集合子集个数
集合子集个数求法推导
集合子集个数求法推导1. 引言在数学中，集合是由一组元素组成的对象。
集合的子集是指一个集合中的部分元素所构成的集合。
求解一个集合的所有子集个数是一个常见且重要的问题，它在组合数学、离散数学、算法设计等领域都有广泛的应用。
本文将从基础概念开始，逐步推导出求解一个集合的所有子集个数的方法，并给出具体的实现代码。
2. 基础概念在开始推导之前，我们先来回顾一下与本文相关的一些基础概念。
2.1 集合集合是由一组确定元素所构成的整体。
通常用大写字母表示，如A、B等。
元素可以是任意类型，但同一个集合中不能有重复元素。
2.2 子集设A和B为两个集合，如果A中的所有元素都同时也是B中的元素，则称A为B的子集。
用符号表示为A⊆B。
2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集，用符号{}表示。
2.4 幂集对于一个给定的集合A，它包含了A所有可能子集构成的全体集合称为A的幂集。
幂集中包含了空集和A本身，因此幂集的元素个数为2^n，其中n为A中元素的个数。
3. 求解子集个数的方法3.1 枚举法最直观的方法是使用枚举法来求解子集个数。
对于一个给定的集合A，我们可以枚举所有可能的子集，然后计算其个数。
假设A中有n个元素，则对于每一个元素，它可以选择出现或者不出现在子集中。
因此，对于每一个元素来说，有两种选择：出现或者不出现。
由于每个元素都有这两种选择，所以总共的子集个数为2^n。
使用递归算法可以方便地实现上述思想：def subsets(nums):res = []dfs(sorted(nums), [], res)return resdef dfs(nums, path, res):res.append(path)for i in range(len(nums)):dfs(nums[i+1:], path+[nums[i]], res)上述代码中，nums表示输入的原始集合，path表示当前正在构建的子集，res用于存储所有生成的子集。
子集与真子集（含答案）
⼦集与真⼦集（含答案）⼦集与真⼦集⼀、单选题(共10道，每道10分)1.集合的⼦集个数是( )A.8B.7C.4D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集2.已知，，，则C 的真⼦集个数为( )A.2B.3C.7D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集3.集合的⼦集个数是( )A.8B.7C.4D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集4.已知集合M={0，1，2，3}，则集合M的不含元素0的⼦集的个数是( )A.16B.15C.8D.7答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集5.已知⾮空集合P⊆{3，4，6}，若P中⾄多有⼀个偶数，则满⾜条件的集合P共有( )A.2个B.4个C.5个D.6个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集6.满⾜{1，2}M{1，2，3，4，5}的集合M共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集7.已知集合，若集合A有且仅有2个⼦集，则a的值是( )A.1B.-1C.0或1D.-1，0或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合关系中的参数取值问题8.已知集合，，则集合M的⼦集个数是( )A.8B.16C.32D.64答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⼦集与真⼦集9.设集合，，若A B，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合间的基本关系10.集合，⾮空集合，若B⊆A，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合间的基本关系。
高中数学127个快速解题公式
高中数学127个快速解题公式第1章 集合1、有限集合子集个数：子集个数：2n 个，真子集个数：12n -个；2、集合里面重要结论：①A B A A B ⋂=⇒⊆；②A B A B A ⋃=⇒⊆；③A B A B ⇒⇔⊆ ④A B A B ⇔⇔= 3、同时满足求交集，分类讨论求并集4、集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-第2章 函数52.236,3.142, 2.718e π≈≈≈≈≈ 6、分数指数幂公式：nma =7、对数换底公式：log 1log ;log log log c a a c b b b b a a ==8、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，单调不变：9、奇偶性的快速法：①.奇±奇→奇；偶±偶→偶；②.奇()⨯÷奇→偶；偶()⨯÷偶→偶；奇()⨯÷偶→奇；10、函数的切线方程：000()()y y f x x x '-=-11、函数有零点min max ()0()0f x f x ≤⎧⇔⎨≥⎩12、函数无零点max min ()0()0f x f x ⇔≤≥或13、函数周期性：()()f a x f b x +=+的周期T b a =-； 14、函数对称性：()()f a x f b x +=-的对称轴2a bx +=； 15、抽象函数对数型：若()()()f xy f x f y =+，则()log a f x x =；16、抽象函数指数型：若()()()f x y f x f y +=，则()xf x a =；17、抽象函数正比型：若()()()f x y f x f y +=+，则()f x kx =；18、抽象函数一次型：若()f x c '=，则()f x cx b =+；19、抽象函数导数型：若()()f x f x '=，则()x f x ke =或()0f x =;20、两个重要不等式：1ln(1)1(0)ln 1x x e x x x e x x x ⎧≥+⇒+≤≤-==⎨≤-⎩当且仅当时“”成立 21、洛必达法则：()()()()lim lim x a x a f x f x g x g x →→'='(当()0()0f x g x ∞→∞或时使用) 22、恒成立问题：max min(1)()()(2)()()a f x a f x a f x a f x ≥⇔≥<⇔<23、证明()()f x g x >思路：思路1：(1)()()()()0h x f x g x h x =-⇔>（常规首选方法）思路2：min max ()()f x g x >（思路1无法完成）第3章 数列24、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 25、等差数列通项公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 26、等比数列通项公式：11n n a a q -=27、等比数列通项公式：11(1)11n n n a a qa q S q q+-==--28、等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 29、等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a = 30、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2A a b =+ 31、等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab = 32、裂项相消法1：若111(1)1n n nn -++=，则有1111n nT n n =-=++ 33、裂项相消法2：若1111(2)22n n n n -++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有1111(1)2212n T n n =+--++ 34、裂项相消法3：若111111n nnn a a d a a ++=-⎛⎫⎪⎝⎭，则有11111()n n T d a a +=-35、裂项相消法4：若1111(21)(21)22121n n n n -+--+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有11(1)221n T n =-+ 36、错位相减法求和通式：1112()1(1)1n n n n dq b b a b qa b T q q q -=+----第4章 三角函数37、三角函数的定义：正弦：sin y r α=；余弦：cos x r α=；正切：tan yxα=；其中：r =38、诱导公式：π倍加减名不变，符号只需看象限；半π加减名要变，符号还是看象限。
真子集个数的计算公式
真子集个数的计算公式
真子集是指一个集合除去空集和本身后的所有子集，例如集合{1,2,3}的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}。
计算一个集合的真子集数量的公式为2的n次方减去2，其中n为该集合的元素个数。
这个公式的推导可以通过以下方式进行：
对于一个集合，每个元素都可以选择出现或者不出现，因此对于n个元素的集合，每个元素都有两种选择，即出现或者不出现。
因此，总共有2的n次方种可能的子集。
但是，由于空集和本身这两个子集不是真子集，因此需要从总数中减去这两个子集的数量，即2的n次方减去2。
例如，对于集合{1,2,3}，它的元素个数为3，因此它的真子集数量为2的3次方减去2，即8-2=6。
这六个真子集分别为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}。
真子集个数公式推导
真子集个数公式推导
在集合论中，真子集是指不包含整个集合的子集。
计算一个集合的真子集的数量是一种常见的问题，可以使用以下的公式进行推导：假设一个集合有n个元素，则它的真子集数量为2^n - 1。
这个公式也可以写成2^n = 2×2^(n-1)，其中2表示每个元素可以选择或不选择，2^(n-1)表示剩余元素的所有子集数量。
我们可以通过数学归纳法来证明这个公式的正确性。
当n=1时，集合只有一个元素，它的真子集只有一个空集，因此2^1 - 1 = 1。
假设当集合有n个元素时，它的真子集数量为2^n - 1。
现在我们考虑一个有n+1个元素的集合。
我们可以将它表示为一个元素a和一个n元素的集合B的并集。
那么这个集合的真子集可以分为两种情况：
1.不包含元素a的子集，它的数量为B的真子集数量，即2^n - 1。
2.包含元素a的子集，它可以从B的真子集中选择任意一个子集，再将元素a加入其中，它的数量为2^n。
