第三讲 有效前沿与最优证券组合
有效前沿与最优证券组合课件
有效前沿和最优证券组合是相互依存的 ，一个的有效前沿是由所有可能的投资 组合构成的，而最优证券组合则是有效
前沿上的一个点。
投资者在选择最优证券组合时，需要根 据自己的风险偏好和投资目标，在有效 前沿上寻找具有最高夏普比率的投资组
合。
同时，市场条件、投资者风险偏好和投 资限制等因素的变化也会影响有效前沿 的形状和位置，进而影响最优证券组合
资产配置的优化
确定资产配置比例
根据投资目标和风险承受能力， 确定各类资产的配置比例。
动态调整
根据市场走势和投资者需求，对资 产配置比例进行动态调整，以实现 最优配置。
定期评估
定期对资产配置进行评估，确保其 符合投资目标和风险承受能力。
风险管理的实施
风险识别
识别投资组合面临的各种风险， 如市场风险、信用风险等。
最优证券组合对有效前沿的贡献
最优证券组合是有效前沿上的一个点，它代表了投资者在风险和预期收益之间的最 佳权衡。
最优证券组合的选择受到投资者风险偏好、投资期限、资金流动性需求等多种因素 的影响。
通过选择最优证券组合，投资者可以在有效前沿上找到最适合自己的投资方案，从 而提高投资效益。
有效前沿与最优证券组合的互动关系
06 总结与展望
CHAPTER
有效前沿与最优证券组合的重要意义
1 2
投资决策的科学性
有效前沿和最优证券组合为投资者提供了科学的 投资决策依据，有助于减少投资风险并提高投资 收益。
资产配置的优化
通过有效前沿和最优证券组合，投资者可以优化 资产配置，实现风险与收益的平衡。
3
市场效率的评估
有效前沿的存在与否是市场效率的重要评价指标 ，对于市场监管和政策制定具有指导意义。
金融经济学十讲——史树中
1、一般经济均衡：假定市场上一共有k 种商品，每一种商品的供给和需求都是这k 种商品的价格的函数。
这k 种商品的供需均衡就得到k 个方程。
但是价格需要有一个计量单位，这k 种商品的价格之间只有k-1 种商品的价格是独立的。
瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡的关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。
这一关系目前就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。
2、从“华尔街革命”追溯到1900年▪3、对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。
马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
组合前沿的上半部称为有效前沿。
对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。
▪4、夏普：假定所有投资者都以马科维茨的准则来决策，而导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)。
这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率有关。
5、米勒与莫迪利阿尼：探讨“公司的财务政策(分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。
他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。
后来他们的这些结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理(Modigliani-Miller Theorem,MMT▪无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会(即确定的低买高卖之类的机会)。
因此，如果两个公司将来的(不确定的) 价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。
‘▪布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。
他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。
股票投资中投资组合理论的应用分析
股票投资中投资组合理论的应用分析投资组合理论主要包括以下几个方面的内容：1. 有效前沿（Efficient frontier）有效前沿是指投资组合在风险和收益之间达到最优平衡的曲线。
投资者可以通过选择不同的投资组合，以达到最佳收益和风险平衡的目标。
有效前沿可以帮助投资者优化投资组合并最大化回报。
2. 互不相关性（Diversification）互不相关性是指选择不同领域、不同行业、不同地理区域、不同市场的股票组成投资组合。
通过选择互不相关的资产，可以降低整个投资组合的系统性风险和波动性。
投资组合中包含的股票不应是同一种类的，应通过审慎选择使得投资组合中每只股票的贡献值可以得到充分利用。
