计数原理 探究与发现——子集的个数有多少 PPT
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子集PPT课件.ppt
子
集
A={1，2，3}
B={1，2，3，4，5} B C
C={1，2，3，4，5，6，7}
AC
同理 若A B
BC
（2） A B
A
C
B A A=B
A (B)
子 集问题1：对于任何一个集合A是否都有子集？
A A A （ 只有一个子集）
2 讨结它论论的：：子集如有果一个n个集。合有n个元素，那么
集合A的任何一个元素都是集合B的元素 集合B的任何一个元素都是集合A的元素
集合A等于集合B
记作： A=B
子集
（1） AA={1A，2，3任，何4一}个集合是它本身的子集
A={1，2，3，4} B={1，2，3，4，5}
用若图形AA表示BB如图则A是记B作的：真A子集B (或B
A）
BA
空集是任何非空 集合的真子集
(4) A={a，b},B={ a，b，c，d，e}
(5) A= x | x 2 1 0 ，B=1,1
(6)A={1，2，5}，B={1，2，3，4}
(7)A={长江，黄河}, B={x| x>-1}
公共部分 毫无关系
子 集
BA
设：
A={1，2，3 } B={1，2，3 ，4，5}
变式3：已知集合A={x| 0≤x≤2}, B={x| 1-a＜ x
＜1+a }，且 B A 求a 的取值范围。
子 集
课堂小结： 1、子集与等集
（1）A B (或 B A)
集合A的任何一个元素都是集合B的元素
（2）A=B 即 A B且B A
2、“数形结合”思想
3、数学符号转化为数学语言的能力
子集PPT教学课件
1.2.1 子集
二、新内容： 1．子集 (1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个
元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包
含集合A。记作：A B或 B A 读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时， 则记作：A B B A 读作：A不包含于B或B不包含A
主讲：罗军
1.2.1 子集
我们先看下面的个例子：M {1,1} N {1,1,3} P {x | x2 1 0}
问题： 1．哪些集合表示方法是列举法． 2．哪些集合表示方法是描述法． 3．将集M、集N、集P用图示法表示． 4．分别说出各集合中的元素． 5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示
N ZQ R
主讲：罗军
1.2.1 子集
例4:说出下面几个集合表示的意义： {0} {} 0
并说出它们之间的关系。
解： 表示空集，这个集合里不含有任何元素。
{0}表示以0为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素0。
{}表示以 为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素 0 是一个数，它不是集合。
{} 0 {0} {0} 0
集合A是集合B的真子集，记作：A B 或B A 读作A真包含于B或B真包含A。
能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
用文氏图表示集合之间的关 系是非常简明的，例如：
主讲：罗军
B
A
1.2.1 子集
例1：写出集合{a, b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
解：集合{a, b} 的所有的子集是： {a} {b} {a, b} 其中 {a} {b} 是真子集 例2：解不等式 x 3 2 ，并把结果用集合表示出来 解：由 x 3 2 得
高中数学选修2-3第一章《计数原理》整合课件人教A版
-6-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
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专题一 专题二 专题三
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综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
人教版高三数学选修2-3全册教学课件
2.1 离散型随机变量及其分布 列
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
2.2 二项分布及其应用
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 服从二项分布的 随机变量取何值时概率最大
人教版高三数学选修2－3全册教 学课件目录
0002页 0090页 0167页 0211页 0276页 0360页 0445页 0487页 0560页 0589页 0660页 0731页
第一章 计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 探究与发现 组合数的两个性质 探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密 复习参考题 2.1 离散型随机变量及其分布列 探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最 2.4 正态分布 小结 第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 小结
人教版高三数学选修2－3全册Fra bibliotek学 课件1.2 排列与组合
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 组合数的两个性 质
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第一章 计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.1 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
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探究与发现 子集的个数有多 少
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1.3 二项式定理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 “杨辉三角”中的 一些秘密
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小结
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复习参考题
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第二章 随机变量及其分布
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
子集 PPT
观察A、C知，集合A中任一个元素 都是集合C的元素，那么我们就说，A 包含于C或C包含A.
我们就说, A包含于C或C包含A 记作: A C或C A 注意区分 与 ：
这时, 我们说集合A是集合C的子集. (若对 x A ， 任 x 都 C 意 ， A 有 则 C )
B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
6. A=，B={0}；
7. A={a，b，c}，B={a，b，c}.
观察以下几组集合：
1. A={x|x>3}，B={x|3x6>0}； 2. A={正方形}，B={四边形}； 3. A={a，b}，B={a，b，c，d，e}; 4. A={直角三角形}，B={三角形}； 5. N*____N____Z____Q____R；
[例4] 已知A={x | x22x3=0}，B= {x|ax1=0}，若BA，求实数a的值.
