3第三讲最优风险资产组合

第三讲
最优风险资产组合
投资决策
⏹投资决策可以看做为自上而下的过程
⏹资本配置：风险资产与无风险资产之间的资本配置
⏹资产配置：各类风险资产间的配置
⏹证券选择：每类资产内部的证券选择
分散化与组合风险
⏹市场风险
⏹系统性风险或不可分散风险
⏹公司特有风险
⏹可分散风险或非系统风险
组合风险关于股票数量的函数
组合分散化：应用纽约证券交易所股票数据
协方差和相关性
⏹投资组合的风险取决于投资组合中各资产收益率的相关性
⏹协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式
两个资产构成的资产组合: 收益与方差⏹组合的收益率
⏹组合的期望收益
⏹组合的方差
p D D E E
r w r w r =+()()()p D D E E E r w E r w E r =+2
22222(,)p D D E E
D E D E w w w w Cov r r σσσ=++
协方差与相关系数
⏹协方差
⏹相关系数：可能的值
⏹如果ρ= + 1.0，资产间完全正相关⏹
如果ρ= -1.0，资产间完全负相关(,)D E DE D E Cov r r ρσσ=1.0 1.0
ρ+≥≥-
相关系数⏹当ρDE = +1，不受相关性影响⏹当ρ
DE = -1，可完全对冲
1D
E D
D E w w σσσ==-+p D D E E w w σσσ=+22()σσσ=-p D D E E w w 0σσ-=D D E E w w σσσ=+E D D E
w
组合方差的计算
组合期望收益关于投资比例的函数
组合标准差关于投资比例的函数
最小方差组合
⏹最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的
风险最低
⏹当相关系数小于+1时，资产组合的标准差可能小于任何单
个组合资产
⏹当相关系数是-1时，最小方差组合的标准差是0
组合期望收益关于标准差的函数
相关效应
⏹资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低
⏹随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大
⏹如果r = +1.0，不会分散任何风险
⏹如果r = 0，σP可能低于任何一个资产的标准差
⏹如果r = -1.0，可以出现完全对冲的情况
债券和股票基金的投资可行集和两条资本配置线
夏普比率
⏹使资本组合P 的资本配置线的斜率最大化⏹
斜率的目标方程是⏹这个斜率就是夏普比率
()P f P P E r r S σ-=
计算最优风险组合P
⏹对于两个风险资产的组合P ，期望收益和标准差为
⏹需解以下问题
⏹最优风险组合的解()max σ-=i
P f P w P E r r S ()()()
p D D E E E r w E r w E r =+22221/2(2(,))σσσ=++p D D E E D E D E w w w w Cov r r ..1=∑i s t w 2
22
()()(,)()()(()())(,)
σσσ-=+-+D E
E D E D D E E D D E D E E R E R Cov R R w E R E R E R E R Cov R R 1=-E D
w w
债券和股票基金的投资可行集、最优资本配置线和最优风险资产组合
决定最优组合
最优组合的成分
构造整个组合的步骤
⏹确定所有证券的特征（期望收益率、方差、协方差）
⏹建立风险资产组合
⏹计算最优风险组合P
⏹在此基础上计算组合P的期望收益和标准差
⏹在风险资产和无风险资产之间配置资金
⏹计算投资风险资产组合P的比例
⏹计算整个组合中各资产的比例
马科维茨资产组合选择模型
⏹证券选择（多个风险资产和一个无风险资产的情况）
⏹第一步，确定风险资产的最小方差边界
⏹第二步，确定无风险资产下的最优风险资产组合
⏹第三步，确定最优风险资产组合和无风险资产一定比例的最
终组合
风险组合组合边界
⏹马科维茨资产组合选择模型是组合管理的第一步：确认有效的组合集，即风险资产有效边界
⏹任意风险组合的期望收益和方差，都可以通过计算下式得到
⏹核心原理：对于任意期望收益率水平，我们只关注风险最低的组合。

对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合
1
2
11
()()
(,)n p i i i n n P
i j i j i j E r w E r w w Cov r r σ=====∑∑∑
风险资产的最小方差边界
马科维茨模型
方差前面的系数1/2只是为了计算方便而已，它使得最后得出的结果更加整齐
11
1
1
1
min (,)
2..()()
1
n n
i j i j i j n
i i p i n
i i w w Cov r r s t w E r E r w ======∑∑∑∑
马科维茨模型（续）
⏹构造拉格朗日函数
⏹然后对每个变量wi 求导，并令导数值等于0
11111(,)(()())(1)2n n
n n i j i j i i p i i j i i L w w Cov r r w E r E r w λμ=====----∑∑∑∑1
1
1
(,)()0(1,2,,)()()1n j i j i
j n i i p
i n i
i w Cov r r E r i n w E r E r w λμ===--==⋅⋅⋅==∑∑∑
风险资产有效边界和最优资本配置线
最优组合
有效集组合与资本配置线
资本配置和分离特性
⏹分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤
⏹决定最优风险资产组合，这是完全技术性的工作。

