两种证劵组合有效前沿的几个引理及证明
2016证券投资分析考点：证券组合可行域和边界
2016证券投资分析考点：证券组合可行域和边界
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2016证券投资分析考点：证券组合可行域和边界
(一)证券组合的可行域
证券组合的可行域表示了所有可能的证券组合。
1、两种证券组合的可行域
(1)两证券完全正相关，此时，组合的风险、收益呈线性关系
(2)两证券完全负相关，此时，组合的风险—收益关系呈折线形式;并且组合可以降低风险，即在收益相同的情况下，组合的风险小于两证券风险的线性组合，且可以通过A、B证券比例的调整达到无风险组合。
(3)两证券不相关
此时，组合的风险—收益关系呈双曲线形式;且存在方差最小证券组合。
(4)两证券不完全相关
向左凸的曲线，且相关系数越趋近-1，曲线弯曲程度越大，组合降低风险的效果越明显。
2、多种证券完全正相关
无卖空：向左凸的扇形区域;可卖空：向左凸的无限区域。
证券组合的可行域和有效边界
证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1.两种证券组合的可行域。
如果用前述两个数字特征——期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点。
这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。
可见，组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合。
根据公式（11.1）和公式（11.2）及x A+x B=1，A、B的证券组合P的组合线由下述方程所确定：给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。
（1）完全正相关下的组合线。
在完全正相关下，ρAB=1，方程（11.5）和（11.6）变为：因为，E（r P）与x A是线性关系，而σp与x A是线性关系，所以，σp与E（r p）之间也是线性关系。
因此，证券A、B构成的组合线是连接这两点的直线（见图11-1）。
（2）完全负相关下的组合线。
在完全负相关情况下，ρAB=-l，方程（11.5）和（11.6）变为：这时，σp，与E（r p）是分段线性关系，其组合线如图11-2。
从图11-2可以看出，在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。
这个适当比例通过令公式（11.8）中σp=0可得：因为x A和x B均大于0，所以必须同时买入证券A和B。
这一点很容易理解，因为证券A 和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。
所能得到的无风险收益率为：（3）不相关情形下的组合线。
当证券A与B的收益率不相关时，p AB=0，方程（11.5）和（11.6）变为：该方程确定的σp与E（r p）的曲线是一条经过A和B的双曲线，如图11-3所示。
证券集的组合前沿分类与有效子集Ξ
Co v [ ri, rj ] =
Cov [ x i - p i, x j p ip j
pj] =
Cov [ x i, p ip j
x
j
]
=
Cov [ x i, x j ] p ip j
(2)
可得 V = U
0
n i=
1p
2 i
,
这里
·
表示矩阵的行列式Λ 于是 V
正定等价于 U
正定Λ 这样, 在证
券收益率均存在的情况下, 收益率协方差矩阵 V 正定与未来价格协方差矩阵 U 正定是等价
n
n
6 6 Βip i = 0, V a r
Βix i = 0.
i= 1
i= 1
这就是说用 n 维向量 Β= (Β1, …, Βn) T 表示的对未来价格而言的证券组合, 其当前价格为零, 未
来价格的方差为零Λ这种证券组合的收益率无法定义Λ尤其是在未来价格非零的情况下, 它其
实是一种套利组合, 因为它可以通过不花费用的买入或卖空而在未来肯定获得Λ用同样的方法
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第 1 期 杨 杰 史树中: 证券集的组合前沿分类与有效子集 — 11 —
以下引理Ζ
引理 3. 2 假设有 k + 1 种证券Ζ如果第 k + 1 种证券的当前价格和未来价格可以被前 k 种
这种组合是所谓无风险收益率组合Λ
2)
2n i=
1 Αi=
