高中数学平面向量知识点及习题分章节

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人教版必修4平面向量知识点分类有答案

人教版数学必修2知识点总结第二章平面向量一、概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是（）A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确的序号为___________ ． 3. 下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ； ④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ；其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 下列叙述中，正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等．其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示（）A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km8. 化简以下各式：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其结果是为零向量的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（） A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d⃗ ，则下列说法正确的个数为（） (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |； (3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（） A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是（） A. 平行四边形 B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有（）A. a ⃗ =b⃗ B. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则（）A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为（）A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是（） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为___________ ．二、图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为（） A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ； ③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（） A. 45a ⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a ⃗ −310b ⃗ D. 34a ⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=（） A. 12b ⃗ +a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（） A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（） A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（） A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为（） A. 83 B . 38C. 16D. 630. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为（）A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（）A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（）A. 1B. 12C. 13D. 2333. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ___________ ．(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为（）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是（）A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 20 B. 15 C. 9 D. 639. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 3040. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（） A. 18 B. 20 C. 22 D. 2441. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为（）A. −58B. 18C. 14D. 11842. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______． 43. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．44. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC =3，BD =2，则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= _____．45. 菱形ABCD 的边长为2，∠A =60∘，M 为DC 的中点，则AM →·AB →的值为______ ．46. 在△ABC 中，已知∠ACB =90∘，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．47. 已知直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD =60∘，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC的中点，若AB =2，AD =√3，则EB ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 48. 在△ABC 中，∠A =60∘，AB =3，AC =2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则λ的值为______．(四)面积问题49. △ABC 所在平面上一点P 满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PAB 的面积与△ABC 的面积比（） A. 2：3 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：650. 设点O 在△ABC 的内部，且有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（） A. 13B. 53C. 12D. 2351. 已知O 为正△ABC 内的一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△OAB 的面积与△OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（）A. 12B. 52C. 2D. 352. 已知点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△AMB 与△ABC 的面积比为（） A. 52B. 25C. 75D. 57三、平行垂直判定53. 已知平面向量a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,−2)，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则x 的值为（） A. −4 B. 4 C. −1 D. 154. 已知A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的单位向量为（）A. (45,35)或(−45,35) B. (35,−45)或(−35,45) C. (−45,−35)或(45,35) D. (−35,−45)或(35,45)55. 若向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)，c ⃗ =(x,1)满足条件3a ⃗ −b⃗ 与c ⃗ 共线，则x 的值（） A. 1 B. −3 C. −2 D. −156. 给定两个向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(2,1)，若(a ⃗ +x b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )，则x 的值等于（）A. 32B. −1C. 1D. −3257. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b⃗ 平行，则实数λ=______． 58. 已知▱ABCD 的三个顶点A(−1,−2)，B(3,1)，C(0,2)，则顶点D 的坐标为（）A. (2,−3)B. (−1,0)C. (4,5)D. (−4,−1)59. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =（）A. −8B. −6C. 6D. 860. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(x,1),b ⃗ =(1,−2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=（） A. √5B. 2√5C. 10D. √1061. 已知向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，c ⃗ =(2,1)且(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，则实数k =（）A. −92B. 0C. 3D. 15262. 设向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(0,−2).则与a ⃗ +2b⃗ 垂直的向量可以是（） A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)63. 设向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(1,2)，且|a ⃗ +b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2，则m =______． 64. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(3,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______．65. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 66. 设向量a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =______．67. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,λ)，c⃗ =(−3,2)． (1)若a ⃗ //b ⃗ ，求实数λ的值；(2)若k a ⃗ +c ⃗ 与a ⃗ −2c ⃗ 垂直，求实数k 的值．68. 已知向量a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(−2,1)．(1)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 垂直，求k 的值；(2)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，求k 的值．69. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ,b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，求k 的值．70. 在平行四边形ABCD 中，A(1,1)、B(7,3)、D(4,6)，点M 是线段AB 的中点线段CM 与BD 交于点P ．(1)求直线CM 的方程；(2)求点P 的坐标．四、三点共线71. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4 , 5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10 , 8)，若A 、B 、C 三点共线，则k = ______ ． 72. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ=（） A. 2 B. 3 C. −2 D. −373. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 74. 如图，已知△OAB ，若点C 满足AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则1λ+1μ=（）A. 13 B. 23 C. 29D. 9275. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于（）A. 3B. 4C. 5D. 676. 如图，在△ABC 中，线段BE ，CF 交于点P ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，则向量c ⃗ 可以表示为（） A. c⃗ =34a ⃗ +12b ⃗ B. c ⃗ =12a ⃗ +34b ⃗ C. c⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ D. c ⃗ =14a +12b 77. 如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC ，MN 交于P 点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（） A. 35 B. 37C. 613D. 61778. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（） A. 1 B. 2 C. 3D. 3279. O 为△ABC 内一点，且2OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（） A. 14B. 13C. 12D. 2380. 在△ABC 中，AB =2，BC =3√3，∠ABC =30∘，AD 为BC 边上的高，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ等于（）A. 2B. 12C. 23D. 2√381.在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m+n=______ ．五、数量积(一)投影82.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为（）A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131383.已知平面向量a⃗,b⃗ 是非零向量，|a⃗|=2，a⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，则向量b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1B. −1C. 2D. −284.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=√2|a⃗−b⃗ |，则a⃗在a⃗+b⃗ 的投影为（）A. 13B. −2√63C. √63D. 2√2385.已知|a⃗|=2，向量a⃗在向量b⃗ 上的投影为√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π3B. π6C. 2π3D. π286.若向量a⃗与向量b⃗ 满足：|a⃗|=2，|b⃗ |=3，且当λ∈R时，|b⃗ −λa⃗|的最小值为2√2，则向量a⃗+b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1或2B. 2C. 1或3D. 387.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为π3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e2⃗⃗⃗ ，a⃗在b⃗ 方向上的投影为______ ．88.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，|a⃗|=√2，则a⃗在b⃗ 方向上的投影为______．(二)夹角89.已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则∠ABC=（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘90.已知a⃗=(3,4)，b⃗ =(5,12)，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦为（）A. 6365B. √65 C. √135D. √1391.已知单位向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗+3b⃗ |=√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. π292.已知向量a⃗与向量b⃗ 满足|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π393.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π2B. 2π3C. π6D. 5π694. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|b ⃗ |=4|a ⃗ |，且a ⃗ ⊥(2a ⃗ +b ⃗ )则a⃗ 与b ⃗ 的夹角为（） A. π3B. π2C. 2π3D. 5π695. 在△ABC 中，AB =AC =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，则∠ABC =（） A. 5π12B. π3C. π4D. π696. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 与e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ 的夹角为60∘，则实数λ的值是______． 97. 已知a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2+λ,1)，且a ⃗ 与b ⃗ 成锐角，则实数λ的取值范围是______． 98. 已知a⃗ =(x +1,2)，b ⃗ =(4,−7)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则x 的取值范围为______ ． 99. 已知向量a ⃗ =(6,2)与b ⃗ =(−3,k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是______．100. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．101. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗ =(cosθ,2)，b ⃗ =(−1,sinθ)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tanθ=______．(三) 数量积102. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值（） A. 只与圆C 的半径有关 B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C. 只与弦AB 的长度有关 D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 103.向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =（）A. 6B. 5C. 1D. −6104.已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为60∘，则(2a⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =（） A. −1 B. 0 C. 1 D. 2105.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2106.设a ⃗ ，b ⃗ 是平面上的两个单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =35.若m ∈R ，则|a ⃗ +m b ⃗ |的最小值是（） A. 34 B. 43C. 45D. 54107.已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，k ∈R ，则|a ⃗ −k b ⃗ |的最小值为（）A. 34 B. √32C. 1D. 32108.已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 48B. −48C. 100D. −100109. 边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 16 B. 12√3 C. −8√3 D. −8110.在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（） A. −15 B. −9 C. −6D. 0111. 