因此，这个n+1元素的集合的真子集数量为(2^n - 1) + 2^n = 2×2^n - 1 = 2^(n+1) - 1。
这证明了当集合有n+1个元素时，它的真子集数量为2^(n+1) - 1。
综上所述，一个n元素的集合的真子集数量为2^n - 1。
这个公式对于计算集合的真子集数量非常有用，特别是在组合数学和离散数学中。
子集 真子集 空集取值范围
子集真子集空集取值范围
，叶老板解题
总结下高中数学集合的知识点
1.集合元素的特性
2.集合与元素的关系
3.集合和集合的关系
有这么一种题，算集合子集的个数，公式：
若元素个数为N
子集个数=2n
真子集个数=2n-1
非空真子集个数=2n-2
怎么推的呢？用的排列组合中的排列，子集中k个元素的子集个数相当于n个不同的找k个组合为：
全部相加得：
根据二项式定理：
令a=b=1，得全部子集个数为2n
4.常见数集
顺便带下高中数学数的分类：
5.集合表示方法
6.集合分类
空集是最神奇的集合。
空集是任何集合的子集，也是子集的子集。
因此，在涉及子集和集合包含的问题中，空集总是特例。
典型的题目：A=（2a,a+3）,B(a+1,3a+5)，A⊆B，求a取值范围。
（随便写的，不要在意答案）
如果这样做a+1<=2a且3a+5>=a+3，看起来很正常，但是忽略了A集合如果是空集也是B的子集的特殊情况。
可能答案就会少一块。
正确解法：（a+1<=2a且3a+5>=a+3）或2a>a+3
7.集合运算
集子其他相关内容暂时想不起来，再补充。
真子集个数的计算公式
真子集个数的计算公式在数学中，集合是由一些确定的元素组成的。
而一个集合的真子集，则是指该集合的所有非空子集，不包括集合本身。
计算一个集合的真子集个数是一个基础的数学问题，可以通过使用组合数的概念来解决。
假设一个集合中有n个元素，那么它的真子集个数可以通过以下公式来计算：2^n - 1这个公式的推导可以通过简单的推理来得到。
假设一个集合有n个元素，那么对于每一个元素，它可以选择出现或者不出现在某个子集中。
所以对于每一个元素，有两种选择，出现或者不出现。
由于集合中有n个元素，所以总共有2^n种选择。
然而，这个计算中还包括了空集，而我们在计算真子集个数时，不包括空集。
所以最后要减去1，即2^n - 1。
举个例子来说明这个计算公式的应用。
假设一个集合中有3个元素，那么根据公式2^n - 1，真子集个数为2^3 - 1 = 8 - 1 = 7。
这意味着这个集合中有7个真子集，不包括空集。
这个计算公式可以应用于各种不同大小的集合。
无论集合中有多少个元素，只需要将元素个数代入公式中即可计算出真子集的个数。
然而，需要注意的是，这个计算公式只适用于有限集合。
对于无限集合，不存在一个确定的元素个数，因此也无法计算真子集的个数。
还需要注意的是，真子集个数的计算公式只能给出真子集的数量，而不能给出真子集的具体内容。
要列举出一个集合的所有真子集，需要进行一些额外的计算和操作。
真子集个数的计算公式为2^n - 1，其中n代表集合中元素的个数。
这个公式可以用来计算一个有限集合的真子集个数，但无法应用于无限集合。
在计算真子集个数时，需要注意是否包括空集。
真子集个数的计算公式在数学中有着广泛的应用，对于集合的研究和分析具有重要的意义。
元素个数和子集个数的关系
元素个数和子集个数的关系首先，我们明确一下元素和子集的概念。
在集合论中，元素是指集合中的个体或对象，而子集是指一个集合中的部分元素的组合。
例如，对于集合{1,2,3}，它的子集包括空集、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}和{1,2,3}。
接下来，我们来探讨元素个数和子集个数之间的关系。
假设一个集合中有n个元素，我们要求出该集合的所有子集个数。
首先，我们可以考虑集合中的每一个元素都有两种情况：在该子集中或者不在该子集中。
对于一个n个元素的集合，如果每一个元素都有两种情况，那么总的子集个数就是2^n。
这是因为每个元素都可以选择或者不选择，共有2种选择，所以整个集合可以有2^1*2^2*...*2^n种选择，即2^n种子集。
这个结论可以通过二进制表示来理解，对于n个元素的集合，每个元素可以用二进制的0或1表示，0表示不选择，1表示选择，因此共有2^n种不同的子集。
举例来说，对于一个集合{1,2,3}，它的元素个数是3，根据上述的定理，它的子集个数就是2^3=8、根据上面给出的子集的例子，我们可以验证一下：空集{}、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}和{1,2,3}，一共有8个子集。
除了上述的通用规律之外，还可以通过组合数学的方法来求解元素个数和子集个数之间的关系。
在集合中，每个元素可以选择出现或者不出现，即有两种选择情况。
那么对于n个元素的集合，每个元素都有两种选择，总的选择情况就是2^n种。
所以，对于一个有n个元素的集合，它的子集个数也是2^n。
子集的个数与元素个数之间是一种关系，通过数学公式或者推导可以得到。
在实际应用中，我们常用这种关系来解决一些实际问题。
例如，在计算机科学中，我们可以根据元素的个数预测子集的个数，从而优化算法的设计或者解决一些问题。
总结起来，元素个数和子集个数之间具有简单而有趣的关系。
对于一个集合，如果它有n个元素，那么它的子集个数就是2^n个。
子集和真子集个数公式推导
子集和真子集个数公式推导针对中小学生：《子集和真子集个数公式，轻松推导不发愁》同学们，今天咱们来聊聊子集和真子集个数的公式推导。
比如说，有一个集合{1, 2, 3}。
那它的子集有哪些呢？有一个元素的子集，像{1}、{2}、{3}；有两个元素的子集，像{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}；还有它本身{1, 2, 3}，再加上空集∅。
数一数，一共有8 个。
那咱们来想想怎么推导这个个数呢？假设一个集合里有 n 个元素，对于每个元素，它都有两种可能，要么在子集中，要么不在子集中。
所以总的可能性就是2×2××2（n 个 2 相乘），也就是 2^n 个，这就是子集的个数啦。
真子集呢，就是不包括集合本身的那些子集，所以个数就是 2^n 1 个。
怎么样，是不是没那么难啦？《搞懂子集和真子集个数公式，数学不再难》小朋友们，咱们一起来探索一下神奇的数学世界里的子集和真子集个数公式！就拿咱们班级里的同学来举例子吧。
假设咱们班有 5 个同学，分别是小明、小红、小刚、小美和小亮。
现在咱们把这 5 个同学看成一个集合。
那这个集合的子集都有啥呢？有只有小明一个人的，有只有小红一个人的，还有小明和小红两个人的，小明、小红和小刚三个人的……一直到咱们全班 5 个人都在的，还有空集哦，就是一个人都没有。
那怎么算出有多少个子集呢？咱们来想想，对于每个同学，都有在子集里和不在子集里两种情况。
那 5 个同学，就有2×2×2×2×2 = 32 种情况，这就是子集的个数。
真子集呢，就是不能是全班 5 个人都在的那个，所以就少了 1 个，是 31 个。
这下明白了不？《子集和真子集个数公式，一学就会》同学们，数学里的子集和真子集个数公式其实很简单！比如说，有一个集合{苹果，香蕉，橙子}。
那它的子集有啥？有空集，有只有苹果的，只有香蕉的，只有橙子的，有苹果和香蕉的，苹果和橙子的，香蕉和橙子的，还有这三个都有的。
集合中子集的个数
集合中子集的个数
子集是一个数学概念，对于一个有n个元素的集合而言，其共有2^n个子集。
其中空集和自身。
另外，非空子集个数为2^n -1
真子集个数为2^n -1;
非空真子集个数为2^n -2
定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集。
对于两个非空集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说A ⊆B(读作A包含于B)，或B ⊇ A(读作B包含A)，称集合A是集合B的子集。
扩展资料
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。
集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。
特性
1、互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
2、确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
真子集个数的公式
真子集个数的公式在咱们数学的奇妙世界里，有个很重要的概念叫真子集个数的公式。
这玩意儿听起来好像有点复杂，但其实啊，只要咱好好琢磨，也能轻松拿下。
先来说说啥是真子集。
比如说，一个集合{1, 2, 3}，它的子集有{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}和空集∅，这里面除了{1, 2, 3}这个和原集合一样的子集，剩下的就是真子集啦。
那真子集个数的公式到底是啥呢？答案就是 2^n - 1 ，这里的 n 表示原集合中元素的个数。
就拿前面说的集合{1, 2, 3}来说，元素有 3 个，按照公式 2^3 - 1 = 7，一核对，真子集的个数还真就是 7 个。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷茫地问我：“老师，这公式咋来的呀，感觉好神奇。
”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢捋捋。
”咱先想想，一个集合有 n 个元素，那它的子集个数为啥是 2^n 个呢？咱们可以这样想，对于每个元素，都有两种可能，要么在子集中，要么不在子集中。
所以 n 个元素就有2×2×…×2（n 个 2 相乘）种可能，这就是 2^n 啦。
那为啥真子集个数要减 1 呢？因为减掉的那个 1 就是原集合本身呀，原集合可不是真子集，所以就得把它去掉。
后来啊，为了让同学们更好地理解这个公式，我专门组织了一场小组竞赛。
我给出一些集合，让各个小组快速算出真子集的个数。
同学们那叫一个积极，一个个都争着抢着回答。
有个小组特别厉害，几乎每次都能又快又准地算出答案。
通过这样的方式，大家对真子集个数的公式掌握得那叫一个牢固。
总之啊，真子集个数的公式虽然看起来有点神秘，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就一定能把它拿下。
相信大家在数学的海洋里都能畅游无阻，发现更多有趣的知识！。
高中数学必备的289个公式