3. 个股风险与系统风险（Systematic Risk vs. Idiosyncratic Risk）在投资中，股票的风险主要存在这两方面。
企业自身的风险，称之为独特风险，这类风险可以通过资产的均衡分散减少，使投资者获得更好的收益；由经济环境变化等不可预计的因素所导致的风险，所有股票都会有，称之为系统性风险，因此必须透过组合，通过分散投资降低它的影响。
在实际的股票投资中，应用投资组合理论可以帮助投资者降低风险、最大化收益，具体如下：1. 投资者可以通过分配资金到不同的公司和行业，提高整个投资组合的多样性，降低风险。
这可以通过选择来自不同行业、不同规模的公司的股票来实现。
2. 投资者应该通过合理的配置资产权重，构建一个最佳的投资组合，以获得最大的投资回报率。
同时，投资者应该充分考虑整体风险水平，并避免过度投资某个股票，以降低投资组合的波动性。
3. 投资者可以通过定期监管和重新平衡投资组合的持仓，以确保它们保持与市场的同步性。
如果某些股票的数量过于大或过小，则应重新平衡股票，以确保整个投资组合的风险和收益水平达到最佳。
综上所述，投资组合理论是股票投资中不可或缺的一部分，它可以通过选取不同的股票，分散投资风险，优化投资组合，以达到最佳的收益和风险控制。
有效前沿与最优证券组合
目录与最优证券组合的应用 • 有效前沿与最优证券组合的实证研
究 • 未来研究方向与展望
01
有效前沿概述
定义与特性
定义
有效前沿是指由全部有效投资组合构成的集合，它代表了投资者在给定风险水平下可以获得的 最大预期回报。
特性
05
未来研究方向与展望
动态有效前沿研究
动态有效前沿研究
随着时间的变化，有效前沿也会发生变化。未来的研究可以探 索如何动态地调整和优化有效前沿，以更好地适应市场的变化
。
考虑市场非完全有效性的影响
市场并非完全有效，因此有效前沿的研究需要考虑市场的非完 全有效性，探索如何利用市场的不完全有效性来获取更高的收
1 2 3
基于机器学习的有效前沿研究
随着机器学习技术的发展，未来的研究可以尝试 利用机器学习技术来探索有效前沿，以更好地指 导投资组合的构建和管理。
数据驱动的投资策略
基于机器学习的有效前沿研究可以尝试从大量数 据中挖掘出有用的信息，并利用这些信息来构建 数据驱动的投资策略。
自动化和智能化投资决策
通过机器学习技术，未来的研究可以尝试实现投 资决策的自动化和智能化，以提高投资组合的管 理效率和效果。
益。
引入新的投资策略和风险管理方法
在动态有效前沿的研究中，可以引入新的投资策略和风险 管理方法，以更好地控制风险并获取更高的收益。
多因子模型的有效前沿研究
01
多因子模型的有效前 沿研究
多因子模型可以更好地解释证券的收 益率，未来的研究可以进一步探索多 因子模型的有效前沿，以更好地指导 投资组合的构建和管理。
在马科维茨投资组合理论中，有 效前沿是由所有可能投资组合中 具有最高期望收益率且与特定风 险水平相匹配的组合构成的边界。
投资学之最优投资组合与有效边界
投资学之最优投资组合与有效边界在投资的世界里，我们都希望能够找到那个“神奇的组合”，既能获得高额的回报，又能将风险控制在可承受的范围内。
这就引出了投资学中两个非常重要的概念：最优投资组合和有效边界。
要理解最优投资组合，我们首先得明白投资组合是什么。
简单来说，投资组合就是把不同的资产放在一起，比如股票、债券、基金、房地产等等。
而最优投资组合，就是在众多可能的组合中，能够给投资者带来最大收益同时承担最小风险的那个组合。
想象一下，你有一笔钱，你可以选择把它全部投资到一只股票上，也可以选择把它分散投资到多只股票、债券或者其他资产上。
如果只投资一只股票，一旦这只股票表现不佳，你的损失可能会很大；但如果把钱分散投资到多个资产上，即使其中一个资产表现不好，其他资产的表现可能会弥补一部分损失。
这就是投资组合的分散风险的作用。
那怎么才能找到最优投资组合呢？这就需要用到一些数学和统计学的方法。
比如说，我们要考虑每个资产的预期收益、风险（通常用标准差来衡量），以及不同资产之间的相关性。
如果两个资产的相关性很低，那么把它们组合在一起，就可以更好地降低风险。
举个例子，假设股票 A 的预期收益是 10%，标准差是 20%；股票 B 的预期收益是 8%，标准差是 15%。
如果这两只股票的相关性是 05，那么通过一定的计算，我们可以找到一个最优的投资比例，使得投资组合的风险和收益达到一个最佳的平衡。
说完最优投资组合，我们再来说说有效边界。
有效边界是投资组合的一个重要概念，它是由一系列最优投资组合构成的曲线。
在这个边界上的每一个点，都代表了一个在给定风险水平下能够获得最高预期收益的投资组合，或者在给定预期收益水平下能够承担最低风险的投资组合。
有效边界的形状通常是向上弯曲的。
这意味着，当你愿意承担更高的风险时，你能够获得更高的预期收益。
但是，风险增加的速度会逐渐加快，也就是说，要获得额外的一单位收益，你需要承担更多的风险。
那有效边界是怎么确定的呢？这需要对大量的投资组合进行计算和分析。
基金从业《证券投资基金基础知识》复习题集(第4536篇)