0; 这时就不能如上形成一个无风险收益率组
合Λ但是如果用未来价格协方差矩阵U 来考虑, 我们仍能发现它意味着某种特殊组合的存在Λ
有效前沿与最优证券组合课件
有效前沿和最优证券组合是相互依存的 ，一个的有效前沿是由所有可能的投资 组合构成的，而最优证券组合则是有效
前沿上的一个点。
投资者在选择最优证券组合时，需要根 据自己的风险偏好和投资目标，在有效 前沿上寻找具有最高夏普比率的投资组
合。
同时，市场条件、投资者风险偏好和投 资限制等因素的变化也会影响有效前沿 的形状和位置，进而影响最优证券组合
资产配置的优化
确定资产配置比例
根据投资目标和风险承受能力， 确定各类资产的配置比例。
动态调整
根据市场走势和投资者需求，对资 产配置比例进行动态调整，以实现 最优配置。
定期评估
定期对资产配置进行评估，确保其 符合投资目标和风险承受能力。
风险管理的实施
风险识别
识别投资组合面临的各种风险， 如市场风险、信用风险等。
最优证券组合对有效前沿的贡献
最优证券组合是有效前沿上的一个点，它代表了投资者在风险和预期收益之间的最 佳权衡。
最优证券组合的选择受到投资者风险偏好、投资期限、资金流动性需求等多种因素 的影响。
通过选择最优证券组合，投资者可以在有效前沿上找到最适合自己的投资方案，从 而提高投资效益。
有效前沿与最优证券组合的互动关系
06 总结与展望
CHAPTER
有效前沿与最优证券组合的重要意义
1 2
投资决策的科学性
有效前沿和最优证券组合为投资者提供了科学的 投资决策依据，有助于减少投资风险并提高投资 收益。
资产配置的优化
通过有效前沿和最优证券组合，投资者可以优化 资产配置，实现风险与收益的平衡。
3
市场效率的评估
有效前沿的存在与否是市场效率的重要评价指标 ，对于市场监管和政策制定具有指导意义。
股票投资中投资组合理论的应用分析
股票投资中投资组合理论的应用分析投资组合理论主要包括以下几个方面的内容：1. 有效前沿（Efficient frontier）有效前沿是指投资组合在风险和收益之间达到最优平衡的曲线。
投资者可以通过选择不同的投资组合，以达到最佳收益和风险平衡的目标。
有效前沿可以帮助投资者优化投资组合并最大化回报。
2. 互不相关性（Diversification）互不相关性是指选择不同领域、不同行业、不同地理区域、不同市场的股票组成投资组合。
通过选择互不相关的资产，可以降低整个投资组合的系统性风险和波动性。
投资组合中包含的股票不应是同一种类的，应通过审慎选择使得投资组合中每只股票的贡献值可以得到充分利用。
3. 个股风险与系统风险（Systematic Risk vs. Idiosyncratic Risk）在投资中，股票的风险主要存在这两方面。
企业自身的风险，称之为独特风险，这类风险可以通过资产的均衡分散减少，使投资者获得更好的收益；由经济环境变化等不可预计的因素所导致的风险，所有股票都会有，称之为系统性风险，因此必须透过组合，通过分散投资降低它的影响。
在实际的股票投资中，应用投资组合理论可以帮助投资者降低风险、最大化收益，具体如下：1. 投资者可以通过分配资金到不同的公司和行业，提高整个投资组合的多样性，降低风险。
这可以通过选择来自不同行业、不同规模的公司的股票来实现。
2. 投资者应该通过合理的配置资产权重，构建一个最佳的投资组合，以获得最大的投资回报率。
同时，投资者应该充分考虑整体风险水平，并避免过度投资某个股票，以降低投资组合的波动性。
3. 投资者可以通过定期监管和重新平衡投资组合的持仓，以确保它们保持与市场的同步性。
如果某些股票的数量过于大或过小，则应重新平衡股票，以确保整个投资组合的风险和收益水平达到最佳。
综上所述，投资组合理论是股票投资中不可或缺的一部分，它可以通过选取不同的股票，分散投资风险，优化投资组合，以达到最佳的收益和风险控制。
有效前沿与最优证券组合
目录与最优证券组合的应用 • 有效前沿与最优证券组合的实证研
究 • 未来研究方向与展望
01
有效前沿概述
定义与特性
定义
有效前沿是指由全部有效投资组合构成的集合，它代表了投资者在给定风险水平下可以获得的 最大预期回报。
特性
05
未来研究方向与展望
动态有效前沿研究
动态有效前沿研究
随着时间的变化，有效前沿也会发生变化。未来的研究可以探 索如何动态地调整和优化有效前沿，以更好地适应市场的变化
。
考虑市场非完全有效性的影响
市场并非完全有效，因此有效前沿的研究需要考虑市场的非完 全有效性，探索如何利用市场的不完全有效性来获取更高的收
1 2 3
基于机器学习的有效前沿研究