高中数学必备的289个公式 第1章集合、命题、不等式、复数1. 有限集合子集个数: 子集个数: 2n 个,真子集个数: 2n ⋅1 个2. 集合里面重要结论:(1) A ∩B =A ⇒A ⊆B ; (2) A ∪B =A ⇒B ⊆A ; (3) A ⇒B ⇔A ⊆B ; (4) A ⇔B ⇔A =B .3. 同时满足求交集, 分类讨论求并集.4. 集合元素个数公式: n (A ∪B )=n (A )+n (B )−n (A ∩B ) .5. 常见的数集: Z : 整数集; R : 实数集; Q : 有理数集; N : 自然数集; C : 复数集; 其中正整数集: Z ∗=N ∗={1,2,3,⋯⋯} .6. 均值不等式: 若 a,b >0 时,则 a +b ≥2√ab ; 若 a,b <0 时,则 a +b ≤−2√ab .7. 均值不等式变形形式: a +b ≥2√ab (a,b ∈R );b a +a b ≥2(ab >0);b a +ab ≤−2(ab <0) .8. 积定和最小: 若 ab =p (p >0) 时,则 a +b ≥2√ab =2√p . 9. 和定积最大: 若 a +b =k 时,则 ab ≤(a+b )24=k 24.10. 基本不等式: 21a +1b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22当且仅当 a =b 时取等号.11. 一元二次不等式的解法: 大于取两边, 小于取中间. 12. 含参数一元二次不等式讨论步骤: (1) 二次项系数 a ; (2) 判别式 Δ ;(3) 两根 x 1,x 2 大小比较;(4) x 1,x 2 与定义域的端点值作比较 (常用韦达定理).13. 一元二次不等式恒成立: (1) 若 ax 2+bx +c >0 恒成立 ⇔{a >0Δ<0(2) 若 ax 2+bx +c ≤0 恒成立 ⇔{a <0Δ≤0.14. 任意性问题: (1)∀x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)max ; (2)∀x∈I,a≤f(x)⇒a≤f(x)min .15. 存在性问题: (1) ∃x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)min;(2)∃x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)min .16. 不等式相同性: 任意x∈D ,证明: f(x)>g(x)⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)>0⇔ℎ(x)min>0 ;存在x∈D ,证明: f(x)≤g(x)⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)≤0⇔ℎ(x)min≤0 .17. 不等式相异性: 任意x1、x2∈D ,证明: f(x1)<g(x2)⇔x∈D,f(x)max<g(x)min ;存在x1、x2∈D ,证明: f(x1)>g(x2)⇔x∈D,f(x)max>g(x)min .18. 距离型目标函数: d=√(x−a)2+(y−b)2可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的距离.19. 斜率型目标函数: k=y−bx−a可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的斜率.20. 线性型目标函数: z=ax+by过可行域内的点(x,y)且体率为−ab 截距为zb的直线.21. p是q充分不必要条件: p⇒q,q≠p ; 则集合关系是: p⊆q .22. p是q必要不充分条件: q⇒p,p⇏q ; 则集合关系是: q⊆p .23. p是q既不充分也不必要条件: p⇏q,q⇏p ; 则集合关系是: p、q无包含关系.24. p是q充要条件: p⇒q,q⇒p ; 则集合关系是: p=q .25. 全称命题及否定形式: P:∀x∈M,p(x);¬P:∃x0∈M,¬p(x0) .26. 特称命题及否定形式: P:∃x0∈M,p(x0);¬P:∀x∈M,¬p(x) .27. 命题否定形式的书写方法: 任意变存在, 存在变任意, 条件不变, 结论否定.28. 共轭复数: z‾=a−bi : (共轭复数与本身的复数实部相同,虚部互为相反数);共轭复数的性质: z×z‾=a2+b2 .29. 复数模长: |z|=|a+bi|=√a2+b2 .30. 复数的除法: z1z2=1⋅z2z⋅z(分子、分母同乘分母的共轭复数).第2章函数31. 几个近似值: √2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236 ,π≈3.142,e ≈2.718,e 2≈7.389, ln3≈1.0986,ln2≈0.693.32. 指数公式: (1)a n m=√a n m; (2)√a n n={|a |,n 为偶数a,n 为奇数.33. 对数公式:(1) a x =N ⇔x =log a N ; (2) a log a N =N ;(3) log a (MN )=log a M +log a N ; (4) log a (MN )=log a M −log a N ; (5) log a M n =nlog a M ; (6) log a a n =n ; (7) log a a =1 ; (8) log a 1=0 ;(9) log a m b n =n m log a b ; (10)log a b =log c blog ca ;(11) log a b =1log ba ; (12) log ab ⋅log bc ⋅log c a =1 .34. 函数定义域的求法: (1) 分式的分母 ≠0 ; (2) 偶次方根的被开方数 ≥0 ; (3) 对数函数的真数 >0 ; (4) 0 次幂的底数 ≠0 ;(5) 正切函数的自变量 x ≠π2+kπ(k ∈Z ) ; (6) 满足几个条件时列不等式组求交集.35. 增函数的标志: (1) 任意 x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2) ; (2) 导函数 f ′(x )≥0 ; (3)f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0 .36. 减函数的标志: (1) 任意 x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2) ; (2) 导函数 f ′(x )≤0 ; (3)f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0 .37. 单调性的快速法: (1) 增 + 增 → 增,增 - 减 → 增; (2) 减 + 减 → 减,减 - 增 → 减; (3) 乘正加常, 单调不变; (4) 乘负取倒, 单调改变.38. 奇偶性的快速法: (1) 奇±奇→奇; 偶±偶→偶;(2) 奇×(÷)奇→偶; 偶×(÷)偶→偶; 奇×(÷)偶→奇.39. 常见的奇函数: y=kx,y=kx,y=sinx,y=tanx,y=x奇数,y=±(e x−e−x);y=ln(√x2+1−x) .40. 常见的偶函数: y=c,y=x2,y=cosx,y=x偶数,y=e x+e−x,y=f(|x|) .41. 函数的周期性: ∀x∈D⇒f(x+T)=f(x) ,则称f(x)为周期函数,其中T为函数的一个周期.42. 周期性标志: (1)f(x+a)=f(x+b)⇒T=|a−b| ;(2) f(x+a)=−f(x)⇒T=2a ;(3) f(x+a)=±1f(x)⇒T=2a43. 对称轴标志: f(x+a)=−f(b−x)⇒对称中心为(a+b2,0) ;如常见的对称中心有: f(x+a)=−f(a−x)⇒对称中心为(a,0);f(x+1)=−f(1−x)⇒对称中心为(1,0) .44. 奇函数的周期性是对称轴的 4 倍: 以y=sinx为例.45. 偶函数的周期性是对称轴的 2 倍: 以y=cosx为例.46. 函数图像平移规则: 横向: 左加右减; 纵向: 上加下减.47. 函数图像翻折变换:f(|x|) : 偶函数, y轴右边图象不变, y轴左边图象由右边图象翻折得到 (偶函数,右不变,右翻左);|f(x)|:x轴上方图象不变, x轴下方图象由上方图象翻折得到 (上不变,下翻上).48. 函数图像伸缩变换: f(wx) : 纵不变,横为原来的1w 倍; Af(x) : 横不变,纵为原来的A倍;49. 零点存在性定理: 函数y=f(x)在区间(a,b)有零点⇔(1)函数y=f(x)在区间(a,b)连续;⇔(2)f(a)f(b)<0.50. 解与零点的关系: 方程f(x)=0的解⇔函数y=f(x)的解.51. 零点与交点的关系: 函数y=f(x)−g(x)的零点个数:⇔方程f(x)−g(x)=0的解的个数;⇔方程f(x)=g(x)的解的个数;⇔函数y1=f(x),y2=g(x)图象交点的个数.注意: 两个函数y1=f(x),y2=g(x)图象可画,两函数为常见函数.52. 常函数的导数: f(x)=C ,则f′(x)=0 ;53. 幂函数的导数: f(x)=xα(α∈Q) ,则f′(x)=αxα−1 ;54. 正弦函数的导数: f(x)=sinx ,则f′(x)=cosx ;55. 余弦函数的导数: f(x)=cosx ,则f′(x)=−sinx ;56. 指数函数的导数: f(x)=a x ,则f′(x)=a x lnx (特别地f(x)=e x ,则f′(x)=e x );57. 对数函数的导数: f(x)=log a x ,则f′(x)=1xlna (特别地f(x)=lnx ,则f′(x)=1x);58. 和差求导数法则: [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) ;59. 乘法求导数法则: [f(x)⋅g(x)]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x) ;60. 商的求导数法则: [f(x)g(x)]′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2.61. 复合函数求导数法则: 若y=f[g(x)] ,令t=g(x) ,则y=f(t)⇒y′=f′(t)t′= f′[g(x)]⋅g′(x) .62. 切线l的方程: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) ,其中切点: P(x0,y0) ; 斜率: k=f′(x0) .63. 切点的三大性质:(1) 切点的斜率等于该点的导函数值; 即k=f′(x0) ;(2) 切点在曲线y=f(x)上;(3) 切点在切线l上.64. 常见的不定积分表:65. 积分的性质:(1) ∫kf (x )dx =k∫f (x )dx(2) ∫[f (x )+g (x )]dx =∫f (x )dx +∫g (x )dx . 66. 积分的几何意义: 面积就是积分值.定义在 [a,b ] 上的函数 f (x ) 与 x 轴, x =a,x =b,y =f (x ) 构成曲边梯形的面积就为 f (x ) 在 [a,b ] 的定积分值.S =∫f ba (x )dx67. 