静力学-力系平衡+刚体系统平衡 1
力系的平衡
n
n
∑M
i =1
n
O
( Fi ) = 0
Oy
∑M
i =1
n
Ox
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
3个平衡方程 个平衡方程 平面力偶系
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 6
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
1个平衡方程 个平衡方程
E
∑F
i =1
n
F
q C a a
M D
求支承处对梁的约束力
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 14
力系的平衡/刚体系平衡
[解] 解
定研究对象： 定研究对象：梁OBD 定问题性质： 定问题性质：平面 建立参考基： 建立参考基： 受力分析 主动力简化
y
O
F
q C a
FCy
M D
A a
FAy
B a a F1 F
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 8
力系的平衡/力系的平衡方程
[例] 例
图示长为l的简支梁上作用一分布 图示长为 的简支梁上作用一分布 上作用一 载荷， 载荷，其单位长度上受力的大小 称为载荷集度 单位为牛顿/米 载荷集度(单位为牛顿 称为载荷集度 单位为牛顿 米) 其左端的集度为零， 其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向 。 ， 垂直向下。 垂直向下。 O l
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学
力系的平衡/力系的平衡方程
力学平衡力和静力学的分析
力学平衡力和静力学的分析力学平衡力和静力学是力学中的重要概念和理论，用于研究物体在静止或平衡状态下的力学性质和相互作用。
在这篇文章中，我们将对力学平衡力和静力学进行深入的分析和讨论。
一、力学平衡力的概念和原理1.1 力学平衡力的概念力学平衡力是指物体在施加力的情况下，保持静止或匀速直线运动的状态。
当物体处于平衡力状态时，合力和合力矩为零。
1.2 力学平衡力的原理根据牛顿第一定律，如果物体处于平衡状态，则合外力和合外力矩为零。
即ΣF = 0，Στ = 0。
其中ΣF表示合外力，Στ表示合外力矩。
二、静力学的分析方法静力学是力学中研究物体处于平衡状态下受力和力的平衡的学科。
在静力学中，通过应用力的平衡条件和切比雪夫定理来解决问题。
2.1 力的平衡条件力的平衡条件是指合外力和力矩为零的条件。
在平衡状态下，物体受力平衡时，合外力和合外力矩都为零。
根据力的平衡条件，我们可以得出物体受力平衡的方程式和解题方法。
2.2 切比雪夫定理切比雪夫定理是静力学中常用的分析方法之一。
根据切比雪夫定理，如果一个物体处于平衡状态，则物体受力的直线作用线经过物体的重心。
三、力学平衡力和静力学的应用力学平衡力和静力学的理论和方法在工程、建筑、物理学等领域有广泛的应用。
3.1 工程应用在工程领域，力学平衡力和静力学可以用来分析和设计建筑物、桥梁、机械设备等结构的稳定性和安全性。
通过合理的力学平衡力和静力学分析，可以确保工程结构的稳定性和可靠性。
3.2 物理学应用在物理学领域，力学平衡力和静力学的理论和方法可以用于研究物体的力学性质、运动规律和相互作用。
通过力学平衡力和静力学的分析，可以揭示物体间的力学规律和相互关系。
3.3 生活应用力学平衡力和静力学的理论和方法在日常生活中也有很多应用。
比如，在搬运重物、做家务、开车等活动中，我们需要根据力学平衡力和静力学的原理来合理地施加力，以保证活动的稳定和安全。
四、总结力学平衡力和静力学是力学中的重要概念和理论，对于研究物体在静止或平衡状态下的力学性质和相互作用具有重要意义。
理论力学中的静力学平衡条件与应用
理论力学中的静力学平衡条件与应用在理论力学中，静力学是研究物体处于平衡状态时的力学原理和条件。
静力学平衡条件是判断物体是否处于平衡状态的基本准则。
本文将对理论力学中的静力学平衡条件进行分析，并探讨其在实际应用中的意义。
1. 刚体静力学平衡条件在理论力学中，刚体是指其形状和体积在外力作用下保持不变的物体。