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【知识点】：第6章>第3节>即期利率和远期利率的概念和应用
【答案】：A
【解析】：
远期利率指的是资金的远期价格，它是指隐含在给定的即期利率中从未来的某一时点到另一时点的利率水平。
知识点：掌握即期利率和远期利率的概念和应用；
17.寿险公司通常投资于( )资产。
A、风险较低
B、风险较高
考点
随机变量
7.利率互换是指互换合约双方同意在约定期限内按不同的利息计算方式( )向对方支付由( )的名义本金额所确定的利息。
A、定期；不同币种
B、定期：币种相同
C、分期；不同币种
D、分期：币种相同
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【知识点】：第9章>第4节>各类收益互换合约的应用方式
【答案】：D
【解析】：
利率互换，是指互换合约双方同意在约定期限内按不同的利息计算方式分期向对方支付由币种相同的名义本金额所确定的利息。
25.假设股票A的β值是3，在股票市场整体上涨了4％的情况下，股票A则会( )。
A、上涨3％
B、下跌12％
C、上涨12％
D、下跌3％
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【知识点】：第12章>第2节>CAPM模型的主要思想和应用
【答案】：C
【解析】：
根据β值的公式可知r=3×4%=12%
知识点：理解CAPM模型的主要思想和应用以及资本市场线和证券市场线的概念与区别；
A、风险
B、趋势
C、最大回撤
D、下行风险
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【知识点】：第14章>第2节>最大回撤、下行标准差的概念、计算方法、应用和局限性
投资学第二版课后习题答案
投资学第二版课后习题答案投资学第二版课后习题答案投资学是一门研究投资决策的学科，它涉及到资金的配置、风险管理、资产定价等方面的知识。
为了帮助学生更好地理解和掌握这门学科，教材通常会附带一些习题，供学生练习和巩固所学知识。
本文将为大家提供投资学第二版课后习题的答案，希望能对学习投资学的同学们有所帮助。
第一章：投资学的基本概念和原理1. 什么是投资学？投资学是研究投资决策的学科，它包括资金的配置、风险管理、资产定价等方面的知识。
2. 投资决策的基本原则有哪些？投资决策的基本原则包括风险与收益的权衡、分散投资、长期投资等。
3. 什么是资产定价？资产定价是指根据资产的风险和预期收益来确定其价格的过程。
第二章：投资组合的风险与收益1. 什么是投资组合？投资组合是指将不同的资产按一定比例组合在一起形成的投资组合。
2. 如何计算投资组合的预期收益？投资组合的预期收益可以通过各个资产的预期收益率加权平均来计算。
3. 如何计算投资组合的风险？投资组合的风险可以通过计算各个资产之间的协方差和权重来得到。
第三章：投资组合的有效前沿1. 什么是有效前沿？有效前沿是指在给定风险水平下，能够获得最大预期收益的投资组合。
2. 如何构建有效前沿？构建有效前沿需要计算各个资产的预期收益率、协方差矩阵，并通过优化模型来确定最佳的投资组合。
3. 有效前沿的作用是什么？有效前沿可以帮助投资者在风险和收益之间做出最优的选择，从而实现资产配置的最佳效果。
第四章：资本市场理论1. 什么是资本市场线？资本市场线是指在风险和收益之间形成的一条直线，表示投资组合的最佳效果。
2. 如何计算资本市场线？计算资本市场线需要确定无风险利率、市场组合的预期收益率和风险，以及投资组合的风险。
3. 资本市场线的作用是什么？资本市场线可以帮助投资者确定最佳的投资组合，从而实现资产配置的最佳效果。
第五章：投资者行为与市场效率1. 什么是投资者行为？投资者行为是指投资者在进行投资决策时所表现出的心理和行为特征。
投资学之最优投资组合与有效边界60页PPT
CAL的杠杆作用
若允许以无风险利率借入款项并全部投资 于风险资产P。
若使用40%杠杆,则有：
E(rc)= (-0.4) (0.07) + (1.4) (0.15) = 18.2%
c = (1.4) (0.22) = 30.8%
4
图4-2 借贷利率不同时的可行集 (弯折的CAL)
5
风险容忍度与资产配置
由式(2)(3) wD ( P E ) /( D E )
E(rP )
P D
E E
E
(rD
)
D D
P E
E(rE )
E(rE
)
E(rD )
D
E(rE
E
)
E
E(rD )
D
E(rE
E
)
P
13
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1减少 到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资 产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖
▪ CAL、CML实际上是在有风险资产组合和无风险资 产组合之间又进行了一次两基金分离。此时投资者 仅需确定一个有风险组合，即可达到各种风险收益水 准的组合。资本配置更加方便。