已知非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 满足4|m ⃗⃗⃗ |=3|n ⃗ |，cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=13.若n ⃗ ⊥(t m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则实数t 的值为（） A. 4 B. −4C. 94D. −94112.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC与BD 交于点O ，记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（） A. I 1<I 2<I 3 B. I 1<I 3<I 2 C. I 3<I 1<I 2 D. I 2<I 1<I 3 113.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b⃗ ． (1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的值．114.已知向量a ⃗ =(3,−1)，|b ⃗ |=√5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−5，c ⃗ =x a ⃗ +(1−x)b ⃗ ．(Ⅰ)若a ⃗ ⊥c ⃗ ，求实数x 的值；(Ⅱ)当|c ⃗ |取最小值时，求b ⃗ 与c ⃗ 的夹角的余弦值．115.已知向量|a⃗|=2，b⃗ =(−12,√32)，且a⃗与b⃗ 夹角为2π3，(1)求|a⃗+2b⃗ |；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．116.已知向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,1)(x∈R)．(1)若a⃗,b⃗ 的夹角为锐角，求x的范围；(2)当3a⃗−2b⃗ =(4,y)时，求x+y的值．六、模的运算(一)公式2222||a a x y==+117.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)，那么|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5118.设向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6)，则|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2√6B. 5C. √26D. 6119.已知向量|a⃗|=4,|b⃗ |=8,a⃗与b⃗ 的夹角为60∘，则|2a⃗+b⃗ |=（）A. 8√3B. 6√3C. 5D. √19120.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =1，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则|a⃗−b⃗ |=（）A. √13B. 6C. √11D. 5121.已知单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a⃗=e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，则|a⃗|=______．(二) 公式|a ⃗ +b ⃗ |2+|a ⃗ −b ⃗ |2=2(|a ⃗ |2+|b⃗ |2) 运用 122.已知向量a 、b 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |等于（）A. 1B. √2C. √5D. √6123.设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=√10，|a ⃗ −b ⃗ |=√6，则a⃗ ⋅b ⃗ =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5七、重心、外心124.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABM ：S △ABC 等于（） A. 12 B. 13C. 14D. 15125.设O 在△ABC 的内部，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1126. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为_____． 127.已知O 为△ABC 的外心，3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则∠ACB 的值为（） A. π6 B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3128.点P 是△ABC 所在平面内任一点，PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点G 的轨迹一定通过△ABC 的（） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心129.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗=13(12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则P 一定为△ABC 的（）A. AB 边中线的三等分点(非重心)B. AB 边的中点C. AB 边中线的中点D. 重心 130.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，那么(（） A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 八、综合问题（1）建系解决问题131.已知三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，且均为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的取值范围是（）A. [√2−1,√2+1]B. [1,√2]C. [√2,√3]D. [√2−1,1]132.若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |的最大值为（）A. 1B. √2C. √2−1D. 2−√2133.向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 在正方形网络中的位置如图所示，若c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ∈R)，则λμ=（） A. −8 B. −4 C. 4 D. 2134. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（）A. −2B. −32C. −43D. −1135.已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是（）A. 434 B. 494C. 37+6√34 D. 37+2√334136.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（）A. 2B. 83 C. 65 D. 85 137.已知a ⃗ ,b ⃗ 是单位向量，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为90∘，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=2，则|c⃗⃗⃗ |的最大值为（） A. 2−√2 B. √2 C. 2 D. 2+√2138.已知Rt △ABC ，AB =3，BC =4，CA =5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的最大值是（）A. 54 B. 43C. √176D. 53139.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为（） A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2140.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC =150∘，点P 在弧BC 上运动，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则√3m −n 的最大值是（） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3141. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是______ ，最大值是______ ． 142.已知在△ABC 中，∠A =π2，AB =2，AC =4，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．143. 如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，则m +n =___________． 144. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．145. 在正方形ABCD 中，AB =AD =2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，则|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______． 146. 如图，已知点O(0,0)，A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．147. 在△ABC 中，已知AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数λ的值为______．148. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a ⃗ ，b ⃗ 是相互垂直的单位向量，且(a ⃗ −c ⃗ )⋅(√3b ⃗ −c ⃗ )=1，|c ⃗ |的最大值为______．149.已知a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 是平面向量，e ⃗ 是单位向量.若非零向量a ⃗ 与e ⃗ 的夹角为π3，向量b ⃗ 满足b ⃗ 2−4e ⃗ ⋅b ⃗ +3=0，则|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是（）A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√3（2）与三角函数有关150.已知α是锐角，a ⃗ =(34,sinα),b ⃗ =√3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则α为（） A. 15o B. 30o C. 30o 或60o D. 15o 或75o151.已知向量m ⃗⃗⃗ =(2cos 2x,√3)，n⃗ =(1,sin2x)，设函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，则下列关于函数y =f(x)的性质的描述正确的是（）A. 关于直线x =π12对称 B. 关于点(5π12,0)对称C. 周期为2πD. y =f(x)在(−π3,0)上是增函数152.设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinA,sinB),n ⃗ =(cosB,√3cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1+cos(A +B)，则C = ______ ．153. 已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(−2,0)，O 为原点，则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．154.已知向量a⃗=(2,sinθ)，b⃗ =(1,cosθ)，若a⃗//b⃗ ，则sin2θ1+cos2θ的值为______．155.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx,sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(I)求f(x)的对称轴方程；(II)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(III)若对任意实数x∈[π6,π3]，不等式f(x)−m<2恒成立，求实数m的取值范围．156.已知a⃗=(2sinx,cos2x)，b⃗ =(√3cosx,2)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．（3）与均值不等式有关157.已知向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(4−n,2)，m>0，n>0，若a⃗//b⃗ ，则1m +8n的最小值__．人教版数学必修2知识点总结（教师版）第二章平面向量一、概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是( C )A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确的序号为______ ．【答案】①④ 3. 下列命题中，正确的个数是( A )①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ；④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ；其中正确结论的个数是( D )A. 4B. 3C. 2D. 1 5. 下列叙述中，正确的是( A )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等．其中正确说法的个数为(C )A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示( B )A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km 8. 化简以下各式：①AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗其结果是为零向量的个数是( D ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( A ) A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( D ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d ⃗ ，则下列说法正确的个数为( D ) (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |；(3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( C ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( D )A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有( B )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ //b⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则( A )A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为( A )A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是( C ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为______．【答案】8二、图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为(D ) A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ；③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为( C )A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( D ) A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( C ) A. 45a⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a⃗ −310b ⃗ D. 34a⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=(B ) A. 12b ⃗+a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B ) A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( D ) A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A ) A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为( C )A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为( D ) A. 83 B . 38C. 16D. 6【解析】由题意，AP →=AM →+MP →=13AB →+μ1+μMC →=13+3μAB →+μ1+μAC →AP →=AN →+NP →=12AC →+11+λNB →=11+λAB →+λ2+2λAC →根据平面向量基本定理，可得{11+λ=13+3μμ1+μ=λ2+2λ，∴μ=23,λ=4，∴λμ=423=6．故选D ．30. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( A )A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A )A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( D )A. 1B. 12C. 13D. 23【解析】在△ABD 中，BD =12AB =1又BC =3所以BD =13BC ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵O 为AD 的中点∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=12,μ=16∴λ+μ=23故选D 33. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．【答案】13(b ⃗ −a ⃗ )(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为( A )A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为(B ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【解析】因为(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0；又因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以△ABC 是等腰三角形．故选：B ． 36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是( A )A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( B ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( C ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9故选：C ． 39. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(D ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【解析】∵AB =6，BD =2，∴BC =6，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =62−13×6×6×12=36−6=30，故选D ．40. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( C ) A. 18 B. 20 C. 22 D. 24【解析】∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵AB =8，AD =5，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −316|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=25−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12=2，故AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =22，答案为22．故选C ． 41. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为( B )。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1，所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0，所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0，所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗，得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗，所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6，所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。