刚体静力学平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本原理。
根据刚体静力学平衡条件，一个刚体处于平衡状态需要满足以下两个条件：- 力的平衡条件：合力为零。
即作用在刚体上的所有力的矢量和等于零。
- 力矩的平衡条件：合力矩为零。
即作用在刚体上的所有力矩的代数和等于零。
2. 非刚体静力学平衡条件在实际应用中，许多物体并不是刚体，而是由多个部分组成的弹性体。
对于非刚体的情况，同样存在静力学平衡条件来判断物体是否处于平衡状态。
非刚体静力学平衡条件包括以下几个方面：- 力的平衡条件：合力为零。
即作用在物体上的合外力等于零，物体保持静止。
- 力矩的平衡条件：合力矩为零。
即作用在物体上的合外力矩等于零，物体不会产生旋转。
- 形变平衡条件：物体内部各部分之间应满足力的平衡条件和形变的平衡条件，使得物体整体保持平衡。
3. 静力学平衡条件的应用静力学平衡条件在工程学、建筑学和力学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：- 结构力学：静力学平衡条件可用于判断建筑物、桥梁和机械结构等是否处于稳定的平衡状态，从而确保其安全性。
- 弹性体力学：静力学平衡条件可用于分析和设计材料的弹性性能，求解材料的应力和变形分布。
- 静力学问题求解：通过应用静力学平衡条件，可以解决一些静力学问题，如悬臂梁的荷载计算、桥梁上的力的平衡等。
4. 实例分析以建筑结构为例，应用静力学平衡条件可以分析房屋的支撑结构是否稳定。
在设计房屋的支撑结构时，需要考虑以下几个方面：- 力的平衡条件：房屋所受的重力需要通过支撑结构的柱子、墙壁等来承受，使得合力为零，保持平衡。
力系的平衡.ppt
2m
Fix 0
FAx FBx FT1
2 0 4 16
E FAx
FAz A FAy
D
4m
FBz
FT FT2
B FBx
y
FT1 C
FAx
30 100 6 6
2 100N 20
x
P
Fiy 0
FAy FT1
4 20
0
FAy
30 100 6 6
n
M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
i 1
i 1
（AB连线不 垂直于x轴）
(A、B、C 三点不共线)
（2）平面力偶系：（各力偶Mi作用面相互平行即可）
n
Mi 0
i 1
一个独立方程！
（3）平面平行力系：
设各力与 y 轴平行
n
Fiy 0
i1
n
M A (Fi ) 0
M2 Mi
FR Fi 0
平衡方程仅有 MO Mi 0
O
M1
即 Mix 0, Miy 0, Miz 0 M3
（3）空间平行力系 —3个独立方程
z
F2
Fi
设各力平行于z 轴，则有
Fix 0, Fiy 0, Miz 0 x
平衡方程仅有
F3 O
F1
Fiz 0, Mix 0, Miy 0 y （4）其他
例如：空间各力与某轴 l 相交 ——仅有5个独
l
立的平衡方程
各力对 l 轴之矩恒为零
2.平面任意力系的平衡方程
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
理论力学第I篇 静力学习题课
A
O
B
FOx
FBy
B
FBx
W1
FBx
W2
C
M
FCD
O
a0 0, W1l FBy
2
由式（1）、（2），得
F
y
0, FBy W2
1
W1 a # W2 l
附录： 习题解答
3－15
3－15 图示构架中，物体重1200N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如 图所示。如不计杆和滑轮的自重，试求支承A和B处的约束力，以及杆BC的受力 FBC 。 C
例题2
F b
C
q
a B
M C
FC B q F'B B M
M M 0 , F b M 0 , F F # C C B b
a A
F
FB
F F
x
0 0, F FAx FB
1
2
MA FAx A FAy
y
0, FAy qa 0, FAy qa#
理论力学
Ｆ
Ａ
Ｆ
Ｆ１ Ｆ２
Ｆ２
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｂ
F2=－F1=F
此推论只适用于刚体。
推论二．三力平衡汇交定理 （或称三力平衡的必要条件）