投资者效用函数：U E(r) 1 A 2
2 A 0：风险厌恶者 A 0：风险中性者 A 0：风险爱好者 求解效用最大化问题：
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
6
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
25
投资组合管理中有效前沿及最优比例计算方法探讨
投资组合管理中有效前沿及最优比例计算方法探讨投资组合管理是投资者在追求最大化收益的同时控制风险的关键任务之一。
有效前沿是一个重要的概念，指的是在给定风险水平下，能够实现最大化投资收益的投资组合集合。
本文将探讨有效前沿的构建方法以及最优比例计算的相关技术。
有效前沿是现代投资组合理论的重要组成部分。
这个概念最早由Markowitz提出，在他的研究中引入了资产的协方差矩阵来度量投资组合的风险和收益。
有效前沿通过评估不同资产配置方案的风险-收益比来确定最佳的投资组合。
投资组合中的每一种配置方案都可以看作是一个点，构成了一个由风险和收益构成的二维曲线。
尽管曲线上的每个点都是有效的投资组合，但只有在曲线上的点才是最有吸引力的选择，因为它们提供了最佳的风险-收益权衡。
有效前沿的构建通常使用优化算法来完成。
常见的方法包括均值-方差模型和Monte Carlo模拟。
均值-方差模型通过最小化投资组合的方差，同时最大化投资组合的收益来确定有效前沿。
这个模型的核心是有效边界，即在给定风险水平下可以实现的最大投资收益。
Monte Carlo模拟则通过随机生成大量的投资组合以覆盖整个投资空间，然后计算每个投资组合的收益和风险，以此来构建有效前沿。
在构建有效前沿之后，投资者需要选择最优的投资组合比例。
最优比例的计算方法可以有多种。
其中，一个常见的方法是最小方差法。
最小方差法通过最小化整个投资组合的方差来确定最优的资产比例。
这个方法在实践中比较简单易用，并且可以通过历史数据来估计资产的协方差矩阵。
另一个方法是马尔科维茨模型，它通过引入风险规避系数来实现收益和风险之间的权衡，从而确定最优比例。
除了以上方法外，还有一些其他的方法可以用来计算最优比例。
例如，基于风险平价的方法可以将不同资产配置的风险权重调整为相等，以实现更平衡的投资组合。
而基于收益平价的方法则将不同资产配置的收益权重调整为相等，以实现更平均的投资收益。
这些方法通常需要根据投资者的特定目标和约束条件来确定最优比例。
第三讲有效前沿与最优证券组合
最优证券组合
存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 – XI），从而证券组合的 期望收益率
证券组合的期望收益率
X( r r r Xr ( 1 XIr ) f r f f I) p
T T
T
投资者的问题可表示为：
r
p
C
有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切 的射线 r p
e A
r
f
D
B O
p
N 种股票及一种债券
问题
1 T min X VX 2
T _ T _
s.t X r ( 1 XI) r r f p 构造拉格朗日函数：
_ _ 1 T T T L X VX [ Xr ( 1 XIr )f r ] p 2
一阶条件： _ L V X r I 0 T X _ L _ rpXT r 0
L 1 XT I 0
由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得
_ 1 X V ( r I ) _ _ _ _ _ (C rp A) / D T 1 T 1 rp ( r V r ) ( r V I ) _ _ _ (B Arp) / D 1 T 1 1 (I V r) (I V I ) _ _ _ T 1 T 1 T 1 A I V r C I V I Br V r
当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切 点证券组合构成。
计算方法与例题
切点e证券组合的计算方法
例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益 率 r1=12%，r2 = 8%，方差分别为1= 10 和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点 证券组合Xe. 三种解法。
复旦大学精品课程《.投资学原理》课件,第三章资产组合理论课件复习精品
资产B
概率 1/2 1/2 110 150 130
资产C
收益 概率 1/2 1/2
资产A期望收益率
130 1 30% 100
1 120 1 140 1 32.5% 2 98 2 98
1 110 1 150 1 37% 2 95 2 95