求积分的三种思路: (1) 牛莱公式 (牛顿 - 莱布尼兹公式); (2) 奇偶性质; (3) 转圆求面积.68. 奇偶函数求积分: (1) 奇函数对称区间上积分为 0 ; (2) 偶函数对称区间上积分为 [0,a ] 的 2 倍.69. 转圆求积分: (1) ∫√a 2−x 2a−a dx =12πa 2 (半圆); (2) ∫√42−x 220dx =14π22=π (四分之一圆).70. 牛顿 - 莱布尼兹公式: ∫f ba (x )dx =F (x )|ab =F (b )−F (a ) . 其作用: 计算曲边梯形的面积.71. 函数有零点: f (x )max ≥0 且 f (x )min ≤0⇔{f (x )min ≤0f (x )max ≥0 .72. 函数无零点: f (x )max ≤0 或 f (x )min ≥0 .73. 抽象函数具体化: 若构造一个具体的特殊函数满足所有的已知条件, 那么这个具体函数一定是符合所求问题的一个函数.74. 抽象函数对数型: 若 f (xy )=f (x )+f (y ) ,则 f (x )=log a x . 75. 抽象函数指数型: 若 f (x +y )=f (x )f (y ) ,则 f (x )=a x . 76. 抽象函数正比型: 若 f (x +y )=f (x )+f (y ) ,则 f (x )=kx . 77. 抽象函数一次型: 若 f ′(x )=c ,则 f (x )=cx +b .78. 抽象函数导数型: 若 f ′(x )=f (x ) ,则 f (x )=ke x 或 f (x )=0 . 79. 指数不等式: e x ≥x +1 (当且仅当 x =0 时 “ = ” 成立). 80. 对数不等式: lnx ≤x −1 (当且仅当 x =1 时 “ = ” 成立).81. 指对综合不等式: {e x ≥x +1lnx ≤x −1⇒ln (x +1)≤x ≤e x −1 (当且仅当 x =0 时 “ = ”成立).82. 绝对值不等式: |a |−|b |≤|a ±b |≤|a |+|b | .83. 函数绝对值不等式: |f (x 1)−f (x 2)|≤a ⇔f (x )max −f (x )min ≤a .84. 柯西不等式: (1) 向量模型: |a ⃗||b ⃗⃗|≥|a ⃗⋅b ⃗⃗| ; (2) 数字模型: √x 12+y 12√x 22+y 22≥x 1x 2+y 1y 2 .85. 伯努利不等式: {(1+x )n ≥x n +nx;n ≥1(1+x )n ≤1+nx;0≤n ≤186. 洛必达法则: lim x→af (x )g (x )=lim x→af ′(x )g ′(x ) (当 f (x )g (x )→00 或 ∞∞ 时使用)87. 恒成立问题: (1)a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ;(2)a <f (x )⇔a <f (x )min 88. 证明 f (x )>g (x ) 思路: 思路 1:ℎ(x )=f (x )−g (x )⇔ℎ(x )>0 (常规首选方法) 思路 2:f (x )min >g (x )max (思路 1 无法完成)第3章数列89. 等差数列通项公式: a n =a 1+(n −1)d =kn +b (一次函数模型) 90. 等差数列前 n 项和公式: S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d =An 2+Bn (二次函数模型)91. 等比数列通项公式: a n =a 1q n−1 92. 等比数列前 n 项和公式: S n =a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q=A −Aq n93. 等差数列的性质: 若 m +n =p +q ,则 a m +a n =a p +a q 94. 等比数列的性质: 若 m +n =p +q ,则 a m a n =a p a q 95. 等差中项: 若 a,A,b 成等差数列,则 2A =a +b 96. 等比中项: 若 a,G,b 成等比数列,则 G 2=ab97. 裂项相消法 1: 若 1n (n+1)=1n −1n+1 ,则有 Tn =1−1n+1=nn+198. 裂项相消法 2: 若 1n (n+2)=12(1n −1n+2) ,则有 Tn =12(1+12−1n+1−1n+2)=3n 2+5n4(n+1)(n+2)99. 裂项相消法 3: 若 1an+1a n=1d (1a n−1an+1) ,则有 T n =1d (1a 1−1an+1)100. 裂项相消法 4: 若 1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1) ,则有 T n =12(1−12n+1) 101. 分组求和法: S n =(1+12)+(3+14)+(5+16)+⋯⋯+[(2n −1)+12n ]=(1+3+⋯⋯+2n −1)+(12+14+16+⋯⋯+12n )102. 错位相减法求和通式: 当 c n =a n ⋅b n (a n 与 b n 其中一个是等差数列一个是等比数列) 时,使用错位相减法,此时T n =a 1b 11−q +dp (b 1−b n )(1−q )2−a n b n q1−q103. 自然数的平方和: 12+22+32+⋯⋯+n 2=n (n+1)(2n+1)6104. 自然数立方和: 13+23+33+⋯⋯+n 3=n 2(n+1)24105. 去 S n 留 a n 思想: S n =f (a n )⇒{S n =f (a n )S n+1=f (a n+1)⇒a n+1=f (a n+1)−f (a n )106. 去 a n 留 S n 思想: a n =f (S n )⇒a n+1=S n+1−S n ⇒S n+1−S n =f (S n )第4章三角函数107. 三角函数的定义: 正弦: sinα=yr ; 余弦: cosα=xr ; 正切: tanα=yx ; 其中: r =√x 2+y 2 .108. 诱导公式: π 倍加减名不变,符号只需看象限; 半 π 加减名要变,符号还是看象限 109. 和差公式: (1)sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ ( 伞科科伞,符号不反 ) (2) cos (α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ ( 科科伞伞,符号相反 ); (3) tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ (上同下相反). 110. 二倍角公式: (1)sin2α=2sinαcosα ;(2) cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1 ;(3) tan2α=2tanα1−tan2α.111. 平方关系: (1)sin2α+cos2α=1 ; (2)(sinα±cosα)2=1±sin2α .112. 降幂公式: (1) sinαcosα=sin2α2 ; (2) sin2α=1−cos2α2; (3) cos2α=1+cos2α2.113. 齐次式求值: (1) sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1; (2) sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1.114. 辅助角公式: asinwx+bcoswx=√a2+b2sin(wx±φ) . (tanφ=ba,a,b>0) .115. 三角函数不等式: sinx≤x≤tanx在x∈(0,π2)时恒成立.116. y=sinx单调性: 增区间: [−π2+2kπ,π2+2kπ] ; 减区间: [π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z) .117. y=cosx单调性: 增区间: [−π+2kπ,2kπ] ; 减区间: [2kπ,π+2kπ](k∈Z) .118. y=tanx单调性: 增区间: (−π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z) .119. 对称轴方程: (1)y=sinx对称轴方程: x=π2+kπ(k∈Z) ; (2)y=cosx对称轴方程: x=kπ(k∈Z) .120. 对称中心: (1)y=sinx的对称中心: (kπ,0)(k∈Z) ;(2) y=cosx的对称中心: (π2+kπ,0)(k∈Z) ;(3) y=tanx的对称中心: (kπ2,0)(k∈Z) .121. 周期性: (1) y=sinwx的周期: T=2πw ; (2) y=coswx的周期: T=2πw; (3) y=tanwx的周期: T=πw.122. 正弦定理: asinA =bsinB=csinC=2R123. 余弦定理: (1)cosA=b2+c2−a22bc⇔a2=b2+c2−2bccosA ;(2) cosB=a2+c2−b22ac⇔b2=a2+c2−2accosB ;(3) cosC=a2+b2−c22ab⇔c2=a2+b2−2abcosC .124. 射影定理: acosB+bcosA=c,acosC+ccosA=b,bcosC+ccosB=a . 125. 边大角大思想: 大角对大边,大边对大角. a>b⇔sinA>sinB⇔A>B .126. 边变角思想:(1) 根据正弦定理: a =2RsinA,b =2RsinB,c =2RsinC ; (2) “ = ”两边为边、角 (正弦) 同次式; (3) 正余弦的混合组. 127. 角变边思想:(1) 根据正弦定理: sinA =a2R ,sinB =b2R ,sinC =c2R ; (2) “ = ”两边为边、角 (正弦) 同次式; (3) 只有一个余弦 (cos).128. 正弦定理使用情况: 已知条件为: AAS 、ASA 、边角同次式、角多用正弦. 129. 余弦定理使用情况: 已知条件为: SSS 、SAS 、边的二次式、边多用余弦. 130. 三角形两角和关系: sin (A +B )=sinC;cos (A +B )=−cosC;tan (A +B )=−tanC .131. 正弦值双相等: 若 sinA =sinB ⇒A =B ⇒ 等腰三角形. 132. 正余弦值相等: sinA =cosB ⇔A +B =π2⇒ 直角三角形;⇔A −B =π2⇒A =π2+B >π2⇒钝角三角形.133. 余弦值双相等: cosA =cosB ⇔A =B ⇒ 等腰三角形. 134. 二倍正弦值相等: sin2A =sin2B ⇔2A =2B ⇒ 等腰三角形;⇔2A +2B =π⇒A +B =π2⇒直角三角形.135. 余弦值正负号: cosA >0⇔ 锐角三角形; cosA =0⇔ 直角三角形; cosA <0⇔ 钝角三角形.136. 