材料力学第3章 扭转 习题解

第三章 扭转 习题解
[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。

试作轴的扭图。

解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）
N T k
e 55
.9=
(2) 作扭矩图
[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。

钻杆钻入土层的深度m l 40=。

如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。

解：（1m )(5305.0180
10
549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：
0=∑x
M
e M ml =
)/(0133.040
5305
.0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图 x x l
M mx x T e
0133.0)(-=-
=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305.0)40(m kN M T e ⋅-==
扭矩图如图所示。

[习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。

若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：
)(245445014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
π （2）计算扭矩
2max /60mm N W T
p
==
τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ⋅=⋅=⨯=
（3）计算所传递的功率 )(473.1549
.9m kN n
N M T k
e ⋅=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =⨯=
[习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。

已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o
8.1=ϕ，材料的切变模量GPa G 80=。

试求： （1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最大切应力
)(9203877)5.01(10014159.3321
)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ。

)(184078)5.01(10014159.3161
)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=απ
式中，D d /=α。

p
GI l
T ⋅=
ϕ， mm
mm mm N l
GI T p
27009203877/80000180/14159.38.142⨯⨯⨯=
=
ϕ
mm N ⋅=45.8563014
)(563.8m kN ⋅=
MPa mm mm N W T p 518.4618407845.85630143
max =⋅==
τ （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率
)(563.880
549.9549
.9m kN N
n N M T k k e ⋅=⨯=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =⨯=
[习题3-5] 实心圆轴的直径mm d 100=，长m l 1=，其两端所受外力偶矩m kN M e ⋅=14，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
（2）图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。

解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 p
e p W M W T
==
max τ。

式中，)(19634910014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
π。

故： MPa mm mm
N W M p e 302.7119634910143
6max
=⋅⨯==τ p
GI l T ⋅=
ϕ 式中，)(981746910014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
π。

故： o p rad m m N m m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004
1229==⨯⨯⨯⨯⋅=⋅=
-ϕ （2）求图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向 MPa B A 302.71max ===τττ 由横截面上切应力分布规律可知：
MPa B C 66.35302.715.02
1=⨯==ττ
A 、
B 、
C 三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C 点处的切应变 3
43
10446.0104575.4108066.35--⨯≈⨯=⨯=
=
MPa
MPa G
C
C τγ [习题3-6] 图示一等直圆杆，已知mm d 40=，mm a 400=，GPa G 80=，o
DB 1=ϕ。

试求：
（1）最大切应力；
（2）截面A 相对于截面C 的扭转角。

解：（1）计算最大切应力
从AD 轴的外力偶分布情况可知：
e CD AB M T T ==，0=BC T 。

p e p p e p CB CB p DC DC p i i DB GI a
M GI a GI a M GI l T GI l T GI l T =
⋅+⋅=⋅+⋅==∑
0ϕ a
GI M p e ϕ=
式中，)(2513274014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==π。

故： mm N mm mm mm N a
GI M p e ⋅=⋅⨯==
877296180
14159.3400251327/8000042ϕ
p
e
W M =
max τ 式中，)(125664014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==π。

故： MPa mm
mm N W M p e 815.69125668772963max =⋅==
τ （2）计算截面A 相对于截面C 的扭转角
o DB p
e p p e p BC BC p AB AB p i i AC GI a
M GI a GI a M GI l T GI l T GI l T 22202===⋅+⋅=⋅+⋅==∑
ϕϕ [习题3-7] 某小型水电站的水轮机容量为50kW ，转速为300r/min ，钢轴直径为75mm ，若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力MPa 20][=τ。

试校核轴的强度。

解：（1）计算最大工作切应力 p
p e W T
W M =
=
max τ 式中，)(592.1300
50
549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯==； )(125667514159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==π。

故：MPa mm
mm N W M p e 219.198283515920003max =⋅==
τ （2）强度校核
因为MPa 219.19max =τ，MPa 20][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不
会发生破坏。