五、均值-方差准则（MVC） Markowitz（1952）提出“期望收益-收益方差” （expected return-variance of return）准则， 认为投资者在实际中按照这一法则进行投资。 其现实基础： 1、投资者的风险厌恶性 2、投资者的不满足性 其理论形式：均值-方差准则
（二）证券市场风险的种类 市场风险 利率风险 汇率风险 通胀风险 财务（违约）风险 经营风险 流动性风险
Байду номын сангаас
信用违约掉期——次贷危机引发全球 金融风暴的真正元凶
金融资产的违约保险：信用违约掉期（CDS，Credit Default Swap）
按期支付固定费用 标 的 资 产
信用 违约 保险 购买 方
i 1 n
期望收益率的两大要素：各种状态下可能收益 率及其发生概率。
（三）风险的度量——方差与标准差 方差：对资产实际收益率与期望收益率的偏离的测 度方法。单一风险资产的方差：
2 pi [ri E (r )]2
i 1
n
标准差（standard deviation）：方差的平方根。
第三节 最优资产组合选择
问题的提出： 当面临多个不同风险-收益关系的资产组合时， 投资者应该如何进行分析与选择？ 构建最优资产组合的基本要素： 1、基本方法：马科维茨的均值-方差理论 2、主观判断标准：无差异曲线
《最优投资组合理论》PPT课件
VCVoa~rv2~r,1~r1
Co~rv1,~r2 Va~r2
C Coo~r~rvv12,,~r~rN N
Co~rvN,~r1 Co~rvN,~r2 Va~r2
– 证券组合的期望收益率和方差 – 给定证券组合 1,2, ,NT – 期望回报率 – 方差 – 当证券的种类越来越多时,证券组合回报率的
证券组合选择问题
• 通过分析资本市场,一个中心的事实是,风 险资产的回报平均来说高于无风险资产 的回报,而且回报越高,风险越大.
• One interesting consequence of having these two conflicting objectives is that the investor should diversify by purchasing not just one security but
– 〔2〕利用期末价格计算证券组合的期望回报率
– 证券 在证券组合 每股的期末
– 名称 中的股数 预期价值 期末预期价值
总的
– A 100 46.48元 46.48元 100=4,648元
– B 200 43.61元 43.61元 200=8,722元
– C 100 76.14元 76.14元 100=7,614元
• 价格与回报率之间是一一决定的关系,给 定价格,就可算出回报率,反过来,给出了回 报率,就可决定价格.
• 在以下的章节里,通常以回报率为研究对 象,并假设,字母〔或者字母上加一波浪线〕 表示随机变量,字母上加一横线表示期望 值.
• 由于违约、通货膨胀、利率风险、再投 资风险等不确定因素,证券市场并不存在 绝对无风险的证券.
rP
G
=-1
=-0.1
投资组合优化模型及有效前沿分析方法
投资组合优化模型及有效前沿分析方法随着金融市场的发展和个人财富增长的需求，投资组合优化和有效前沿分析成为了投资者关注的重要内容。
本文将介绍投资组合优化模型的概念、意义以及有效前沿分析的方法。
投资组合优化模型是一种通过选择合适的资产组合来实现最大收益或者最小风险的数学模型。
通常情况下，投资者面临着多个投资标的和投资目标，如何在有限的资源和时间内做出最佳的投资选择，是一个值得探索的问题。
投资组合优化模型通常包括以下几个要素：投资标的、预期收益率、风险度量和决策变量。
投资标的是指投资者可以选择的各种资产，如股票、债券、房地产等。
预期收益率是对不同投资标的未来收益的估计。
风险度量是对投资标的风险的度量，通常使用标准差等方式来描述。
决策变量是指投资者需要做出的投资比例选择。
通过建立这些要素之间的数学关系，可以得到一个最优化的投资组合。
有效前沿分析方法是用来帮助投资者找到有效的投资组合的一种方法。
有效前沿是指在给定风险下，可以达到的最大收益；或者在给定收益下，可以达到的最小风险。
有效前沿分析方法通过对不同投资组合的收益和风险进行综合评估，找到处于有效前沿上的投资组合，为投资者提供一个合理的选择范围。
有效前沿分析方法通常包括以下几个步骤：首先，收集和整理投资标的的历史数据，包括收益率和风险度量。
其次，利用统计方法对历史数据进行分析，计算出各个投资标的的平均收益率、标准差等参数。
然后，通过建立投资组合的数学模型，计算出投资组合的预期收益率、标准差等指标。
最后，利用最优化算法，找到处于有效前沿上的投资组合。
有一些经典的有效前沿分析方法，如马科维茨理论和索提诺模型等。
马科维茨理论是通过均值-方差模型来实现有效前沿分析的一种方法。
该方法假设投资者追求的是最大化收益，并且认为收益与风险之间存在一定的权衡关系。
索提诺模型是一种基于期望效用理论的有效前沿分析方法。
该方法考虑了投资者对收益的偏好程度，通过一个效用函数来度量投资者的效用。
证券组合有效前沿的数学推导PPT课件
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
