专题一 第二讲 函数的图像与性质

一、选择题

1．函数y ＝2－x lg x

的定义域是( ) A ．{x |0

B ．{x |0

C ．{x |0

D ．{x |0

解析：要使函数有意义只需要 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0，x >0，

lg x ≠0，

解得0

∴定义域为{x |0

答案：D

2．(2011·四川高考)函数y ＝(12)x ＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )

解析：原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此可以排除B 、C 、D.也可以直接求出反函数，对照选项选择．

答案：A

3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52

)＝( ) A ．－12 B ．－14

C.14

D.12

解析：依题意得，f (－52)＝－f (52)＝－f (52

－2)＝ －f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12

. 答案：A

4．若函数f (3sin x cos x ＋3sin 2x )的定义域为[π2，2π3

]，则f (x )的定义域为( ) A ．[0，32

] B ．[1,2] C ．[32，3] D ．[1，log 25]

解析：令t ＝3sin x cos x ＋3sin 2x ＝32sin2x ＋3×1－cos2x 2 ＝3(12sin2x －32cos2x )＋32 ＝3sin(2x －π3)＋32

. ∵函数f (3sin x cos x ＋3sin 2x )的定义域为[π2，2π3

]， ∴π2≤x ≤2π3

. ∵2x －π3∈[2π3，π]，sin(2x －π3)∈[0，32

]． ∴t ＝3sin(2x －π3)＋32∈[32

，3]． ∴函数f (x )的定义域为[32

，3]． 答案：C

二、填空题

5．(2011·浙江高考)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

解析：由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0.

答案：0

6．定义映射f ：(x ，y )→(x ，y )，△OAB 中O (0,0)，A (1,3)，B (3,1)，则△OAB 在映射f 的作用下得到的图形的面积是________．

解析：线段OA 满足y ＝3x (0≤x ≤1)，线段OA 上的点(x ，y )在映射f 的作用下为(x ，3x )，设为(x ′，y ′)，则x ′＝x ，y ′＝3x ，故y ′＝3x ′(0≤x ′≤1)，仍为线段；

线段OB 满足y ＝13x (0≤x ≤3)，线段OB 上的点(x ，y )在映射f 的作用下为(x ，3x 3

)，仍为线段且满足y ′＝33

x ′(0≤x ′≤3)；线段AB 满足y ＝4－x (1≤x ≤3)，线段AB 上的点(x ，y )在映射f 的作用下为(x ，4－x )，满足x ′2＋y ′2＝4(1≤x ′≤3，1≤y ′≤3)，是一

段圆弧，故所围成的圆形是半径为2，圆心角为π6的扇形，面积为π3. 答案：π3

7．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )>0，则关于a 的不等式f (4a －1)>f (1)的解集为________．

解析：∵函数f (x )＝log a |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )>0，∴0f (1)，且4a －1>0，∴4a

－1<1，即22a <2，得2a <1，解得a <12，∴关于a 的不等式f (4a －1)>f (1)的解集为(0，12

)． 答案：(0，12

) 三、解答题

8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x

，x ∈[1，＋∞)， (1)当a ＝12

时，求函数f (x )的最小值． (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．

解：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x

＋2. 求导，得f ′(x )＝1－12x 2

， 在[1，＋∞)上恒有f ′(x )>0，

故f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．

∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72

. (2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x

>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立， 设g (x )＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，

配方，得g (x )＝(x ＋1)2＋a －1，

显然g (x )在[1，＋∞)为增函数．

故在区间[1，＋∞)上，要使x 2＋2x ＋a >0恒成立，只要g (1)>0即可．

由g (1)＝3＋a >0，解得a >－3.

故实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．

9．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174

. (1)求a 、b 、c 的值；

(2)试讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；

(3)试求函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值．

解：(1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0.

即－ax －b x ＋c ＋ax ＋b x

＋c ＝0，∴c ＝0. 由f (1)＝52，f (2)＝174

， 得a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，解得a ＝2，b ＝12

. ∴a ＝2，b ＝12

，c ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝2x ＋12x

， ∴f ′(x )＝2－12x 2＝(x －12)(2x ＋1)x 2

. 当x ∈(0，12

)时，f ′(x )<0. ∴函数f (x )在(0，12

)上为减函数． 当x >12

时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(12

，＋∞)上为增函数． (3)由(2)知x ＝12

是函数的最小值点， 即函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (12

)＝2. 10．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当－1≤x ≤1，f (x )＝x 3.

(1)求证：x ＝1是函数y ＝f (x )的一条对称轴；

(2)当x ∈[1,5]时，求f (x )的表达式．

解：(1)证明：因为f (x )为奇函数，

所以－f (x )＝f (－x )．

因为f (x ＋2)＝f (－x )，

所以f [(x －1)＋2]＝f [－(x －1)]．

即f (1＋x )＝f (1－x )，

所以直线x ＝1是函数f (x )图像的一条对称轴．