[习题3-8] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mm D 60=，内径mm d 50=，功率kW P 355.7=，转速min /180r n =，钻杆入土深度m l 40=，钻杆材料的GMPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ。

假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
)(390.0180
355
.7549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：
0=∑x
M
e M ml =
)/(00975.040
390
.0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
x x mx x T 00975.040
39
.0)(-=-
=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ； )(390.0)40(m kN M T e ⋅-==
扭矩图如图所示。

②强度校核
p
e
W M =
max τ 式中，)(21958])60
50
(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=
απ MPa mm
mm N W M p e 761.17219583900003max =⋅==
τ 因为MPa 761.17max =τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不
会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角
⎰
=40
)(p
GI dx
x T ϕ 式中，)(658752])60
50
(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ
40
240
4
122640
]2
[10658752/108000975.000975.01
|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p
p ⎰
⎰
-⨯⨯⨯==
=ϕ 0
5.8)(148.0≈=rad
[习题3-9] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为，已知轴材料的许用切应力MPa 40][=τ，试求： （1）AB 轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。

解：（1）计算AB 轴的直径
AB 轴上带一个主动轮。

两个手柄所施加的外力偶 矩相等：
)(08.04.02.0m kN M M e e ⋅=⨯==右左 )(16.02m kN M M e e ⋅==右主动轮 扭矩图如图所示。

由AB 轴的强度条件得： ][163
max τπτ≤==
d
M W M e p e 右
右 mm mm N mm
N M d e 7.21/4014159.38000016][1632
3
=⨯⋅⨯=≥τπ右
（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
35
.02
.0从动轮主动轮
e e M M =
)(28.016.020
.035
.0m kN M e ⋅=⨯=
从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得：
从动轮e M P =⨯25.0
28.025.0=⨯P
)(12.125.0/28.0kN P ==
[习题3-10] 直径mm d 50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶m kN M e ⋅=6，而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点，如图所示。

已知mm AA s 31==∆⋂
，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，试求泊松比ν（提示：各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在
如下关系：)
1(2ν+=
E
G 。

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：m kN M T e ⋅==6。

设1,O O 两截面之间的相对对转角为ϕ，则2d s ⋅=∆ϕ，d
s ∆⋅=2ϕ d
s GI l T P ∆=⋅=
2ϕ 式中，)(6135925014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
π
GPa MPa mm
mm mm
mm mm N s I d l T G p 4874.81372.814873613592250100010624
6==⨯⨯⨯⨯⋅⨯=∆⋅⋅= 由)1(2ν+=
E G 得：289.014874
.812210
12=-⨯=-=G E ν
[习题3-11] 直径mm d 25=的钢圆杆，受轴向拉60kN 作用时，在标距为200mm 的长度内伸长了。

当其承受一对扭转外力偶矩m kN M e ⋅=2.0时，在标距为200mm 的长度内相对扭转了o 的角度。

试求钢材的弹性常数G 、G 和ν。

解：（1）求弹性模量E EA Nl
l =
∆ GPa
MPa mm
mm mm N l A Nl E 448.2168.216447113.02514.325.020********==⨯⨯⨯⨯=∆⋅= （2）求剪切弹性模量G
)(383492514159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
π 由P
GI l
T ⋅=
ϕ得： GPa MPa mm
mm mm N I l T G p 7.81136.8168438349)180/14.3732.0(200102.04
6==⨯⨯⨯⋅⨯=⋅⋅=ϕ （3）泊松比ν
由)1(2ν+=
E G 得：325.01684
.812448
.21612=-⨯=-=
G E ν [习题3-12] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，
受力情况也一样。

实心轴直径为d ；空心轴的外径为D ，内径为d 0，且
8.00
=D
d 。

试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（][max ττ=），扭矩T 相等时的重量比和刚度比。