小结：1. 子集和真子集的概念. 2. 五个有用的结论： (1) 空集是任何集合的子集； (2) 任何集合是它本身的子集； (3) 空集是任何非空集合的真子集； (4) 子集的传递性； (5) 真子集的传递性； 3. 含n个元素的集合的子集和真子集
A等于集合B, 记作:A=B,显然A=A.
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
合A是集合C 的真子集
记为: A C或C A(真包含)
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
观察下面三个集合, 找出它们 之间的联系:
A ={1，2，3} B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
我们就说, A包含于C或C包含A 记作: A C或C A 注意区分 与 ：
这时, 我们说集合A是集合C的子集. (若对 x A ， 任 x 都 C 意 ， A 有 则 C )
B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
6. A=，B={0}；
7. A={a，b，c}，B={a，b，c}.
观察以下几组集合：
1. A={x|x>3}，B={x|3x6>0}； 2. A={正方形}，B={四边形}； 3. A={a，b}，B={a，b，c，d，e}; 4. A={直角三角形}，B={三角形}； 5. N*____N____Z____Q____R；
[例4] 已知A={x | x22x3=0}，B= {x|ax1=0}，若BA，求实数a的值.
小结：1. 子集和真子集的概念. 2. 五个有用的结论： (1) 空集是任何集合的子集； (2) 任何集合是它本身的子集； (3) 空集是任何非空集合的真子集； (4) 子集的传递性； (5) 真子集的传递性； 3. 含n个元素的集合的子集和真子集
A等于集合B, 记作:A=B,显然A=A.
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
合A是集合C 的真子集
记为: A C或C A(真包含)
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
观察下面三个集合, 找出它们 之间的联系:
A ={1，2，3} B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
有限集合子集的个数问题研究ppt精品资料
一、 问题引入 课本(练习 1.2)中有这样一道习题：
写出满足 M Í {a,b} 的所有集合 M ；
Æ,{a},{b},{a,b}
二、问题探究
集合
集合的子集
子集个数
{a,b} Æ,{a},{b},{a,b}
4
{ } a,b,c
Æ,{a} ,{b} ,{c} ,{a, b} , {a, c} ,{b, c} ,{a, b, c}
8
…
( ) ？ {a1,a2, ,an} n ÎMN*Í {a,b} Í {a,b,c}
？
二、问题探究 集合
集合 的子集
{a,b, b} Æ,{a} ,{b} ,{a, b}
{c},{a,c},{b, c},{a,b,c}
{a, b, c, d } Æ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} {d},{a, d},{b, d},{c, d},{a,b, d},{a,c, d},{b,c, d},{a,b,c, d}
练习 一个四元集合 S 的所有子集的元素和的
总和为 2012 ，则集合 S 中的元素的和为_____.
学会解决集合问题的基本方法
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
学会解决集合问题的基本方法
你能从哪些角度对这个问题做推广？
进一步理解集合之间的关系
( ) n 元有限集合{a1,a2, ,an} n Î N* 的子集个数为 2n
三、提升演练
例题 1 满足条件
{ { { }} {{ }} a1,aa21,,aa2,1,a,aam32
ÍM Í
aa1,1a,2a, a23,,
写出满足 M Í {a,b} 的所有集合 M ；
Æ,{a},{b},{a,b}
二、问题探究
集合
集合的子集
子集个数
{a,b} Æ,{a},{b},{a,b}
4
{ } a,b,c
Æ,{a} ,{b} ,{c} ,{a, b} , {a, c} ,{b, c} ,{a, b, c}
8
…
( ) ？ {a1,a2, ,an} n ÎMN*Í {a,b} Í {a,b,c}
？
二、问题探究 集合
集合 的子集
{a,b, b} Æ,{a} ,{b} ,{a, b}
{c},{a,c},{b, c},{a,b,c}
{a, b, c, d } Æ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} {d},{a, d},{b, d},{c, d},{a,b, d},{a,c, d},{b,c, d},{a,b,c, d}
练习 一个四元集合 S 的所有子集的元素和的
总和为 2012 ，则集合 S 中的元素的和为_____.