三角形最值原理: 三角形中一个角及其对边已知时, 另外两边或两角相等时周长取得最小值, 面积取得最大值.第5章向量137. 向量加法的作图: 上起下终,中间消去: AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 138. 向量减法的作图: 起点相同,倒回来读: AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .139. 向量平行的判定: (1) 向量法: a ⃗//b ⃗⃗⇔b ⃗⃗=λa ⃗ ; (2) 向量法: a ⃗//b⃗⃗⇔x 1y 2−x 2y 1=0 .140. 向量垂直的判定: (1) 向量法: a ⃗⊥b ⃗⃗⇔a ⃗⋅b ⃗⃗=0 ; (2) 坐标法: a ⃗⊥b⃗⃗⇔x 1x 2+y 1y 2=0 .141. 向量的数量积公式: (1) 向量法: a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ ;(2) 坐标法: a ⃗⋅b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 .142. 向量的模长公式: (1) 向量法: |a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b⃗⃗)2(先平方,再开方); (2) 坐标法: |a ⃗|=√x 12+y 12.143. 向量的投影: (1) a ⃗ 与 b ⃗⃗ 方向的投影: |a ⃗|cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| ; (2) b ⃗⃗ 与 a ⃗ 方向的投影: |b ⃗⃗|cosθ=a ⃗⃗⋅b⃗⃗|a ⃗⃗|. 144. 向量的夹角公式: (1) 向量法: cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗|⋅|b ⃗⃗| ; (2) 坐标法: cosθ=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2145. a ⃗ 方向上的单位向量: (1) 向量法: e ⃗⃗=a ⃗⃗|a ⃗⃗| ; (2) 坐标法: e ⃗⃗=a⃗⃗|a ⃗⃗|=(1√x 1+y 11√x 1+y 1) .146. 证明 A.B.C 三点共线两种方法: (1) 两个向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且有一个公共点 A ; (2) PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(x +y =1) . 第6章立体几何147. 线线平行三方法:(1) 线面平行的性质: 一条直线和一个平面平行, 过这条直线的平面和已知平面相交的交线和已知直线平行;(2) 面面平行的性质: 第三个平面与两个平行平面相交, 则两条交线平行; (3) 线面垂直的性质: 垂直于同一平面的两条直线互相平行.148. 线线垂直两方法: 线面垂直的性质: 一条直线垂直一个平面, 这条直线垂直这个平面内的所有直线. 149. 线面平行两方法:(1) 线面平行的判定: 线线平行 ⇒ 线面平行 (一内一外一平行);(2) 面面平行的性质: 两个平面平行, 一个平面内任意直线平行第二个平面. 150. 面面平行两方法:(1) 面面平行的判定: 线面平行 ⇒ 面面平行 (两内一交两平行);(2) 面面平行的推论: 两个平面内两组相交直线分别对应平行, 则这两个平面平行. 151. 线面垂直两方法:(1) 线面垂直的判定: 线线垂直 ⇒ 线面平行 (两内一交两垂直);(2) 面面垂直的性质: 两个平面垂直, 一个平面内垂直于交线的直线必垂直第二个平面.152. 面面垂直一方法:(1) 面面垂直的定义: 两个平面的二面角为 90∘ ;(2) 面面垂直的判定: 线面垂直 ⇒ 线面平行 (一内一垂直) 153. 证明四点共面三方法: (1) 两平行条线确定一个平面; (2) 两条相交直线确定一个平面; (3) 直线及直线外一点确定一个平面.154. 证明三点共线原理: 两个平面有一个公共点, 那么两个平面有且仅有一条过该点的直线.155. 证明三点共线方法:(1) A 分别属于两个平面 a,β:A ∈a,A ∈β ; (2) B,C 在平面 α,β 的交线 l 上: a ∩β=l,B,C ∈l ; (3) A ∈l 即: A,B,C ∈l . 即 A,B,C 三点共线.156. 法向量行列式公式: m ⃗⃗⃗=(|y 1z 1y 2z 2|,−|x 1z 1x 2z 2|,|x 1y 1x 2y 2|) . 其中 |abc d|=ad −bc . 157. 线线角向量法公式: cosθ=|a ⃗⃗⋅b⃗⃗||a ⃗⃗|⋅|b⃗⃗| ,其中 θ∈(0,π2] .158. 线面角: (1) 向量法公式: sinθ=|a ⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗||a ⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗| ; (2) 几何法公式: sinθ=ℎx a其中 θ∈[0,π2] .159. 二面角: (1) 向量法公式: cosθ=±|n ⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗| ; (2) 几何法公式: cosθ=S 射影S原图; 其中θ∈(0,π] .160. 点面距: (1) 向量法公式: ℎx =|m ⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|; (2) 几何法公式: ℎx =S 1ℎ1S 2.161. 不定点设法: (1)P 在线段 AB 上: AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t ∈[0,1]) ; (2)P 在直线 AB 上: AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t ∈R ) . 162. 多面体的内切球半径: r =3VS表=3VS1+S 2+⋯⋯+S n.163. 长方体的外接球半径: 2R =√a 2+b 2+c 2 . 164. 直棱锥的外接球半径: {R 2=r 2+(ℎ2)22r =asinA(直棱柱,圆柱也满足).165. 正棱锥的外接球半径: {R 2=r 2+(ℎ−R )22r =a sinA (正四面体,圆锥也满足). 166. 正三角形的性质: 高: ℎ=√32a ,面积: S =√34a 2 . 167. 正三角形与圆: 内切圆半径: r =√36a ,外接圆半径: R =√33a ,且 R r=21 .168. 正四面体的高: 斜高: ℎ斜 =√32a ,正高: ℎ正 =√63a . 169. 正四面体与球: 内切球半径 r ,外接球半径 R ,且 Rr =31 且 r +R =ℎ正 .第7章解析几何170. 圆的定义: 若 AB 为定长, PA ⊥PB ,则 P 的轨迹为以 AB 为直径的圆.171. 椭圆的定义: 若 |PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|) ,则 P 的轨迹为以 F 1F 2 为焦点, 2a 为长轴的椭圆.172. 双曲线的定义: 若 ∥PF 1∥−|PF 2|=2a (2a <|F 1F 2|) ,则 P 的轨迹为以 F 1F 2 为焦点, 2a 为实轴的双曲线.173. 抛物线的定义: 到定点F(p2,0)和到定直线: x=−p2的距离相等的点P的轨迹为抛物线.174. 求曲线方程常见的方法: (1) 直接法; (2) 代入法; (3) 定义法; (4) 待定系数法. 175. 直线的斜率存在时可设方程: y=kx+b ; 直线过y轴上点为B(0,b)且不垂直于x轴.176. 不需讨论斜率是否存在可直接设直线方程: x=my+a ; 直线过x轴上点为A(a,0)且不平行于x轴.177. 直线平行: l1//l2⇔k1=k2(b1≠b2) ; 或A1B2−A2B1=0 .178. 直线垂直: l1⊥l2⇔k1k2=−1 ; 或A1A2+B1B2=0 .179. 点到点的距离公式: |AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2 .180. 点到直线的距离公式: d=00√A2+B2.181. 平行直线与平行直线之间的距离公式: d=12√A2+B2.182. 直线方程:(1) 斜截式: y=kx+b ; (2) 点斜式: −y0=k(x−x0) ; (3) 截距式: xa +yb=1 ;(4) 两点式: y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2,y1≠y2) ; (5) 一般式: Ax+By+C=0 .183. 平行直线系方程: 原直线方程为Ax+By+C=0 ;平行直线可设为: Ax+By+λ=0(λ≠C)(A,B相同,C不相同) . 184. 垂直直线系方程: 原直线方程为Ax+By+C=0 ;垂直直线可设为: Bx−Ay+λ=0(A,B互换,符号变反).185. 交点直线系方程: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 .186. 直线一般式与斜截式的互换: k=−AB ,b=−CB.187. 直线的斜率公式: k=tanα,k=y2−y1x2−x1.188. 斜率取值范围确定: 过定点,作垂线; 有交点,两k外; 无交点,两k间. 189. 圆与圆的位置关系:(1) 相离: 公切线条数 4 条, d>R+r ; (2) 外切: 公切线条数 3 条, d=R+r ;(3) 相交: 公切线条数 2 条, R −r <d <R +r ; (4) 内切: 公切线条数 1 条, d =R −r ;(5) 内含: 无公切线, 0≤d <R −r .190. 通用弦长公式: l =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2,l =√(1+1k 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2] .191. 圆的弦长公式: l =2√r 2−d 2 .192. 圆的切线长公式: 圆外一点 P 引圆的切线,其中一个切点为 C,|PC |=√|PO|2−r 2 .193. 椭圆的离心率公式: e =c a=√1−b 2a 2∈(0,1) .194. 双曲线的离心率公式: e =ca=√1+b 2a 2=√1+k 渐2∈(1,+∞) . 195. 离心率范围: (1) 椭圆 e ∈(0,1) ; (2) 双曲线 e ∈(1,+∞) ; (3) 抛物线 e =1 . 196. 双曲线的渐近线方程: y =±ba x . 197. 