解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D 。

p
W T
=
m ax τ 式中，)1(16
1
43απ-=
D W p ，故： ][1.27)8.01(163
43max,τππτ==-=
D
T
D T 空 ]
[1.273τπT
D =
（1）求实心圆轴的最大切应力
p
W T =
m ax τ 式中，3161
d W p π=
，故： ][161633max,τππτ===d
T
d T 实
]
[163τπT d =
69375.116][][1.27)(3=⋅=T
T d D τπτπ 192.1=d
D
（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比
512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.0222
22
202=⨯==-=⋅⋅⋅⋅-=d D d D l d l d D W W γ
πγπ实空 （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
44401845.0)8.01(321
D D I p ππ=-=空 4403125.032
1
d d I p ππ==实
192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.0444
4=⨯===d D d
D GI GI p p ππ实
空 [习题3-13] 全长为l ，两端面直径分别为21,d d 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩e M ，如图所示。

试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx ，则其两端面之间的扭
转角为：
P
e GI dx
M d =
ϕ 式中，432
1
d I p π=
l
x
r r r r =--121
2
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+⋅-=
11
22d x l
d d r d +-=
= 4411
24)(
u d x l
d d d =+-= dx l d d du 1
2-=
du d d l
dx 1
2-=
故
：
⎰⎰⎰⎰⎰
-=-⋅===
=l e l
e l
e
l
p e
l p
e u du d d G l M du d d l
u G
M d dx G
M I dx G M GI dx M 0412********)(3213232πππϕ l
e l e l e d x l d d d d G l M u d d G l M u du d d G l M 0
3
11212031204121)(332]31[)(32)(32⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--=-=⎰πππ =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅--32312
221213231323121313212332)(33211)(332d d d d d d G l M d d d d d d G l M d d d d G l M e e e πππ
[习题3-14] 已知实心圆轴的转速min /300r n =，传递的功率kW p 330=，轴材料的许用切应力MPa 60][=τ，切变模量GPa G 80=。

若要求在2m 长度的相对扭转角不超过o 1，试求该轴的直径。

解：180
1π
ϕ⨯
≤=⋅=
p e P GI l M GI l T 式中，)(504.10300330549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯==；432
1
d I p π=。

故： G
l M I e p π180≥
G
l M d e ππ180321
4≥⋅ mm mm N mm mm N G l M d e 292.111/8000014.3200010504.10180321803242
26
42=⨯⨯⋅⨯⨯⨯=⨯≥π
取mm d 3.111=。

[习题3-15] 图示等直圆杆，已知外力偶m kN M A ⋅=99.2，m kN M B ⋅=20.7，
m kN M C ⋅=21.4，许用切应力MPa 70][=τ，许可单位长度扭转角m o /1]['=ϕ，切变模
量GPa G 80=。

试确定该轴的直径d 。

解：（1）判断危险截面与危险点
作AC 轴的扭矩图如图所示。

因最大扭矩出出在BC 段，所以危险截面出现在BC 段，危险点出现在圆周上。

（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪 切强度条件求d 。

][163
1max τπτ≤==
d T W T BC
p BC mm mm
N mm
N T d BC 42.67/7014.31021.416][1632
631=⨯⋅⨯⨯=≥τπ （3）计算最大单位长度扭转角(出现在BC 段)，并代入扭转刚度条件求d 。

（4）确定d 值
)(4.74),m ax (21mm d d d =≥
[习题3-16] 阶梯形圆杆，AE 段为空心，外径mm D 140=，内径mm d 100=；BC 段为实心，直径mm d 100=。

外力偶矩m kN M A ⋅=18，m kN M B ⋅=32，m kN M C ⋅=14，许用切应力MPa 80][=τ，许可单位长度扭转角m o /2.1]['=ϕ，切变模GPa G 80=。

试校核该轴的强度和刚度。

解：（1）AB 段的强度与刚度校核
m kN M T A AB ⋅-=-=18
p
AB AB W T =max,τ 式中，)(398533])140100(1[14014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=
απ MPa MPa mm mm N W T p AB AB 80][166.453985331018||3
6max,=<=⋅⨯==ττ 符合度条件。