四、当存在一个无风险证券情况下的有效证券组合的设置
问题
› 在抛弃投资者的决定完全取决于证券组合的期望和方差的假 设下，共同基金定理应该如何导出？
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
› 美国哈佛商学院教授
二、在有风险证券下的有效证券组合的设置
收益率
用到的符号
E
单个证券的比重
› 均值-方差模型 › 均值-标准差模型方差单个证券的 期望回报率
协方差
协方差矩阵
均值-方差模型
均值-标准差模型
三、共同基金定理
› 定理一：给予m个证券满足第二章的条件存在从这些证券中 构建2个证券组合（共同基金），对于那些选择决定于证券 组合的方差和期望收益的风险厌恶的投资者，他们并不在乎 如何去选择证券组合。
证券组合有效前沿的数学推导
An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier
2014.11
报告简介
› 作者简介 › 在有风险证券下的有效证券组合的设置 › 共同基金定理 › 存在一个无风险资产下的有效证券组合的设置
一、作者简介 罗伯特·C·莫顿
› 罗伯特·C·莫顿（Robert Carhart Merton）于1944年7月31日生于纽 约。其父为美国著名的社会学家Robert K Merton 。
› 上世纪70年代，莫顿与 Fischer Black和Myron Scholes 共同发明了 金融期权数学模型，并因此与Myron Scholes共同获得了1997年诺贝 尔经济学奖。1970年，他提出了著名的“Merton模型”，被广泛应 用于各种风险资产及金融衍生产品的定价工作，并为当今蓬勃发展的 金融工程学奠定了基础。1973年，他提出了多时间段资本资产定价模 型，这个模型明确提出了投资者在不断变化的市场环境中，如何实现 最佳证券组合的问题。莫顿在资产组合领域的研究成果，为现代金融 理论作出了巨大贡献，指明了金融学术界的研究方向。
有效前沿与最优证券组合课件
3
回测
对组合的实际业绩进行回测，以评估组合的实际 表现。
07
结论与展望
研究结论
有效前沿模型更贴近实际市场情况，比传统模型更加准 确地刻画了证券组合的风险与收益关系。
最优证券组合的选取需要考虑投资者风险偏好和资产配 置的约束条件。
随着风险水平的增加，有效前沿上的证券组合收益率呈 现出明显的非线性变化。
研究不足与展望
01
研究未充分考虑市场微观结 构对有效前沿的影响，如交
易成本、信息披露等。
02
未对不同资产之间的相关性 进行深入分析，未来可进一
步探讨。
03
可以将机器学习等先进方法 引入研究中，提高模型预测
的准确性和鲁棒性。
THANKS
模型求解
01
利用历史数据
通过分析历史数据，计算资产 的历史收益率和波动率等参数
。
02
估计参数
使用历史数据估计模型中的参 数，包括无风险利率、资产收
益率的协方差矩阵等。
03
最优解计算
根据估计的参数，利用优化算 法计算最优证券组合，包括最 小化风险或最大化收益等目标
。
实证分析
01
02
03
数据选择
选择适合分析的投资数据 集，包括历史价格数据、 财务数据等。
研究有效前沿与最优证券组合具有重要的理论和实践意义。 理论方面，可以深化我们对投资组合理论的理解和认识；实 践方面，可以为投资者提供一种有效的投资策略，帮助他们 更好地管理风险和获取收益。
主要内容与结构
本文主要分为以下几个部分
01
02
1. 介绍有效前沿的基本概念和技术；
2. 分析有效前沿与最优证券组合之间的关 系；
投资组合理论中的有效前沿模型
投资组合理论中的有效前沿模型投资组合理论是现代金融学的基石之一，它旨在通过合理配置资金来优化投资组合的风险和收益。
其中，有效前沿模型是一个重要的工具，用于确定最佳的投资组合组合，以实现给定风险水平下的最大收益或最小风险。
有效前沿模型的核心思想是通过通过组合不同的资产，可以实现收益的最大化或风险的最小化。
这种思想的基础是资产之间的相关性。
如果两个资产的收益率高度相关，那么它们在投资组合中提供的多样性将较小，风险也相应较高。
但是，如果两个资产的收益率几乎没有相关性，那么它们可以通过投资组合来实现更高的收益，并降低整体风险。
在有效前沿模型中，首先需要确定投资组合的收益率和风险。
收益率可以通过历史数据或基本分析来预测，而风险则可以通过标准差或方差来衡量。
接下来，需要计算每个资产与其他资产之间的相关系数，并根据这些数据构建投资组合。
然后，可以使用投资组合的收益率和风险来绘制有效前沿曲线。
有效前沿曲线显示了给定风险水平下可实现的最大收益。
曲线上的任何一点代表一个具体的投资组合，而曲线越往上越靠近顶点，意味着更高的收益。
根据投资者的风险偏好，可以从曲线上选择一个适合的投资组合。
然而，投资者在确定最佳投资组合时还需要考虑其他因素，如流动性和成本。
流动性是指资产的易变现性，而成本则包括购买和卖出资产所需的费用。
在实际操作中，投资者通常需要权衡收益、风险、流动性和成本等多个因素。
有效前沿模型还可以与资本资产定价模型（CAPM）相结合，来进一步完善投资组合的选择。