内容 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（必共面， 在特殊情况下，力在无穷远处汇交——平行 力系。）
空间汇交（共点）力系 空间平行力系 空间力偶系 空间任意力系
第一章
静力学公理和物体的受力分析
§1-1 静力学公理 §1-2 约束和约束力 §1-3 物体的受力分析和受力图.力学模 型和力学简图
重点：受力图的画法。
难点：常见约束类型的约束力的分析
§1-1 静力学公理
静力学公理是在静力学中被实 践反复证实，并无须再用数学手段 进行证明的真理。
FC
[例5] 画出下列各构件的受力图
O C FT1 F’T2
Q
D
A
E B
F’T1
FT3
FO FT2
O
C
F ’C
Q
D
E
A
B
FA F’T3
FB
FC FT4
O
C
FC1
Q
D
E
FD
A
B
FA
F ’C F’C1
FC2 FE
F’C2
FB
三、画受力图应注意的问题
1、不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处一般有力，力的方向由约束类型而定。
体受力与运动状态变化间的关系）中的重要环节。
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
《土木工程-力学》第一章 静力学
均布荷载
非均布荷载
线荷载集度q：作用在单位长度上荷载的大小。
(N/m,kN/m)
大小——待定
约 束
方向——与该约束所能阻碍的Leabharlann 移方向相反力 作用点——接触处
工程上常见的约束 1 、柔索约束
柔索对物体的约束力沿着柔索中心线且为拉力， 用 表F示T 。
胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。
2、力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系 等效代替一个复杂力系。
3、建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平 衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题 。
第1章 静力学公理和物体的受力分析
§1-1 静力学公理
公理1：力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为 一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小 和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对 角线确定，如图所示。
解：绳子受力图如图（b）所示
梯子左边部分受力 图如图（c）所示
梯子右边部分受力 图如图（d）所示
整体受力图如图（e）所示
提问：绳子对左右两部分梯子均有力作用，为什 么在整体受力图没有画出？
空间汇交（共点）力系 空间平行力系 空间力偶系 空间任意力系
平衡：物体在力的作用下相对于惯性参考系保持静 止或作匀速直线运动的状态。
在一般工程问题中，所谓平衡则是指相对于地 球的平衡，特别是指相对于地球的静止。
平衡力系：如果一个力系作用于某物体而使其保 持平衡状态，则该力系称为平衡力系。
平衡条件：一个力系必须满足某些条件才能使物 体保持平衡状态，则这些条件称为平衡条件。
球铰链对物体的约束力通过球窝中心，方向不 定。通常将它分解为三个互相垂直的分力。
总结
轮机工程基础力学部分：理论力学三加一
画受力图应注意的问题
⒈ 不要漏画力
除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受
力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，
接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此 ⒉ 不要多画力 对于受力体所受的每一个力，都应能明确地
围物体称为约束。
主动力:
促使物体运动或使物体产生运动趋势的力称为主 动力(如重力、风力、切削力、物体压力、牵引力）。
约束反力：
约束给被约束物体的力叫约束反力.(约束的作用由
力来表示，该力称为约束反力.)