学会解决集合问题的基本方法
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
学会解决集合问题的基本方法
你能从哪些角度对这个问题做推广？
进一步理解集合之间的关系
( ) n 元有限集合{a1,a2, ,an} n Î N* 的子集个数为 2n
三、提升演练
例题 1 满足条件
{ { { }} {{ }} a1,aa21,,aa2,1,a,aam32
ÍM Í
aa1,1a,2a, a23,,
人教A版必修1 第一章 PPT素材：集合中子集个数与元素个数问题
方法二
A
B
(5) (3) (9)
=5+3+9 =17 ∴两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
集合中元素个数问题
例4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动 都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是多少？ 【思路点拨】利用集合间的关系画出韦恩图，设出适当的未知数，建立方程解决．
∴满足条件的集合P的个数为32个 【方法归纳】 掌握将不熟悉的问题转化为熟知的问题这种思维方式.
集合中元素个数问题
例3. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动 会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参加的有3人，两次运动会中，这个班 共有多少名同学参赛？ 【思路点拨】运用有限集并的元素个数计数公式进行求解．
∵card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(A∩C)-card(C∩B)+card(A∩B∩C)
∴49=28+25+15-8-6-7+ card(A∩B∩C)
∴同时参加数学、物理和化学小组的人数是2人
集合中元素个数问题
例5. 某班有49名同学，参加数学、物理和化学课外小组的人数分别为28,25,15(每人 至少参加一项)，同时参加数学和物理小组的有8人，同时参加数学和化学小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有7人，求同时参加数学、物理和化学小组的人数？
设两者都喜欢的人数为x人. 则只喜爱篮球的人数是 15-x =12
U(某班所有学生)
A(篮球)
B(乒乓球)
只喜爱乒乓球的的人数是 10-x ∵班级总人数为30人 ∴(15-x)+(10-x)+x+8=30
1.2 子集、全集、补集ppt课件
栏 目 链 接
二、对补集概念的理解
(1)要正确应用数学的三种语言表示补集：①普通语言：
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元 素组成的集合叫做S中子集A的补集；②符号语言：∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}；③图形语言：
栏 目 链 接
(2)理解补集概念时，应注意补集 ∁SA是对给定的集合A和S(A⊆S) 相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合S，补集 不同．如：集合A＝{正方形}，当S＝{菱形}时，∁SA＝{内角不等于
栏 目 链 接
点评：判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是A⊆B， 即A的元素全在B中，二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中， 二者缺一不可．
变式 训练
1．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋ 1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是 ( ) A． S P M B．S＝P M
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
_____________________________ ． A⊆B(或B⊇A)
2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A叫做集合B的真子 集，记作A B或B A.
栏 目 链 接
(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
栏 目 链 接
－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
二、对补集概念的理解
(1)要正确应用数学的三种语言表示补集：①普通语言：
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元 素组成的集合叫做S中子集A的补集；②符号语言：∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}；③图形语言：
栏 目 链 接
(2)理解补集概念时，应注意补集 ∁SA是对给定的集合A和S(A⊆S) 相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合S，补集 不同．如：集合A＝{正方形}，当S＝{菱形}时，∁SA＝{内角不等于
栏 目 链 接
点评：判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是A⊆B， 即A的元素全在B中，二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中， 二者缺一不可．
变式 训练
1．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋ 1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是 ( ) A． S P M B．S＝P M
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
_____________________________ ． A⊆B(或B⊇A)
2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A叫做集合B的真子 集，记作A B或B A.
栏 目 链 接
(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
栏 目 链 接
－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
子集、真子集PPT
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4
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
做一做： 1．下图所示的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几 何图形之间的关系，集合 A，B，C，D，E 分别对应的图形是 ________________________________________________________________________．
图1
图2
3．集合相等
(1)定义：如果集合 A 是集合 B 的子集(A⊆B)，且集合 B 是集合 A 的子集(B⊆A)，那么
集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B.