高中数学-平面向量专题

第一部分：平面对量的概念及线性运算一.基础学问自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面对量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是随意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量 0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |.(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向；当λ＝0时，λa ＝0.λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb .3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .二.难点正本疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区分向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．三．基础自测1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果等于________．2．下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量肯定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满意BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b 、c 表示)．4．如图，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 25．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则肯定共线的三点是 ( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D四．题型分类深度剖析题型一平面对量的有关概念例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的序号是________．变式训练1 推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |＝|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面对量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练2 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →.题型三平面对量的共线问题例3 设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面对量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b表示向量OM →.六．思想方法感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特殊是基向量)线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满意条件．要特殊留意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．若A 、B 、C 、D 是平面内随意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD →＝DC →+AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满意CB AC +2=0，则OC 等于( )A.OA 2－OB →B.OA -＋2OB →C.OA 32－13OB →D.OA 31-＋23OB →4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形态是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对 6. AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7．给出下列命题：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N.若AB ＝mAM →，AC ＝nAN →，则m ＋n 的值为________．9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →.11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM的值．12.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点.（1）求GA ＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且AO ＝a, OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示一．基础学问自主学习1．两个向量的夹角定义范围已知两个向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)向量夹角θ的范围是 ,当θ＝时,两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作a ⊥b .2.平面对量基本定理及坐标表示(1)平面对量基本定理假如e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的随意向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组． (2)平面对量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面对量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝xi ＋yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对叫做向量a 的坐标，记作a ＝，其中叫做a 在x 轴上的坐标，叫做a 在y 轴上的坐标．②设OA →＝xi ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为，反之亦成立．(O 是坐标原点) 3．平面对量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝， λa ＝，|a |＝ . (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝，|AB →|＝ . 4．平面对量共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔ .二．难点正本疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区分在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应留意其表示形式的区分，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面对量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y ),但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了改变．三．基础自测1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝____________.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)5．已知平面对量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于y 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于x 轴D ．平行于其次、四象限的角平分线四．题型分类深度剖析题型一平面对量基本定理的应用例1 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.变式训练1 如图，P 是△ABC 内一点，且满意条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用p 表示CQ →.题型二向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．变式训练2 (1)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2，－4)、B (0，6)、C (－8,10)，求向量AB →＋2BC →－12AC →的坐标；(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －14b .题型三平行向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ； (3)若d 满意(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .变式训练3 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的很多相关问题． 3．在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．七．课后练习1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．已知平面对量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－124.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( ) A ．x 轴 B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴 D ．其次、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C.45D.536．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与AB 相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面对量a ，b 满意|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________. 10． a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n.(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．第三部分：平面对量的数量积一．基础学问自主学习1．平面对量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 .2．平面对量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影_________的乘积．3．平面对量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔ ； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝；当a 与b 反向时，a ·b ＝，a ·a ＝a 2，|a|＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a ·b|____|a ||b |.4．平面对量数量积满意的运算律 (1)a·b ＝ (交换律)；(2)(λa )·b ＝＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ .5．平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝或|a |＝ .(2)设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),则A 、B 两点间的距离|AB |=AB ＝ . (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ .二．难点正本疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，肯定要留意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘安排律及数乘结合律，但不满意向量间的结合律，即(a ·b)c 不肯定等于a(b ·c)．这是由于(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b ·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不肯定共线．三．基础自测1．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.2.在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC 10则AC AB ·＝______.3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满意(c ＋b)⊥a ，(c －a)∥b ，则c 等于 ( ) A ．(2,1) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫32，12 D ．(0，－1)四．题型分类深度剖析题型一求两向量的数量积例1 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求BC AB ·； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，试求(a －2b)·(2a ＋3b)．变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝______.(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD →，|AD |＝1，则AD AC ·等于( ) A ．2 3 B.32 C.33D.3题型二求向量的模例2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a ＋b|；(2)|3a －4b|；(3)(a －2b)·(a ＋b)．变式训练2 设向量a ，b 满意|a －b |＝2，|a|＝2，且a －b 与a 的夹角为π3，则|b|＝________.题型三利用向量的数量积解决夹角问题例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．变式训练3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．题型四平面对量的垂直问题例4 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 相互垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)变式训练4 已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC ＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．五．答题规范5．思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e 1、e 2满意|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(λa ＋μb)·(s a ＋t b)＝λs a 2＋(λt ＋μs )a·b ＋μt b 2(λ，μ，s ，t ∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区分：0a ＝0≠0，a ＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是随意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b.3．一般地，(a·b)c≠(b·c)a 即乘法的结合律不成立．因a·b 是一个数量，所以(a·b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c)a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不肯定共线，故一般状况下(a·b)c≠(b·c)a.4．a·b ＝a·c(a≠0)不能推出b ＝c .即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领悟，比如正三角形ABC 中，〈,AB BC 〉应为120°，而不是60°.七．课后练习1.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2.若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满意条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．33.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°4.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则⋅AD BD 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－65.若e 1、e 2是夹角为π3的单位向量，且向量a ＝2e 1＋e 2，向量b ＝－3e 1＋2e 2，则a·b 等于( ) A ．1 B ．－4 C ．－72 D.726．若向量a ，b 满意|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 7．已知向量a ，b 满意|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________，若(a －mb )⊥a ，则实数m ＝________.8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 的值为________．9.（O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点.平面α内的动点P 满意),(AC AB OA OP ++=λ若λ＝12时，()⋅+PA PB PC 的值为______． 10．不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．11．已知平面对量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.12．向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．第四部分：平面对量应用举例一．基础学问自主学习1．向量在平面几何中的应用平面对量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相像、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相像问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔ ⇔ .(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔ ⇔ .(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)．2．平面对量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相像，可以用向量的学问来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F ||s|cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面对量与其他数学学问的交汇平面对量作为一种运算工具，常常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等学问结合，当平面对量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面对量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要留意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要留意变换思维方式，能从不同角度看问题，要擅长应用向量的有关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)．则D 点的坐标为________．2．已知平面对量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为_______________．4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，CB AC ·等于 ( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.5325．某人先位移向量a ：“向东走3 km”，接着再位移向量b ：“向北走3 km”，则a ＋b 表示 ( )A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km四．题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满意(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．题型二平面对量在解析几何中的应用例2 已知点P （0，-3），点A 在x 轴上，点M 满意⋅PA AM =0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．变式训练2 已知圆C ：(x -3)2+(y -3)2=4及点A （1,1），M 是圆上的随意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN →，求点N 的轨迹方程．题型三平面对量与三角函数例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π4，求函数f (x )＝a·b 的最值； (3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？变式训练3 已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC ·BC ＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2) 若|OA +OC |＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC 的夹角．五．易错警示9．忽视对直角位置的探讨致误试题：已知平面上三点A 、B 、C ，向量BC ＝(2－k,3)，AC ＝(2,4)．(1) 若三点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数k 应满意的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合供应了前提，运用向量的有关学问可以解决某些函数问题．2．以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，探讨几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，须要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范1．向量关系与几何关系并不完全相同，要留意区分．例如：向量AB ∥CD →并不能说明AB ∥CD .2．加强平面对量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思索问题．七．课后练习1．已知△ABC AC AB =,则肯定有( )A ．AB ⊥AC B ．AB =ACC ．(AB +AC )⊥(AB -AC )D ．AB +AC =AB -AC2．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设起先时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0+-⋅-=DB DC DA AB AC ，则△ABC 的形态是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,BC =7,则⋅AO BC 等于( )A.32B.52C ．2D ．35．平面上O 、A 、B 三点不共线，设b a ==OB OA ,，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a ＋b|＝________.7．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．8.已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0),B (0,2),O (0,0),P (x,y )是坐标平面内一点，且满意AP ·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB 的最小值为________．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝1⋅=BA BC ，那么c ＝________. 10.如右图，在Rt △ABC 中，已知BC =a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC →的夹角θ取何值时BP →·CQ的值最大？并求出这个最大值．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若BC BA AC AB ··=＝k (k ∈R)．(1)推断△ABC 的形态；(2)若c ＝2，求k 的值．。

高一数学必修4知识点梳理：平面向量

2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反；当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212．若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12；所以BDAB =√5−12，设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①，由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②，由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°．由正弦定理可知csinC =bsinB ，所以csin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗．在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确；在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确；在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误；在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误．故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确；对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确；对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误；对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误；由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误；因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32，由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ，在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3，所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。

记作：AB 或a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-。

8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔。

当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

（8）若ma mb =，则a b =。

（9）若ma na =，则m n =。

平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

高中数学新教材高一下期末复习第一讲平面向量及其应用(解析版)

平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0，所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)．因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值．（1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。