约束反力实际上反映了物体间的相互作用. 约束反力特点： ①大小常常是未知的； ②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
大小相等，方向相反，沿着同一条直线，分别作 用在这两个物体上。 作用力和反作用力的作用对象：两个物体 二力平衡：一个物体
刚化原理
若变形体在某一力系作用下平衡，则可将此 受力的变形体视为刚体，其平衡状态仍保持不变。
三、约束与约束反力
1.约束与约束反力的概念 一个物体的运动受到周围物体的限制时，这些周
同向，则投影为正，反之为负。
y
2）合力投影定理 Rx X
R y Y
Ry Y3
R
F3
Y2
Y1
A
a
O
F1
F2
b Bd c
X1 Rx
X3
X2
x
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
合力的大小： R Rx2 Ry2
x2 y2
第3章 静力学平衡问题
第3章 静力学平衡问题 §3.1 平衡与平衡条件一、平衡的概念物体的平衡，在工程上是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。
平衡是相对于确定的参考系而言的。
静力学所讨论的平衡问题可以是单个刚体，也可以是由若干个刚体组成的刚体系统。
刚体或刚体系统是否平衡取决于作用在其上的力系。
二、平衡条件要使物体保持平衡状态，作用在其上的力必须满足一定的条件，这种条件我们称为力的平衡条件。
从效应上看，物体保持平衡应是既不移动，又不转动。
因此，力系的平衡条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩等于零。
其解析表达式称为平衡方程。
§3.2 平面力系的平衡方程一、平面力系的平衡方程1）基本形式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(000F M Y X2）二矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴3）三矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线特殊力系的平衡方程 1）共线力系：=∑i F2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X3）平面力偶系： 0i m =∑4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ⎩⎨⎧=∑=∑§3.3 空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0必须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。
具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。
此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。
使计算更为简便。
几种特殊力系的平衡方程1）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=02）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=03）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=04）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X==∑YM(=∑F)z§3.4 平衡方程的应用一、一般应用举例例3-1，例3-3，例3-4，例3-5（改求起重机不翻平衡块的重量就应是多少？），例3-6，例3-7 补充：已知：带轮D ：D1=400 mm ，FT=2000 N ，Ft=1000 N ；齿轮C ：D2=200 mm ，a=20° 求：齿轮C 的啮合力Fn ，轴承A 、B 的约束力FA 、FB轴承A 、B 的约束力FA 、FB 就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力 为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz ？y 轮轴线，z 轴铅直，Ｏxy 是水平面，三轴垂直 轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz 方向，用F Ax 、F Az 和F Bx 、F Bz ，或X A 、Z A 和X B 、Z B 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz 平面上)受力图，没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除这两个轴承约束=B M ∑02cos 2221t 1T =⨯⨯⨯D F D F D F n a --2000×200-1000×200-Fncos20°×100=0 Fn=2130 N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz 平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130×0.9396=2000 N因主动力Fnz=2000 N 作用点到A 、B 