双曲线的焦渐距为:b (虚半轴). 198. 通径公式 2t:(1) 椭圆、双曲线: 2t =2b 2a 2; (2) 抛物线: 2t =2p .199. 焦半径公式 (带坐标): 圆锥曲线上点 M (x 0,y 0) 到焦点 F 的距离:(1) 椭圆中: |MF |=a ±ex 0 ; (2) 双曲线: |MF |=ex 0±a ; (3) 抛物线: |MF |=x 0+p 2. 200. 焦半径公式 (倾斜角): t(1±ecosα)(1) 椭圆中: b 2a (1±ecosα) ; (2) 双曲线: b 2a (1±ecosα) ; (3) 抛物线: p1±cosα .201. 焦点弦公式 (倾斜角): 2t(1−e 2cos 2α)(t: 半通径; α : 焦点弦倾斜角; e : 离心率) (1) 椭圆中: 2b 2a (1−e 2cos 2α) ; (2) 双曲线: 2b 2|a (1−e 2cos 2α)| ; (3) 抛物线: 2psin 2α .202. 切线方程: (1) 椭圆: x 0xa 2+y 0yb 2=1 ; (2) 双曲线: x 0xa 2−y 0y b 2=1 ; (3) 抛物线: y 0y =p (x 0+x ) .203. 抛物线的焦点弦长: l =x 1+x 2+p =k 2p+2p k 2+p =2k 2p+2pk 2=2k 2+2k 2p =2psin 2α .204. 焦点三角形面积: (1) 椭圆中: S △F 1MF 2=b 2tan θ2 ; (2) 双曲线: S △F 1MF 2=b 2cot θ2 ; (3) 通用面积: S △F 1MF 2=12d 1d 2sinθ . 205. 过圆锥曲线焦点的直线的倾斜角公式:(1) 椭圆中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ−1λ+1| .(2) 双曲线中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ−1λ+1|(A 、B 在同一支上时);λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ+1λ−1|(A 、B 分别在两支上时). (3) 抛物线中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF ||BF |,|cosθ|=|λ−1λ+1| . 206. 抛物线焦点弦圆: 以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切. 207. 抛物线焦点弦性质: 1|AF |+1|BF |=2p . 208. 抛物线焦点直线的韦达定理: {y =k (x −p2)y 2=2px,x 1x 2=p 24,x 1+x 2=k 2+2k 2p,y 1y 2=−p 2,y 1+y 2=2p k.209. 点差法的斜率公式: k 椭 =−b 2x 0a 2y 0,k 双 =b 2x 0a 2y 0,k 抛 =py 0.210. 解析几何中的向量问题: OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+x 2,y 1+y 2) . 211. 向量与夹角问题:(1) ∠AOB 钝角 ⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 ,(注意排除夹角为 180∘ 时两向量的数量积也是小于 0 的);(2) ∠AOB 锐角 ⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0 ,(注意排除夹角为 0∘ 时两向量的数量积也是大于 0 的);(3) ∠AOB 直角 (OA ⊥OB )⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 . 212. 向量与圆的问题: P 与以 AB 为直径的圆的位置关系: (1) P 在圆内: ∠APB 钝角或 P 在 AB 之间时 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 ;(2) P 在圆上: ∠APB 直角 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ; (3) P 在圆外: ∠APB 锐角 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0 . 213. 坐标轴平分角问题: k 1=−k 2⇔k 1+k 2=0 .214. 定点与定值问题: 特殊位置, 锁定答案; 设而不求, 再作验证; 215. 均值思想:当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量的最值, 当这两个正数变量相等时, 则所求变量取得最值.第8章概率统计216. 简单随机抽样: 随机数表法、抽签法 (抓阄法).217. 系统抽样: 按等差数列通项抽取,其中第 i 个编号为 a i =a 1+(i −1)d . 218. 分层抽样: 按比例抽取 n N =n 1N 1=n 2N 2=n3N 3=⋯⋯ .219. 频率分布直方图的频率 = 小矩形面积: f i =S i =y i ×d =ni N ; 频率 = 频数 / 总数.220. 频率分布直方图的频率之和: f 1+f 2+⋯⋯+f n =1 ; 同时 S 1+S 2+⋯⋯+S n =1 .221. 频率分布直方图的众数: 最高小矩形底边的中点. 222. 频率分布直方图的平均数:x ―=x 441f 1+x 4⋅2f 2+x 443f 3+⋯⋯+x 4⋅n f n ; x―=x 4⋅1S 1+x 4⋅2S 2+x 4⋅3S 3+⋯⋯+x 4⋅n S n .223. 频率分布直方图的中位数: 从左到右或者从右到左累加,面积等于 0.5 时 x 的值. 224. 频率分布直方图的方差: s 2=(x +1−x ‾)2f 1+(x +2−x ‾)2f 2+⋯⋯+(x +n n −x ‾)2f n .225. 线性回归方程: y ̂=b ̂x +a ̂,b ̂=∑(x i −x ‾)ni=1(y i −y ‾)∑(x i−x ‾)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx ‾⋅y ‾∑x i2n i=1−nx ‾2,a ̂=y ‾−b ̂x ‾ . 226. 线性回归直线方程必过样本中心点: (x ‾,y ‾) . 227. 斜率 b̂ 的意义: b ̂>0 : 正相关; b ̂<0 : 负相关. 228. 残差: êi =y i −y ̂i (残差 = 真实值 - 预报值),分析: |êi | 越小拟合效果越好.229. 残差平方和: ∑(y i −y ̂i )2n i=1=(y 1−y ̂1)2+(y 2−y ̂2)2+⋯⋯+(y n −y ̂n )2 ,分析: 越小拟合效果越好.230. 拟合度 (相关指数): R 2=1−∑(y i −y ̂i )2n i=1∑(y i −y‾)2n i=1 ,分析: (1)R 2∈(0,1];(2)R 2 越接近 1,拟合效果越好. 231. 线性相关系数 r :r =∑()n i=1()√∑(x i −x ‾)2n i=1∑(y i −y ‾)2n i=1=∑(x y −x y‾−x ‾y +x ‾⋅y ‾)n √∑(x i 2−2x i ⋅x ‾+x ‾2)n i=1∑(y i 2−2y i ⋅y‾+y ‾2)n i=1=∑x i n i=1y i −(x 1+x 2+⋯⋯+x n )y 1+y 2+⋯⋯+y n n −x 1+x 2+⋯⋯+x nn(y 1+y 2+⋯⋯+y n )+√[∑x i 2n i=1−2n x 1+x 2+⋯⋯+x n n ⋅x +nx 2][∑y i 2n i=1−2n y 1+y 2+⋯⋯+y n n⋅y +ny 2]=∑x i n i=1y i −n(x 1+x 2+⋯⋯+x n )n ×y 1+y 2+⋯⋯+y n n −x 1+x 2+⋯⋯+x n n ×(y 1+y 2+⋯⋯+n√[∑x i 2n i=1−2nx ⋅x +nx 2][∑y i 2n i=1−2ny ⋅y +ny 2]=∑x n y −nx‾⋅y ‾−nx ‾⋅y ‾+nx ‾⋅y ‾√(∑x i 2n i=1−nx ‾2)(∑y i 2n i=1−ny‾2)=∑x n y −nx‾⋅y ‾√(∑x i 2n i=1−nx ‾2)(∑y i 2n i=1−ny‾2)232. 相关系数 r 分析: (1)r ∈[−1,1] 的常数;(2)r >0 : 正相关; r <0 : 负相关;(3) |r |∈[0,0.25] ,相关性很弱; |r |∈(0.25,0.75) ,相关性一般; |r |∈[0.75,1] ,相关性很强.233. 独立性检验 2×2 列联表:234. 独立性检验公式: k 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). 235. 独立性检验步骤: (1) 计算观察值 k 2 ; (2) 查找临界值 k 0 ; (3) 下结论.236. 常见的排列问题: 任职问题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题. 237. 排列公式: A n m =n!(n−m )!=n (n −1)⋯⋯(n −m +1),(0!=1) .238. 排列数性质: 性质 1:A n m =nA n−1m−1 ; 性质 2:A n m =mA n−1m−1+A n−1m .239. 常见的组合问题: 产品抽查问题、一次性抽取问题240. 组合公式: C nm =A nm A mm =n!m!(n−m )!=n (n−1)⋯⋯(n−m+1)m (m−1)⋯⋯3×2×1,(C n 0=1,C n n=1) .241. 组合数的性质: C n m =C n n−m ,C n+1m =C n m +C n m−1. 242. 常见排列组合顺口溜:特殊元素先考虑, 特殊位置先安排; 分类讨论找特殊, 分类复杂对立法; 相邻问题捆绑法, 间隔问题插空法; 定序问题除阶乘, 定序限制乘比例; 染色问题多到少, 对角之时须讨论; 平均分组除阶乘, 非平分组即组合; 先分后排须谨记, 后排即乘全排列. 243. 古典概型公式: P (A )=n A n Ω.244. 几何概型公式: P (A )=lA l Ω=S A S Ω=V A V Ω=αA αΩ.245. 几何概型中面积问题: 积分问题、双变量问题、线性规划问题. 246. 任意事件概率公式: P (A ∪B )=P (A )+P (B )−P (A ∩B ) . 247. 互斥事件概率公式: P (A +B )=P (A )+P (B ) .248. 对立事件概率公式: P (A‾)=1−P (A ) (题目含有“至多、至少等关键词”). 249. 