人教A版数学必修第二册第六章《第六章平面向量及其应用》知识点总结

1 / 3人教A 版数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》同步讲义第六章平面向量及其应用知识点总结1. 向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为的向量．单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2. 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．⑸坐标运算：设，，则．3. 向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．4. 向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．5. 向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．01a b a b a b -≤+≤+a b b a +=+ ()()a b c a b c ++=++ 00a a a +=+=()11,a x y =()22,b x y = ()1212,a b x x y y +=++ ()11,a x y =()22,b x y = ()1212,a b x x y y -=-- A B ()11,x y ()22,x y ()1212,x x y y AB =--λa a λa a λλ=0λ>a λ a 0λ<a λ a 0λ=0a λ=()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+ (),a x y = ()(),,a x y x y λλλλ==()0a a ≠ b λb a λ=2 / 3设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．6. 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）7. （选讲）分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．8. 平面向量的数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．9. 正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．10. 正弦定理的变形公式（1），，；（2），，；（3）；（4）．11. 三角形面积公式：．12. 余弦定理：在中，有，，()11,a x y = ()22,b x y = 0b ≠ 12210x y x y -=a ()0b b ≠1e 2e a1λ2λ1122a e e λλ=+1e 2e P 12P P 1P 2P ()11,x y ()22,x y 12λP P =PPP 1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤0a b 0a b a b ⊥⇔⋅= a b a b a b ⋅= a ba b a b ⋅=- 22a a a a ⋅== a = a b a b ⋅≤a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ()11,a x y =()22,b x y = 1212a b x x y y ⋅=+ (),a x y = 222a x y =+ a =()11,a x y =()22,b x y = 12120a b x x y y ⊥⇔+= a b()11,a x y = ()22,b x y = θa b cos a ba b θ⋅==C ∆AB a b c A B C R C ∆AB 2sin sin sin a b c R C===A B 2sin a R =A 2sin b R =B 2sin c R C =sin 2a R A =sin 2b R B =sin 2c C R=::sin :sin :sin a b c C =A B sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B 111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B3 / 3．13. 余弦定理的推论：，，．14. 设、、是的角、、的对边，则：（1）①若，则；（2）若，则；（3）若，则2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=a b c C ∆AB A B C 222a b c +=90C =222a b c +>90C <222a b c +<90C >。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量a⃑=(1,−√7)，|b⃑⃑|=3，a⃑⋅b⃑⃑=3√6，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：A分析：先计算向量a⃑的模，再根据向量数量积的定义，将a⃑⋅b⃑⃑=3√6展开，即可求得答案. 因为a⃑=(1,−√7)，所以|a⃑|=√12+(−√7)2=2√2，又因为a⃑⋅b⃑⃑=3√6，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，θ∈[0,π]，所以|a⃑||b⃑⃑|cosθ=3√6，即2√2×3×cosθ=3√6，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.2、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.3、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4、已知向量a⃗=(√3,1)，b⃑⃗=(−√3,1)，则a⃗与b⃑⃗的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a⃗,b⃑⃑⟩=a⃑⃗⋅b⃑⃑|a⃑⃗||b⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a⃗,b⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a⃗,b⃑⃑⟩=120°，故选：C5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.6、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D.8、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C. 多选题9、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3 C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2 D ．若a +b =2c ，则C >π2 答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.10、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有（）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9），即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40，故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB ＝csinC ，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去），sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.11、已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−3,1)，则（） A ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑B ．|a ⃑+2b⃑⃑|=6 C ．向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量是(−65,25)D ．(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量答案：AD分析：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A ；根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B ；根据投影向量的计算公式即可判断C ；判断向量(2√55,√55)是否与向量a ⃑共线，及模是否为1，即可判断D.解：对于A ，a ⃑+b ⃑⃑=(−1,2)，则(a ⃑+b ⃑⃑)⋅a ⃑=−2+2=0，所以(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，故A 正确；对于B ，a ⃑+2b ⃑⃑=(−4,3)，则|a ⃑+2b ⃑⃑|=5，故B 错误；对于C ，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为|a ⃑|⋅cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=a⃑⃑⋅b ⃑⃑|b⃑⃑|⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=−5b ⃑⃑10=(32,−12)，故C 错误；对于D ，因为向量(2√55,√55)的模等于1，2√55×1−2×√55=0，所以向量(2√55,√55)与向量a ⃑共线，故(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量，故D 正确.故选：AD. 填空题12、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)，所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)，故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36.13、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S =√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________．答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3．所以答案是：6√3．14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b⃑⃑，所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题15、已知向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120∘，|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2. （1）求(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)的值；（2）求|2a ⃑+b ⃑⃑|的值. 答案：（1）19；（2）2√7.分析：（1）由向量数量积的定义计算即可求解；（2）先计算|2a ⃑+b ⃑⃑|2=(2a ⃑+b ⃑⃑)2的值，再开方即可求解. （1）因为|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑，b ⃑⃑的夹角为120∘，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b⃑⃑|⋅cos120∘=3×2×(−12)=−3，所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2a ⃑2−3a ⃑⋅b⃑⃑−2b ⃑⃑2=2|a⃑|2−3a⃑⋅b⃑⃑−2|b⃑⃑|2=2×9−3×(−3)−2×4=19；（2）|2a⃑+b⃑⃑|2=(2a⃑+b⃑⃑)2=4|a⃑|2+4a⃑⋅b⃑⃑+|b⃑⃑|2=36−12+4=28，所以|2a⃑+b⃑⃑|=2√7.。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影：︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ）叫做向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【变式】设 x, y R, 向量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

高中数学平面向量知识点及习题分章节(K12教育文档)

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12§2.1向量的概念及其表示当堂练习： 1。

下列各量中是向量的是（）A.密度 B 。

体积 C.重力 D.质量 2下列说法中正确的是（）A 。

平行向量就是向量所在的直线平行的向量B 。

长度相等的向量叫相等向量C 。

零向量的长度为零D 。

共线向量是在一条直线上的向量3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO 、OB 、CO 、OD 是（）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等的向量D ．模都相同的向量4。

下列结论中,正确的是( ）A 。

零向量只有大小没有方向B 。

对任一向量C 。

||AB =|｜ D. ||AB 与线段5。

若四边形ABCD 是矩形，则下列命题( ）A. AB 与共线B. 与BD 相等C 。

与是相反向量D 。

与模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D起点，另一点为终点的所有向量中，(1）与BC 相等的向量有（2）与OB 长度相等的向量有（3）与DA 共线的向量有7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③④相等向量一定共线;⑤长度相量；⑥平行于同一个向量的两个不正确的命题3是．并对你的判断举例说明．8．如图,O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1)与AO 相等的向量有；（2）写出与AO 共线的向有；（3）写出与AO 的模相等的有；（4)向量AO 与CO 是否相等？答． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a =,OB b =，AB c =，在以A ，B,C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；(2)与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有10．在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1），是否存在：(1）是共线向量的有； (2）是相反向量的为 ; （3）相等向量的的；（4）模相等的向量．11．如图,△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB,CA 的中点,在为端点的有向线段中所表示的向量中,（1）与向量FE 共线的有（2）与向量DF 的模相等的有（3）与向量ED 相等的有12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时“马"第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻ABEFOA BCDEF4叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点?必修4 §2。

高一平面向量基本定理及坐标表示知识点+例题+练习含答案

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对．答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ，即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案 (3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值．规范解答解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________．答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．答案 m ≠54解析由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案－12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

高一数学平面向量知识点和典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。

几何表示法AB .a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的模（长度）.记作|AB |.即向量的大小.记作｜a|。

向量不能比较大小.但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量.记为0.其方向是任意的.规定0平行于任何向量。

（与0的区别）③单位向量｜a｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量.记作a ∥b⑤相等向量记为b a=。

大小相等.方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图.已知向量a .b .在平面内任取一点A .作AB =a .BC =b .则向量AC 叫做a 与b 的和.记作a+b .即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：(1)BBabbba +ba +AABC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=.但这时必须“首尾相连”。

②向量减法：同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时.两个已知向量是要共始点的.和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线.而差向量是另一条对角线.方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”.由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ.使得b =a λ。

二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)ba ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =.c b =.则c a =；(7)若b a //.c b //.则c a// (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中.“AB→＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律例2 化简)()(BD AC CD AB ---=练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得 A ．AB B ．DA C ． D ．03．如图.D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点.则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P .满足PA PB PC AB ++=.则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图.在ΔABC 中.D 、E 为边AB 的两个三等分点.CA → =3a .CB →=2b .求CD → .CE →． 2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的内心.且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=.则ABC ∆的形状为（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点.直线AB 上有一点C .满足2AC →＋CB →＝0.则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →5．已知平面上不共线的四点O .A .B .C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0.则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面内有一点P 及一个△ABC .若PA →＋PB →＋PC →＝AB →.则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上ABCDE7．在△ABC 中.已知D 是AB 边上一点.若AD →＝2DB →.CD →＝13CA →＋λCB →.则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点. A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB → .求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212CD ,B C),(3e e e e e e AB +=-=+=.则下列关系一定成立的是（）A 、A.B.C 三点共线B 、A.B.D 三点共线C 、C.A.D 三点共线 D 、B.C.D 三点共线2．(原创题)设a .b 是两个不共线的向量.若AB →＝2a ＋k b .CB →＝a ＋b .CD →＝2a －b .且A .B .D 三点共线.则实数k 的值等于________．第2讲平面向量的基本定理与坐标表示一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量.那么对这一平面内的任一向量a .有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示如图.在直角坐标系内.我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j作为基底任作一个向量a .有且只有一对实数x 、y .使得a xi yj =+…………○1.把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标.记作(,)a x y =…………○2其BCAOM D中x 叫做a 在x 轴上的坐标.y 叫做a 在y 轴上的坐标.○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为,(y x 特别地.(1,0)i =.(0,1)j =.0(0,0)=特别提醒：设yj xi +=.则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来.点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标因此.在平面直角坐标系内.每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =.22(,)b x y =.则a b +=1212(,)x x y y ++.a b -= 1212(,)x x y y --（2）若),(11y x A .),(22y x B .则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ.则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) .b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量[例1] 在△OAB 中.21,41==.AD 与BC 交于点M .设OA =a .OB =b .用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底.则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A ．1e 与—2e B ．31e 与22e C ．1e ＋2e 与1e —2e D ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中.E 和F 分别是边CD 和BC 的中点.若AC →＝λAE →＋μAF →.其中λ、μ∈R .则λ＋μ＝________.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2).B (－1.－2).C (3,1).且BC →＝2AD →.则顶点D 的坐标为( )A ．(2.72)B ．(2.－12) C ．(3,2) D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =, 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1).点P 在MN 的延长线上.且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） .b =2,x x （－）. 则向量+a b ( )A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中.已知A (2,3).B (8.－4).点G (2.－1)在中线AD 上.且AG →＝2GD →.则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4.－2)C ．(4.－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1.－3).b ＝(－2,4).c ＝(－1.－2).若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形.则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2.－6)D ．(－2.－6)7．已知A (7,1)、B (1,4).直线y ＝12ax 与线段AB 交于C .且AC →＝2CB →.则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a .1(,1sin )2θ=+b .若a ∥b .则锐角θ等于（）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-. 如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同.求x2．已知点O(0.0).A(1.2).B(4.5)及t +=.求(1)t 为何值时.P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。