两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以N10002N 20002-====--nzB A F Z Z俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy 平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130×0.3420=729 NΣMA=0 -(FT+Ft)×0.15+Fnx ×0.25-XB ×0.5=0 -(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB ×0.5=0 XB=-536 NΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0 -2000-1000+XA-729+(-536)=0 XA=4265 N 结论：Fn=2130 NXA=4265 N ； XB=-536 N ZA=-1000 N ； ZB=-1000 N 小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力 ②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa ×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA 、ZA 和XB 、ZB 四力） 不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn ，因为在x 方向，实际上还有XA 、XB 两力的投影 二、重心1、物体的重心物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。
第一篇工程静力学
A
A
B
MA
A
FAx
B
固定端 平面——约束力的两个分量和一个约束力偶； 约束力 空间——约束力的三个分量和约束力偶的三个
分量。
三、关于力系简化的最后结果的讨论
1、 F 2、 3、 4、
R 0, M O 0
平衡 合力 合力偶 还可以再简化
FR 0, M O 0
FR 0, M O 0
n
M= M i
i=1
例题:作图示摇杆机构的受力图
C
M1
B
D
ND
M1
D
NB
B
ND
M2
M2
A
A
NA
§2–3力系的简化
一、力向一点平移定理
由力学基本定理可知，作用于刚体上 的力，沿其作用线方向移动，不改变力对 刚体的运动效应。
F’ F” F” A A F F F’ F
A
B
B
力的平移
力的平移定理： {F }A {F ' , M B }B ,
平面力 偶 的 特 点 平面力偶矩可视为代数量，即
M Fd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
推论１：只要保持力偶矩不变，力偶可以在 其作用面内任意移动和转动，而不会改变 力偶对刚体的运动效应； 推论２：只要保持力偶矩不变，可以同时改 变组成力偶的力和力偶臂的大小，而不会 改变力偶对刚体的运动效应；
i 1 i 1 2 2
3k (3i 4 j ) 4 j (3i 4 j )
12i 9 j 12k
M A ri Fi 0 rAC F2
i 1 2
第三章 刚体平衡
力偶系：作用在物体上的若干个力偶
简化
力偶系
合成
合力偶
合力偶的力偶矩 = 力偶系中各力偶的力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M
平面力偶系的平衡条件： 所有力偶的力偶矩的代数和等于零
M M1 M 2 M n 0
F
q
B FBx F’Bx B F’By
q
C
FAx
A FAy
D
FD
FBy
FC
梁ADB段的受力图
梁BC段的受力图
14
第一节 静力学基本概念及原理
F
q
C
FAx
A FAy
D
FD
B
FC
整体受力图
15
第一节 静力学基本概念及原理
例3-5 不计三铰拱桥的自重与 摩擦，画出左、右拱AB，CB 的受力图与结构整体受力图。
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
33
第三节 平面一般力系
平面一般力系向作用面内任一点 O 简化，可得一个力和一个 力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心; 这个力偶 的力偶矩等于力系对于简化中心O点的主矩。
一、力线平移定理
力线平移定理： 作用于刚体上的力，可以平移到同一刚体 的任意指定点，但必须同时附加一力偶， 其力偶矩等于原来的力对该指定点的矩。
F′
F B d A F′′ M F′
=
B A
力线平移定理 是力系简化的 理论依据
M=±F. d=MB(F)
32
静力学
静力学静力学内容简介静力学所研究的对象——即物体一般可以抽象成两种不同的模型：质点和刚体。
因此静力学又可分为质点静力学、刚体静力学等。
静力学研究有关物体的平衡问题。
所谓平衡，乃是运动的一种特殊形态，因此，建立了力与运动两者之间关系的动力学也概括了静力学的内容。
换言之，静力学问题可视为动力学问题的特例。
在质点动力学中，质点运动的基本微分方程为：iF ma =∑如果令0a =，便得到一个质点在力的作用下的平衡方程，即质点静力学的基本方程为：0i F =∑对于刚体也有相类似的静力学基本方程：i i F m ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑由上述基本方程已经可以看出，静力学问题一般来说比动力学问题简单些；另一方面，从求解手段的角度看，不仅动力学的有关定理、定律完全适用于静力学问题，而且由于处于平衡状态这一特殊性，使静力学有其自身的一些特殊规律，应用静力学所特有的有关定律解题一般更为简捷。