CAPM通过分析市场风险和无风险利率来确定每个资产的期望收益率，从而帮助投资者评估资产的估值和潜在回报。
将CAPM与有效前沿模型结合，可以更准确地确定投资组合的收益和风险，并提供更具体的投资建议。
总之，投资组合理论中的有效前沿模型为投资者提供了一个清晰的框架，用于确定最佳的投资组合。
通过分析资产之间的相关性和考虑其他因素，投资者可以在不同的风险偏好下选择适合自己的投资策略。
资产定价理论讲义(中文版-上海财经大学)
显然： F0 ⊂ F1, F1 ⊂ F2
F ={F0, F1, F2}表示信息结构； F0 ， F1 ， F2 都是σ 域。
期望迭代法则：如果 F1 ⊂ F2 ，则 E[E(X F1) F2] = E(X F1)
14. 多元正态分布
若 为 元正态分布 ε = εε21 n
N(a, B)
5
《资产定价理论∀x1, x2 ∈ S ，α x1 + (1−α)x2 ∈ S ， 0 ≤ α ≤ 1，则 S 为凸集。
若 X ,Y 为凸集，则αX +βY 为凸集，其中：α,β ∈ R
3. 开集和闭集 S 是一个集合，如果∀x∈ S ，∃ε (x) > 0，使得 K(x,ε ) ⊂ S ，则 S 为开集，S 的补集为闭
注：对于连续性偏好而言，公理 3 意味着{a ∈C : a c}是凸集。 并非所有的二元关系都是偏好关系，比如：石头、剪刀、布游戏。
定17理. 效1用：对函于数定的义存在在闭性凸集C 的偏好关系，满足公理 2，则存在一个定义在C 上的连续效用 函数 使得 ， U : C → R ∀a,b ∈ C a b ⇔ U (a) ≥U (b)
上海财经大学金融学院
Ω = {'(正,正)', '(正,反)', '(反,正) ', '(反,反) '}
0 时刻的信息： F0 ={∅,Ω}
时刻的信息： 1
F1 = {∅,Ω,{'(正,正)', '(正,反) '},{'(反,正) ', '(反,反) '}}
时刻的信息： 2
F2 = P(Ω) = {∅,Ω,{'(正,正)'},{'(正,反) '},{'(反,正) '},{'(反,反) '},...}
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(B A rp) / D
_
A I TV 1 r
_
_
B rT V 1 r
C I TV 1I
D BC A2 0
_
_
Xp
C
rp D
A_ V 1 r
B
A rp D
V 1I
_
对于另一个指定的 rq ，在前沿上的证券
组合为：
_
_
Xq
C rq D
购买股票的比例。
证券组合的期望收益率和标准差分别为：
_
_
rp x1rf (1 x1) rA
p (1 x1) A
一种风险证券和一种无风险证券
得证券组合的期望收益率 和标准差的关
系：
_
_
rp rf [(rA rf ) / A ] p
图3.5
rp
rA
C
。
A
rf
B
_
rp X T r
2 p
X TVX
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：
min 1 X TVX 2
__
s.t, X T r rp
XTI 1
构造拉格朗日函数
L
1 2
X TVX
_
(rp
XT
_
r)
(1
XTI)
一阶条件：
L
_
VX r I 0
N种风险证券的情形
设投资者的效用函数为
U (rp ,
2 p
)
，并设
和 U1' 0
U
' 2
0
，下标1，2分别表示对U
的第1，2个变元求导。U1' 0 意味着对给
定的风险
2 p
，投资者认为期望回报率 rp
越大越好。
U
' 2
0
意味着对给定的期望回
报率 rp
，投资者认为风险
2 p
越小越
好。
2 a
(5.62%)
2
,
2 b
(6.33%) 2 , ab
4.7%
求这两种风险资产的有效前沿。
rp x 4.6% (1 x) 8.3%
2 p
x2
(5.62%)2
(1
x)2
(6.33%)2
2x(1
x) 4.7%
N种风险证券的有效前沿
rp
E
O
p
投资者的问题可表示为：
maxU(rf X T (r rf I ), X TVX )
一阶条件
U X T
U1(r rf I ) 2U2VX
0
最优投资比例为
X
*
U1 2U 2
V
_
1 (r
rf
I)
在债券上的投资比例为(1 – X*I)
定理3.2 (两资金分离定理，twofund separation)
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为ra
和 rb，方差和协方差分别为
2 a
,
2 b
,
ab
a
b
对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合
p的期望收益率和方差如下：
_
rp x ra (1 x) rb
X T
L
_
rp
X
T
_
r
0
L 1 X T I 0
由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得