πϕϕ180||'⨯==
p AB AB GI T l 式中，)(27897319])140100(1[14014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ m m m m N m N GI T l o o p AB AB /2.1][)/(462.014
.31027897319/108018018000180||'41229'=<=⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯==-ϕπϕ
ϕ 符合刚度条件。

（2） BC 段的强度与刚度校核
m kN M T C BC ⋅==14
p
BC BC W T =max,τ 式中，)(19634910014159.3161161333mm d W p =⨯⨯==
π MPa MPa mm mm N W T p BC AB 80][302.7119634910143
6max,=<=⋅⨯==ττ 符合度条件。

π
ϕ
ϕ180'⨯==p BC BC GI T l
式中，)(981746910014159.3321321444mm d I p =⨯⨯==
π m m m m N m N GI T l o o p BC BC /2.1][)/(02.114
.3109817469/108018014000180'41229'=<=⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯==-ϕπϕ
ϕ 符合刚度条件。

综合（1）、（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。

[习题3-17] 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力MPa 20][=τ，切变模GPa G 80=，许可单位长度扭转角m o /5.2]['=ϕ。

试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。

解：（1）由强度条件选择直径
轴的扭矩图如图所示。

因为最大扭矩出现在II 、III 轮之间，所以危险截面出现在
此段内，危险点在此段的圆周上。

][163
max τπτ≤===-d T W T III II p III II mm mm
N mm N T d III II 80/2014.310006.216][163263=⨯⋅⨯⨯=≥-τπ （2）由刚度条件选择直径
][18032180'40
0'
ϕπππϕ≤⋅⨯⨯=⨯=d G T GI T p ][1010801803210006.2'12490
3'
ϕππϕ≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-d
故选用 。

[习题3-18] 一直径为d 的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶e M 后，测得圆杆表面与纵向线成0
45的方向上的线应变为ε。

试导出以e M ，d 和ε表示的切变模量G 的表达式。

解：圆杆表面贴应变片处的切应力为
圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a ）。

切应变 （1）
对角线方向线应变：
（2）
式（2）代入（1）：
[习题3-19] 有一薄壁厚为mm 25、内径为mm 250的空心薄壁圆管，其长度为m 1，作用在轴两端面内的外力偶矩为m kN ⋅180。

试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。

已知材料的切变模量GPa G 80=。

解：（1）求管中的最大切应力 p
I r T ⋅=max τ：
[习题3-20] 一端固定的圆截面杆AB ，承受集度为m 的均布外力偶作用，如图所示。

试求杆内积蓄的应变能。

已矩材料的切变模量为G 。

解：G d dx x m d G dx x m GI dx x T dV p 4224
2221632
122)(ππε=⋅⋅== p l GI l m G d l m G
d l m dx x G d m V 63216316163
24324320242=⋅===⎰πππε [习题3-21] 簧杆直径mm d 18=的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力kN F 5.0=作用，弹簧的平均直径为mm D 125=，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：
（1）簧杆内的最大切应力；
（2）为使其伸长量等于mm 6所需的弹簧有效圈数。

解： ，
故
因为
故 圈
[习题3-22] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F 如图，簧丝直径mm d 10=，材料的许用切应力MPa 500][=τ，切变模量为G ，弹簧的有效圈数为n 。

试求：
（1）弹簧的许可切应力；
（2）证明弹簧的伸长))((162221214R R R R Gd
Fn ++=
∆。

解：（1）求弹簧的许可应力
用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。

由平衡条件可知，在簧
杆横截面上：
剪力F Q =
扭矩FR T =
最大扭矩：2max FR T = ][)41(1616423
2322max "'max τπππτττ≤+=+=+=+=R d d FR d FR d F W T A Q p ， N mm
mm mm mm N mm R d R d F 3.957)1004101(10016/5001014.3)41(16][][2
33223=⨯+⨯⨯⨯=+=τπ 因为102010/200/>==d D ，所以上式中小括号里的第二项，即由Q 所产生的剪应力可以忽略不计。