一般静力学问题，除了例行的对于平衡性质的认识以及对于力系的分析和简化外，大致可分成两类：第一类是已知平衡时物体的相对位置，求力；第二类是已知作用于物体的力，求平衡时物体的相对位置。
图1：已知m 、F 、k ，求平衡时压下的长度。
属第一类问题，因为关键在于求出弹性力。
图2：已知m 、F ，求θ。
属第一类问题，要求的是绳的张力的方向。
图3：已知棒AB 在力1m g 、2m g 作用下平衡，求平衡时物体的相对位置，为第二类问题。
在进行了力系的分析和简化，并分清了问题的类型之后，就可以按静力学的基本方程去解物体的平衡问题。
关于解题的具体步骤，我们将结合实例予以讨论。
需要强调指出的是：解静力学问题的根本途径是建立静力学的基本方程即物体的平衡方程。
要充分认识正是由于诸力（或力矩）共同作用的结果导致了物体的平衡，而物体的平衡又与物体的相对位置有关。
我们的任务就是要把未知的力、力矩或物体的相对位置，尽量通过某一物体或几个物体的平衡方程与已知力（或力矩）联系起来，而后从这些方程中解出所要求的未知量。
静力学基础知识
力矩与力矩平衡
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，由力的大小、力臂长度和力的方向共同决定。力矩 平衡则是描述物体转动状态的一种状态，当作用于物体的所有外力矩之和为零时，物体
保持平衡状态。
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，它由力的大小、力臂长度和力的方向共同决定。力臂是从转动轴到力的 垂直距离，对于确定点的转动，所有力的力矩代数和等于零。力矩平衡则是描述物体转动状态的一种状态，
04
静力学中的力系
力系的定义与分类
定义
力系是作用在物体上的一组力的集合。
分类
根据力的作用线是否通过一点，可以分为共 点力系和非共点力系；根据力的作用线是否 在同一个平面内，可以分为平面力系和空间
力系。
力系的简化与合成
简化
通过力的平移，将一个力系简化为一个合力，这个合力 与原力系等效。
合成
将两个或多个力合成一个或少数几个力，这些力与原力 等效。
当作用于物体的所有外力矩之和为零时，物体保持平衡状态，即不会发生转动或匀速转动。
力的合成与分解
要点一
总结词
力的合成是指将两个或多个力合成为一个力的过程，力的 分解则是将一个力分解为两个或多个分力的过程。在合成 与分解过程中，必须遵循平行四边形定则或三角形法则。
要点二
详细描述
力的合成是指将两个或多个力合成为一个力的过程，而力 的分解则是将一个力分解为两个或多个分力的过程。在合 成与分解过程中，必须遵循平行四边形定则或三角形法则 。平行四边形定则是表示两个力和分力之间关系的平行四 边形，其中对角线代表合力的大小和方向。三角形法则则 是将一个力分解为两个分力时，分力与合力共同构成一个 三角形。
静力学的基本假设
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•有唯一解•无穷组解源自•利用用变形协调条件确定真实解
二、刚体系统的平衡
[隔离体]、[整体]
刚体系平衡 系统中每个刚体平衡
A
B
F
600
C
M
问题：平面刚体系若由n个单刚体组合而成， 可用的独立平衡条件最多有多少？ 独立平衡方程数N:
N 3n
A
B
F
60
0
M
[整体]
n个隔离体的平 C 衡方程(3n个) 肯定独立。
FAx FAy 1
2
2
2m
FB
[整体] C
FE
Q1
M
E
MA=0, –F+2FB–4Q–M+8FE=0 FB=1500N, Fy=0, FAy+FB+FE–F–Q=0 FAy=250N。
FCx
FCy
[CE]
FE
解：[AB],受力分析 A B
F
x
0, FAx 0
F
y
0,
l
FAy
MA
A FAx B
FAy qdx 0,
0
FAy ql
M
A l
0, 1 2 M A ql 2
M A xqdx 0,
0
例 ：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500N/m，其它尺寸如 图示，求：约束A，B处的约束反力。
FBy FC F sin 60 0
a F sin 60 FC a 0 2
FBy
B
F
600
FC
C
Fy 0
(5) (6)
FBy
M
B
0
FBx a
FC
解方程(1)～(6)
方法二：
解：1、[整体] 受力图:
分析解法 A
FAy
M
B
F
a
60
0
FC
C
MA
FAx a
x
F
0
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
二 矩 式
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
三 矩 式
A、B连线与ox轴不垂直
A、B、C三点不共线
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q， 求：梁A端的约束力。
60
0
FAy
A
M
B
F
a
FC
C
FAx F cos 60 0 (1)
MA
[AB]: FAy A
FAx a
M
a
B
FBx
FBy
F
x
0 0
MA
[BC]: B
FAx
F
x
FAx FBx 0
(2)
FBy F
60
0
FC
C
FBx F cos 60 0 (3) (3) (1) (2)
FR 0, M O 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
