泛函分析课程总结

泛函分析课程总结数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭、的充要条件是、、对任意都成立。

则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。

2. 度量空间的例子①离散的度量空间(),X d设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫=⎨⎬=⎩⎭当当②序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令()11,21i ii i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑③有界函数空间B （A ）设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义(),()()sup t Ad x y x t y t ∈=-④可测函数空间m(X)设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令()()(),1()()Xf tg t d f g dt f t g t -=+-⎰⑤[],C a b 空间令[],C a b 表示闭区间[],a b 上实值（或复值）连续函数的全体，对[],C a b 中任意两点,x y ，定义(),max ()()a t bd x y x t y t ≤≤=-⑥2l 空间 记{}12k k k x x x l ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭∞===<∞∑，设2k x x l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，2y k y l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=，定义 ()1221,()k k k d x y y x ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑注：度量空间中距离的定义是关键。

3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3.1收敛点列和极限定义： 设{}n x 是(),X d 中的点列，如果存在x X ∈,使(),0lim nd x x n =→∞，则称点列{}n x 是(),X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。

注：1.度量空间(),X d 中的收敛点列的极限是唯一的。

2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。

依测度收敛等）3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间定义：设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个自己，令M -表示M 的闭包，如果E M -⊂,那么称M 在集E 中稠密，当E = X 时称M 是X 的一个稠密子集。

如果X 由一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

注：1.若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密。

2. 欧氏空间R n 、空间C[a,b]、空间p p l b a L ],,[是可分的。

3. ∞l 不可分。

4.完备度量空间 4.1 柯西点列定义：设(),X X d =是度量空间，{}n x 是X 中的点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<则称{}n x 是X 中的柯西点列。

那么称(),X d 是完备的度量空间。

4.2 完备度量空间的例子 ① l ∞是完备度量空间 ② C 是完备度量空间 ③[],a b C 是完备度量空间4.3定理的证明定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的闭子空间。

证明：设M 是完备子空间，对每个x M -∈，存在M 中点列{}n x ，使()x x n n→→∞，由前述，{}n x 是M 中的柯西点列，所以在M 中收敛，有极限的唯一性可知x M ∈，即M M -⊂,，所以M M -=，因此M 是X 中的闭子空间。

5.度量空间的完备化 5.1等距同构映射定义：设(),X d ，~~,X d ⎛⎫⎪⎝⎭是两个度量空间，如果存在X 到~X 上的保距映射T ，即()()~,,d Tx Ty d x y =，则称(),X d 和~~,X d ⎛⎫⎪⎝⎭等距同构，T 称为X 到~X 上的等距同构映射。

5.2 度量空间的完备化定理定理：设(,)X X d =是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间~~,X d ⎛⎫⎪⎝⎭，使X 与~X 的某个稠密子空间W 等距同构。

并且~X 在等距同构的意义下时唯一的，即^^(,)X d 也是一完备度量空间，且X 与^X 的某个稠密子空间等距同构，则~~,X d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与^^(,)Xd 等距同构。

注：任一度量空间(),X d 都存在唯一的完备度量空间~~,X d ⎛⎫⎪⎝⎭，使X 为~X 的稠密子空间。

6.压缩映射6.1压缩映射 定义：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α，01α<<，使得对所有的,x y X ∈，()(),,,d Tx Ty d x y α≤ （1）则称T 是压缩映射 6.2压缩映射定理定理：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx x =，有且只有一个解）。

证明：设0x 是X 中任意一点，令10x Tx =，221010,...,,...n n n x Tx T x x Tx T x -====。

我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列，事实上，()()111,,(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ （2）10...(,)m d x x α≤≤由三点不等式，当n>m 时，1121(,)(,)(,)...(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101(...)(,)m m n d x x ααα--≤+++011(,).1n mmd x x ααα--=∙-因01α<<，所以11n m α--<，于是得到01(,)(,)1mm n d x x d x x αα≤- （n>m ） (3)所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 是X 中柯西点列，由X 完备，存在x X ∈，使()m x x m →→∞，又由三点不等式和条件（1），我们有1(,)(,)(,)(,)(,).m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+上面不等式右端当m →∞时趋于0，所以(,)0,d x Tx =即Tx x =下证唯一性。

如果又有~,x X ∈使~~T x x =,则由条件（1），~~~(,)(,)(,).d x x d Tx T x d x x α=≤因1α<，所以必有~(,)0d x x =，即~x x =。

注： 1. X 是完备的度量空间 2.T 是压缩映射3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理 7.赋范线性空间和巴拿赫空间7.1赋范线性空间定义：设X 是实（或复）的线性空间，如果对每个向量x X ∈，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并满足1.0,00;2.,3.,,.x x x x x x y x y x y X ααα⎧⎫≥==⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪+≤+∈⎩⎭且等价于其中为任意实（复）数； 则称x 为向量x 的范数，称X 按范数x 成为赋范线性空间。

设{}n x 是X 中点列，如果存在x X ∈，使0()n x x n -→→∞，则称{}n x 依范数收敛于x ，记为()lim n n n x x n x x →∞→→∞=或。

如果令(,)d x y x y =- (,)x y X ∈即{}n x 依范数收敛于x 等价于{}n x 按距离(,)d x y 收敛于x ，称(,)d x y 为由范数x 导出的距离。

注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间7.2几种常见的巴拿赫空间 ①欧式空间n R对每一个()12,,...,n n x R ξξξ=∈，定义范数x =（1）又因n R 完备，x 是n R 中范数。

故n R 按（1）式中范数成为巴拿赫空间。

②空间[],C a b对每一个[],C a b x ∈，定义max ()a t bx x t ≤≤= （2）[],C a b 按（2）式中的范数成为巴拿赫空间。

③空间l ∞对每一个()12,,...,x l ξξ∞=∈，定义sup j jx ξ= （3）l ∞按（3）式中的范数成为巴拿赫空间。

④空间[],p L a b(1)p ≥对于每个[],p f L a b ∈，定义()1()bpppaff t dt=⎰（4）[],p L a b(1)p ≥ 按（4）式中的范数成为巴拿赫空间。

⑤空间p l对每一个()12,,...,pl x ξξ∈=，定义111pp pi xξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （5）p l 按（5）式中的范数成为巴拿赫空间。

7.3两个重要的不等式和两条定理 (1)霍尔德不等式 设111,,1,,,p p g p qp f L a b L a b ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦>∈∈，那么()()f t g t 在,a b ⎡⎤⎣⎦上L 可积，并且()()bpq af tg t dt fg ≤⎰（2）闵可夫斯基不等式 设1p >，,,p f g L a b ⎡⎤⎣⎦∈，那么,p f g L a b ⎡⎤⎣⎦+∈，并且成立不等式()()ppp f t g t fg +≤+定理1：当1p ≥时，,p L a b ⎡⎤⎣⎦按（4）式中范数pf成为赋范线性空间。

定理2：[],p L a b (1)p ≥是巴拿赫空间7.4 有限维赋范线性空间的性质定理3：设X 是n 维赋范线性空间，{}12,,...,n e e e 是X 的一组基，则存在常数M 和'M ，使得对一切1k k k x e ξ∞==∑ ，有122'1()nk k M x M x ξ=≤≤∑推论1：设在有限维线性空间上定义了两个范数x 和1x ，那么必存在常数M 和'M ，使得1'M x x x M ≤≤拓扑同构的定义：设()11,R x 和()22,R x是两个赋范线性空间。