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高中数学必修 4 之平面向量知识点归纳一 .向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设uuur r uuur r r uuur uuur uuur AB a, BC b ，则a+ b = AB BC =AC（ 1）0 a a 0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuurL uuur uuur uuurAB BC CD PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：① 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反；当0 时， a 0 ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b = a 6、平面向量的基本定理：如果e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1, 2使： a1 e1 2e2，其中不共线的向量 e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量r r r ra 可表示成 a xi yj ，记作ra=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1)rx1 , y1rx2 , y2r rx1 x2 , y1 y2若 a ,b ，则 a buuur(2) 若 A x1 , y1 , B x2 , y2，则AB x2 x1, y2 y1(3)r=(x,y)，则rx, y)若 a a =((4)rx1 , y1rx2 , y2r rx1 y2 x2 y1 0若 a ,b ，则 a // b(5)rx1 , y1rx2 , y2r rx1 x2 y1 y2若 a ,b ，则a br ry1 y2 0若 a b ，则 x1 x2三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：r r r r r r已知两个非零向量 a 与b，它们的夹角为，则 a ·b=︱ a ︱·︱b︱cos r r r r叫做 a 与b的数量积（或内积）规定 0 arrrr r︱ cosa b2 向量的投影：︱b = r ∈ R，称为向量b 在 a 方向上的投影投影的绝对值| a |称为射影3 数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r rr 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2 r 2r 2 a b a b a b ab ；r r 2 r 2rrr 2 r 2rrr 2a b a2a b b a2a b b6 平面向量数量积的运算律：rrr r ①交换律成立： a bb a②对实数的结合律成立：r r r r r r Ra b a b a br r rr r r r r r r(第1题)③分配律成立：a b c a c b c c a b特别注意：（ 1）结合律不成立： r r rrrr ；a b ca b cr r r r r r（ 2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b crr不能得到 r r r r（ 3） a b =0 a =0 或 b = 07 两个向量的数量积的坐标运算：r rr ry 1 y 2已知两个向量 a(x 1, y 1 ), b (x 2 , y 2 )，则a ·b = x 1x 2 8 向量的夹角：已知两个非零向量r r uuur r uuur ra 与b ，作 OA = a , OB = b ,则∠ AOB=（ 0 0180 0）叫做向量 r ra 与b 的夹角rrr ? r x x y yb 2 1 2a1 cos = cos a,br r = 2 2 x 2 22 a ? b x 1 y 1y 2r r同方向时，θr r当且仅当两个非零向量 a 与 b =00 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=1800，r同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0r r r r 9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ ba ·b ＝ Ox 1 x 2 y 1 y 20 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ ABC 中， AB ＝ AC ，D ， E 分别是 AB ， AC 的中点，则 () ．A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是 () ．A ．向量 AB 与 BA 是两平行向量B ．若 a ， b 都是单位向量，则a ＝ bC ．若 AB ＝ DC ，则 A ， B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A( 3， 1) ，B( － 1，3) ，若点 C满足OC ＝OA ＋ OB ，其中， ∈ R ，且＋＝ 1，则点 C 的轨迹方程为 () ．A ． 3x ＋ 2y －11＝ 0B ．( x － 1) 2＋ ( y －1) 2＝ 5 C ． 2x － y ＝0D ． x ＋2y － 5＝ 04．已知 a 、 b 是非零向量且满足( a －2b) ⊥ a ，( b －2a) ⊥ b ，则 a 与 b 的夹角是A ．B ．25C ．D ．63365．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上 ( 不包括端点 A ，C) ，则 AP ＝ A ． λ( AB ＋ AD ) ， λ∈ ( 0， 1)B ． λ( AB ＋ BC ) ， λ∈ ( 0， 2 )2 C ． λ( AB － AD ) ， λ∈ ( 0，1)D ． λ( AB － BC ) ， λ∈ ( 0，2 )26．△ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，则 DF ＝ () ．A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量 a 与 b 的夹角为60°， | b| ＝ 4， ( a＋ 2b) · ( a－ 3b) ＝－ 72，则向量 a 的模为 () ．A．2B．4C． 6D． 128．点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 OA ·OB ＝ OB ·OC ＝ OC ·OA ，则点 O 是△ABC的() ．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中， AB ＝ a＋ 2b， BC ＝－ 4a－ b ， CD ＝－ 5a－ 3b，其中 a，b 不共线，则四边形ABCD为 ( ) ．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10 ．如图，梯形 ABCD中，| AD | ＝ | BC | ，EF ∥ AB ∥ CD 则相等向量是 ( ) ．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D． EO与 OF二、填空题(第 10题)11 ．已知向量 OA ＝ ( k，12) ， OB ＝ ( 4， 5) ， OC ＝ ( － k，10) ，且 A， B， C 三点共线，则 k＝．12 ．已知向量 a ＝( x＋ 3， x2－3x－ 4) 与 MN 相等，其中 M( － 1， 3) ，N( 1， 3) ，则 x＝．＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝ ( 3， 4) ， b＝( 2，－ 1) ，且 ( a＋ mb) ⊥( a－b) ，则实数m 等于．15．已知 A， B， C 三点不共线， O 是△ ABC 内的一点，若OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0，则 O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点 O， OA ＝ a， OB ＝ b， OC ＝ c, OD ＝d ，若a＋ c＝ b＋ d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A( 2，3) ， B( 5， 4) ， C( 7， 10) ，若点 P 满足 AP ＝ AB ＋λAC ( λ∈R) ，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？