随着机器学习技术的发展，未来的研究可以尝试 利用机器学习技术来探索有效前沿，以更好地指 导投资组合的构建和管理。
数据驱动的投资策略
基于机器学习的有效前沿研究可以尝试从大量数 据中挖掘出有用的信息，并利用这些信息来构建 数据驱动的投资策略。
自动化和智能化投资决策
通过机器学习技术，未来的研究可以尝试实现投 资决策的自动化和智能化，以提高投资组合的管 理效率和效果。
益。
引入新的投资策略和风险管理方法
在动态有效前沿的研究中，可以引入新的投资策略和风险 管理方法，以更好地控制风险并获取更高的收益。
多因子模型的有效前沿研究
01
多因子模型的有效前 沿研究
多因子模型可以更好地解释证券的收 益率，未来的研究可以进一步探索多 因子模型的有效前沿，以更好地指导 投资组合的构建和管理。
在马科维茨投资组合理论中，有 效前沿是由所有可能投资组合中 具有最高期望收益率且与特定风 险水平相匹配的组合构成的边界。
最新 基金从业资格考试辅导：证券组合分析-精品
基金从业资格考试辅导：证券组合分析导语：一个证券组合由一定数量的单一证券构成，每一只证券占有一定的比例，我们也可将证券组合视为一只证券，那么，证券组合的收益率和风险也可用期望收益率和方差来计量。
一、单个证券收益和风险衡量期望收益率和期望收益率的方差二、证券组合的收益和风险主要把握两种证券组合的收益和风险三、证券组合的可行域和有效边界(一)证券组合的可行域掌握两种证券组合的可行域相关系数越小，组合的风险越小，特别是在完全负相关的情况下，可以得到无风险组合。
根据组合的方差公式，只要成分证券之间不是完全正相关，也就是说，选择相关程度较低、不相关或负相关的证券构建多样化的证券组合，组合的总体方差就会得到改善，这就是通常所说的风险分散原理。
考试大收集随着证券数量的不断增加，也就是说，随着组合分散程度的增加，组合的风险将会不断趋于下降。
(二)证券组合的有效边界四、最优证券组合(一)投资者的个人偏好与无差异曲线(二) 最优证券组合的选择基本内容：(一)两种证券组合的收益和风险设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以x的比例投资于证券A，以y 的比例投资于证券B，且x+y=1，称该投资者拥有一个证券组合P。
如果到期时，证券A的收益率为a，证券B的收益率为b，则证券组合P的收益率Q为：Q=ax+by证券组合中的权数可以为负，比如x<0，则表示该组合卖空了证券A，并将所得的资金连同自有资金买入证券B，因为x+y=1，故有y=1-x>1。
投资者在进行时并不知道x和y的确切值，因而x、y应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期望值和方差。
投资组合P的期望收益率E和收益率的方差为：E=xa+yb方差=x的平方×证券A的方差+y的平方×证券B的方差+2xy×证券A的标准差×证券B的标准差×证券组合的相关系数式中：证券A的标准差×证券B的标准差×证券组合的相关系数——协方差，记为COV(A,B)举例说明：已知证券组合P是由证券A和B构成，证券A和B的期望收益、标准差以及相关系数如下：证券名称期望收益率标准差相关系数投资比重A 10% 6% 0.12 30%B 5% 2% 0.12 70%那么，组合P的期望收益为：期望收益=( 0.1 × 0.3 + 0.05 × 0.7 ) × 100% = 6.5%组合P的方差为：方差=( 0.3 × 0.3 × 0.06 × 0.06 ) + ( 0.7 × 0.7 × 0.02 ×0.02 ) + ( 2 × 0.3 × 0.7 × 0.06 × 0.02 × 0.12 ) = 0.0327选择不同的组合权数，可以得到包含证券A和证券B的不同的证券组合，从而得到不同的期望收益率和方差。
2023年注册会计师财管备考专题两种证券组合机会集的推导过程
1. 两种证券组合机会集旳推导过程2. 在CPA 财务管理中，风险与收益是十分重要旳知识点，本知识点旳思想贯穿于财务管理一直。
不过要完全理解该知识点却不是一件轻易旳事情。
原因如下： 3. 该知识点会波及到高等数学旳微积分知识，许多CPA 考生旳数学基础不是很好； 4. CPA 对于本知识点旳讲解一带而过，只告诉了结论，没有对应旳推导过程； 5. 本公式旳形式比较复杂，假如不懂得原理，记忆起来比较困难。
6. 鉴于此，本文将会对本公式旳推导做出详细旳阐明，但愿可以协助考生深刻理解该知识点。
7. 两种风险资产组合旳期望与方差8. 假设投资组合中有两只证券，证券X 投资比例占a ，证券Y 投资比例占b ，b=1-a 。
