活动的根本标志。
投资的这种本质特征决定着投资的目的和动机，规定着投资的发展方向，决定着投资的运动规律。
这些都使投资与其他经济活动区别开来，从而构成独立的经济范畴和研究领域。
2．金融投资在整个社会经济中的作用来看，金融投资的功能具有共性，主要有以下几个方面：（1）筹资与投资的功能。
这是金融投资最基本的功能。
筹资是金融商品服务筹资主体的功能，投资是金融商品服务投资主体的功能。
社会经济发展的最终决定力量是其物质技术基础，物质技术基础的不断扩大、提高必须依靠实业投资。
（2）分散化与多元化功能。
金融投资促进了投资权力和投资风险分散化，同时又创造了多元化的投资主体集合。
金融投资把投资权力扩大到了整个社会。
（３）自我发展功能。
证券组合理论
（2）ρAB=-1时， ） 时
，组合的风险大大降低。 组合的风险大大降低。 时 组合风险如图 所示： （3）-1<ρAB<1时，组合风险如图2所示： ） 所示 3、多种风险证券的组合与有效边界 （如图 所示） 如图3所示 所示） 、 4、风险偏好与投资组合选择 （如图 所示） 如图4所示 所示） 、
R C 最小方差点 (A) D S
0.1500 0.1231 0.1200 0.1250 0.2000
证券投资组合理论
风险资产组合与无风险资产的组合
预 期 收 益 率
P F
证券投资组合理论
P点称风险资产的最优组合（切向投资组 点称风险资产的最优组合（ 点称风险资产的最优组合 该点的投资组合比例为： 合），该点的投资组合比例为： [ E ( r ) − r ]σ - [E(r ) - r ] ρ σ σ w1=[ E (r ) − r ]σ + [ E (r ) − rf ]σ − [ E (r ) − r + E (r ) − r ]ρ σ σ
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
证券投资组合理论
预 期 收 益 率 A S J H
0.06 F 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20
T
G
R
证券投资组合理论
2、两种风险证券的组合 、 假定一个证券组合由两种证券A和 组成 组成， 假定一个证券组合由两种证券 和B组成， 它们的预期收 益与标准差分别为µ 证券A在组合中的比 益与标准差分别为 A、µB和σA、σB，证券 在组合中的比 重为W 则组合的预期收益率与方差如下： 重为 1，则组合的预期收益率与方差如下： µ p = WA µ A + (1 − W1 )µ B
第二节 证券投资组合机有效集汇总
二、投资组合几何表示和可行域
• 选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σ P • 以EP为纵坐标、σ P为横坐标，在EP-σ P坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σ P中的一个点 • 反过来，EP-σ P中的某个点有可能反映某个组合 • 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组 合在EP-σ P中的“点”组成EP-σ P中的区域 • 可行域（feasible set） • 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。 • 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。 • 可行域＝机会集
有一阶必要条件，得
C VW R 1 0 W C E( ~ rP ) W R 0 C 1 W 1 0 Biblioteka (1) ( 2) ( 3)
（由于V是对成的正定矩阵，所以上述一阶必要条件是最优解 的充要条件。(参看，李向科《金融数学》，P27)）