13．已知平面上三点A，B，C 满足 | AB | ＝ 3，| BC | ＝ 4，| CA | ＝ 5，则 AB ·BC18．如图，已知△ABC，A( 7， 8) ， B( 3， 5) ， C( 4，3) ， M ，N， D 分别是AB，AC， BC的中点，且MN 与 AD 交于 F，求 DF ．(第 18 题)19．如图，在正方形ABCD中， E， F 分别为 AB， BC 的中点，求证：A F⊥ DE( 利用向量证明 ) ．(第 19题) 20．已知向量a＝ ( cos θ， sin θ) ，向量 b＝ (3 ，－1)，则| 2a－b|的最大值．一、选择题 1． B解析：如图， AB 与 AC ， AD 与 AE 不平行， AD 与 BD 共线反向．2． A(第1题)解析：两个单位向量可能方向不同，故 B 不对．若 AB ＝ DC ，可能 A ， B ，C ，D 四点共线，故 C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3． D解析：提示：设 OC ＝( x ， y) ， OA ＝ ( 3，1) ， OB ＝( － 1， 3) ， OA ＝(3 ，)，OB ＝(－，3 )，又 OA ＋ OB ＝(3 －，＋3 )，∴ ( x ， y) ＝ ( 3 －，＋ 3 ) ，∴x ＝3－，又＋＝ 1，由此得到答案为y ＝＋3D ．4． B解析：∵ ( a － 2b) ⊥ a ， ( b －2a) ⊥b ，∴ ( a －2b) ·a ＝ a 2－ 2a · b ＝ 0， ( b －2a) · b ＝ b 2－ 2a · b ＝ 0，∴ a 2＝ b 2，即 | a| ＝ | b| ．∴ | a| 2＝2| a|| b| cos θ＝ 2| a| 2cos θ．解得 cos θ＝ 1 ．2∴ a 与 b 的夹角是π．35． A解析：由平行四边形法则，AB ＋ AD ＝ AC ，又 AB ＋ BC ＝ AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度， λ∈ ( 0， 1) ．6． D解析：如图，∵ AF ＝DE ，∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7． C解析：由 ( a ＋ 2b) · ( a －3b) ＝－ 72，得 a 2－ a · b － 6b 2＝－ 72．而| b| ＝4， a · b ＝ | a|| b| cos 60 °＝ 2| a| ， ∴ | a| 2 －2| a| －96＝－ 72，解得 | a| ＝6．8． D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得 OA ·OB ＝OC ·OA,即OA ·( OC －OB )＝0，故 BC ·OA ＝0， BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴ O 是△ ABC 的三条高的交点．9． C解析：∵ AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝－ 8a － 2b ＝ 2 BC ，∴ AD ∥ BC 且 | AD | ≠|BC|．∴ 四边形 ABCD 为梯形． 10．D解析： AD 与 BC ， AC 与 BD ， OA 与 OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－2．3解析： A， B， C 三点共线等价于AB ， BC 共线，AB ＝ OB － OA ＝ ( 4， 5) － ( k， 12) ＝ ( 4－k，－ 7) ，BC ＝ OC － OB ＝ ( － k， 10) － ( 4， 5) ＝ ( － k－ 4， 5) ，又 A， B，C 三点共线，∴ 5( 4－ k) ＝－ 7( － k－4) ，∴k＝－2．312．－ 1．解析：∵ M( －1，3) ，N( 1，3) ，∴ MN ＝( 2， 0) ，又 a ＝MN，x＋3＝2 x＝－1∴解得2 或x＝4x －3x－4＝0 x＝－1∴ x＝－ 1．13．－ 25．解析：思路1：∵AB ＝3， BC ＝ 4， CA ＝5，D(第 13 题)＝－( CA )22＝－ CA＝－ 25．思路 2：∵AB ＝ 3， BC ＝ 4， CA ＝ 5，∴∠ ABC＝ 90°，∴cos∠ CAB＝AB＝3， cos∠ BCA＝BC＝4．CA5CA 5根据数积定义，结合图(右图)知 AB·BC＝0，4BC · CA ＝ BC · CA cos∠ ACE＝ 4× 5× ( －) ＝－ 16，3CA · AB ＝ CA · AB cos∠ BAD＝ 3× 5× ( －) ＝－ 9．∴AB · BC ＋ BC · CA ＋ CA · AB ＝0―16―9＝－ 25．14．23．3解析： a＋ mb ＝ ( 3＋ 2m，4－ m) ， a －b＝ ( 1， 5) ．∵( a ＋mb) ⊥ ( a－ b) ，∴( a ＋mb) · ( a－ b) ＝( 3＋ 2m) × 1＋ ( 4－∴ △ ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即 AB ⊥ BC ，∴ AB · BC ＝ 0，∴AB·BC＋BC·CA＋CA· AB＝BC·CA＋CA· AB＝CA·( BC＋ AB)m) × 5＝ 0 m＝23．315．答案：重心．(第 15 题) 解析：如图，以 OA ， OC 为邻边作□AOCF交 AC于点 E，则 OF ＝ OA ＋ OC ，又OA＋OC ＝－ OB ，∴ OF ＝2 OE ＝－ OB ． O 是△ ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋ c ＝ b ＋ d ，∴ a － b ＝ d － c ，∴ BA ＝ CD ．∴ 四边形 ABCD 为平行四边形．三、解答题17． λ＜－ 1．解析：设点 P 的坐标为 ( x ， y) ，则 AP ＝ ( x ， y) － ( 2， 3) ＝ ( x － 2，y －3) ．AB ＋ λAC ＝ ( 5，4) － ( 2， 3) ＋λ［ ( 7， 10) － ( 2， 3) ］＝ ( 3，１ ) ＋ λ(5， 7)＝ ( 3＋5λ，１＋ 7λ)．∵ AP ＝ AB ＋ λAC ，∴ ( x － 2，y － 3) ＝ ( 3＋5λ，1＋ 7λ)．∴x 2 3 5 x 5 5 y3 1 7即4 7y(第 18 题)要使点 P 在第三象限内，只需5 5 0 解得 λ＜－ 1．4 718． DF ＝(7，2)．4解析：∵ A( 7，8) ，B( 3，5) ， C( 4，3) ， AB ＝( －4，－ 3) ， AC ＝( －3，－ 5) ． ∴ AD ＝ 1 ( AB ＋ AC )＝ 1(－4－3，－3－5)2 2＝ 1 (－7，－8)＝(－ 7，－4)． 2 2又 M ，N 分别是 AB ， AC 的中点，∴ F 是 AD 的中点，∴ DF ＝－ FD ＝－ 1 AD ＝－ 1 (－7 ，－4)＝( 7，2)．22 2419．证明：设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，则 AF ＝ a ＋1 b ， ED ＝ b － 1a ．2 2∴ AF · ED ＝ ( a ＋ 1 b) · ( b － 1 a) ＝ 1b 2－ 1a 2＋ 3a ·b ．2 2 2 2 4又 AB ⊥ AD ，且 AB ＝ AD ，∴ a 2＝ b 2， a · b ＝ 0．∴ AF ·ED ＝0，∴ AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．(第 19题)20．分析：思路 1： 2a － b ＝ ( 2cos θ－ 3 ，2sin θ＋ 1) ，∴ | 2a － b| 2＝ ( 2cos θ－ 3 ) 2 ＋( 2sin θ＋ 1) 2＝8＋ 4sin θ－ 4 3 cos θ．π π θ－π 8，又 4sin θ－ 4 3 cos θ＝ 8( sin θcos － cos θsin) ＝ 8sin() ，最大值为333∴ | 2a － b| 2 的最大值为 16，∴ | 2a － b| 的最大值为 4．思路 2：将向量 2a ， b 平移，使它们的起点与原点重合，则| 2a － b| 表示 2a ， b终点间的距离． | 2a| ＝2，所以 2a 的终点是以原点为圆心， 2 为半径的圆上的动点 P ， b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知， | PQ| 的最大值为直径的长为4．又 D 是 BC 的中点，。