则该投资组合可以写成：()Y a aX R -+=1该投资组合旳期望收益为：()()[]()()()Y E a X aE Y a aX E R E -+=-+=11对投资组合期望旳变量a 一阶导数：()()()Y E X E daR dE -= 该投资组合旳方差为：()()()()[]()()()()()()()()()()[]()()()()XYY X Y X XYY X R r a a a a a a a a Y E Y X E X a a Y E Y a X E X a E Y a aX E Y a aX E σσσσσσσσ-+-+=-+-+=---+--+-=-+--+=1211211211122222222222222对投资组合方差旳变量a 求一阶导数：YX XY Y X XY Y Y X R ar r a a da d σσσσσσσσ422222222-++-=令：0422222222=-++-=Y X XY Y X XY Y Y X R ar r a a da d σσσσσσσσ可以得到最下方差组合：几种特殊状况： ✓ 当1=XY r 时()()()()()()()[]22222222221121,121Y X YX Y X Y X R a a a a a a Y X Cov a a a a σσσσσσσσσ-+=-+-+=-+-+=()[]Y X R R a a σσσσ-+==12可见当1=XY r 时，斜率是一种常数。
两种证劵组合有效前沿的几个引理及证明
引言
设有两种带有风险的证券 和 ,它们的收益率是 和 ,期望收益率是 和 ,方差是 和 ，亦即风险为 和 ，并假定 < , < , 和 的协方差是 。
作 和 的一个组合 = ( , ) ,这里 ≥0 , ≥0。 + = 1。 表示投资于 的资金比例, 表示投资于 的资金比例。
由于文献1中C点是通过令 而求得的,自然要问,这样的C点是否对所有的 都存在?这个问题的解决对于实际工作来说是有意义的。
众所周知,证券组合的概念、理论和方法是由诺贝尔经济学奖获得者Harry M. Markowitz创立的,限于手头参考的资料有限,没有发现有前述问题的结论,即使在文献1第一章附录“有效前沿的数学推演”中,也没有这方面的反映。因此,希望作这方面的工作是有意义的。
运用（13）所定义的 ，则在 内 ，故 , 落在 的左边，在此区域外 或 ，则 ,即则 落在 的右边，从而命题得证。
2后记
此文只对两种证劵组合进行了几个引理的相关论证，相信三种证劵，四种证劵等也是同理，此外，这只是不卖空的时的情况，关于卖空的情况，此文不做研究
参考文献
欧阳光中，李敬湖，证劵组合与投资分析[M],北京：高等教育出版社,1998:11-52
当 =1时，式（9）成为下式：
= （ - ）（11）
式（11）在 平面上也表示两条相交直线。一般的，当-1< <1时，式（9）可以化为
（12）
式（12）在 平面上表示一条双曲线。
引理2任何两条所论曲线均只交于
证明：
设 ， （i=1,2）所对应的双曲线为：
= ( )-2（ ）（ - ）
将两者相减，并记所得的结果为F（ ）=0，
史树中金融经济学十讲部分答案
ry
y1 y 2 y1 y2 p ( y1 y 2 ) p ( y1 ) p ( y 2 ) p ( y 1 ) p ( y 2 )
p ( y1 ) y1 p( y 2 ) y2 p ( y 1 ) p ( y 2 ) p ( y 1 ) p ( y1 ) p ( y 2 ) p ( y 2 )
2(V11 V12 ) w1 （ 2 V11 V12）w1 V11
当 w1
2
2
2(V11 V12 ) 1 时， 4(V11 V12 ) 2
8(V11 V12 )V11 4(V11V12 ) 2 1 (V11 V12 ) 8(V11 V12 ) 2
令
w1
p ( y1 ) p( y 2 ) , w 2 p ( y1 ) p ( y 2 ) p ( y1 ) p ( y 2 )
( w1 w2 1)
则
1 ry w1ry w2ry2
设 x1 , x2 ,..., xn 的收益率分别为 r1 , r2 ,..., rn ，则
用拉格朗日乘子法求解，
L( w, 1 , 2 ) wTVw ( wT e 1) ，求偏导，得
1 w eV 1 2 1 wT u V 1eT u u 2 代入计算，得 （ 2 1 2 1 2 1
2 1
... 1
1
2 n
) 1 1
2 n
2 w V 1eTV eV 1
2 1
...
