第三讲 有效前沿与最优证券组合

N种风险证券的情形
设投资者的效用函数为
U (rp ,
2 p
)
，并设
和 U1' 0
U
' 2

0
，下标1，2分别表示对U
的第1，2个变元求导。U1' 0 意味着对给
定的风险

2 p
，投资者认为期望回报率 rp
越大越好。
U
' 2

0
意味着对给定的期望回
报率 rp
，投资者认为风险

2 p
越小越
好。

2 a

(5.62%)
2
,

2 b

(6.33%) 2 , ab

4.7%
求这两种风险资产的有效前沿。
rp x 4.6% (1 x) 8.3%

2 p

x2
(5.62%)2
(1
x)2
(6.33%)2
2x(1
x) 4.7%
N种风险证券的有效前沿
rp
E
O
p
推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸 组合。
最优证券组合
存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 – XI），从而证券组合的 期望收益率
证券组合的期望收益率
rp X T r (1 X T I )rf rf X T (r rf I )
图3.3
（二)N中风险证券组合泽的有效 前沿
设市场上有N种风险证券，它们的收益率
和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协
方差矩阵V为正定_ 矩_ 阵 ，_ N种证券的期望 收益率为：r (r1, r2 ,..., rN )T N种证券组合P表示为：
X (x1, x2 ,..., xN )T
证券组合期望收益率和方差分别为
_
rp ]
一阶条件：
L X T
_
VX (r rf I ) 0
L


_
rp rf

_
X T (r rf I ) 0
得证券组合的投资比例
_
_
X p V 1(r rf I )(rp rf ) / H
其中 H

_
(r rf
_
I )T V 1(r rf
三种解法。
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为ra
和 rb，方差和协方差分别为

2 a
,
2 b
,
ab
a
b
对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合
p的期望收益率和方差如下：
_

rp x ra (1 x) rb
O
A
p
两种股票A和B，及一种债券
rp
C
有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切
的射线 rp
e
A
rf •D
B
O
p
N 种股票及一种债券
问题
min 1 X TVX 2
_
_
s.t X T r (1 X T I )rf rp
构造拉格朗日函数：
L
1 X TVX 2
[ X T
_
r (1 X T I )rf
购买股票的比例。
证券组合的期望收益率和标准差分别为：
_
_
rp x1rf (1 x1) rA
p (1 x1) A
一种风险证券和一种无风险证券
得证券组合的期望收益率 和标准差的关
系：
_
_
rp rf [(rA rf ) / A ] p
图3.5
rp
rA
C
。
A
rf
B
第三讲 有效前沿与最优证券组合
有效前沿的定义：
定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质：
1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。
2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。
则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
)

B 2rf
A rf2C
证券组合的方差为
_

2 p

X pTVX p

(rp rf
)2
/
H
或
_
p (rp rf ) / H
切点证券组合(tangency portfolio)
_
re

A C

D C( A Crf
)

e
[ D C( A Crf
)2

1 ]1/2 C
当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切 点证券组合构成。
计算方法与例题
切点e证券组合的计算方法
例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益 率 r1=12%，r2 = 8%，方差分别为1= 10 和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点 证券组合Xe.
X

U1
_
V 1 r
2U 2
V 1I
2U 2
1 I T X U1 I TV 1r I TV 1I
2U 2
2U 2
从而得出： 2U2 AU1
C
把代回X中可得最优投资比例 ：
X * AU1 V 1r 2U2 A
[1 AU1 ]V 1I 2U2 C
A_ V 1 r
B
A rq D
V 1I
两个证券组合的协方差为
cov(rp , rq )
C D
(rp
CA
)( rq

A C
)
1 C
令 r p rq ，则得前沿上的证券组合
方差为：
r
2 p
C( D
p
A)2 C
1 C
rp

2 p
1/ C

(rp
D
A/ /C
C)
2

2 p

x2
2 a
(1
x)2
2 b
2x(1
x)ab a b
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） AB 1
2） AB 1
p x A (1 x) B
p [x A (1 x) B ]
Байду номын сангаас
3）1 AB 1
_2 _
2 p D r p Frp G
(B A rp) / D

_
A I TV 1 r
_
_
B rT V 1 r
C I TV 1I
D BC A2 0
_
_

Xp

C
rp D
A_ V 1 r
B
A rp D
V 1I
_
对于另一个指定的 rq ，在前沿上的证券
组合为：
_
_
Xq

C rq D
__
D

(
2 A


2 B

2AB A B) /(rA
rB )2

0
2种和3种风险证券的有效前沿
r p
B
ab=-1 ab=1
CD
A
O
p
图3.1
r p 43
C 2
1B A
O
p
图3.2
例题
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为
r a=4.6% 和 rb=8.5% ，方差和协方差分别为
投资者的问题可表示为：
maxU(rf X T (r rf I ), X TVX )
一阶条件
U X T
U1(r rf I ) 2U2VX
0
最优投资比例为
X
*


U1 2U 2
V
_
1 (r
rf
I)
在债券上的投资比例为(1 – X*I)
定理3.2 (两资金分离定理，twofund separation)
X T
L


_
rp

X
T
_
r

0
L 1 X T I 0

由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得

_
X V 1( r I )
r_p
_
(rT
_
_
V 1 r) (rT
V 1I )




(C
_
rp
A)
_
/
D

_
_
1 (I V 1 r) (I TV 1I )
2
1
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
p
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券
以 x1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是
_
rp X T r

2 p

X TVX
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：
min 1 X TVX 2
__
s.t, X T r rp
XTI 1
构造拉格朗日函数
L

1 2
X TVX
_
(rp
XT
_
r)
(1
XTI)
一阶条件：
L
_
VX r I 0
这时投资者的问题可表述为
maxU ( X T r, X TVX )
s.t X T I 1
构造拉格朗日函数
L U ( X T r, X TVX ) (1 X T I )
一阶条件
L X T
_
U1 r 2U2VX
I
0
L 1 X T I 0

一阶条件变形得：


AU1 2U 2
Xd

[1
AU1 2U 2
]
X
g
定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投 资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合 构成的。
又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线 和有效前沿的切点，故有：
推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切 点都是由 和 的凸组合构成的。
有效前沿又可以看成由所有切点组成，因 而有：
B Arf A Crf
切点证券组合e的投资比例
Xe
_
V 1(r rf
I)
(A / C rf )2C2 D C2H (A / C rf )
切点的证券组合
Xe

V 1(r rf I ) C(A / C rf )

V 1 (r rf I ) A Crf
3.3 最优证券组合