_
X V 1( r I )
r_p
_
(rT
_
_
V 1 r) (rT
V 1I )
(C
_
rp
A)
_
/
D
_
_
1 (I V 1 r) (I TV 1I )
当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切 点证券组合构成。
计算方法与例题
切点e证券组合的计算方法
例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益 率 r1=12%，r2 = 8%，方差分别为1= 10 和2 = 4，它们之间的协方差12 = 2，又 设无风险证券的收益率rf = 6%，求切点 证券组合Xe.
推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸 组合。
最优证券组合
存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 – XI），从而证券组合的 期望收益率
证券组合的期望收益率
rp X T r (1 X T I )rf rf X T (r rf I )
A_ V 1 r
B
A rq D
V 1I
两个证券组合的协方差为
cov(rp , rq )
C D
(rp
CA
)( rq
A C
)
1 C
令 r p rq ，则得前沿上的证券组合
方差为：
r
2 p
C( D
p
A)2 C
1 C
rp
2 p
1/ C
(rp
D
A/ /C
C)
2
B Arf A Crf
切点证券组合e的投资比例
Xe
_
V 1(r rf
I)
(A / C rf )2C2 D C2H (A / C rf )
切点的证券组合
Xe
V 1(r rf I ) C(A / C rf )
V 1 (r rf I ) A Crf
3.3 最优证券组合
AU1 2U 2
Xd
[1
AU1 2U 2
]
X
g
定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投 资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合 构成的。
又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线 和有效前沿的切点，故有：
推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切 点都是由 和 的凸组合构成的。
有效前沿又可以看成由所有切点组成，因 而有：
这时投资者的问题可表述为
maxU ( X T r, X TVX )
s.t X T I 1
构造拉格朗日函数
L U ( X T r, X TVX ) (1 X T I )
一阶条件
L X T
_
U1 r 2U2VX
I
0
L 1 X T I 0
一阶条件变形得：
图3.3
（二)N中风险证券组合泽的有效 前沿
设市场上有N种风险证券，它们的收益率
和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协
方差矩阵V为正定_ 矩_ 阵 ，_ N种证券的期望 收益率为：r (r1, r2 ,..., rN )T N种证券组合P表示为：
X (x1, x2 ,..., xN )T
证券组合期望收益率和方差分别为
_
rp ]
一阶条件：
L X T
_
VX (r rf I ) 0
L
_
rp rf
_
X T (r rf I ) 0
得证券组合的投资比例
_
_
X p V 1(r rf I )(rp rf ) / H
其中 H
_
(r rf
_
I )T V 1(r rf
X
U1
_
V 1 r
2U 2
V 1I
2U 2
1 I T X U1 I TV 1r I TV 1I
2U 2
2U 2
从而得出： 2U2 AU1
C
把代回X中可得最优投资比例 ：
X * AU1 V 1r 2U2 A
[1 AU1 ]V 1I 2U2 C
2
1
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
p
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券
以 x1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是
2 p
x2
2 a
(1
x)2
2 b
2x(1
x)ab a b
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） AB 1
2） AB 1
p x A (1 x) B
p [x A (1 x) B ]
3）1 AB 1
_2 _
2 p D r p Frp G
__
D
(
2 A
2 B
2AB A B) /(rA
rB )2
0
2种和3种风险证券的有效前沿
r p
B
ab=-1 ab=1
CD
A
O
p
图3.1
r p 43
C 2
1B A
O
p
图3.2