弹性力学—第七章—空间问题的基本理论

轴对称问题
在空间问题中，如果弹性体 的几何形状，约束情况以及 所受的外力作用都是对称于 某一轴（通过这个轴的任一 平面都是对称面），则所有 的应力，形变以及位移也就 对称于这一轴。这种问题称 为空间轴对称问题。
z
B C
P
x
A
y
在描述轴对称问题中的应力，形变及位移时，宜采用圆柱 坐标ρ，φ，z。这样可以使得应力分量，应变分量，位移分 量都是ρ，z 的函数，不随 φ 变化。另外，所有物理量必须 对称过 z 轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量为零。
应力边界条件
若图示实线斜面是受有面力 作用的边界面 ，则：
z
n’
P
y x
上式为空间问题的应力边界条件。
主应力（1）
若某一斜面上只有正应力 ，于是该面上的全 应力在坐标上的投影成为：
于是：
因此可求解主应力大小 及方向： 。
又有：
主应力（2）
若有非零解，则：
代入原方程求解 主应力的方向。
主应力的存在（3）
轴对称问题的平衡方程与几何方程
z
B
C
P
x
A
y
轴对称问题的平衡方程与几何方程
z
B
C
P
x
A
y
其中： 体积应变： 体应力：
轴对称问题的平衡方程与几何方程
z
B
C
P
x
A
y
几何方程及位移边界条件
采用与平面问题的几何方程一致的推导方法， 可以得到：
位移边界条件：
体应变
单位体积的改变称为体应变，用θ表示：
体应变与位移的关系：
物理方程（1）
：体积应力
体积模量
物理方程（2）
用应变表达应力：
空间问题小结
对于空间问题，一共有15个未知函数，它们 是6个形变分量，6个应力分量，3个位移分量。 而我们也有15个基本方程，它们是6个几何方 程，6个物理方程，3个平衡方程。此外，求 出的解还必须满足位移边界条件以及应力边 界条件。
弹 性 力 学 及 有 限 元
第七章 空间问题的基本理论
胡 衡
武汉大学土木建筑工程学院
二零零八年五月
平衡方程
空 间 问 题
z
P
y
平 面 问 题
x
应力状态（1）
空 间 问 题
z
n’
pz py
P px
y
平 面 问 题
xBiblioteka Baidu
应力状态（2）
z
n’
pz py
P px
y x
注：如果已知空间中一点的六个应力分量，就可以得到任 一斜面上的正应力以及切应力，因此可以说六个应力分量 决定了一点的应力状态。
注：该方程的三个解一 定为实数，即总存在三 个互相垂直的主应力。
主应力（4）
1）在受力物体内任意一点，一定存在三个互相垂 直的应力主面以及对应的三个主应力。 2）在受力物体内的任意一点，三个互相垂直的面 上的正应力之和是不变量（不随坐标系变化），并 且等于该点的三个主应力之和。 3）三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应 力，最小的一个就是该点的最小正应力。 4）最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应 力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应 力并且“平分最大主应力与最小主应力的夹角”的 平面上。