以上为最小方差的表达式，其有效组合为 ( w , uw ) ，由于其中 w , uw 均为常数，所以 有效组合为一个点，即一种证券。
股票投资组合的有效前沿和风险变动规律
ｅ ＝ （ １ ， １ ， …， １ ） ， ０ 【 ， Ｂ是两 个正常数。
中图分类号 ： Ｆ ８ ３ ０ ． ９ １
文献标识码 ： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ６ — ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ５ ） ３ ２ － ０ ２ ０ ２ － ０ ２Байду номын сангаас
０ 弓 Ｉ 言
马科维茨不但为分散 资产提供理论依据 ， 而且也 为如 何进行有效的分散投 资提供 分析框架 。从技术 方面 ， 马科 维茨模型需要大量的基本数据 ， 从 而基本数据 的估计值 也
价值 工 程
股票投资组合 的有效 前沿和风 险变动规律
Ｅｆ ｌ ｉ ｄｅ ｎ ｔ Ｆｒ ｏ ｎ ｉｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｄ Ｒｉ ｓ ｋ Ｆ ｌ ｕ ｃ ｔ ｕ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ Ｒｕ ｌ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ Ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｏ ｌ ｉ ｏ
ｐ ａ ｐ ｅ ｒ Ｕ Ｓ ｅ Ｓ Ｍａ ｄ ａ ｂ ａ ｎ ｄ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｏ ｏ ｌ ｓ ｎｄ ａ Ｍａ ｒ ｋ ｏ ｗｉ ｔ ｚ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｔ ｏ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｈｅ ｔ ｌ ａ ｗ ｏ ｆ ｒ ｉ ｓ ｋ ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｔ ｕ ｒ ｎ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｏ ｌ ｉ ｏ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｏ ｉ ｆ ｏ ｎｄ ａ ｉ ｔ ｓ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ￣ｏ ｎ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ， Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗ ａ ｒ ｅ ｉ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｈｅ ｔ ｒ ｅ ｌ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｈｅ ｔ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｏ ｆ
投资组合优化模型及有效前沿分析方法
投资组合优化模型及有效前沿分析方法随着金融市场的发展和个人财富增长的需求，投资组合优化和有效前沿分析成为了投资者关注的重要内容。
本文将介绍投资组合优化模型的概念、意义以及有效前沿分析的方法。
投资组合优化模型是一种通过选择合适的资产组合来实现最大收益或者最小风险的数学模型。
通常情况下，投资者面临着多个投资标的和投资目标，如何在有限的资源和时间内做出最佳的投资选择，是一个值得探索的问题。
投资组合优化模型通常包括以下几个要素：投资标的、预期收益率、风险度量和决策变量。
投资标的是指投资者可以选择的各种资产，如股票、债券、房地产等。
预期收益率是对不同投资标的未来收益的估计。
风险度量是对投资标的风险的度量，通常使用标准差等方式来描述。
决策变量是指投资者需要做出的投资比例选择。
通过建立这些要素之间的数学关系，可以得到一个最优化的投资组合。
有效前沿分析方法是用来帮助投资者找到有效的投资组合的一种方法。
有效前沿是指在给定风险下，可以达到的最大收益；或者在给定收益下，可以达到的最小风险。
有效前沿分析方法通过对不同投资组合的收益和风险进行综合评估，找到处于有效前沿上的投资组合，为投资者提供一个合理的选择范围。
有效前沿分析方法通常包括以下几个步骤：首先，收集和整理投资标的的历史数据，包括收益率和风险度量。
其次，利用统计方法对历史数据进行分析，计算出各个投资标的的平均收益率、标准差等参数。