给定所有
证券的数据，最优风险组合对所有客户都是一样的
⏹整个投资组合在无风险资产和最优风险资产组合之间的配
置，取决于个人偏好。

这里客户是决策者
⏹不同风险厌恶程度的投资者会满足于两个共同基金构成的市场
⏹一个基金在货币市场进行无风险投资
⏹一个持有资产配置线与有效边界切点的最优风险资产组合P
⏹职业投资管理更有效率且成本更低
资本配置和分离特性（续）
⏹在实际中，不同的投资经理对证券估计的数据是不一样的，因
此得到不同的有效边界，提供不同的“最优组合”
⏹这种偏差来自于证券分析的差异。

如果证券分析质量很差，那
么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于用低质量证券分析生成的资本配置线（垃圾进-垃圾出）
⏹最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正
的竞争在于证券分析精确性上的角逐
分散化的威力
⏹因为
⏹如果定义平均方差和平均协方差为
⏹可以得出组合的方差
2
11
(,)
n n P i j i j i j w w Cov r r σ===∑∑221
1111(,)(1)n i i n n i j j i j i
n Cov Cov r r n n σσ===≠==-∑∑∑2
211P
n Cov n n σσ-=+
相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少
风险集合、风险共享与长期投资风险
⏹分散化意味着把投资预算分散到各类资产中以降低投资组合的
风险
⏹有人提出时间上的分散化想法，这样平均收益率反映了不同投
资期限的收益，类比得出“时间分散化”的概念，长期投资比短期投资更安全
⏹这一对“分散化”的概念拓展有意义吗？
风险集合和保险原理
⏹风险集合：将互不相关的风险项目聚合在一起来降低风险
⏹应用到保险行业，风险集合为销售风险不相关的保单，即众所
周知的保险原理
⏹传统理念认定风险集合降低风险，并成为保险行业风险管理的
背后推动力
⏹但是，增加一个独立的赌局怎么会降低整个风险敞口呢？
风险集合
⏹假设一个富有的投资者沃伦，持有10亿美元的组合P，其中风险
资产组合A的比例为y，无风险资产为1-y
⏹A的风险溢价为R，标准差为σ
⏹则P的风险溢价R P=yR，标准差σP=yσ，夏普比率S P=R/σ
⏹沃伦发现另一个风险资产组合B和A具有相同的风险溢价和标准
差，且A和B相关系数为0，于是他认为可以通过分散化来降低
风险，决定持有B，且与A的头寸相同
⏹这一策略是纯粹的风险机会。

整个组合Z构成如下：A比例为y，
B比例为y，无风险资产比例为1-2y
风险集合（续）
⏹好消息是Z 的夏普率提升倍，坏消息是标准差也增长倍⏹当n 种资产时，夏普率提升倍，坏消息是标准差也增长倍⏹
这一简单分析说明，单纯的风险集合带来了机会，但同时因为增加了风险投资的规模，风险机会并不降低总体风险22222222(12)02022/2/22/σσσσσσσσσσ
=++-==++======Z Z Z Z Z Z Z R yR yR y yR y y y y S R yR y R （R P 的2倍）
（S P 的1.41倍）（σP 的1.41倍）
（σP 2的2倍）
22n n
保险原理
⏹保险原理：风险增长速度低于不相关保单数量的增长速度，风
险集合的获利能力（夏普比率）才能增长，但这并不足以降低风险
⏹这可能会限制大型保险公司持续增长的组合潜在的规模效应，
可以把分析中的资产看做保单。

每一笔保单要求保险公司设置保证金弥补或有损失，保险公司投资这些资金直至有索赔发生
⏹卖出更多的保险意味着增加风险投资的头寸，当投资于更多收
益不相关的资产时，夏普比率升高，但是因为风险资产比例上升，整体风险也会上升
保险原理（续）
保险原理解释为“风险集合后损失的概率会降低”，从数学上是正确的，因为夏普比率上升，但是将损失概率的降低和总风险的降低混为一谈却是错误的
风险共享
⏹风险共享：随着风险资产增加到资产组合中, 一部分资产需要
被卖掉以保持固定的投资比例
⏹考虑组合V，构成如下：A和B的比例均为y/2，无风险资产比例
仍为1-y
组合V
组合Z 2/σ
=Z S R 2σσ=Z y 2
222σσ=Z y 2=Z R yR 2/σ=Z S R /2
σσ=Z y 222/2
σσ=Z y =Z R yR
⏹风险共享和风险集合构成了保险行业的关键核心
⏹
投资于多种风险资产，但是风险资产比例保持不变，这才是真正的分散化⏹当n 种资产时，组合的标准差为，夏普比率为/σy n /σ
nR
长期投资
⏹第一年收益和第二年收益无关
⏹短期投资决策：第一年投资于风险组合，第二年投资于无风险
组合
⏹长期投资决策：投资于一项两年期的风险组合
⏹长期投资决策的风险更大
⏹卖出一部分两年期的风险组合来降低风险
⏹“时间分散化”并不是真正的分散化
作业
⏹第7章，习题：第12题
⏹第7章，CFA考题：第1~4题。