(2)Venn 图表示：当 A＝B 时，如图所示．
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3
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
4．真子集
解：集合 B 为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，{0,1,2}．
求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出 每类中符合要求的集合．集合子集个数规律为：含 n 个元素的集合有 2n 个子集，其中空集和 集合本身易漏掉．
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7
瞻前顾后
பைடு நூலகம்
要点突破
典例精析
演练广场
首页 2上02一0/页4/11 下一页 末页
8
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
知识要点一：子集的概念 子集是集合间重要关系，理解子集的概念时要注意“任何一个元素”而不是某个或某些 元素；还要注意符号“∈”与“⊆”的区别，并注意结合 Venn 图理解，表达子集关系． 知识要点二：子集、真子集的几个性质 性质 1：任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A，特别地，∅⊆∅. 性质 2：子集有传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
人教A版高中数学选修2-3课件第1章计数原理本章整合
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知识网络
专题归纳
专题一 专题二 专题三
【例 3】 (1+2 ������)3(1-3 ������)5 的展开式中 x 的系数是( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
思路点拨:利用(a+b)n 展开式中第 r+1 项 Tr+1=C������������ an-rbr(r=0,1,2,…,n)将
排列组合是解决计数问题的一种重要方法.但要注意,计数问题的基本 原理是分步计数原理和分类计数原理,是最普遍使用的,不要把计数问题等 同于排列组合问题.
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专题归纳
专题一 专题二 专题三
【例 1】 某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到 会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企 业的可能情况的种数为( )
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专题归纳
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专题归纳
专题一 专题二 专题三
专题一 两个计数原理
分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基础.在应用题的考查 中,经常要用它对问题进行分类或分步分析求解,如何灵活利用这两个原理 对问题进行分析往往是解应用题的关键.两个原理的共同之处是研究做一 件事,完成它共有的方法种数问题,而它们的主要差异是“分类”与“分步”.分 类计数原理的特点是:类与类相互独立,每类方法均可独立完成这件事(可类 比物理中的“并联”电路来理解);分步计数原理的特点是:步与步相互依存, 且只有当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可),这件事才算完成(可类比 物理中的“串联”电路来理解).运用时要掌握其计数本质,合理恰当地运用两 个原理.
学年高中数学 第一章 计数原理章末归纳总结 新人教B版选修23PPT课件
[分析] 按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在 左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步 骤．
[解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另 一类的字母组合在右．
字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数 字：
第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法； 第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25 种选法； 第3步，从剩下的24个宇母中选1个，放在第3位，有24 种选法； 第 4 步 ， 从 10 个 数 字 中 选 1 个 ， 放 在 第 4 位 ， 有 10 种 选 法；
解法 3：∵6 人站成一排的排法总数为 A66种，其中甲站在 左端的站法有 A55种，甲站在右端有 A55种．
∴符合条件的站法有 A66－2A55＝480 种．
[方法总结] 本题中的三种解法，实质上是两种不同的 思路的体现，一种是由特殊元素进行分析，一种是由特殊位置 来分析，其中解法1、解法2用正向思考，解法3用逆向思考．
5．在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排 列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合 问题，牢记排列数、组合数计数公式与组合数性质．容易产生 的错误是重复和遗漏计数．
常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先排的策略； (2)合理分类与正确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻的问题插空处理的策略．
6 人站成一排，若甲不能站在左端也不能站在右 端，则有多少种不同的站法？
[分析] 本题是站队排列问题，其中可以把甲看做特殊 元素，即特殊元素优先考虑，把甲先排好，再排其他元素，也 可以把两端看做特殊位置，即特殊位置优先考虑，把两端的位 置先排好，再去排其他的位置．
[解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另 一类的字母组合在右．
字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数 字：
第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法； 第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25 种选法； 第3步，从剩下的24个宇母中选1个，放在第3位，有24 种选法； 第 4 步 ， 从 10 个 数 字 中 选 1 个 ， 放 在 第 4 位 ， 有 10 种 选 法；
解法 3：∵6 人站成一排的排法总数为 A66种，其中甲站在 左端的站法有 A55种，甲站在右端有 A55种．
∴符合条件的站法有 A66－2A55＝480 种．
[方法总结] 本题中的三种解法，实质上是两种不同的 思路的体现，一种是由特殊元素进行分析，一种是由特殊位置 来分析，其中解法1、解法2用正向思考，解法3用逆向思考．
5．在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排 列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合 问题，牢记排列数、组合数计数公式与组合数性质．容易产生 的错误是重复和遗漏计数．
常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先排的策略； (2)合理分类与正确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻的问题插空处理的策略．
6 人站成一排，若甲不能站在左端也不能站在右 端，则有多少种不同的站法？
[分析] 本题是站队排列问题，其中可以把甲看做特殊 元素，即特殊元素优先考虑，把甲先排好，再排其他元素，也 可以把两端看做特殊位置，即特殊位置优先考虑，把两端的位 置先排好，再去排其他的位置．
选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少第2课时
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理--探究与发现子集的个数有多少》（第1课时）同步练习题一、单项选择题1.由0,3,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为（）A.27B.18C.12D.62.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有（）A.3种B.6种C.7种D.9种3.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有（）A.180种B.360种C.720种D.960种4.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是（）A.20B.16C.14D.125.如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）A.288种B.264种C.240种D.168种6.用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）A. 265个B.232个C.128个D.24个7.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）A. 265个B.232个C.128个D.24个8.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）A.43种B.34种C.4×3×2种D.1×2×3种9.把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）A.120种B.1024种C.625种D.5种10.从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为（）A.12B.11C.24D.2311.若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数”.例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象.那么小于1 000的“良数”的个数为（）A.27B.36C.39D.48二、解答题1.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法.2.如图，从A→C有________种不同的走法.3.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种.(用数字作答)4.把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问(1)有多少种不同的涂法？(2)若分割成4个扇形呢？5.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？6.下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________(注：其他方向的也是L形).7.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂下图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有多少种？8.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是种。
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(2)类子集则是由 (1)类的每一个子集添加元 素an得到， 所以也有f (n 1)个子集.