平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

平⾯向量知识点总结、经典例题及解析、⾼考题50道及答案第五章平⾯向量【考纲说明】1、理解平⾯向量的概念和⼏何表⽰，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其⼏何意义，会⽤坐标表⽰。

2、了解平⾯向量的基本定理，掌握平⾯向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进⾏平⾯向量数量积的运算，会⽤向量⽅法解决简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题。

【知识梳理】⼀、向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，记作AB u u u r ；向量的⼤⼩即向量的模（长度），记作|AB u u u r| 向量不能⽐较⼤⼩，但向量的模可以⽐较⼤⼩．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其⽅向是任意的，0与任意向量平⾏（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常⽤e 表⽰．（4）平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量，记作a ∥b平⾏向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且⽅向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a⼤⼩相等，⽅向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、⽅向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =02 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满⾜交换律与结合律；向量加法有“三⾓形法则”与“平⾏四边形法则” ．（2）向量的减法：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三⾓形法则，b a 可以表⽰为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a；②当0 时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0 时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；当0 时，0 a ，⽅向是任意的③数乘向量满⾜交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与⾮零向量a共线有且只有⼀个实数，使得b =a向量b 与⾮零向量a共线有两个均不是零的实数、，使得0a b ．⼆、平⾯向量的基本定理与坐标表⽰ 1 平⾯向量的基本定理：如果21,e e 是⼀个平⾯内的两个不共线向量，那么对这⼀平⾯内的任⼀向量a，有且只有⼀对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表⽰这⼀平⾯内所有向量的⼀组基底2. 平⾯向量的坐标表⽰：（1）在直⾓坐标系中，分别取与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r作为基底由平⾯向量的基本定理知，该平⾯内的任⼀向量a r 可表⽰成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是⼀⼀对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0r =（0,0），(1,0)i r ，(0,1)j r ．（2）设OA xi y j u u u r r r.则向量OA u u u r 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA u u u r =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成⽴（O 是坐标原点）． 3 平⾯向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr ．（2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r，AB u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)．（4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr ．（5）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ．三、平⾯向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个⾮零向量a r 与b r ，它们的夹⾓为，a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r ⽅向上的投影的乘积叫做a r 与b r 的数量积（或内积），即a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos ，规定00a r r2 向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r ⽅向上的投影投影的绝对值称为射影3 向量的模与平⽅的关系：22||a a a a r rr r4 乘法公式成⽴：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r ．5 平⾯向量数量积的运算律：①交换律成⽴：a b b a r r r r．②对实数的结合律成⽴：a b a b a b R r r r r r r．③分配律成⽴： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r ；特别注意：①结合律不成⽴： a b c a b c r r r r r r．②消去律不成⽴a b a cr r r r不能得到b c r r．③a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r6 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 7 向量的夹⾓：已知两个⾮零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （0 01800 ）叫做向量a r 与b r 的夹⾓cos =cos ,a b a b a b r r r rr r当且仅当两个⾮零向量a r 与b r 同⽅向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反⽅向时θ=1800，同时0r 与其它任何⾮零向量之间不谈夹⾓这⼀问题8 垂直：如果a r 与b r 的夹⾓为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b ra ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a ，ECBA CA b ，1,2a b ，则CD = （）（A ）1233a b （B ）2133a b （C ）3455a b （D ）4355a b 【答案】B ．【解析】由⾓平分线的性质得2AD DB u u u u r u u u u r ,即有22()()33AD CB CA a b u u u r u u u r u u u r ．从⽽221()333CD CA AD b a b a b u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ，那么（） A ．1k 且c 与d 同向 B ．1k 且c 与d 反向 C ．1k 且c 与d 同向 D ．1k 且c 与d 反向【答案】D ．【解析】取a 1,0 ，b 0,1 ，若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，显然，a 与b 不平⾏，排除A 、B ．若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷⽂）如图，D ，E ，F 分别是 ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF u u u r u u u r u u u r r C ．0AD CE CF u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC u u u r u u u r u u u r r【答案】A ．【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ 得0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r ．或0AD BE CF AD DF CF AF CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．【例4】（2009宁夏海南卷⽂）已知 3,2,1,0a b ，向量a b 与2a b 垂直，则实数的值为( )A.17B.17C.16D.16【答案】A ．【解析】向量a b ＝（－3 －1，2 ），2a b ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得：＝17，故选A ．【例5】（2009全国卷Ⅰ⽂）设⾮零向量a 、b 、c 满⾜c b a c b a |,|||||，则b a , （）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平⾏四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对⾓线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷⽂）在平⾏四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43．【解析】设BC b u u u r r 、BA a u u u r r 则12AF b a u u u r r r ,12AE b a u u u r r r ,AC b a u u ur r r代⼊条件得2433u u ．【例7】（2009辽宁卷⽂）在平⾯直⾓坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．【答案】(0,－2)．【解析】平⾏四边形ABCD 中,OB OD OA OC u u u r u u u r u u u r u u u r∴OD OA OC OB u u u r u u u r u u u r u u u r＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF u u u r u u u r g ,得cos 2AB AF FAB u u u r u u u r g g ,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF u u u rg ．∵2AB ，∴22DF ，∴1DF ∴21CF ．记AE BF u u u r u u u r和之间的夹⾓为,AEB FBC ，，则．⼜∵2BC ，点E 为BC 的中点，∴1BE ．∴ =cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g .本题也可建⽴以, AB AD 为坐标轴的直⾓坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ，已知2233AB AC AB AC BC u u u r u u u r u u u r u u u r ，求⾓A ，B ，C 的⼤⼩．【答案】2,,663A B C．【解析】解：设,,BC a AC b AB c由23AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r 得2cos 3bc A bc ，所以3cos 2A⼜(0,),A 因此6A由233AB AC BC u u u r u u u r 得23bc a ，于是23sin sin 3sin 4C B A所以53sin sin()6C C ，133sin (cos sin )2C C C ，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ，既sin(2)03 C由A=6 知506C ，所以3 ，4233C ，从⽽20,3C 或2,3C ，既,6C 或2,3C 故2,,,636A B C 或2,,663A B C．【课堂练习】⼀、选择题1.（2012辽宁理）已知两个⾮零向量a ,b 满⾜|a +b |=|a b |,则下⾯结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a b2. (2009年⼴东卷⽂)已知平⾯向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量 a b ( )A. 平⾏于x 轴B. 平⾏于第⼀、三象限的⾓平分线C. 平⾏于y 轴D. 平⾏于第⼆、四象限的⾓平分线3.（2012天津⽂）在ABC 中,90A ,1AB ,AC=2,设点,P Q 满⾜,(1),AP AB AQ AC R u u u r u u u r u u u r u u u r .若2BQ CP u u u r u u u r,则 ( )（）A ．13B ．23 C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满⾜：||3 a ，||4 b ，0 a b ．以a ，b ， a b 的模为边长构成三⾓形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y R,向量 4,2,,1,1,y x ,且//, ,则a b r r（）A B C ．D ．106. （2009浙江卷⽂）已知向量(1,2) a ，(2,3) b ．若向量c 满⾜()// c a b ，() c a b ，则c （）A ．77(,)93B ．77(,)39C ．77(,)39D ．77(,)937．（2012浙江理）设a ,b 是两个⾮零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 a c b c ? 的最⼩值为( )A.2 2D.1 9.（2012天津理）已知△ABC 为等边三⾓形,=2AB ,设点P,Q 满⾜=AP AB u u u r u u u r ,=(1)AQ AC u u u r u u u r,R ,若3=2BQ CP u u u r u u u r ,则=（）A ．12B C D10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量 2,1,10,||a a b a b ||b ( )5 D. 2511.（2012⼤纲理）ABC 中,AB 边上的⾼为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b u u u r r u u u r r r r r r ,则AD u u u r（）A ．1133a b r rB ．2233a b r rC ．3355a b r rD ．4455a b r r12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD u u u r u u u r 2,CE EA u u u r u u u r 2,AF FB u u u r u u u r则AD BE CF u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r( ) A. 反向平⾏ B. 同向平⾏C. 互相垂直D. 既不平⾏也不垂直13.（2008⼴东）在平⾏四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC u u u r a ，BD u u u r b ，则AF u u u r（）A ．42a bB ．2133 a b C ．1124 a bD ．1233a b 14.（2007湖北）设(43) ，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（）A ．(214)，B ．227，C ．227，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平⾯直⾓坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP uuu r 按逆时针旋转34后,得向量OQ uuu r 则点Q 的坐标是（） A ．(72,2) B ．(72,2) C ．(46,2)D ．(46,2)⼆、填空题16.（2012浙江⽂）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC u u u r u u u r=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平⾯向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹⾓为120o.如图所⽰，点C 在以O 为圆⼼的圆弧AB u u u v上变动. 若,OC xOA yOB u u u r u u u r u u u r其中,x y R ,则x y的最⼤值是________.18.（2012上海⽂）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满⾜||||||||CD CN BC BM,则AN AM 的取值范围是_________ .19.（2012课标⽂）已知向量a ,b 夹⾓为045,且|a |=1,|2 a b |=10,则|b |=_______.20.（2012湖南⽂）如图4,在平⾏四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂⾜为P,3AP 且AP AC u u u v u u u vg = _____.A DBP21.（2012湖北⽂）已知向量(1,0),(1,1)a b r r,则(Ⅰ)与2a b r r同向的单位向量的坐标表⽰为____________; (Ⅱ)向量3b a r r 与向量a r夹⾓的余弦值为____________.22.（2012北京⽂）已知正⽅形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB u u u r u u u r的值为________.23.（2012安徽⽂）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m r r r ,若()a c r r⊥b r ,则a r_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___.25.（2012安徽理）若平⾯向量,a b r r满⾜:23a b r r ;则a b r r g的最⼩值是_____ 三、解答题26. (2009年⼴东卷⽂)（已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中)2,0(（1）求 sin 和 cos 的值（2）若 cos 53)cos(5 ，02,求 cos 的值 27.（2009上海卷⽂）已知ΔABC 的⾓A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r ， (sin ,sin )n B A r ，(2,2)p b a u r（1）若m u r //n r，求证：ΔABC 为等腰三⾓形；（2）若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，⾓C = 3，求ΔABC 的⾯积 .28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的⾓，向量)sin ,(sin B A m ，)cos ,(cos A B n ，且C n m 2sin .（Ⅰ）求⾓C 的⼤⼩；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)( AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】⼀、选择题1.（2009辽宁卷理）平⾯向量a 与b 的夹⾓为060，(2,0)a ，1b 则2a b ( )B. 2.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC 所在平⾯内，且,0OA OB OC NA NB NC ，且PA PB PB PC PC PA ? ? ?，则点O ，N ，P 依次是ABC 的( )A. 重⼼外⼼垂⼼B. 重⼼外⼼内⼼C. 外⼼重⼼垂⼼D. 外⼼重⼼内⼼3.（2008安徽）在平⾏四边形ABCD 中，AC 为⼀条对⾓线，若(2,4)AB u u u r ，(1,3)AC u u u r ,则BD u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平⾯内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满⾜0)()( c b c a ,则c 的最⼤值是( )A. 1B. 2C. 2D.25.（2007海南、宁夏）已知平⾯向量(11)(11) ，，，a b ，则向量1322 a b（） A ．(21) ， B ．(21) ，C ．(10) ，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是⾮零向量，若函数()()()f x x x g a b a b 的图象是⼀条直线，则必有（）A ．⊥a bB ．∥a bC ．|||| a bD ．|||| a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos ) ，a 和sin 2m m，b ，其中m，，为实数．若2 a b ，则m的取值范围是（） A ．[-6，1] B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]。