条件概率公式: P (B ∣A )=P (ABA )=n AB n A.250. 独立事件概率公式: P (AB )=P (A )P (B ) .251. 独立事件的性质: 若 A 与 B 独立,则 A 与 B‾、A ‾ 与 B 、A ‾ 与 B ‾ 也独立. 252. 独立事件至少有一个发生概率公式: P (A ∪B )=1−P (A ‾⋅B ‾) . 253. 超几何分布的概率公式: P (x =k )=C M k C N−Mn−kC Nn .254. 超几何分布的均值公式: E (X )=n MN .255. 无放回抽取: ①一次性抽取 ⇒ 超几何分布; ② 逐一抽取 ⇒ 独立事件. 256. 有放过抽取: 等可能性 ⇒ 二项分布.257. 二项分布的概率公式: P (x =k )=C n k p k (1−p )n−k .258. 二项分布的性质: 有限性、等可能性、独立性.259. 二项分布的均值与方差: E (X )=np ; 方差: D (X )=np (1−p ) . 260. 均值公式: E (X )=x 1p 1+x 2p 2+⋯⋯+x n p n261. 方差公式: D (X )=[x 1−E (x )]2p 1+[x 2−E (x )]2p 2+⋯⋯+[x n −E (x )]2p n . 262. 正态分布 X ∼N (μ,σ2):μ : 期望 E (X );σ : 标准差 √D (X ) . 263. 正态分布对称性: 图像关于直线 x =μ 成对称轴. 264. 正态分布全区间概率: P (x ∈R )=∫φ+∞−∞(x )dx =1 265. 正态分布半区间概率: P (x ≤μ)=∫φμ−∞(x )dx =0.5 266. 正态分布 3σ 区间概率: P (μ−σ<x <μ+σ)=0.6826 ;P (μ−2σ<x <μ+2σ)=0.9545; P (μ−3σ<x <μ+3σ)=0.9973.267. 二项式定理展开式: (ax +b )n =C n 0(ax )n b 0+C n 1(ax )n−1b +⋯⋯+C n k (ax )n−k b k +⋯⋯+C n n b n . 268. 两个系数: 其中 (ax +b )n 展开式中第 r +1 项为: T r+1=C n r (ax )n−r b r =C n r a n−r b r x n−r . (1) 二项式系数: C n r ; (2) 项的系数: C n r a n−r b r .269. 所有二项式系数为 2n :C n 0+C n 1+C n 2+⋯⋯+C n n =2n .270. 所有奇数项、偶数项二项式系数为 2n−1:C n 0+C n 2+C n 4+⋯⋯=2n−1;C n 1+C n 3+C n 5+⋯⋯=2n−1 .271. 展开式系数和:(ax +b )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯⋯+a n x n ,若求系数和时,令 x =1 代入二项式中可得系数和为 (a +b )n . 272. (ax +b )n 奇偶项系数和: 令 x =1 时, a 0+a 1+⋯⋯+a n =(a +b )n ①令 x =−1 时, a 0−a 1+a 2−a 3+⋯⋯=(−a +b )n ② (将①、②相加减即可得到). 273. 其他赋值: 令 x =12 时, a 0+a 12+a 24+a 38+⋯⋯+a n2n =(12a +b)n.274. 系数提前: 求导后令 x =1 时, a 1+2a 2+3a 3+⋯⋯+na n =an (a +b )n−1 .第9章极坐标与参数方程275. 极坐标方程与直角坐标方程互换: {ρ=√x 2+y 2,tanθ=y x (x ≠0)x =ρcosθ,y =ρsinθ,x 2+y 2=ρ2 .276. 极坐标点 M (ρ,θ) 的意义: ρ=|OM |,θ=∠xOM .277. 过原点且倾斜角为 α 的直线极坐标方程: θ=α(ρ∈R ) .278. 过原点且倾斜角为 α 的射线极坐标方程: θ=α 或 θ=α(ρ≥0) . 279. 极坐标方程为 θ=α(ρ∈R ) 的直线上两点的距离公式: |AB |=|ρ1−ρ2|,|OA |=ρ1,|OB |=ρ2 .280. 直线的参数方程: {x =a +tcosαy =b +tsinα(t 为参数).281. 圆的参数方程: {x =a +rcosθy =b +rsinθ(θ 为参数). 282. 椭圆的参数方程: 焦点在 x 轴上时: {x =acosθy =bsinθ ( θ 为参数); 焦点在 y 轴上时: {x =bcosθy =asinθ( θ 为参数). 283. 双曲线的参数方程: 焦点在 x 轴上时: {x =asecθy =btanθ(θ 为参数); 焦点在 y 轴上时: {x =bcotθy =acscθ(θ 为参数). 284. 抛物线的参数方程:焦点在 x 轴上时 y 2=±2px:{x =±2pt 2y =2pt (t 为参数 ); 焦点在 y 轴上时 x 2=±2py:{x =2pt y =±2pt 2 ( t 为参数). 285. 参数方程的意义: {x =f (θ)y =g (θ)(θ 为参数 ) 上的任意点 P 的坐标可表示成: P(f (θ),g (θ)) . 286. 直线参数 t 的意义 1: |PA |=|t 1|,|PB |=|t 2| .287. 直线参数 t 的意义 2: |PA ||PB |=|t 1t 2| .288. 直线参数 t 的意义 3: |AB |=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2 .|t1+t2|t1、t2同号|t1−t2|t1、t2异号 .289. 直线参数t的意义 4: |PA|+|PB|=|t1|+|t2|={。
集合子集个数公式推导
集合子集个数公式推导英文回答：To derive the formula for the number of subsets of a set, let's start with a simple example. Consider a set with only one element, let's say {a}. In this case, the set has two subsets: the empty set {} and the set itself {a}. So, we can see that for a set with n elements, there are 2^n subsets.Now, let's consider a set with two elements, {a, b}. In this case, we have the following subsets: {}, {a}, {b}, and {a, b}. So, for a set with two elements, there are 2^2 = 4 subsets.To generalize this pattern, we can use the concept of binary representation. Each element in the set can be represented by a binary digit, where 1 represents the inclusion of the element in a subset, and 0 represents the exclusion of the element. For example, in the set {a, b},the subset {a} can be represented as 10 (since a is included and b is excluded), and the subset {a, b} can be represented as 11 (since both a and b are included).With this binary representation, we can see that for a set with n elements, there are 2^n possible combinations of including or excluding each element. Each combination represents a unique subset of the set. Therefore, the formula for the number of subsets of a set with n elements is 2^n.中文回答：要推导出集合的子集个数公式，我们可以从一个简单的例子开始。
真子集的个数的公式
真子集的个数的公式
1. 知识点回顾：子集与真子集的概念。
- 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B 的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。
- 真子集：如果A⊆ B，并且A≠ B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⊂neqq B（或B⊃neqq A）。
2. 真子集个数公式的推导。
- 设集合A中有n个元素。
- 对于子集个数，集合A的子集是由A中的元素组成的集合，对于A中的每个元素，在子集中都有两种可能：包含该元素或不包含该元素。
那么子集的个数就是2×2×·s×2 = 2^n（n个2相乘）。
- 真子集个数：因为真子集不包括集合A本身，所以真子集的个数为2^n - 1。
3. 示例。
- 例如集合A=<=ft{1,2,3}，n = 3。
- 它的子集个数为2^3=8个，分别是
varnothing,<=ft{1},<=ft{2},<=ft{3},<=ft{1,2},<=ft{1,3},<=ft{2,3},<=ft{1,2,3}。
- 它的真子集个数为2^3 - 1=7个，分别是
varnothing,<=ft{1},<=ft{2},<=ft{3},<=ft{1,2},<=ft{1,3},<=ft{2,3}。
子集的个数有多少
探索方向2、从元素ai是否出现在子集S1中的角度考虑
结论：n元集合A={a1,a2,……,an}的不同子集有2n个。
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意 a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为 A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含 集合A”。 即：∀a∈A有a∈B，则A⊆B。
预习清单
预习任务二：通过预习，让学生完成低元集合的子集的列举，从而数出子集个数。
1、当n=3时，3元集合
预习清单
预习任务一：弄清元素、集合、子集等概念；
预习任务二：通过预习，让学生完成低元集合的子集的列举，从而数出子集个数。
