静力学-力系平衡+刚体系统平衡 1

[AB]:
M
F
x
0
B
MA
[BC]:
FBx
FBy
FAx FBx 0
(1)
FAx a
0
FAx Fy 0 FAy FBy 0 (2) F Ay M A 0 M M A FBy a 0 MA
(3)
F
x
FBx F cos 60 0 (4) FBx
例：多跨桥梁简图如图示，巳知：F=500N,q=250N/m, M=500N· m,求：A,B,E 处的支座约束反力。
解：取[整体]受力分析
Fx=0, FAx=0 Q1=2· q
Q=4· q
A
F
B 1
qQ C D
M
E
取[CE]受力分析
MC=0, 4· FE–M–Q1=0 FE=250N [整体]
FAx
3、[整体]
2、[BC杆]，画受力图
FBy F
B
60
0
FC
C
F M
y
0 0
FAy
MA
FBx a
B
A
M
0
FC
平面刚体系平衡求解
不用思考，但解方程复杂 1、一般解法 隔离所有的n个刚体，每个刚体可列3个平衡 方程。得到3n个独立的方程(肯定独立)组成的方 程组，可解3n个未知量。 2、分析解法 选择合适的隔离体求解所需的未知量 原则： a、先整体后局部——常用取矩，用一个方程求得某个未知 b、局部分析从二力杆或受力简单的构件入手
4.2 平面任意力系的平衡条件
y
一 矩 式
o
x
Fx 0 基本形式 F 0 y M o ( F ) 0
平面任意力系平衡的充分必要条件：
力系的各力在该平面内任意两根不相平行的坐标轴上投 影的代数和及对平面内任意点的矩的代数和等于零。
例：结构如图，已知W，a，求杆A、B处的约束力
三 矩 式
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
A、B、C三点不共线
平面任意力系的平衡条件
FR 0, M O 0
一 矩 式
y
o
x
Fx 0 基本形式 Fy 0 M o ( F ) 0
D [AC]: 受力如图
W
W
Fx 0 C Fy 0 M o ( F ) 0
FB 2 2W
FAx 2W
FAy W
二 矩 式
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
A、B连线与ox轴不垂直
A a B C
FAy
A
a
a
FAx B FB
2 M A (F ) 0 W 2a 2 FB a 0 2 F 0 x FAx FB 0 2 2 Fy 0 FAy FB W 0 2 能否用对B点的矩求FAy？ FAy a W a 0
第四节
静定与超静定
刚体系统的平衡
刚体系的平衡
•刚体系： 由若干个刚体用约束连接起来的系统
一、静定与超静定问题
A
F M
B
F
A
M
•静定
B
A
F M
B
F
A
M
B
•超静定
•下面两图中存在多余的约束，
•未知量数目大于独立平衡方程的个数
•静定
A
F M
•超静定
B A
F M
B
•静 定 问 题 未知量的数目= 独立平衡方程的数目 •超静定问题（静不定问题) 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
FAx FAy 1
2
2
2m
FB
[整体] C
FE
Q1来自百度文库
M
E
MA=0, –F+2FB–4Q–M+8FE=0 FB=1500N, Fy=0, FAy+FB+FE–F–Q=0 FAy=250N。
FCx
FCy
[CE]
FE
MB=0， –FAX · 550+ (1400· 0.5+40)Q =0, FAx= –2.8kN。
可校核方程： MC=0， 应满足。
例 ：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自 重不计，已知：F力作用，求：三根支撑杆的约束反力。 解：雨棚受力如图
M A 0, 2F1 5F 0 ,
FBy FC F sin 60 0
a F sin 60 FC a 0 2
FBy
B
F
600
FC
C
Fy 0
(5) (6)
FBy
M
B
0
FBx a
FC
解方程(1)～(6)
方法二：
解：1、[整体] 受力图:
分析解法 A
FAy
M
B
F
a
60
0
FC
C
MA
FAx a
x
F
0
解：[AB],受力分析 A B
F
x
0, FAx 0
F
y
0,
l
FAy
MA
A FAx B
FAy qdx 0,
0
FAy ql
M
A l
0, 1 2 M A ql 2
M A xqdx 0,
0
例 ：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500N/m，其它尺寸如 图示，求：约束A，B处的约束反力。
F1 5F 2
1m 1m A 1m 4m B C
M C 0,
F2 4 F 0,
F2 4 F
F
F1 F3
A
C
M D 0,
2 F3 3 F 0 , 3F F3 2
F2
D
可以校核方程：
Fx=0， 应满足。
F
例 ：一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机 的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内， 且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。
解：[汽车] 受力分析如图 极限状态 FA 0
G3
A
G2
M F 0,
B
G1
1.8 m 2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
G
FA
FB
G max ( 2 . 5 m 3 m ) G 2 2 . 5 m G 1 2 m 0
G max 1 2G1 2.5G 2 7.5 kN 5 .5
空间问题
平面问题
Fx 0 , Fy 0
力偶系平衡的充分必要条件： 空间问题
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
平面问题
M
0
1
Fx 0 FR 0, M O 0 Fy 0 Fz 0
FR 0, M O 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
四、其它力系的平衡条件 汇交力系平衡的充分必要条件：
Fx 0 Fy 0, Fz 0
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
4.1 平行力系的平衡条件
z
空间问题
o
x
z
y
Fz 0 M x ( F ) 0 , M y ( F ) 0
平面问题
o
y
Fz 0 M x ( F ) 0
2
问题：空间力系中各力的作用线平行于某固定平面， 试分析该力系的平衡方程数目。
Fx 0 FR 0, M O 0 Fy 0 Fz 0
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
二 矩 式
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
三 矩 式
A、B连线与ox轴不垂直
A、B、C三点不共线
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q， 求：梁A端的约束力。
•有唯一解
•无穷组解
•利用用变形协调条件确定真实解
二、刚体系统的平衡
[隔离体]、[整体]
刚体系平衡 系统中每个刚体平衡
A
B
F
600
C
M
问题：平面刚体系若由n个单刚体组合而成， 可用的独立平衡条件最多有多少？ 独立平衡方程数N:
N 3n
A
B
F
60
0
M
[整体]
n个隔离体的平 C 衡方程(3n个) 肯定独立。
60
0
FAy
A
M
B
F
a
FC
C
FAx F cos 60 0 (1)
MA
[AB]: FAy A
FAx a
M
a
B
FBx
FBy
F
x
0 0
MA
[BC]: B
FAx
F
x
FAx FBx 0
(2)
FBy F
60
0
FC
C
FBx F cos 60 0 (3) (3) (1) (2)
FAx
550 B 200 FB 40
解： [叉车]受力分析如图 Q=1.4q=2.1kN
A
FAy
Q
q c 1400mm
MA=0, FB· 550–(1400· 0.5+40)Q=0
FB=2.8kN Fy=0, FAy– Q=0 FAy=Q=2.1kN，
FAx= –2.8kN
Fx=0, FAx+FB=0 也可：二力矩
Fx 0
FBx a
独立方程有两个
刚体系静定与超静定的判定 •静 定 问 题 未知量的数目= 独立平衡方程的数目 思考题：确定图示系统的静定性。
A B
F
C
M
例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F作用在BC杆的中点， 求 A、C 的约束力
A
B
F
600
C
M
A
B
F
60
0
C
M
FAy
A
一般解法 方法一: 解：以 每个物体为研究 对象, 画其受力图。