WP g E( ~ rP ) h (6)
~ ) A ~ ) CE ( r B AE ( r P P , D D
( 5)
其中
W p g hE( rp ) 结论：
1 1 1 1 g (BV 1 AV R ), h (CV 1 R AV 1 1) D D ~
这个集合叫做证券组合前沿(与有效边界，有效前沿是同一个概念). 利用（1）（5）可得
~ 2 W VW W ( R 1 ) W R W 1 E ( rP ) P C A 1 (E( ~ rP ) ) 2 D C C (7)
1 W VW 2 ~ ), W R E ( r P
W 1 1
其中R表示N个风险资产收益率的均值向量，并假定是已知的， （为了方便求解，在目标函数前乘了 1 ） 2 上面的优化问题可以利用拉格朗日乘子法解决，设WP是下 列无约束问题之解：
第四章 财务估价基础-多种证券组合的机会集与有效集
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第四章 财务估价基础知识点：多种证券组合的机会集与有效集● 详细描述：两种证券组合，机会集是一条曲线。
如果多种证券组合，则机会集为一个平面。
【关注】 （1）多种证券组合的机会集是一个平面。
（2）最小方差组合是图中最左端的点，它具有最小组合标准差。
（3）最小方差组合点至最高预期报酬率点的部分，为有效集（有效边界）。
图中AB部分即为有效边界，它位于机会集的顶部，投资者应在有效集上寻找投资组合。
例题：1.下列说法不正确的是（）。
A.对于两种证券构成的组合而言，相关系数为0.2时的机会集曲线比相关系数为0.5时的机会集曲线弯曲，分散化效应也比相关系数为0.5时强B.多种证券组合的机会集和有效集均是一个平面C.相关系数等于1时，两种证券组合的机会集是一条直线，此时不具有风险分散化效应D.不论是对于两种证券构成的组合而言，还是对于多种证券构成的组合而言，有效集均是指从最小方差组合点到最高预期报酬率组合点的那段曲线正确答案：B解析：多种证券组合的有效集是一条曲线，是从最小方差组合点到最高预期报酬率组合点的那段曲线，也称为有效边界。
2.A证券的预期报酬率为12%，标准差为15%；B证券的预期报酬率为18%，标准差为20%。
投资于两种证券组合的机会集是一条曲线，有效边界与机会集重合，以下结论中正确的有()。
A.最小方差组合是全部投资于A证券B.最高预期报酬率组合是全部投资于B证券C.两种证券报酬率的相关性较高，风险分散化效应较弱D.可以在有效集曲线上找到风险最小、期望报酬率最高的投资组合正确答案：A,B,C解析：由于于本题的前提是有效边界与机会集重合，说明该题机会集曲线上不存在无效投资组合，即整个机会集曲线就是从最小方差组合点到最高报酬率点的有效集，也就是说在机会集上没有向左凸出的部分，而A的标准差低于B,所以，最小方差组合是全部投资于A证券，即选项A的说法正确；投资组合的报酬率是组合中各种资产报酬率的加权平均数，因为B的预期报酬率高于A,所以最高预期报酬率组合是全部投资于B证券，即选项B正确；因为机会集曲线没有向左凸出的部分，所以，两种证券报酬率的相关性较高，风险分散化效应较弱，选项C的说法正确；因为风险最小的投资组合为全部投资于A证券，期望报酬率最高的投资组合为全部投资于B证券，所以选项D的说法错误。
证券集的组合前沿分类与有效子集Ξ
Co v [ ri, rj ] =
Cov [ x i - p i, x j p ip j
pj] =
Cov [ x i, p ip j
x
j
]
=
Cov [ x i, x j ] p ip j
(2)
可得 V = U
0
n i=
1p
2 i
,
这里
·
表示矩阵的行列式Λ 于是 V
正定等价于 U
正定Λ 这样, 在证
券收益率均存在的情况下, 收益率协方差矩阵 V 正定与未来价格协方差矩阵 U 正定是等价
n
n
6 6 Βip i = 0, V a r
Βix i = 0.
