弹性力学—第七章—空间问题的基本理论

几何方程及位移边界条件
采用与平面问题的几何方程一致的推导方法， 可以得到：
位移边界条件：
体应变
单位体积的改变称为体应变，用θ表示：
体应变与位移的关系：
物理方程（1）
：体积应力
体积模量
物理方程（2）
用应变表达应力：
空间问题小结
对于空间问题，一共有15个未知函数，它们 是6个形变分量，6个应力分量，3个位移分量。 而我们也有15个基本方程，它们是6个几何方 程，6个物理方程，3个平衡方程。此外，求 出的解还必须满足位移边界条件以及应力边 界条件。
注：该方程的三个解一 定为实数，即总存在三 个互相垂直的主应力。
主应力（4）
1）在受力物体内任意一点，一定存在三个互相垂 直的应力主面以及对应的三个主应力。 2）在受力物体内的任意一点，三个互相垂直的面 上的正应力之和是不变量（不随坐标系变化），并 且等于该点的三个主应力之和。 3）三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应 力，最小的一个就是该点的最小正应力。 4）最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应 力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应 力并且“平分最大主应力与最小主应力的夹角”的 平面上。
弹 性 力 学 及 有 限 元
第七章 空间问题的基本理论
胡 衡
武汉大学土木建筑工程学院
二零零八年五月
平衡方程
空 间 问 题
z
P
y
平 面 问 题
x
应力状态（1）
空 间 问 题
z
n’
pz py
P px
y
平 面 问 题
x
应力状态（2）
z
n’
pz py
P px
y x
注：如果已知空间中一点的六个应力分量，就可以得到任 一斜面上的正应力以及切应力，因此可以说六个应力分量 决定了一点的应力状态。
应力边界条件
若图示实线斜面是受有面力 作用的边界面 ，则：
z
n’
P
y x
上式为空间问题的应力边界条件。
主应力（1）
若某一斜面上只有正应力 ，于是该面上的全 应力在坐标上的投影成为：
于是：
因此可求解主应力大小 及方向： 。
又有：
主应力（2）
若有非零解，则：
代入原方程求解 主应力的方向。
主应力的存在（3）
轴对称问题的平衡方程与几何方程
z
Hale Waihona Puke BCPx
A
y
轴对称问题的平衡方程与几何方程
z
B
C
P
x
A
y
其中： 体积应变： 体应力：
轴对称问题的平衡方程与几何方程
z
B
C
P
x
A
y
轴对称问题
在空间问题中，如果弹性体 的几何形状，约束情况以及 所受的外力作用都是对称于 某一轴（通过这个轴的任一 平面都是对称面），则所有 的应力，形变以及位移也就 对称于这一轴。这种问题称 为空间轴对称问题。
z
B C
P
x
A
y
在描述轴对称问题中的应力，形变及位移时，宜采用圆柱 坐标ρ，φ，z。这样可以使得应力分量，应变分量，位移分 量都是ρ，z 的函数，不随 φ 变化。另外，所有物理量必须 对称过 z 轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量为零。