四、其它力系的平衡条件 汇交力系平衡的充分必要条件：
Fx 0 Fy 0, Fz 0
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
4.1 平行力系的平衡条件
z
空间问题
o
x
z
y
Fz 0 M x ( F ) 0 , M y ( F ) 0
平面问题
o
y
Fz 0 M x ( F ) 0
FAx
550 B 200 FB 40
解： [叉车]受力分析如图 Q=1.4q=2.1kN
A
FAy
Q
q c 1400mm
MA=0, FB· 550–(1400· 0.5+40)Q=0
FB=2.8kN Fy=0, FAy– Q=0 FAy=Q=2.1kN，
FAx= –2.8kN
Fx=0, FAx+FB=0 也可：二力矩
空间问题
平面问题
Fx 0 , Fy 0
力偶系平衡的充分必要条件： 空间问题
M x ( F ) 0 M y ( F ) 0, M z ( F ) 0
平面问题
M
0
1
Fx 0 FR 0, M O 0 Fy 0 Fz 0
FAx
3、[整体]
2、[BC杆]，画受力图
FBy F
B
60
0
FC
C
F M
y
0 0
FAy
MA
FBx a
B
A
M
0
FC
平面刚体系平衡求解
不用思考，但解方程复杂 1、一般解法 隔离所有的n个刚体，每个刚体可列3个平衡 方程。得到3n个独立的方程(肯定独立)组成的方 程组，可解3n个未知量。 2、分析解法 选择合适的隔离体求解所需的未知量 原则： a、先整体后局部——常用取矩，用一个方程求得某个未知 b、局部分析从二力杆或受力简单的构件入手
三 矩 式
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
A、B、C三点不共线
平面任意力系的平衡条件
FR 0, M O 0
一 矩 式
y
o
x
Fx 0 基本形式 Fy 0 M o ( F ) 0
MB=0， –FAX · 550+ (1400· 0.5+40)Q =0, FAx= –2.8kN。
可校核方程： MC=0， 应满足。
例 ：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自 重不计，已知：F力作用，求：三根支撑杆的约束反力。 解：雨棚受力如图
M A 0, 2F1 5F 0 ,
4.2 平面任意力系的平衡条件
y
一 矩 式
o
x
Fx 0 基本形式 F 0 y M o ( F ) 0
平面任意力系平衡的充分必要条件：
力系的各力在该平面内任意两根不相平行的坐标轴上投 影的代数和及对平面内任意点的矩的代数和等于零。
例：结构如图，已知W，a，求杆A、B处的约束力
解：[汽车] 受力分析如图 极限状态 FA 0
G3
A
G2
M F 0,
B
G1
1.8 m 2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
G
FA
FB
G max ( 2 . 5 m 3 m ) G 2 2 . 5 m G 1 2 m 0
G max 1 2G1 2.5G 2 7.5 kN 5 .5
[AB]:
M
F
x
0
B
MA
[BC]:
FBx
FBy
FAx FBx 0
(1)
FAx a
0
FAx Fy 0 FAy FBy 0 (2) F Ay M A 0 M M A FBy a 0 MA
(3)
F
x
FBx F cos 60 0 (4) FBx
D [AC]: 受力如图
W
W
Fx 0 C Fy 0 M o ( F ) 0
FB 2 2W
FAx 2W
FAy W
二 矩 式
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
A、B连线与ox轴不垂直
第四节
静定与超静定
刚体系统的平衡
刚体系的平衡
•刚体系： 由若干个刚体用约束连接起来的系统
一、静定与超静定问题
A
F M
B
F
A
M
•静定
B
A
F M
B
F
A
M
B
•超静定
•下面两图中存在多余的约束，
•未知量数目大于独立平衡方程的个数
•静定
A
F M
•超静定
B A
F M
B
•静 定 问 题 未知量的数目= 独立平衡方程的数目 •超静定问题（静不定问题) 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
Fx 0
FBx a
独立方程有两个
刚体系静定与超静定的判定 •静 定 问 题 未知量的数目= 独立平衡方程的数目 思考题：确定图示系统的静定性。
A B
F
C
M
例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F作用在BC杆的中点， 求 A、C 的约束力
A
B
F
600
C
M
A
B
F
60
0
C
M
FAy
A
一般解法 方法一: 解：以 每个物体为研究 对象, 画其受力图。
F1 5F 2
1m 1m A 1m 4m B C
M C 0,
F2 4 F 0,
F2 4 F
F
F1 F3
A
C
M D 0,
2 F3 3 F 0 , 3F F3 2
F2
D
可以校核方程：
Fx=0， 应满足。
F
例 ：一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机 的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内， 且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。