投资学第7章最优风险资产组合

收益 E(rp) E
D
风险σp
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两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) (1) (2) P wD D wE E w w 1 (3) E D 当wD E /( D E )时, P 0 当wD E /( D E )时, P wD D wE E 0 当wD E /( D E )时, P wE E wD D 0
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两种证券完全负相关的图示
收益rp E
D 风险σp
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命题3：不完全相关的两种资产构成的机 会集合是一条二次曲线(双曲线)
证明：略
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各种相关系数下、两种风险资产构成的资 产组合机会集合(portfolio opportunity set)
收益E(rp) 比较相关 系数带来 的影响 D E
ρ =1 ρ =0.3
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情况二：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 令wD D - wE E 0
E D wD , wE 1 wD D E D E 结论： 1时组合P的风险可降至零
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情况三：
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降 低
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组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity
set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界、 有效前沿（ Efficient frontier）,它是有效组合的 集合（点的连线）。
Max S P
wi
E (rP ) rf
P
s.t.
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 2 2 2 P [ wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )]1/ 2
wD wE 1 wD
2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ]Cov(rD , rE ) 2 2 [ E (rD ) rf ] E [ E (rE ) rf ] D [ E (rD ) rf E (rE ) rf ]Cov(rD , rE )
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
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这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其 解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
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正式证明: n项风险资产组合有效前沿
min s.t.
w w
i 1 j 1 n i j
n
n
ij
w r c,
i 1 n i i
w
i 1
i
1
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对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
L wi w j ij ( wi ri c) ( wi 1)
风险σp
ρ =-1
用excel演示
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7.3 资产在股票、债券与国库券之间 的配置
组合方法：两项风险资产先组合形成新 的风险资产组合，然后再向组合中加入无 风险资产 形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的， 效用水平最高
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图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可 行的CALs
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最优风险资产组合P的求解
n
n
i 1 j i , j 1
ww ww
i j ij i , j 1 i
n
n
j ij
w w
T
11 ... 1n V 其中，w =(w1 , w2 ,..., wn )T , r =(r1 , r2 ,..., rn )T , nn n1
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE ) 又： Cov(rD , rE ) DE D E 2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE
1 DE 1 越大，组合P的方差越大
2
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
3
图7.2 投资组合分散化
4
7.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合 P由长期债券组合 D和股票基金E组成 则有：E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
因为任意两项资产构成的投资组合都位
于两项资产连线的左侧。 为什么？
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不可能的可行集
收益rp B A
风险σp
33 投资学 第6章
N个组合的风险收益状况
对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方 差分别为
n
rp wi ri =w T r
i 1
＝ w
2 p i 1 2 2 i i
wE 1 wD
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图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio
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图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio
5
表7.1 两只共同基金的描述性统计
6
表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
7
表7.3 不同相关系数下的 期望收益与标准差
8
图7.4 作为投资比例函数的组合标准差
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情况一：
若 DE 1， 则有： ( wD D wE E )
2 P 2
即： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险并未降低
T 假定1：市场上存在 n 2 种风险资产，令 w (w1, w2 ,, wn )
代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：
w
i 1
n
i
1
且卖空不受限制，即允许 wi 0 2.r ( E(r1 ),, E(rn ))T也是一个n维列向量，它表示每一种资 产的期望收益率，则组合的期望收益
配置风险资产组合和无风险资产
资本市场线 风险偏好计算最终投资组合中具体投资品种的份额。
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7.4 马科维茨的资产组合选择模型
均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资 组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组 合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。 因此，根据投资组合比较的占优原则，这可 以转化为一个优化问题，即
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若Ｐ、Ｑ分别代表权重向量 2 则 （r ) var( PE (r)) PVP
p
cov(rp , rq ) PVQ
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11 ... 1n 和 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 nn 1n 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
P E D P E (rP ) E (rD ) E (rE ) D E D E
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
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两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允 许买空卖空）。
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命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合 是两条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：
当wD E /( D E )时,
P wD D wE E wD f ( P ), 从而 P E P E E (rP ) E (rD ) (1 ) E (rE ) D E D E
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最优风险资产头寸
y
*
E (rp ) rf A
2 p
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图7.9 The Proportions of the Optimal Overall Portfolio
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小结：两种风险资产与无风险资产 组合的配置程序
确定各类证券的收益风险特征 建造风险资产组合
根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例 根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rE ) E P D E D E
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同理可证， 当wD E /( D E )时,
P wE E - wD D wD f ( P ), 从而
E (rD ) E (rE ) E (rD ) E (rE ) E (rP ) E (rE ) E P D E D E 命题成立。
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命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合 是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得