此时
N mm mm N mm R d R d F 25.98110016/5001014.3)41(16][][2
332
23=⨯⨯⨯=+=τπ （2）证明弹簧的伸长))((162221214R R R R Gd
Fn ++=∆ 外力功：∆=F W 21 ， p
GI d R T dU 2)(2α⋅=
ααπααπππd n R R R GI F d R GI F GI d R FR U n p n p n
p 3
2012122032202]2[222)()(⎰⎰⎰⋅-+==⋅= 1
2414224R R R R GI n F p --⋅=π U W =
1
241422421R R R R GI n F F p --⋅=∆π ))((1622122214124142R R R R d
G n F R R R R GI n F p ++=--⋅=∆πππ [习题3-23] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶m kN M e ⋅=3。

已知材料的切变模量GPa G 80=，试求：
（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；
（2） 横截面短边中点处的切应力；
（3） 杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向
， ，
由表得
长边中点处的切应力，在上面，由外指向里
（2）计算横截面短边中点处的切应力
MPa
短边中点处的切应力，在前面由上往上
（3）求单位长度的转角
单位长度的转角
[习题3-24] 图示T 形薄壁截面杆的长度m l 2=，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量GPa G 80=，杆的横截面上和扭矩为m kN T ⋅=2.0。

试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。

解：（1）求最大切应力 MPa mm mm N h T i i i 2510
120210102.0331362
13max
max =⨯⨯⨯⋅⨯⨯==∑=δδτ （2）求单位长度转角 )(920001012023115.13143213'
mm h I i i i t
=⨯⨯⨯⨯=⋅=∑=δη m m m N m N GI T i /56.114.31801092000/1080102.018000
4122930''
=⨯⨯⨯⨯⋅⨯=⨯=-πϕ [习题3-25] 图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶e M 。

材料的许用切应力MPa 60][=τ。

试求：
（1） 按强度条件确定其许可扭转力偶矩][e M
（2） 若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩][e M 将减至多少？ 解：（1）确定许可扭转力偶矩][e M ][22min
0min 0max τδδτ≤==A M A T
e ][2min 0τδA M e ≤
][2min 0τδA M e ≤
)(28809)25.1100()25.1300(20mm A =⨯-⨯⨯-=
)(371.10)(10371240603288092m kN mm N M e ⋅=⋅=⨯⨯⨯≤
m kN M e ⋅=37.10][
（3） 求开口薄壁时的][e M
][max max τδτ≤=t
e I M max /][δτt e I M ≤
)(70923]2)97297[(3
143mm I t =⨯⨯+= )(142.0)(1418403/709260m kN mm N M e ⋅=⋅=⨯≤
m kN M e ⋅=142.0][
[习题3-26] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。

两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：
（1） 最大切应力之比；
（2） 相对扭转角之比。

解：（1）求最大切应力之比 开口：t
e I M δτ=开口m ax, 30303
2231δπδπr r I t =⨯⨯= 依题意：a r 420=π，故： 330303
432231δδπδπa r r I t ==⨯⨯= 2
3max,4343δδδδτa M a M I M e e t e ===开口 闭口：δ
δτ20max,22a M A M e e ==闭口 δ
δδττ2324322max,max,a M a a M e e =⋅=闭口开口 （3） 求相对扭转角之比
开口：330303
432231δδπδπa r r I t ==⨯⨯= 3'
43δϕGa M GI M GI T e t e t ===开口
闭口：δδδδϕ342020'4444Ga M Ga a M GA s M GA Ts e e e =⋅===闭口 22
33''4343δ
δδϕϕa M Ga Ga M e e =⋅=闭口开口。