然后，通过建立投资组合的数学模型，计算出投资组合的预期收益率、标准差等指标。
最后，利用最优化算法，找到处于有效前沿上的投资组合。
有一些经典的有效前沿分析方法，如马科维茨理论和索提诺模型等。
马科维茨理论是通过均值-方差模型来实现有效前沿分析的一种方法。
该方法假设投资者追求的是最大化收益，并且认为收益与风险之间存在一定的权衡关系。
索提诺模型是一种基于期望效用理论的有效前沿分析方法。
该方法考虑了投资者对收益的偏好程度，通过一个效用函数来度量投资者的效用。
证券组合有效前沿的数学推导PPT课件
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
四、当存在一个无风险证券情况下的有效证券组合的设置
问题
› 在抛弃投资者的决定完全取决于证券组合的期望和方差的假 设下，共同基金定理应该如何导出？
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
› 美国哈佛商学院教授
二、在有风险证券下的有效证券组合的设置
收益率
用到的符号
E
单个证券的比重
› 均值-方差模型 › 均值-标准差模型方差单个证券的 期望回报率
协方差
协方差矩阵
均值-方差模型
均值-标准差模型
三、共同基金定理
› 定理一：给予m个证券满足第二章的条件存在从这些证券中 构建2个证券组合（共同基金），对于那些选择决定于证券 组合的方差和期望收益的风险厌恶的投资者，他们并不在乎 如何去选择证券组合。
证券组合有效前沿的数学推导
An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier
2014.11
报告简介
› 作者简介 › 在有风险证券下的有效证券组合的设置 › 共同基金定理 › 存在一个无风险资产下的有效证券组合的设置
一、作者简介 罗伯特·C·莫顿
› 罗伯特·C·莫顿（Robert Carhart Merton）于1944年7月31日生于纽 约。其父为美国著名的社会学家Robert K Merton 。
› 上世纪70年代，莫顿与 Fischer Black和Myron Scholes 共同发明了 金融期权数学模型，并因此与Myron Scholes共同获得了1997年诺贝 尔经济学奖。1970年，他提出了著名的“Merton模型”，被广泛应 用于各种风险资产及金融衍生产品的定价工作，并为当今蓬勃发展的 金融工程学奠定了基础。1973年，他提出了多时间段资本资产定价模 型，这个模型明确提出了投资者在不断变化的市场环境中，如何实现 最佳证券组合的问题。莫顿在资产组合领域的研究成果，为现代金融 理论作出了巨大贡献，指明了金融学术界的研究方向。
有效前沿与最优证券组合课件
3
回测
对组合的实际业绩进行回测，以评估组合的实际 表现。
07
结论与展望
研究结论
有效前沿模型更贴近实际市场情况，比传统模型更加准 确地刻画了证券组合的风险与收益关系。
最优证券组合的选取需要考虑投资者风险偏好和资产配 置的约束条件。
随着风险水平的增加，有效前沿上的证券组合收益率呈 现出明显的非线性变化。
研究不足与展望
01
研究未充分考虑市场微观结 构对有效前沿的影响，如交
易成本、信息披露等。
02
未对不同资产之间的相关性 进行深入分析，未来可进一
步探讨。
03
可以将机器学习等先进方法 引入研究中，提高模型预测
的准确性和鲁棒性。
THANKS
模型求解
01
利用历史数据
通过分析历史数据，计算资产 的历史收益率和波动率等参数
。
02
估计参数
使用历史数据估计模型中的参 数，包括无风险利率、资产收
益率的协方差矩阵等。
03
最优解计算
根据估计的参数，利用优化算 法计算最优证券组合，包括最 小化风险或最大化收益等目标
。
实证分析
01
02
03
数据选择
选择适合分析的投资数据 集，包括历史价格数据、 财务数据等。
研究有效前沿与最优证券组合具有重要的理论和实践意义。 理论方面，可以深化我们对投资组合理论的理解和认识；实 践方面，可以为投资者提供一种有效的投资策略，帮助他们 更好地管理风险和获取收益。
主要内容与结构
本文主要分为以下几个部分
01
02
1. 介绍有效前沿的基本概念和技术；
2. 分析有效前沿与最优证券组合之间的关 系；
投资组合理论中的有效前沿模型
投资组合理论中的有效前沿模型投资组合理论是现代金融学的基石之一，它旨在通过合理配置资金来优化投资组合的风险和收益。
其中，有效前沿模型是一个重要的工具，用于确定最佳的投资组合组合，以实现给定风险水平下的最大收益或最小风险。
有效前沿模型的核心思想是通过通过组合不同的资产，可以实现收益的最大化或风险的最小化。
这种思想的基础是资产之间的相关性。
如果两个资产的收益率高度相关，那么它们在投资组合中提供的多样性将较小，风险也相应较高。
但是，如果两个资产的收益率几乎没有相关性，那么它们可以通过投资组合来实现更高的收益，并降低整体风险。
在有效前沿模型中，首先需要确定投资组合的收益率和风险。