新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用知识点汇总及解题规律方法提炼

6．1 平面向量的概念1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．典型例题1向量的相关概念给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB→|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．典型例题2向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．用有向线段表示向量的步骤典型例题3共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →. 2．[变问法]本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD→共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意]对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．6．2.1向量的加法运算1．向量加法的定义及运算法则(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )典型例题1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD→＝c ；(4)作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．典型例题2平面向量的加法运算化简： (1)BC→＋AB →； (2)DB→＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝(BC→＋CD →)＋DB → ＝BD→＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．典型例题3向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA→，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →. 由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．6．2.2 向量的减法运算1．相反向量(1)定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． ■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．(3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 典型例题1向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB→＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB→－AD →－DC →.【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB→＝AB →. 法二：原式＝AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→. (2)法一：原式＝DB→－DC →＝CB →.法二：原式＝AB→－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.向量减法运算的常用方法典型例题2向量的减法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c . 【解】法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c . 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD→＝b －c ，所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c . 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB→＝a ＋b －c . 法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC→＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．典型例题3用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB→＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【解】因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.6．2.3 向量的数乘运算1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |．(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．■名师点拨λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa )＝(λμ)a ． (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ． (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．(2)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． ■名师点拨若将定理中的条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa . 典型例题1向量的线性运算(1)计算：①4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； ②(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； ③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．【解】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b .②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b＝53a －1118b .(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．典型例题2向量共线定理及其应用已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→. 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．典型例题3用已知向量表示其他向量如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→＝________；(2)MN →＝________．【解析】因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →. (1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1. (2)MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2. 【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2[变条件]在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →.解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →， MN→＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN→＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0. 所以2MN→＝DA →＋CB →，所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．6．2.4 向量的数量积1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向； ②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． ■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0． ■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a ·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 3．投影向量如图(1)，设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b投影(project)，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O ，作OM→＝a ，ON →＝b ，过点M作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．(2)若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e .■名师点拨当θ＝0时，OM 1→＝|a |e ；当θ＝π2时，OM 1→＝0；当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，OM 1→与b 方向相同；当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，OM 1→与b 方向相反；当θ＝π时，OM 1→＝－|a |e .4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0．(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b |≤|a ||b |. ■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)． ■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b )·c与向量c 共线，a·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a·(b·c )在一般情况下不成立．(3)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 典型例题1平面向量的数量积运算(1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a ＋3b )．(2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD→·BC →；②AB →·DA →. 【解】 (1)(a ＋2b )·(a ＋3b ) ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°，所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°，所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC →·BD →.解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC→·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝AD→2－AB →2＝9－16＝－7.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．典型例题2向量模的有关计算(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4 D．12(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13 B.12C.15 D.14【解析】(1)|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos 60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．典型例题3向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a |＝6，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 与b 的夹角为________；(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为______．【解析】 (1)设a 与b 的夹角为θ，(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2 ＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12.又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3.(2)设a 与b 的夹角为θ，由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |.又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】 (1)π3 (2)π3 命题角度二：证明两向量垂直已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时，求证：b ⊥(a＋t b )．【证明】因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·(a ＋t b )＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋t b)．命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与k a－b互相垂直，则k 的值为()A．－32B．32C．±32D．1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________．【解析】(1)因为3a＋2b与k a－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(k a－b)＝0，所以3k a2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝3 2.(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】(1)B(2)－8或5求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．6．3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理(1)e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，{e 1，e 2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)基底{e 1，e 2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．典型例题1平面向量基本定理的理解设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底．③因为e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎨⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．典型例题2用基底表示平面向量如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE与BF 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE →，BF →.【解】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD→＋AB →＋12BC → ＝－AD→＋AB →＋12AD →＝a －12b . BF→＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a ，b }表示AG →.解：由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF → ＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b －13a ＝23a ＋23b .2．[变条件]若将本例中的向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”，即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE→，BF →. 解：DE→＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF→＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF → ＝－2CE→＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．典型例题3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .【解】设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP→＝45AM →，BP →＝35BN →，所以AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.1．[变问法]在本例条件下，若CM→＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2，则NP→＝25NB →，CP→＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →) ＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其他条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .解：如图，设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－2e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－2λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.所以AP→＝23AM →，BP →＝23BN →，所以AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示第1课时平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示1．平面向量坐标的相关概念■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则 ①a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．典型例题1平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA→的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA→的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA→＝(23，6)． (2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．典型例题2平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则A ．(－23，－12)B ．(23，12)C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．因为CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →，所以CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，所以⎩⎨⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝2.所以M (0，20)，N (9，2)．法二：设O 为坐标原点，则由CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →，可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，所以OM→＝3 OA →－2 OC →，ON →＝2 OB →－OC →. 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．所以M (0，20)，N (9，2)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．典型例题3向量坐标运算的综合应用已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP→＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【解】 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13. 若点P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．[变问法]若保持本例条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？解：由OP→＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP→＝2AB →，B 为线段AP 的中点．向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．第2课时两向量共线的充要条件及应用两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0．■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b . 典型例题1向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )，因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0，所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，因为2×6－3×4＝0，所以AB→∥AC →，所以AB →与AC →共线．又AB →＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－103＝13(0，－10)，所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法典型例题2三点共线问题(1)已知OA→＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线；(2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB→＝OB →－OA →＝(4，8)，AC→＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →，即AB→与AC →共线．又因为AB→与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线．(2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线，所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB→＝λAC →.因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎨⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．法二：由已知得AB→与AC →共线，因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0，所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．判断向量(或三点)共线的三个步骤典型例题3向量共线的应用如图所示，在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC→＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．【解】因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54. 因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM→＝(x ，y －5)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM→∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤1．平面向量数量积的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． ■名师点拨公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a ＝(x ，y )，则|a |(2)向量的夹角公式：设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是。

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必修4 §2.1向量的概念及其表示当堂练习：1.下列各量中是向量的是( )A.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是（）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO、OB、CO、OD是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等的向量D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是( )A. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量a,|a|>0总是成立的C. ||AB=|BA| D. ||AB与线段BA的长度不相等5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是( )A. AB与CD共线B. AC与BD相等C. AD与CB是相反向量D. AB与CD模相等6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与BC相等的向量有；（2）与OB长度相等的向量有；（3）与DA共线的向量有．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明．8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与AO相等的向量有；（2）写出与AO共线的向有；（3）写出与AO的模相等的有；（4）向量AO与CO是否相等？答．9．O是正六边形ABCDE的中心，且OA a=，OB b=，AB c=，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：（1）与a相等的向量有；（2）与b相等的向量有；（3）与c相等的向量有10．在如图所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有；（2）是相反向量的为；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE共线的有．（2）与向量DF的模相等的有．（3）与向量ED相等的有．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？ABEFA B EOOA BCDEF必修4 §2.2向量的线性运算1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则（） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-bD ．a 与b 方向相反2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （） A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP = （）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。

8．当非零向量a 和b 满足条件时，使得b a +平分a 和b 间的夹角。

9．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 010．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则x =__________； y =___________．11．一汽车向北行驶3 km ，然后向北偏东60︒方向行驶3 km ，求汽车的位移.12.如图在正六边形ABCDEF 中，已知：→AB =a , →AF = b ,试用a 、b 表示向量→BC ,→CD , →AD ，→BE .FE CBA必修4 §2.3平面向量的基本定理及坐标表示 1．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c 等于（）A ．21-a 23+b B ．21a 23- b C ．23a 21- b D ．23-a+21b2．若向量a=(x －2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（） A ．x=1,y=3 B ．x=3,y=1 C ．x=1,y=－5 D ．x=5,y=－13．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （）A ．43B ．43-C ．34D ．34-4．已知 ABCD 的两条对角线交于点E ，设1e AB =，2e AD =，用21,e e 来表示ED 的表达式（）A ．212121e e -- B ．212121e e +- C ．212121e e - D ．212121e e + 5．已知两点P １（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P （－37，ｙ）分有向线段21P P所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（）A ．－41，8B ．41，－8C ．－41，－8 D ．4，816．下列各组向量中：①)2,1(1-=e ②)5,3(1=e ③)3,2(1-=e )7,5(2=e )10,6(2=e)43,21(2-=e 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7．若向量a =（2，m ）与b =（m ，8）的方向相反，则m 的值是． 8．已知a =（2，3），b =（-5，6），则|a +b |= ，|a -b |= ．9．设a =（2，9），b =（λ,6），c =(-1,μ),若a +b =c ,则λ= , μ= . 10．△ABC 的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C 点坐标为 . 11．已知向量e1、e2不共线，(1)若AB =e1－e2，BC =2e1－８e2，CD =3e1＋３e2，求证：A 、B 、D 三点共线. (2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.12．如果向量AB =i －2j,BC =i+mj,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.必修4 §2.4平面向量的数量积1．已知a =（3，0），b =（-5，5）则a 与b的夹角为（）A ．450B 、600C 、1350D 、12002．已知a =（1，-2），b =（5，8），c =（2，3），则a·（b ·c ）的值为（）A ．34B 、（34，-68）C 、-68D 、（-34，68）3．已知a =（2，3），b =（-4，7）则向量a 在b 方向上的投影为（）A ．13B 、513C 、565D 、654．已知a =（3，-1），b =（1，2），向量c 满足a ·c =7，且b c ⊥，则c的坐标是（）A ．（2，-1）B 、（-2，1）C 、（2，1）D 、（-2，-1）G EDC B A5．有下面四个关系式（1）0 ·0 =0 ；（2）（a ·b ）c =a （b ·c ）；（3）a ·b =b ·a；（4）0a =0，其中正确的个数是（）A 、4B 、3C 、2D 、16．已知a =（m-2，m+3），b =（2m+1，m-2）且a 与b 的夹角大于90°，则实数m （）A 、m ＞2或m ＜-4/3B 、-4/3＜m ＜2C 、m ≠2D 、m ≠2且m ≠-4/3 7．已知点A （1，0），B （3，1），C （2，0）则向量BC 与CA 的夹角是。

8．已知a=（1，-1），b =（-2，1），如果（)()b a b a λλ-⊥+，则实数λ= 。

9．若|a |=2，|b |=2，a 与b的夹角为45°，要使k b -a 与a 垂直，则k=10．已知a +b =2i -8j ，a —b =-8i +16j ，那么a ·b =11．已知2a +b =（-4，3），a -2b =（3，4），求a ·b的值。

12．已知点A （1，2）和B （4，-1），试推断能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB=900？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由。

§2.5平面向量的应用1．已知A 、B 、C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若AB PC PB PA +++，则点P 与△ABC 的位置关系是（）A 、点P 在△ABC 内部B 、点P 在△ABC 外部 C 、点P 在直线AB 上D 、点P 在AC 边上 2．已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为（）A 、正三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰锐角三角形3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为（） A 、300 B 、600 C 、900 D 、12004．某人顺风匀速行走速度大小为a ，方向与风速相同，此时风速大小为v ，则此人实际感到的风速为（） A 、v-a B 、a-v C 、v+a D 、v5．一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h 。

6．两个粒子a ，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移；（2）求S 在Sa 方向上的投影。