投资学第7章最优风险资产组合
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2
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
3
图7.2 投资组合分散化
4
7.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合 P由长期债券组合 D和股票基金E组成 则有：E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
17
同理可证， 当wD E /( D E )时,
P wE E - wD D wD f ( P ), 从而
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rP ) E (rE ) E P D E D E 命题成立。
i 1 j 1 i 1 i 1
n
n
n
n
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
37
和方程
n L w w j 1 j r1 0 1 j 1 n L w j 2 j r2 0 w2 j 1 n L w w j nj rn 0 n j 1
n
n
i 1 j i , j 1
ww ww
i j ij i , j 1 i
n
n
j ij
w w
T
11 ... 1n V 其中，w =(w1 , w2 ,..., wn )T , r =(r1 , r2 ,..., rn )T , nn n1
34
若Ｐ、Ｑ分别代表权重向量 2 则 （r ) var( PE (r)) PVP
p
cov(rp , rq ) PVQ
35
11 ... 1n 和 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 nn 1n 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
T E (r ) w r
40
3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有
11 12 21 22 n1 n 2
1n 2n
nn
0
注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以， T 对于任何非0的向量 a, 都有a a 0
本章逻辑： 1.风险资产组合 2.无风险资产与资产组合 3.投资者根据风险偏好进行配置
1
7.1 分散化与投资组合风险
投资组合的风险来源： 来自一般经济状况的风险(系统 风险，systematic risk / nondiversifiable risk) 特别因素风险(非系统风险, unique risk / firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk)
min s.t.
w w
i 1 j 1 n i j
n
n
ij
w r c,
i 1 n i i
w
i 1
i
1
36
对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
L wi w j ij ( wi ri c) ( wi 1)
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
38
这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其 解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
39
正式证明: n项风险资产组合有效前沿
11
情况三：
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降 低
12
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity
set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、 有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合的 集合（点的连线）。
配置风险资产组合和无风险资产
资本市场线 风险偏好计算最终投资组合中具体投资品种的份额。
29
7.4 马科维茨的资产组合选择模型
均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资 组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组 合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可 以转化为一个优化问题，即
wE 1 wD
24
图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio
25
图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio
因为任意两项资产构成的投资组合都位
于两项资产连线的左侧。 为什么？
32
不可能的可行集
收益rp B A
风险σp
33 投资学 第6章
N个组合的风险收益状况
对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方 差分别为
n
rp wi ri =w T r
i 1
＝ w
2 p i 1 2 2 i i
18
两种证券完全负相关的图示
收益rp E
D 风险σp
19
命题3：不完全相关的两种资产构成的机 会集合是一条二次曲线(双曲线)
证明：略
20
各种相关系数下、两种风险资产构成的资 产组合机会集合(portfolio opportunity set)
收益E(rp) 比较相关 系数带来 的影响 D E
ρ =1 ρ =0.3
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合 是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) ( 2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 由式(2)(3) wD ( P E ) /( D E )
16
命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合 是两条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：
当wD E /( D E )时,
P wD D wE E wD f ( P ), 从而 P E P E E (rP ) E (rD ) (1 ) E (rE ) D E D E
5
表7.1 两只共同基金的描述性统计
6
表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
7
表7.3 不同相关系数下的 期望收益与标准差
8
图7.4 作为投资比例函数的组合标准差
Fra Baidu bibliotek
9
情况一：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险并未降低
P E D P E (rP ) E (rD ) E (rE ) D E D E
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
14
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允 许买空卖空）。
收益 E(rp) E
D
风险σp
15
两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) (2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 当wD E /( D E )时, P 0 当wD E /( D E )时, P wD D wE E 0 当wD E /( D E )时, P wE E wD D 0
（1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化
30
n种风险资产的组合二维表示
类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。
收益rp
31
风险σ
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资 产彼此不完全相关，则可行集合将是 一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的
风险σp
ρ =-1
用excel演示
21
7.3 资产在股票、债券与国库券之间 的配置
组合方法：两项风险资产先组合形成新 的风险资产组合，然后再向组合中加入无 风险资产 形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的， 效用水平最高
22
图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可 行的CALs
23
最优风险资产组合P的求解
10
情况二：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 令wD D - wE E 0
E D wD , wE 1 wD D E D E 结论： 1时组合P的风险可降至零
Max S P
wi
E (rP ) rf
P
s.t.
