有效前沿与最优证券组合

构造拉格朗日函数：
[ L ?
1 XTVX ? ?
2
_
XT r ? (1? XT I )rf
_
? rp ]
20
一阶条件：
?L ?XT
_
? VX ? ? (r ? rf I ) ? 0
?L
??
?
_
rp ?
rf
?
_
XT (r ?
rf
I)
?
0
21
得证券组合的投资比例
_
_
X p ? V?1(r ? rf I )(rp ? rf ) / H
D
?
_
_
? 1 ? ? (I V ?1 r ) ? ? (I TV ?1I )
??? ? (B ? Arp) / D
?
_
A ? I TV?1 r
_
_
B ? rT V?1 r
C ? I TV?1I
D ? BC ? A2 ? 0 11
_
_
?
Xp
?
C rp? D
A V
?1
_
r
?
B
? Arp D
V
?1I
_
2
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为ra
和 r b，方差和协方差分别为
?
2 a
,
?
2 b
,
? ab ?
a?
b
对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合
p的期望收益率和方差如下：
_
?
r p ? x ra ? (1 ? x) rb
_
_
其中H ? (r ? rf I )TV ?1(r ? rf ) ? B ? 2rf A? rf2C
证券组合的方差为
_
?
2 p
?
X p TVXp
?
(rp ?
rf )2
/H
或
_
? p ? (rp ? rf ) / H
22
切点证券组合(tangency portfolio)
_
re
?
A? C
D C( A? Crf
? 2 p ? D r p ? Fr p ? G
__
D
?
(?
2 A
?
?
2 B
?
2? AB?
A?
B) /(rA?
rB)2
?
0
4
2种和3种风险证券的有效前沿
r p
B
? ab=-1 ? ab=1
CD
A
r p 43
C 2
1B A
O 图3.1
?p
O
?p
图3.2
5
例题
两种风险证券 A和B，A和B的期望收益率为
对于另一个指定的 rq ，在前沿上的证券
组合为：
_
_
Xq
?
C rq? D
A_ V?1 r ?
B
? Arq D
V ?1I
12
两个证券组合的协方差为
cov(r p , rq ) ?
C D
(r p
?
A C
)(rq
?
A C
)
?
wk.baidu.com
1 C
令 r p ? rq ，则得前沿上的证券组合
方差为：
r ?
2 p
? C( D
?
2 p
?
x2?
2 a
?
(1?
x)2?
2 b
?
2x(1?
x) ? ab?
a? b
3
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） ? AB ? 1
2） ? AB ? ?1
? p ? x? A ? (1 ? x)? B
[ ? p ? ? x? A ? (1? x)? B ]
3）? 1 ? ? AB ? 1
_2 _
)
?
[ ? e ?
D C( A? Cr f
)2
?
1 C
]1/2
B ? Arf A? Cr f
切点证券组合e的投资比例
Xe
?
_
V?1(r ?
rf
I)
(A/ C ? rf )2C2 ? D C2H (A/ C ? rf )
23
切点的证券组合
15
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券
以 x1 记投入债券的比例，则 x2 ? 1? x1 是
购买股票的比例。
证券组合的期望收益率和标准差分别为：
_
_
rp ? x1rf ? (1? x1) rA
? p ? (1? x1)? A
16
一种风险证券和一种无风险证券
得证券组合的期望收益率 和标准差的关
证券组合期望收益率和方差分别为
_
rp ? XT r
?
2 p
?
X TVX
8
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：
min 1 X TVX 2
__
s.t, X T r ? rp
XTI ? 1
9
构造拉格朗日函数
L
?
1 2
_
XTVX? ? (rp ?
XT
_
r)?
?
(1?
XT I )
一阶条件：
?L ?XT
系：
_
_
r ? r ? [(
p
f
rA? rf ) / ? A]? p
17
图3.5
rp
rA
C
。
A
rf
B
O
?A
?p
18
两种股票A和B，及一种债券
rp
C
有效前沿为从 (0，rf)出发，与双曲线 AB相切
的射线 rp
e
A
r f ?D
B
O
?p
19
N 种股票及一种债券
问题
min 1 XTVX 2
_
_
s.t XT r ? (1? XT I )rf ? rp
x) ?4.7%
6
N种风险证券的有效前沿
rp
E
O
?p
图3.3
7
（二)N中风险证券组合泽的有效 前沿
设市场上有N种风险证券，它们的收益率
和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协
方差矩阵V为正定矩阵 ，N种证券的期望
__
_
收益率为：r ? (r1, r2 ,..., rN )T
N种证券组合P表示为：
X ? (x1, x2 ,..., xN )T
第三讲 有效前沿与最优证券组合
1
有效前沿的定义：
定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质：
1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。
2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。
则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
_
? VX? ? r ?
?I
?
0
?L
??
?
_
rp
?
XT
_
r
?
0
?L ? 1? XT I ? 0
??
10
由于V为正定阵， V的逆矩阵存在。
求解得
? ?
_
X ? V?1(? r ? ? I )
?? ?
_
rp
?
_
? (r T V?1
_
r)?
_
? (rT V?1I )
?
???
?
?
_
(C rp ?
A) /
_
p
? A) 2 ? C
1 C
13
rp
?
2 p
1/ C
?
(rp ? A/ C)2 D/C2
?
1
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
?p
14
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
r a=4.6% 和 r b=8.5% ，方差和协方差分别为
?
2 a
?
(5.62%) 2 ,?
2 b
?
(6.33%) 2 ,?
ab
?
4.7%
求这两种风险资产的有效前沿。
rp ? x ?4.6% ? (1 ? x) ?8.3%
?
2 p
?
x2
?(5.62%)2
?
(1?
x)2
?(6.33%)2
?
2x(1?