1、当n=3时，3元集合
的子集有多少个？请列举出来。
2、当n=4时，4元集合
的子集有多少个？请列举出来。
3、当n=5时，5元集合
的子集有多少个？请列举出来。
预习清单
预习任务一：弄清元素、集合、子集等概念；
达标检测
1、原题：今有叟，其五子，津吏宴邀，携子同往，津 吏曰：“客几何？”叟虑，无以对。大意是：有一个 老翁，他有5个儿子，津吏邀请他赴宴，他想带儿子一 同去，津吏问他：“你们一行几人？”老翁没有回答。 请你帮助老翁计划一下，他们一行人去赴宴有多少种 可不同子集有2n个。
的子集有多少个？请列举出来。
2、当n=4时，4元集合
的子集有多少个？请列举出来。
3、当n=5时，5元集合
的子集有多少个？请列举出来。
探索发现 问题 n元集合A={a1,a2,……,an}的子集有多少 个？
探索发现
结论：n元集合A={a1,a2,……,an}的不同子集有2n个。
思考：你对把空集、原集合自身作为子集的规定有进 一步的理解
子集元素和公式
子集元素和公式1. 子集的定义（人教版）- 设A，B是两个集合，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。
记作A⊆ B（或B⊇ A）。
例如，若A = {1,2}，B={1,2,3}，则A是B的子集。
2. 元素和的概念。
- 对于一个集合中的所有元素进行求和操作。
例如集合C={3, 5,7}，其元素和为3 + 5+7=15。
1. 含n个元素的集合的子集个数。
- 一个含n个元素的集合S，它的子集个数为2^n个。
这可以通过组合数的原理推导得出。
对于集合S中的每个元素，在子集中都有两种可能：存在或不存在。
所以总的可能性就是2×2×·s×2 = 2^n（n个2相乘）。
- 设集合S={a_1,a_2,·s,a_n}。
- 对于S的每个元素a_i，它在子集出现的次数为2^n - 1次。
这是因为除了a_i本身确定存在外，其他n - 1个元素的组合情况有2^n - 1种。
- 那么集合S的所有子集元素和T为T=(a_1+a_2+·s+a_n)×2^n - 1。
例如，集合A = {1,2,3}，n = 3，其所有子集为varnothing,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}。
元素和为(1 + 2+3)×2^3 - 1=(1 + 2 + 3)×2^2=6×4 = 24。
我们分别计算每个元素在子集中出现的次数：- 元素1：在{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}中出现，共2^2=4次。
- 元素2：在{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}中出现，共2^2=4次。
- 元素3：在{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}中出现，共2^2=4次。
- 总的子集元素和为1×4+2×4 + 3×4=(1 + 2+3)×4 = 24。
集合真子集的个数公式
集合真子集的个数公式关于集合及其真子集的概念是数学的基础概念，也是数学思想的一个重要部分。
集合包含了一系列元素，而真子集就是集合的一个子集，而且这个子集里的元素全部包含在原集合里。
计算一个集合真子集的个数有两种不同的方法：求幂法和求和法。
求幂法又称作指数定理，这是数学家和科学家用来计算集合真子集的最常用的方法。
求幂法的核心思想是根据集合中元素的数量，用二进制的形式来表示一个集合的真子集。
例如，如果集合A包含四个元素，那么该集合A的全部真子集可以用二进制表示成0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110和1111。
也就是说，集合A总共有2^4=16个真子集。
求和法又叫加法定理，它表明计算一个集合真子集的个数可以简化为计算各个子集的个数之和。
例如，如果集合A包含四个元素，那么该集合A的全部真子集可以分解为两个子集，即空集，即集合A的子集中只包含空集，这个子集只有一个真子集；以及包含四个元素的子集，这个子集有2^4=16个真子集。
因此，集合A总共有2^4+1=17个真子集。
这两种不同的方法计算出来的真子集的个数有可能不同，但它们所表示的实际意义是一样的，都表示一个集合的真子集的个数。
求幂法是根据集合的元素数量来统计真子集的个数，而求和法是根据真子集的层次来统计真子集的个数。
另外，除了求幂法和求和法，还有一种计算真子集的个数的方法，叫做“乘积定理”。
“乘积定理”指出，如果集合A包含n个元素，那么A的全部真子集共有2^n-1个。
因为空集作为集合A的子集，它也是一个真子集，所以从集合A中可以构造出2^n-1个真子集。
总之，求幂法、求和法和乘积定理都是用来计算集合真子集个数的有用的方法，可以用来解答各种问题，并帮助我们更好地理解和掌握“集合”和“真子集”这些数学概念。
子集个数公式
子集个数公式
子集（Subset）是指一组从原集合中取出的元素构成的集合，它不仅包括原集合中的元素，还可以包括空集，即集合中没有元素的情况。
子集的个数是一个重要的数学问题，其公式可用来表示子集的个数。
子集个数公式可以用来表示从一个集合中取出任意个元素构成的子集的个数，公式如下：
若集合A有n个元素，那么A的子集的个数=2^n
其中，2表示可以从A中取出一个元素或不取出元素，n表示A中有n个元素，也就是说A中有n种取法，每种取法都可以构成一个子集，因此A的子集的个数为2^n.
例如，若集合A有3个元素，A={a,b,c}，那么A的子集的个数为2^3=8。
A的子集有：{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{}。
子集个数公式可以用来表示任意集合的子集个数，从而使我们更加直观地了解子集的数量，而无需去一个个地枚举子集。
此外，该公式还可以用来解决一些数学问题。
总之，子集个数公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来表示集合的子集个数，使我们更加容易地了解子集的数量。
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一集合A的子集个数
1 n个元素每个都有两种选择，即有或没有，那么n个元素就有2^n种
2 有n个元素，每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里，。
这样子判断n 次，产生了2^n种不同子集
二若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方）真子集个数是什么非空真子集个数是什么并证明
最佳答案
2^n - 1, 2^n - 2
证：设元素编号为1, 2, ... n。
每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。
00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]
一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集
比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3
111 <--> {a, b, c} --> 即集合A
110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 <--> { , , c}
000 <--> { , , } --> 即空集
如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。
三关于含有n个元素的集合的真子集个数问题
最近发现这么一类问题，让你求对于含有n个元素的集合，其含有m个元素真子集的个数是多少？（n>m）
这里有一道例题：
1个集合里有10个元素，那么他有3个元素的子集是多少个？
首先，我们来逐步解决这个问题。
引入一：1个集合里有10个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？
答：这个貌似不用说都知道吧。
10个。
这个小学生都会做。
即有n个
引入二：1个集合里有10个元素，那么他有2个元素的子集是多少个？
答：这个就有一些难度了，但并不很难，这里有一个思路：
先定住一个元素，然后另一个元素逐渐往后移动，可能我说不清楚，请看图解：
（◎定住元素★移动元素☆其他元素，下同）
◎★☆☆☆☆☆☆☆☆
下一步是：
◎☆★☆☆☆☆☆☆☆
就像这样，发现什么了么？对，定住一个之后，问题就化简了，变成了：1个集合里有9个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？
之后向后移动定住元素，像那样再次化简问题，如图所示：
◎☆☆☆☆☆☆☆☆★
下一步是：
☆◎★☆☆☆☆☆☆☆
结果就出来了：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个
发现什么了么？这好像高斯定理啊，那么这个公式就是n(n-1)/2
其实，这个小问题是著名的握手问题，即10人相互握手，既不重复，又不落空，总共要握多少次？
答案依然为45个。
铺垫了这么多，让我们来看看正题吧。
（众：你的废话确实很多）
对于3个，我们先定住一个，即把它转化为2个元素的问题，利用引入二的公式，我们可得：36+28+21+15+10+6+3+1=120
问题深入：上述方法已经可以解决问题了，但是并不是很简单，有没有一般规律呢？
让我们看看这个问题：
1个集合里有10个元素，那么他有4个元素的子集是多少个？
根据刚才的方法，我们可得：
84+56+35+20+10+4+1=210
看来，规律要出来了，让我们来总结一下前面的算式
引入一：公式n，即n÷1
引入二：公式n(n-1)/2，即n(n-1)/(1×2)
三：暂无公式，但有3时得120，恰有10(10-1)(10-2)/(1×2×3)=120
四：暂无公式，但有4时得210，恰有10(10-1)(10-2)(10-3)/(1×2×3×4)=210
看来公式真的出来了
公式：对于问题1个集合里有n个元素，那么他有m个元素的子集是多少个？(n>m;n,m∈Z）其数量为n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/(1×2×...×m)
如果学过阶乘，那么公式可表示为n!÷(n-m)!÷(m!)
（插一句：所谓阶乘，简单讲是对于自然数的一种运算。
设这个自然数为n，则其阶乘n!(这是阶乘表示法)=1×2×...×n
特别的，定义0!=1）
问题深入二：
1个集合里有10个元素，那么它的真子集是多少个？
这里就一带而过，不给证明。
答案为10+45+120+210+252+210+120+45+10+1（1是空集φ）=1023
稍微敏感的人就会发现，其公式为2^n-1（2的n次幂减1的差），证明不提供。