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 P [ wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )]1/ 2
wD wE 1 wD
2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ]Cov(rD , rE ) 2 2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ] D [ E (rD ) rf E (rE ) rf ]Cov(rD , rE )
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE ) 又： Cov(rD , rE ) DE D E 2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE
1 DE 1 越大，组合P的方差越大
26
最优风险资产头寸
y
*
E (rp ) rf A
2 p
27
图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio
28
小结：两种风险资产与无风险资产 组合的配置程序
确定各类证券的收益风险特征 建造风险资产组合
根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例 根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征
T 假定1：市场上存在 n 2 种风险资产，令 w (w1, w2 ,, wn )
代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：
w
i 1
n
i
1
且卖空不受限制，即允许 wi 0 2.r ( E(r1 ),, E(rn ))T也是一个n维列向量，它表示每一种资 产的期望收益率，则组合的期望收益
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
3
图7.2 投资组合分散化
4
7.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合 P由长期债券组合 D和股票基金E组成 则有：E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
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同理可证， 当wD E /( D E )时,
P wE E - wD D wD f ( P ), 从而
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rP ) E (rE ) E P D E D E 命题成立。
i 1 j 1 i 1 i 1
n
n
n
n
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
37
和方程
n L w w j 1 j r1 0 1 j 1 n L w j 2 j r2 0 w2 j 1 n L w w j nj rn 0 n j 1
n
n
i 1 j i , j 1
ww ww
i j ij i , j 1 i
n
n
j ij
w w
T
11 ... 1n V 其中，w =(w1 , w2 ,..., wn )T , r =(r1 , r2 ,..., rn )T , nn n1
34
若Ｐ、Ｑ分别代表权重向量 2 则 （r ) var( PE (r)) PVP
p
cov(rp , rq ) PVQ
35
11 ... 1n 和 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 nn 1n 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
T E (r ) w r
40
3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有
11 12 21 22 n1 n 2
1n 2n
nn
0
注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以， T 对于任何非0的向量 a, 都有a a 0
本章逻辑： 1.风险资产组合 2.无风险资产与资产组合 3.投资者根据风险偏好进行配置
1
7.1 分散化与投资组合风险
投资组合的风险来源： 来自一般经济状况的风险(系统 风险，systematic risk / nondiversifiable risk) 特别因素风险(非系统风险, unique risk / firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk)
min s.t.
w w
i 1 j 1 n i j
n
n
ij
w r c,
i 1 n i i
w
i 1
i
1
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对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
L wi w j ij ( wi ri c) ( wi 1)
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
38
这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其 解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
39
正式证明: n项风险资产组合有效前沿
11
情况三：
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降 低
12
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity
set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、 有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合的 集合（点的连线）。
配置风险资产组合和无风险资产
资本市场线 风险偏好计算最终投资组合中具体投资品种的份额。
29
7.4 马科维茨的资产组合选择模型
均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资 组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组 合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可 以转化为一个优化问题，即
wE 1 wD
24
图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio
25
图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio
因为任意两项资产构成的投资组合都位
于两项资产连线的左侧。 为什么？
32
不可能的可行集
收益rp B A
风险σp
33 投资学 第6章
N个组合的风险收益状况
对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方 差分别为
n
rp wi ri =w T r
i 1
＝ w
2 p i 1 2 2 i i
18
两种证券完全负相关的图示
收益rp E
D 风险σp
19
命题3：不完全相关的两种资产构成的机 会集合是一条二次曲线(双曲线)
证明：略
20
各种相关系数下、两种风险资产构成的资 产组合机会集合(portfolio opportunity set)
收益E(rp) 比较相关 系数带来 的影响 D E
ρ =1 ρ =0.3
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合 是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) ( 2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 由式(2)(3) wD ( P E ) /( D E )
16
命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合 是两条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：
当wD E /( D E )时,
P wD D wE E wD f ( P ), 从而 P E P E E (rP ) E (rD ) (1 ) E (rE ) D E D E
5
表7.1 两只共同基金的描述性统计
6
表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
7
表7.3 不同相关系数下的 期望收益与标准差
8
图7.4 作为投资比例函数的组合标准差
Fra Baidu bibliotek
9
情况一：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险并未降低
P E D P E (rP ) E (rD ) E (rE ) D E D E
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
14
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允 许买空卖空）。
收益 E(rp) E
D
风险σp
15
两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) (2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 当wD E /( D E )时, P 0 当wD E /( D E )时, P wD D wE E 0 当wD E /( D E )时, P wE E wD D 0
（1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化
30
n种风险资产的组合二维表示
类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。
收益rp
31
风险σ
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资 产彼此不完全相关，则可行集合将是 一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的
风险σp
ρ =-1
用excel演示
21
7.3 资产在股票、债券与国库券之间 的配置
组合方法：两项风险资产先组合形成新 的风险资产组合，然后再向组合中加入无 风险资产 形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的， 效用水平最高
22
图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可 行的CALs
23
最优风险资产组合P的求解
10
情况二：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 令wD D - wE E 0
E D wD , wE 1 wD D E D E 结论： 1时组合P的风险可降至零
Max S P
wi
E (rP ) rf
P
s.t.
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 P [ wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )]1/ 2
wD wE 1 wD
2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ]Cov(rD , rE ) 2 2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ] D [ E (rD ) rf E (rE ) rf ]Cov(rD , rE )
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE ) 又： Cov(rD , rE ) DE D E 2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE
1 DE 1 越大，组合P的方差越大
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最优风险资产头寸
y
*
E (rp ) rf A
2 p
27
图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio
28
小结：两种风险资产与无风险资产 组合的配置程序
确定各类证券的收益风险特征 建造风险资产组合
根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例 根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征
T 假定1：市场上存在 n 2 种风险资产，令 w (w1, w2 ,, wn )
代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：
w
i 1
n
i
1
且卖空不受限制，即允许 wi 0 2.r ( E(r1 ),, E(rn ))T也是一个n维列向量，它表示每一种资 产的期望收益率，则组合的期望收益