从而n元集合A共有子集个数为 2 f (n 1), 即有f (n) 2 f (n 1), (n N,且n 1). 由该递推公式可得 : f (n) 2 f (n 1) 22 f (n 2) 2n f (0)， 又f (0) 1,所以f (n) 2n. 即n元集合A {a1, a2 ,, an}的不同子集有 2n 个.
个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关 系，称集合A为集合B的子集，记作 A B（或B A）
• n元集合 A {a1, a2,, an}的子集有多少个？
2n 个
n元集合A {a1, a2 ,, an} 的不同子集有 2n个.
请同学们自学课本 P11 P12 ,总结课本上是如何得到
数列的递推公式
证明： 设n元集合A {a1, a2,, an}的不同子集个数 为函数f (n),n N.
当A 时，显然f (0) 1. 当A 时,设A {a1, a2,, an},
则A的子集可以分为两类:
(1)类子集是不含有元素 an , (2)类子集是含有元素 an.
显然(1)类子集的个数为 f (n 1),
本节课我们用了哪些方法证明了“n元集合子集的 个数为2n个”法计数原理 +
数列的递推公式
本节课我们用了哪些计数方法探究了“n元集合子 集的个数为2n个”?
分步乘法计数原理 分类加法计数原理
列举法
1、你还能想到其它的方法证明“n元集合子集的个数为2n 个”吗？在后面的学习中，请同学们结合新学的知识思 考该问题.
第二步，考察 a2是否在S中 ，有2中可能(a2 S，a2 S);
第k步，考察
ak
是否在
S中，有
2中可能
(ak
S，ak
S
);
第n步，考察 an是否在S中，有2中可能(an S，an S).
所以，n元集合不同子集的个数 共有 : 2 2 2 2n 个子集.
你是否对把空集及原集合自身作 为子集的规定有进一步的理解呢？
教学内容 高中数学 人教A版2003课标版 选修2-3 第一章 计数原理—1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
——探究与发现 子集的个数有多少
• 通过前面的学习，你学会了哪几个计数原理？ 分类加法计数原理； 分步乘法计数原理.
• 子集的定义是什么？ 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一
即: A {a1, a2,, ak }有2k 个子集. 那么,当n k 1时, A {a1, a2,, ak , ak1},
此时, 在n k的基础上多了一个元素 ak1,
那么, 此时集合A的子集分不含有元素ak 1
和含有元素ak
两种类型，
1
显然不含有元素
ak
的子集就是
1
n
k时集合
A的2k
个子集，
因为每一个元素都有在子集中和不在子集中两种情况， 所以当所有元素都不在子集中时，子集为空集；当所 有元素都在子集中时，子集为原集合自身.
你还能用另外的方法证明“n元集 合不同子集的个数为2n个”这个 结论吗？
数学归纳法
证明： (1)当n 0时, A ,显然只有1个子集，
又20 1，所以结论成立; (2)假设n k(k 0)时,结论成立,
并证明该结论的.
第一步：猜想结果 （归纳推理）
通过列举法和分步乘法计数原理两种方法得到 了3元集合有23=8个子集，然后猜想n元集合有 2n个子集.
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
证明：要得到集合A的一个子集S，可以分n个步骤：
第一步，考察 a1是否在S中，有2中可能(a1 S，a1 S);
含有元素ak
1的子集即是将ak
1添加进不含有ak
的每一个
1
子集中，从而可以得到含有元素ak1的2k 个新的子集.