收益率可以通过历史数据或基本分析来预测，而风险则可以通过标准差或方差来衡量。
接下来，需要计算每个资产与其他资产之间的相关系数，并根据这些数据构建投资组合。
然后，可以使用投资组合的收益率和风险来绘制有效前沿曲线。
有效前沿曲线显示了给定风险水平下可实现的最大收益。
曲线上的任何一点代表一个具体的投资组合，而曲线越往上越靠近顶点，意味着更高的收益。
根据投资者的风险偏好，可以从曲线上选择一个适合的投资组合。
然而，投资者在确定最佳投资组合时还需要考虑其他因素，如流动性和成本。
流动性是指资产的易变现性，而成本则包括购买和卖出资产所需的费用。
在实际操作中，投资者通常需要权衡收益、风险、流动性和成本等多个因素。
有效前沿模型还可以与资本资产定价模型（CAPM）相结合，来进一步完善投资组合的选择。
CAPM通过分析市场风险和无风险利率来确定每个资产的期望收益率，从而帮助投资者评估资产的估值和潜在回报。
将CAPM与有效前沿模型结合，可以更准确地确定投资组合的收益和风险，并提供更具体的投资建议。
总之，投资组合理论中的有效前沿模型为投资者提供了一个清晰的框架，用于确定最佳的投资组合。
通过分析资产之间的相关性和考虑其他因素，投资者可以在不同的风险偏好下选择适合自己的投资策略。
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是 :
rp = x1 r1 + x2 r2 rp = x1 r1 + x2 r2
2 2 p x12 12 x22 2 2x1 x2 12
(1) (2) (3) （4）
p ( x12 12 x2 2 12 2 x1 x2 12 )
记 12 是 r1 和 r2 的相关系数 12 = 12 1 2 ，则方差 p 的表达式变成
所以当 12 < 1 / 2 时， g (c ) 0 ；当 12 > 1 / 2 时， g (c ) 0 。
由于 g ( S 2 ) 2 2 0 ，所以有当 12 < 1 / 2 时 C 与 S 2 位于直线 S1 D 的同一侧；当
12 > 1 / 2 时，C 与 S 2 位于直线 S1 D 的不同侧。
-
2 ） 1 2
（11）
式（11）在 ( p , rp ) 平面上也表示两条相交直线。一般的，当-1< 12 <1 时，式（9）可以化
为
p (1 12 ) 12 2 2 12 2 2 212 1 2
(( rp r2 ( r1 r2 )
1 2 ）
将两者相减，并记所得的结果为 F（ rp ） =0， F（ rp ）=
(rp r1 )(rp r2 ) r1 r2
×2 ( 12 12 ) 1 2 =0
2 2
（13）
所以 rp = r1 或 r2 ，从而 p 1 或 ，这就证明了任何所论曲线均只交于 s1 , s2 。 引理 3 对于式 12 所代表的双曲线之右半支所代表的顶点 ( p , rp ) （即使得 d p / d rp 0 的点 C）而言，有结论： （1）当 12 < 1 / 2 时，C 点落在图一中 DS1S 2 中； （2）当 12 = 1 / 2 时，C 点即为 S1 点； （3）当 12 > 1 / 2 时，C 点落在图一中的虚线区域 内； 证明： 由式 12 知，C 点的坐标 ( p , rp ) 如下：
(6) （7）
有用的。欧阳光中和李敬湖在文献 1中研究了 12 = - 1 ,0 ,1的曲线性态 ,也仅对它们给 出了有效前沿的计算法 ,并称对于一般的 - 1 < 12 < 1的情形是不难想象的。他们给出的 这些曲线如下图所示 : 所有的 12 都存在 ?这个问题的解决对于实际工作来说是有意义的。 由于文献 1中 C点是通过令 d p / d rp 0 而求得的 ,自然要问 ,这样的 C点是否对 众所周知 ,证券组合的概念、理论和方法是由诺贝尔经济学奖获得者 Harry M. Markowitz创立的 ,限于手头参考的资料有限 ,没有发现有前述问题的结论 ,即使在文献 1 第一章附录“有效前沿的数学推演”中 ,也没有这方面的反映。因此 ,希望作这方面的工作 是有意义的。
h(c) 1 2 1 212
2 212 1 2
2 1 2
2
1 2 ( 12 1 ) (r1 r2 ) 2 2 22 1 2 212 1 2 r2 r1
1 2
1 212
12 2 2 212 1 2
g (c ) 1 2 1 2 1 2
1 212
2 212 1 2
2 1 2
2
1 2 ( 12 1 ) (r2 r1 ) (r1 r2 ) 2 2 22 1 2 212 1 2 r1 r2
1 212
12 2 2 212 1 2
1 12 ( 2 2 12 1 2
2 1 2
( 1 12 1 2 2 2 212 1 2 ) ( 2 1 ) 1 12 2( 2 12 1 )( 12 2 1 ) 1 12 12 2 2 2 12 1 2 2 ( 2 1 ) 1 12
1 2 ( 2 1 )(1 12 1 ) 0 12 2 2 212 1 2