i= 1
i= 1
这就是说用 n 维向量 Β= (Β1, …, Βn) T 表示的对未来价格而言的证券组合, 其当前价格为零, 未
来价格的方差为零Λ这种证券组合的收益率无法定义Λ尤其是在未来价格非零的情况下, 它其
实是一种套利组合, 因为它可以通过不花费用的买入或卖空而在未来肯定获得Λ用同样的方法
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第 1 期 杨 杰 史树中: 证券集的组合前沿分类与有效子集 — 11 —
以下引理Ζ
引理 3. 2 假设有 k + 1 种证券Ζ如果第 k + 1 种证券的当前价格和未来价格可以被前 k 种
这种组合是所谓无风险收益率组合Λ
2)
2n i=
1 Αi=
0; 这时就不能如上形成一个无风险收益率组
合Λ但是如果用未来价格协方差矩阵U 来考虑, 我们仍能发现它意味着某种特殊组合的存在Λ
2020年注册会计师投资组合的有效集、资本市场线、系统风险和非系统风险知识
特征二：表达了最小方差组合曲线最左端的第2点组合被称作最小方差组合，它在持有证券的各种组合中有最小的标准差特征三：表达了投资的有效集合在只有两种证券的情况下，投资者的所有投资机会只能出现在机会集曲线上，而不会出现在该曲线上方或下方。
最小方差组合以下的组合是无效的机会集（曲线1～6）有效集（曲线2～6）无效集（曲线1～2）【2015·单选题】甲公司拟投资于两种证券X和Y，两种证券期望报酬率的相关系数为0.3。
根据投资X和Y的不同资金比例测算，投资组合期望报酬率与标准差的关系如下图所示。
甲公司投资组合的有效组合是（）。
A.XR曲线B.X、Y点C.RY曲线D.XRY曲线【答案】C【解析】从最小方差组合点到最高期望报酬率组合点的那段曲线为有效集，所以选项C正确。
二、相关性对风险的影响证券报酬率之间的相关系数越小，机会集曲线就越弯曲，风险分散化效应也就越强r=1，机会集是一条直线，不具有风险分散化效应r<1，机会集会弯曲，有风险分散化效应r足够小，曲线向左凸出，风险分散化效应较强，会出现最小方差组合和无效集三、多种证券组合的风险和报酬（一）特点两种证券组合的机会集曲线都落在直线或曲线上，多种证券组合的机会集落在平面内（阴影部分）（四）资本市场线揭示出持有不同比例的无风险资产和市场组合情况下风险和期望报酬率的权衡关系。
直线的斜率代表风险的市场价格，表示当标准差增长某一幅度时相应要求的报酬率的增长幅度。
在M点的左侧，将同时持有无风险资产和风险资产组合。
在M点的右侧，将仅持有市场组合M，并且会借入资金以进一步投资于组合M（五）个人的效用偏好与最佳风险资产组合相独立（或称相分离）【2014·单选题】证券市场组合的期望报酬率是16%，甲投资人以自有资金100万元和按6%无风险利率借入资金40万进行证券投资，甲投资人的期望报酬率是（）。
A.20%B.18%C.19%D.22.4%【答案】A【解析】期望报酬率=16%×140/100+(1-140/100)×6%=20%。
第二节 证券投资组合机有效集
d
其中
，且
D
WP
的收益与方差满足关系式
2 CE ( ~P ) 2 AE ( ~P ) B r r
注：所有最小方差资产组合都可仅有两个不同的资产组合 W g , 的资产组合所生成，
W g , W d 通常称为“共同资金”。 Wd ,
Wd
性质3 任意两个不同的最小方差组合都可以取代 W g , 而且具有相同的基金分离作用。
二、投资组合几何表示和可行域
• 选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP • 以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点 • 反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合 • 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组 合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域 • 可行域（feasible set） • 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。 • 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。 • 可行域＝机会集
1 1 1 1 2 其中 A 1 V R R V 1 , B R V R C 1 V 1 , D BC A 由于V是对称正定矩阵，因此，B，C均为正数，可以证明D>0， 1 2 事实上 ( AR B 1 ) V ( AR B 1 ) B ( BC A ) 0
在均方差均值坐标系下它是双曲线方程如图mvp机会集五证券组合前沿的有关性质性质1给定两个前沿证券组合p事实上covrprq假设a非零我们定义wdwd故有性质2两基金分离定理在上面的市场假设和记号下任意最小和可分散化资产组合都可唯一的表示成全局最小方差组合wgwp的收益与方差满足关系式通常称为共同资金
第三讲有效前沿与最优证券组合
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 ra