所以n k 1时, 共有2k 2k 2k1个子集.
即n k 1时结论成立.
由(1)、(2)可知, n N结论都成立,
即含有n个元素的集合有2n 个不同的子集.
分类加法计数原理 +
2、设集合A {1,2,3,4,5}, (1)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个无重复数字的两位数？ (2)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个二元子集？ (3)、(1)(2)两个问题答案相同吗？ (4)、(1)(2)两个问题有什么区别？
从而n元集合A共有子集个数为 2 f (n 1), 即有f (n) 2 f (n 1), (n N,且n 1). 由该递推公式可得 : f (n) 2 f (n 1) 22 f (n 2) 2n f (0)， 又f (0) 1,所以f (n) 2n. 即n元集合A {a1, a2 ,, an}的不同子集有 2n 个.
个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关 系，称集合A为集合B的子集，记作 A B（或B A）
• n元集合 A {a1, a2,, an}的子集有多少个？
2n 个
n元集合A {a1, a2 ,, an} 的不同子集有 2n个.
请同学们自学课本 P11 P12 ,总结课本上是如何得到
数列的递推公式
证明： 设n元集合A {a1, a2,, an}的不同子集个数 为函数f (n),n N.
当A 时，显然f (0) 1. 当A 时,设A {a1, a2,, an},
则A的子集可以分为两类:
(1)类子集是不含有元素 an , (2)类子集是含有元素 an.
显然(1)类子集的个数为 f (n 1),
本节课我们用了哪些方法证明了“n元集合子集的 个数为2n个”法计数原理 +
数列的递推公式
本节课我们用了哪些计数方法探究了“n元集合子 集的个数为2n个”?
分步乘法计数原理 分类加法计数原理
列举法
1、你还能想到其它的方法证明“n元集合子集的个数为2n 个”吗？在后面的学习中，请同学们结合新学的知识思 考该问题.
第二步，考察 a2是否在S中 ，有2中可能(a2 S，a2 S);
第k步，考察
ak
是否在
S中，有
2中可能
(ak
S，ak
S
);
第n步，考察 an是否在S中，有2中可能(an S，an S).
所以，n元集合不同子集的个数 共有 : 2 2 2 2n 个子集.
你是否对把空集及原集合自身作 为子集的规定有进一步的理解呢？
教学内容 高中数学 人教A版2003课标版 选修2-3 第一章 计数原理—1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
——探究与发现 子集的个数有多少
• 通过前面的学习，你学会了哪几个计数原理？ 分类加法计数原理； 分步乘法计数原理.
• 子集的定义是什么？ 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一
即: A {a1, a2,, ak }有2k 个子集. 那么,当n k 1时, A {a1, a2,, ak , ak1},
此时, 在n k的基础上多了一个元素 ak1,
那么, 此时集合A的子集分不含有元素ak 1
和含有元素ak
两种类型，
1
显然不含有元素
ak
的子集就是
1
n
k时集合
A的2k
个子集，
因为每一个元素都有在子集中和不在子集中两种情况， 所以当所有元素都不在子集中时，子集为空集；当所 有元素都在子集中时，子集为原集合自身.
你还能用另外的方法证明“n元集 合不同子集的个数为2n个”这个 结论吗？
数学归纳法
证明： (1)当n 0时, A ,显然只有1个子集，
又20 1，所以结论成立; (2)假设n k(k 0)时,结论成立,
并证明该结论的.
第一步：猜想结果 （归纳推理）
通过列举法和分步乘法计数原理两种方法得到 了3元集合有23=8个子集，然后猜想n元集合有 2n个子集.
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
证明：要得到集合A的一个子集S，可以分n个步骤：
第一步，考察 a1是否在S中，有2中可能(a1 S，a1 S);
含有元素ak
1的子集即是将ak
1添加进不含有ak
的每一个
1
子集中，从而可以得到含有元素ak1的2k 个新的子集.
所以n k 1时, 共有2k 2k 2k1个子集.
即n k 1时结论成立.
由(1)、(2)可知, n N结论都成立,
即含有n个元素的集合有2n 个不同的子集.
分类加法计数原理 +
2、设集合A {1,2,3,4,5}, (1)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个无重复数字的两位数？ (2)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个二元子集？ (3)、(1)(2)两个问题答案相同吗？ (4)、(1)(2)两个问题有什么区别？