由于 h( S1 ) 2 1 0 ，故 C 与 S1 位于 S 2 D 的同一侧。 综合以上各步，即得引理结论。 引理 4 设 12 落在 证明 运用（13）所定义的 F (rp ) ，则在 DS1S 2 内 r1 rp r2 ，故 F (rp ) 0 , 的左边，在此区域外 rp r1 或 rp r2 ，则 F (rp ) 0 ,即则 证。
（18）
根据式 16,17,1 2 g ( p) p 1 h( p ) p 2
1 2 (rp r2 ) r1 r2
1 2 (rp r1 ) r1 r2 1 2 (rp r2 ) r1 r2
1 212 ( 2 2 12 1 2
2 1 2
所以当 12 < 1 / 2 时， f (c ) 0 ；当 12 > 1 / 2 时， f (c ) 0 。 显然对图 1 中的 D 点而言 f ( D ) 0 ，当 12 < 1 / 2 时 C 与 D 位于直线 S1S 2 的同一侧； 当 12 > 1 / 2 时，C 与 D 位于直线 S1S 2 的不同侧；当 12 > 1 / 2 时，由（14）（15）即算 得 C 即 S1 。
当 12 =-1 时，式（9）成为下式：
p = ( 1 2 ) （
rp r2 r1 -r2
-
2 ） 1 2
（10）
式（10）在 ( p , rp ) 平面上表示两条相交直线。 当 12 =1 时，式（9）成为下式：
p = ( 1 2 ) （
rp r2 r1 -r2
在 ( p , rp ) 平面上是一条双曲线，特别的当 12
（2）任何两条所 1 时，双曲线退化为两条相交直线。
(1)
论双曲线均只交于 s1 , s2 。(3)收益率的相关系数的大小决定点 ( p , rp ) 的落点。 （4）设 12 并记 则
(2) (i )
12 (2) ，
在 ( p , rp ) 平面上是一条双曲线，特别的当 12 = 1 时，双曲线退化为两条相交直线。
证明
p 2 =
rp r2 r1 -r2
( 1 1 12 1 2 )-2
2 2
rp r2 r1 -r2
（ 2 - 12 1 2 ）+ 2
2
上述函数中 ( p , rp ) 为 P 点的坐标，于是：
f (c) 1 2
1 212
2 212 1 2
2 1 2
2
1 2 ( 12 1 ) (r1 r2 ) 2 2 2 1 2 2 212 1 2 r1 r2
2 2
作 s1 和 s2 的一个组合 p = ( x1 , x2 ) ,这里 x1 ≥0 , x2 ≥0。 x1 + x2 = 1。 x1 表 示投资于 s1 的资金比例 , x2 表示投资于 s2 的资金比例。 对于组合 p = ( x1 , x2 ) ,它的收益率 rp ,期望收益率 rp ,方差 p 和风险 p 分别
(1 12 1 2 ) p 2 12 2 212 1 2 rp r1 (r1 r2 ) 2 ( 2 12 1 ) 2 12 2 212 1 2
由式 10 分别写出直线 S1 D ， S 2 D 的方程如下：
两种证劵组合有效前沿的几个引理及证明
张盼
（新疆农业大学数理学院数学与应用数学，新疆 乌鲁木齐，830052）
摘要：此文对两种证劵有效前沿的几个引理进行了提出及证明，基本内容如下（1） 、若不考虑投资证 劵 S1 的比例 x1 的取值范围，参数方程
rp ( r1 r2 ) x1 r2
2 2 p x12 ( 12 2 2 12 1 2 ) 2 x1 ( 2 2 12 1 2 )
2 2 2 p x12 12 x22 2 2x1 x2 12 1 2
（5）
在式（2）和（5）中。令 x2 =1- x1 ，得
rp ( r1 r2 ) x1 r2
2 2 p x12 ( 12 2 2 12 1 2 ) 2 x1 ( 2 2 12 1 2 )
（15）
S1 D ：
p 1
S2 D ：
1 2 (rp r1 ) r1 r2
(16)
p 2
1 2 (rp r2 ) r1 r2
（17）
由式 11 写出直线 S1S 2 的方程如下：
p 2
1 2 (rp r2 ) r1 r2
(1)
任何两条所论曲线均只交于 s1 , s2
12 (2) ， 12 (i ) （i=1,2）所对应的双曲线为： rp r2 r1 -r2
） （ 2 - 12
2 (i )
p 2 = (
rp r2 r1 -r2
) 2 ( 12 12 12 ( i ) 1 2 )-2（
2 2 12 1 2 )2 12 2 2 12 1 2 1 (r1 r2 ) 2 (1 12 )12 2 2 ( 12 2 2 12 1 2 ) 2
（12）
式（12）在 ( p , rp ) 平面上表示一条双曲线。 引理 2 证明： 设 12
1 2 1 2
1 212
2 212 1 2
2 1 2
( 1 12 1 2 2 2 212 1 2 ) ( 1 2 ) 1 12 2( 2 12 1 )( 12 2 1 ) 1 12 12 2 2 2 12 1 2 2 ) ( 1 2 ) 1 12