和 rb，方差和协方差分别为
2 a
,
2 b
,
ab
a
b
对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合
p的期望收益率和方差如下：
_
rp x ra (1 x) rb
三种解法。
第三讲 有效前沿与最优证券组合
有效前沿的定义：
定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质：
1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。
2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。
则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
1
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
p
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券
以 x1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是
maxU ( X T r, X TVX )
s.t X T I 1
构造拉格朗日函数
L U ( X T r, X TVX ) (1 X T I )
一阶条件
L X T
_
U1 r 2U2VX
I
0
L 1 X T I 0
投资组合协方差矩阵的性质与最优组合的选择
11 当
x′ i = x i/
i =1 n
∑x ∑|
n
i
= 0 , rp =
i =1
∑x r
i i
≠ 0 时 : 不妨令
由 k 1 X 1 - k 2 X 2 ≠θ知 , ( 5) 式中的系数不全为零 , 因此存在一证券满足 “其收益率可表示为其它证券 收益率的线性组合” ; 当 rank ( V ) = n - 1 时 , 同理可证存在一个非 零向量 X 使 r p = X T r = c ( c 为常数) 成立 。 此时 , 若
0 知特征根全不为零 , 正半定又表明特征根非负 , 所
以特征根全大于零 , 从而 V 为正定阵矩阵 。
3 协方差矩阵为奇异矩阵时的最优组合选
择分析
由前面的证明不难看出 : 当协方差矩阵为非奇 异矩阵时 ,不存在任何方差为零的投资组合 ; 当协方 差矩阵为奇异矩阵时则刚好相反 。即总可以找到一 个投资组合满足下列方程 ( 3) 和 ( 4) :
1 引言
Markowitz 在 1952 年创立的投资组合理论是金
证明 :不妨设 S n 中的第 i 个证券可表示为另外 k 个证券的线性组合 ( 其中 k ≤ n - 1) , 即 :
ri = x 1 r1 + x 2 r2 + … + x k rk i ≠1 , 2 , …, k ( 1)
( 3)
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第 2 期 熊和平 : 投资组合协方差矩阵的性质与最优组合的选择
n - rank ( V ) 个多余的证券 , 去掉后不改变可行集
2020注会 财管 第17讲_投资组合的有效集、资本市场线
目录第一部分：投资组合的有效集第二部分：资本市场线第一部分 投资组合的有效集一、两种证券的组合（一）复习组合的期望报酬率和风险计算 1.相关系数为 ，其他参数见下表：0.2证券投资占比期望报酬率标准差A 1.010%12%B18%20%期望报酬率 × × = =1A r +A r A A B B 10%+018%=10%协方差 × × = r A ， B σ σ A B =0.212%20%=0.0048标准差 σ P===12%2.当证券 和 的投资占比改变时，可以同样计算得到下表：A B 情形证券 投资占比A 证券 投资占比B 组合的期望报酬率组合的标准差1 1.0010.0%12.00%20.80.211.6%11.11%30.60.413.2%11.78%40.40.614.8%13.79%50.20.816.4%16.65%61.018.0%20.00%（二）机会集和有效集下图是横坐标为标准差，纵坐标为期望报酬率的直角坐标系，上题中的情形 1～6对应下图 中的点 1～6。
任意一个投资占比（证券 和 ）都对应下图中的一个点，将这些点连起来就是A B 曲线 1～6 。
对于证券 和 而言，所有可能的投资占比对应的点均在曲线 A B 1～6上，因此曲 线 1～6叫做“机会集”。
【注意】①曲线 1～6最左端的点标准差最小，这个点对应的投资组合叫做“最小方差组合”。
无效集”②“最小方差组合”点以下的曲线叫做“ 。
因为可以垂直向上，找到曲线上拥有相同标准差，但期望报酬率更高的另一个点。
有效集”③“最小方差组合”点以上的曲线叫做“ 。
（三）相关系数对机会集的影响上图是相关系数 时的机会集曲线，相关系数为 、 、 、 时的机会集曲线如下：0.210.50.2-111相关系数小于 ，机会集开始弯曲【注意】相关系数为 ，机会集是直线； ，相关系数越小，机会集曲线越弯曲，表明风险分散程度越高（即标准差小于加权平均值越多）。