计数原理 探究与发现——子集的个数有多少 PPT

2、设集合A {1,2,3,4,5}, (1)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个无重复数字的两位数？ (2)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个二元子集？ (3)、(1)(2)两个问题答案相同吗？ (4)、(1)(2)两个问题有什么区别？
即: A {a1, a2,, ak }有2k 个子集. 那么,当n k 1时, A {a1, a2,, ak , ak1},
此时, 在n k的基础上多了一个元素 ak1,
那么, 此时集合A的子集分不含有元素ak 1
和含有元素ak
两种类型，
1
显然不含有元素
ak
的子集就是
1
n
k时集合
A的2k
个子集，
因为每一个元素都有在子集中和不在子集中两种情况， 所以当所有元素都不在子集中时，子集为空集；当所 有元素都在子集中时，子集为原集合自身.
你还能用另外的方法证明“n元集 合不同子集的个数为2n个”这个 结论吗？
数学归纳法
证明： (1)当n 0时, A ,显然只有1个子集，
又20 1，所以结论成立; (2)假设n k(k 0)时,结论成立,
(2)类子集则是由 (1)类的每一个子集添加元 素an得到， 所以也有f (n 1)个子集.
从而n元集合A共有子集个数为 2 f (n 1), 即有f (n) 2 f (n 1), (n N,且n 1). 由该递推公式可得 : f (n) 2 f (n 1) 22 f (n 2) 2n f (0)， 又f (0) 1,所以f (n) 2n. 即n元集合A {a1, a2 ,, an}的不同子集有 2n 个.
并证明该结论的.
第一步：猜想结果 （归纳推理）
通过列举法和分步乘法计数原理两种方法得到 了3元集合有23=8个子集，然后猜想n元集合有 2n个子集.
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
证明：要得到集合A的一个子集S，可以分n个步骤：
第一步，考察 a1是否在S中，有2中可能(a1 S，a1 S);
含有元素ak
1的子集即是将ak
1添加进不含有ak
的每一个
1
子集中，从而可以得到含有元素ak1的2k 个新的子集.
所以n k 1时, 共有2k 2k 2k1个子集.
即n k 1时结论成立.
由(1)、(2)可知, n N结论都成立,
即含有n个元素的集合有2n 个不同的子集.
分类加法计数原理 +
个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关 系，称集合A为集合B的子集，记作 A B（或B A）
• n元集合 A {a1, a2,, an}的子集有多少个？
2n 个
n元集合A {a1, a2பைடு நூலகம்,, an} 的不同子集有 2n个.
请同学们自学课本 P11 P12 ,总结课本上是如何得到
数列的递推公式
证明： 设n元集合A {a1, a2,, an}的不同子集个数 为函数f (n),n N.
当A 时，显然f (0) 1. 当A 时,设A {a1, a2,, an},
则A的子集可以分为两类:
(1)类子集是不含有元素 an , (2)类子集是含有元素 an.
显然(1)类子集的个数为 f (n 1),
本节课我们用了哪些方法证明了“n元集合子集的 个数为2n个”?
数学归纳法
分步乘法计数原理
分类加法计数原理 +
数列的递推公式
本节课我们用了哪些计数方法探究了“n元集合子 集的个数为2n个”?
分步乘法计数原理 分类加法计数原理
列举法
1、你还能想到其它的方法证明“n元集合子集的个数为2n 个”吗？在后面的学习中，请同学们结合新学的知识思 考该问题.
第二步，考察 a2是否在S中 ，有2中可能(a2 S，a2 S);
第k步，考察
ak
是否在
S中，有
2中可能
(ak
S，ak
S
);
第n步，考察 an是否在S中，有2中可能(an S，an S).
所以，n元集合不同子集的个数 共有 : 2 2 2 2n 个子集.
你是否对把空集及原集合自身作 为子集的规定有进一步的理解呢？
教学内容 高中数学 人教A版2003课标版 选修2-3 第一章 计数原理—1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
——探究与发现 子集的个数有多少
• 通过前面的学习，你学会了哪几个计数原理？ 分类加法计数原理； 分步乘法计数原理.
• 子集的定义是什么？ 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一